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数字信号处理期末复习 数字信号处理期末复习 第 1 章 离散信号与系统分析基础 1 离散时间信号的时域描述 单位脉冲序列 00 0 1 k k k 单位阶跃序列 00 0 1 k k ku 角频率为 的虚指数序列 k kx j e Z k 如果 2 m N 其中 N m 是不可约的正整数 则虚指数序列的周期为 N 两个序列的卷积和定义为 2121 nkxnxkxkxky n 两个实序列 x k 与 y k 的互相关运算定义为 nkykxnr k xy 实序列 x k 的自相关运算定义为 nkxkxnr n x 序列的相关函数具有下列基本特性 0 xx rnr nrnr yxxy nrnr xx 2 离散时间系统的时域分析 T ax k bx 12 k a T x1 k bT x2 k T x k n y k n 离散 LTI 系统因果的充分必要条件为 0 0 kkh 离散 LTI 系统稳定的充分必要条件是 Z 1 1 1 az 1 kuakaz k 截断得FIR滤波器h k 5 用窗函数w k 将hd h k hd k w k 近似过 窗的类型 主瓣宽度 AA 渡带宽度 p s p dB s dB 0 09 0 82 21 矩形 4 N 1 8 N 0 0064 0 056 44 Hann 8 N 6 2 N 0 0022 0 019 53 Hamming 8 N 7 N 0 0002 0 0017 74 Blackman 12 N 11 4 N 3 频率取样法设计线性相位 FIR 数字滤波器 j 频率取样法设计FIR数字滤波器的基本思想是 根据所需滤波器的频率响应Hd e 设 计一个M阶的FIR滤波器h k 使得在M 1 个取样点 MmMm m 1 0 1 2L 上 FIR滤波器的频率响应H ej j 与H e 相等 设计步骤如下 d 1 根据所需设计的滤波器的类型 低通 高通 带通 带阻等 确定线性相位滤波器 的类型 I 型 II 型 III 型 IV 型 j 2 获得H区间的M 1 个取样点上的值H m 即 d e 在 2 0 d m M HmH 1 2 j dd e 3 利用 IDFT 得到 h k mk M M m WmH M kh 1d 0 1 1 j 为使设计出的滤波器是实系数线性相位系统 H 在M 1 个取样点上的值H m 应为 e dd ee 1 2 ee e d 1 j j d 1 j j 1 2 j dd mAMmAHmH m M M m M M M m 对I型和II型线性相位滤波器 0 对III型和IV型线性相位滤波器 2 在确定Hd m 取值时 其前一半的值可由式错误 未找到引用源 错误 未找到引用源 确定 后一半的值可利用实序列DFT的对称性 得出 1dd M mHmH 4 线性相位 FIR 数字滤波器的优化设计 FIR 数字滤波器优化设计的基本思想就是在一定的误差准则下 设计线性相位 FIR 滤波 器 H z 使得 H z 所对应的幅度函数 A 和理想滤波器的幅度函数 D 的误差在 0 区间上达到最小 习题 已知 8 阶I型线性相位FIR滤波器的部分零点为 z1 2 z j0 5 z 23 j 试确定该滤波器的其 他零点 已知 9 阶II型线性相位FIR滤波器的部分零点为 z1 2 z j0 5 z 23 j 试确定该滤波器的 其他零点 试用矩形窗函数法设计线性相位 FIR 低通数字滤波器 其在 内的频率响应为 其他 0 2 e 3j d j eH 1 确定滤波器的阶数 M 2 求滤波器单位脉冲响应 h k 的表达式 并计算出其具体值 3 求滤波器系统函数 H z 试用频率取样法设计 FIR 低通数字滤波器 其在 内的理想幅度函数为 其他 0 73 1 A 求出阶数 M 6 的线性相位 FIR 系统的 h k 和 H z 6 1 0 7 2 L mm m 解 由 M 6 可得抽样点为 由 7 2 e d 7 6 j d m AmH m 可得在 d mH30 m范围内的值为 7 6 j d 7 6 j d e 7 2 e 1 AH 1 0 0 dd AH 0 7 4 e 2 d 7 2 1 j d AH0 7 6 e 3 d 7 8 1 j d AH 64 m m 在由共轭对称关系可得H范围内的值为 d 7 6 j ddd e 1 17 6 HHH 0 2 27 5 ddd HHH 0 3 37 4 ddd HHH m 做 7 点的IDFT可得h k 为 对Hd kk 7 12 j 7 6 j 7 2 j 7 6 j eeee1 7 1 mk m WmHkh 7d 6 0 7 1 kkk 7 12 j 7 14 j 7 6 j 7 2 j 7 6 j eeeee1 7 1 3 7 2 j 3 7 2 j ee1 7 1 kk 3 7 2 cos 7 2 7 1 k 0 1146 0 0793 0 3210 0 4286 0 3210 0 0793 0 1146 H z 0 1146 1 z 6 0 0793 z 1 z 5 0 3210 z 2 z 4 0 4286 z 3 在数字语音存储与回放系统中 为了确保语音回放的质量 需要对输入信号进行数字滤波以 抑制杂音和干扰 若输入信号 ttxty 其中 x t 是最高频率为 3 4KHz 的语音信 号 t 是频率范围在 4 5 5KHz 的噪声信号 1 确定对输入信号进行抽样的抽样频率 并说明理由 2 确定能滤除 y t 中噪声 t 的数字滤波器的指标 3 选择数字滤波器的类型 IIR FIR 并阐述选择该数字滤波器的理由 4 写出你所确定的数字滤波器的设计步骤 第 6 章 功率谱估计 1 随机信号的特征描述 N Nk N kx N kXE 12 1 lim 均值 x m N Nk x N x mkx N mkXE 22 12 1 lim 2 x 方差 12 1 lim nkxkx N nkXkXE N Nk N 自相关函数 nRx 且自相关函数具有下述特性 nRnR xx 0 2 kXERx 2 xx mR n 0 0 nRR xx 对于平稳各态遍历随机序列 X k 其功率谱密度可以借助其一个样本 x k 得到 即 12 e lim 2 j N X N DTFT nRP xx 2 平稳随机序列通过 LTI 离散时间系统 0j x n xy eHmnhmm 均值 nRnRnR xhy 自相关函数 DTFT 2 x j yy PeHnRP 功率谱 3 经典功率谱估计 相关法 间接法 相关法是先估计随机信号的自相关函数 然后再对进行傅里叶变换即得随 机信号的功率谱估计 若已知平稳各态遍历随机信号一个样本x k 的N个观测值 则其自 相关函数的估计为 nRx nRx 1 1 1 0 nxnx N nkxkx N nR nN k x 对进行傅里叶变换可得功率谱估计为 nRx 1e j NLnRP n L Ln xx 周期图法 直接法 若已获得随机信号单一样本的N个观测值xN k 则通过对xN k 进行傅里叶变换来得到其 功率谱估计 这种方法称为周期图法 即 2 j e 1 N x N X N PI 周期图不是功率谱的一致估计 其估计方差不随 N 的增大而趋于零 平滑周期图法是对自相关函数估计值加上窗函数 w n 将误差较大的自相关函数估计 值截去 即 nRx n M Mn xM nRnwP j 1 1 e 平均周期图法是将随机信号样本的 N 个观测值分成每段长 M 的 A 段 计算每段的周期 图 然后再将它们求和并取平均 即 1 0 1 A i i M A M I A P 4 现代功率谱估计 基于参数模型法的现代功率谱估计的基本方法是 1 选择一个好的模型 在输入是白 噪声的情况下 使其输出等于待研究的信号 至少也是对该信号的一个良好近似 2 利用 已知的有限长序列求模型的参数 3 利用求出的模型参数估计该信号的功率谱 习题 已知某平稳随机序列的一个样本 x k 的 6 个观测值为 0 1746 0 7258 2 1832 0 1867 0 5883 0 1364 试求其均值 方差和自相关函数估计 解 5 0 1 0 6 1 1 k N k x kxkx N m均值估计 0 362 5 0 2 1 0 22 6 1 1 k x N k xx mkxmkx N 方差估计 0 8228 自相关函数估计 1 1 0 nkxkx N nR N k x 0 004 0 0336 0 1262 689 0 249 0 1 0 9539 0 249 0 1689 0 1262 0 0336 0 004 已知某平稳随机序列的一个样本 x k 的 4 个观测值为 1 1 0 1 试分别用自相关法和 周期图法计算其功率谱估计 第 7 章 多速率信号处理基础 1 多速率系统中的基本单元 抽取运算 抽取运算的时域表示 Z kMkxkx D 抽取运算的框图表示如所示 M xD k x k 内插运算 内插运算的时域表示 其他 0 2 0 I LLLkLkx kx 内插运算的框图表示如错误 未找到引用源 错误 未找到引用源 所示 L x k xI k 2 抽取滤波器和内插滤波器 在一般情况下抽取后的离散序列的频谱将会出现混叠 为了避免混叠 可在信号抽取前 用低通滤波器对信号进行滤波 如错误 未找到引用源 错误 未找到引用源 所示 H z kx ky M 在理想情况下 抽取滤波器可以是截频为 M 的理想低通滤波器 即 其他 0 1 e j M H 若信号x k 需保留的最高频率分量为 m M m 则抽取滤波器H z 的幅度响应可为 1 2 1 2 2 0 1 e mm m j Ml M l M l M H L 信号的内插会产生镜像频谱 为了消除这些镜像频谱 可将内插后的信号通过一个低通 滤波器 如所示 L zH kx ky I kx 在一般情况下 内插滤波器可以是截频为 L 的理想低通滤波器 即 其他 0 1 e j L H 若信号x k 的频谱是带限的 即x k 的频谱只在 m m m 范围内有非