2019_2020学年高中数学课时分层作业12直线间的夹角平面间的夹角直线与平面的夹角（含解析）北师大版.docx

课时分层作业(十二)(建议用时：40分钟)基础达标练一、选择题1若平面的法向量为u，直线l的方向向量为v，直线l与平面的夹角为，则下列关系式成立的是()Acos Bcos Csin Dsin Du与v的夹角的余角才是直线l与平面所成的角，因此选D.2已知正四棱柱ABCDA1B1C1D1中，AA12AB，E是AA1的中点，则异面直线D1C与BE夹角的余弦值为()A. B.C. D.B建系如图，设AA12AB2.则B(1，1，0)，C(0，1，0) D1(0，0，2)，E(1，0，1)(0，1，0)(0，0，2)(0，1，2)(1，0，1)(1，1，0)(0，1，1)cos，异面直线D1C与BE夹角的余弦值为.3过正方形ABCD的顶点A作线段PA平面ABC，且PAAB，则平面ABC与平面PCD所成锐二面角的度数为()A75 B60C45 D30C以A为坐标原点，AB，AD，AP所在直线分别为x轴，y轴，z轴建立空间直角坐标系(图略)，不妨设AB1，则A(0，0，0)，B(1，0，0)，C(1，1，0)，D(0，1，0)，P(0，0，1)，从而(0，1，1)，(1，0，0)设平面ABC与平面PCD的法向量分别为n1，n2，取n1(0，0，1)设n2(x，y，z)，由n2，n2，可得，可取n2(0，1，1)于是cosn1，n2，所以平面ABC与平面PCD所成锐二面角的度数为45.4如图，在正四面体ABCD中，E为棱AD的中点，则CE与平面BCD的夹角的正弦值为()A. B.C. D.B作AO平面BCD于O，则O是BCD的中心，以O为坐标原点，OD为y轴，OA为z轴建立空间直角坐标系，设AB2，则O(0，0，0)，A，C，E，cos，.CE与平面BCD的夹角的正弦值为.5如图所示，已知点P为菱形ABCD所在平面外一点，且PA平面ABCD，PAADAC，点F为PC中点，则平面CBF与平面DBF夹角的正切值为()A. B.C. D.D设ACBDO，连接OF，以O为原点，OB，OC，OF所在直线分别为x轴、y轴、z轴，建立空间直角坐标系，设PAADAC1，则BD，B，F，C，D. ，且为平面BDF的一个法向量由，可得平面BCF的一个法向量n(1，)cosn，sinn，.tann，.二、填空题6在一个锐二面角的两个面内分别有向量m(1，2，0)，n(3，0，2)，且m，n都与二面角的棱垂直，则该锐二面角的余弦值为_由题意知，m，n所成的锐角即为二面角的平面角cosm，n.锐二面角的余弦值为.7正方形ABCD所在平面与正方形ABEF所在平面成60的二面角，则异面直线AD与BF夹角的余弦值是_建立如图坐标系，设AB1，则D，A(0，0，0)，F(1，0，0)，B(0，1，0)，(1，1，0)cos .8已知平面过定点A(1，2，1)，且法向量为n(1，1，1)已知平面外一点P(1，5，1)，求PA与平面夹角的正弦值_(2，7，2)，则cos，n.设PA与平面夹角为，则sin |cos，n|.三、解答题9如图所示，在四棱锥PABCD中，底面ABCD是一直角梯形，BAD90，ADBC，ABBCa，AD2a，且PA底面ABCD，PDA30，AEPD，E为垂足(1)求证：BEPD；(2)求异面直线AE与CD夹角的余弦值解以A为原点，AB，AD，AP所在的直线为坐标轴，建立空间直角坐标系，如图，则A(0，0，0)，B(a，0，0)，C(a，a，0)，D(0，2a，0)又PDA30，APADtan 302aa，AEADsin 302aa.过E作EFAD，垂足为F，在RtAFE中，AEa，EAF60，AF，EFa.P，E.(1)证明：，0a2a20.，BEPD.(2)，(a，a，0)则cos，即AE与CD的夹角的余弦值为.10如图，在三棱柱ABOA1B1O1中，OAOB，且OB3，OA4，BB14，D为A1B1的中点P为BB1上一点，且OPBD.求直线OP与底面AOB的夹角的正弦值解以O点为原点，以OB，OA，OO1分别为x，y，z轴建立空间直角坐标系，由题意，有O(0，0，0)，B(3，0，0)，D，B1(3，0，4). 设P(3，0，z)，则，(3，0，z)BDOP，4z0，解得z.BB1平面AOB，是底面AOB的一个法向量，且(0，0，4)sin POB|cos BPO|.直线OP与底面AOB夹角的正弦值为.能力提升练1正四棱锥SABCD中，SAAB2，则直线AC与平面SBC夹角的正弦值为()A. B.C. D.C建立如图所示的空间直角坐标系Oxyz.由题意得A(1，1，0)、C(1，1，0)、B(1，1，0)、S(0，0，)(2，2，0)，(1，1，)，(1，1，)设平面SBC的一个法向量n(x，y，z)，则，令z，得x0，y2，n(0，2，)设直线AC与平面SBC的夹角为，则sin |cosn，|.2P是二面角AB棱上的一点，分别在，平面内引射线PM，PN，如果BPMBPN45，MPN60，那么与的夹角大小为()A60 B70C80 D90D设PMa，PNb，作MEAB，NFAB，则因BPMBPN45，故PE，PF.于是()()abcos 60acos 45bcos 450.因为EM，FN分别是，内的与棱AB垂直的两条直线，所以与的夹角就是与的夹角3已知正方体ABCDA1B1C1D1，E，F分别是正方形A1B1C1D1和ADD1A1的中心，则EF和CD的夹角是_45以D为原点，分别以射线DA，DC，DD1为x轴，y轴，z轴的非负半轴建立空间直角坐标系Dxyz，设正方体的棱长为1，则E，F，(0，1，0)，所以cos，所以，135，所以异面直线EF和CD的夹角是45.4在空间中，已知平面过点(3，0，0)和(0，4，0)及z轴上一点(0，0，a)(a0)，如果平面与平面xOy的夹角为45，则a_平面xOy的法向量为n(0，0，1)，设平面的法向量为u(x，y，z)，则则3x4yaz，取z1，则u，而cosn，u.又a0，故a.5如图，在四棱锥SABCD中，SD底面ABCD，ABDC，ADDC，ABAD1，DCSD2，E为棱SB上的一点，平面EDC平面SBC. (1)证明：SE2EB；(2)求平面ADE与平面CDE夹角的大小解(1)以D为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系，则A(1，0，0)，B(1，1，0)，C(0，2，0)，S(0，0，2)，(0，2，2)，(1，1，0)，(0，2，0)设平面SBC的一个法向量为m(a，b，c)由m，m，得令b1，则m(1，1，1)又设(0)，则E，.设平面EDC的一个法向量为n(x，y，