2014.10.30日高考数学模拟题(02)

清北高考数学通讯 -清北 2015 高考数学模拟卷 2014 年 10 月 30 日卷 1 / 18 清北高考数学通讯 -清北 2015 高考数学模拟卷 2014 年 10 月 30 日卷 2 / 18 清北高考数学通讯 2015 高考数学模拟卷 2014 年 10 月 30 日 卷 1. 设,ab R，则“ab”是“aa bb”成立的 （ ） A. 充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分又不必要条件 2. 已知函数 ， ，当 x=a 时， 取得最小值 b，则函数的图象为 （ ） 3.已知数列 是首项为 2，公差为 1 的等差数 列， 是首项为 1，公比为 2 的等比数列，则数列 前 10 项的和等于（ ） A. 511 B.512 C.1023 D.1033 4. 设实数,xy满足202 5 020xyxyy ，则22xyuxy的取值范围是（ ） A. 52,2 B. 5 10,23 C. 102,3 D. 1,44 na nbnba清北高考数学通讯 -清北 2015 高考数学模拟卷 2014 年 10 月 30 日卷 3 / 18 5. 有一个几何体的三视图及其尺寸如图所示（单位： cm），则该几何体的 表面积 为 （ ） A. 212cm B. 215 cm C. 224 cm D. 236 cm 6. 若圆 22: 2 4 3 0C x y x y 关于直线 2 6 0ax by 对称，则由点（ a， b）向圆C 所作切线长的最小值是 （） A.2 B. 3 C. 4 D. 6 7. 某城市新修建的一条道路上有 12 盏路灯，为了节省用电而又不能影响正常的照明，可以熄灭其中的 3 盏灯，但两端的灯不能熄灭，也不能熄灭相邻的两盏灯，则熄灯的方法有 （ ） 种 A. 38C B. 38A C. 39C D. 311C 8. 二项式 102 )2( xx展开式中的常数项是 （ ） A.180 B.90 C.45 D.360 9. 设复数 21 11 izii ，则 91 z 的二项展开式的第 7 项是 （ ） A. 84i B. 84 C. 36 D. 36i 10. 设 平 面 点 集 21A ( , ) ( ) ( ) 0 , ( , ) 0 4 x y x y y B x y y xx ， 2( , ) 0 4B x y y x ，则 AB 所表示的平面图形的面积为 （ ） A. 2 B. 47 C. 35 D. 34 6 5 主视图 6 5 侧视图 俯视图 清北高考数学通讯 -清北 2015 高考数学模拟卷 2014 年 10 月 30 日卷 4 / 18 11. 已知函数 2log , 0()2 , 0x xxfx x 则满足不等式 ( ( ) 1f f x 的 x 的取值范围是 12. 给出下列几个命题： 若函数 ()fx的定义域为 R ，则 ( ) ( ) ( )g x f x f x 一定是偶函数； 若函数 ()fx是定义域为 R 的奇函数，对于任意的 xR 都有 ( ) (2 ) 0f x f x ，则函数 ()fx的图象关于直线 1x 对称； 已知 12,xx是函数 ()fx定义域内的两个值，当 12xx 时， 12( ) ( )f x f x ，则 ()fx是减函数； 设函数 13y x x 的最大值和最小值分别为 M 和 m ，则 2Mm ； 若 ()fx是定义域为 R 的奇函数，且 ( 2)fx 也为奇函数，则 ()fx是以 4 为周期的周期函数 其中正确的命题序号是（写出所有正确命题的序号） 13. 已知两点 (2,2), (2,1)AB， O 为坐标原点，若 255OA tOB ，则实数 t 的值为 14.将 a， b 都是整数的点（ a， b）称为整点，若在圆 x2+y2 6x+5=0 内的整点中任取一点 M，则点 M 到直线 2x+y 12=0 的距离大于 的概率为 _ 15.设 12,FF是椭圆 )0(12222 babyax 的两个焦点， P 为椭圆上任意一点，当 12FPF取最大值时的余弦值为 149 ， 则 椭圆的离心率 为 16. 在一次抗洪抢险中，准备用射击的方法引爆从桥上游漂流而下的一个巨大的汽油罐，已知只有 5 发子弹，第一次命中只能使汽油流出，第二次命中才能引爆，每次射周是相互独立的，且命中的概率都是 .32 （ 1）求油罐被引爆的概率； （ 2）如果引爆或子弹打光则停止，求射击次数不小于 4 的概率 . 清北高考数学通讯 -清北 2015 高考数学模拟卷 2014 年 10 月 30 日卷 5 / 18 17.已知 函数 )(xfy 是 定义 域为 R 的奇函数，且当 ),0 x 时， 1( ) log ( )xa afx m ，（ )1,0 aa 。 （ 1）求实数 m 的值 ；并求函数 )(xfy 在 定义 域 R 上的解析式； （ 2）求证：函数 在区间)(xf ),0 上是增函数 。 18.如图，已知 DE平面 ACD， DE/AB， ACD 是正三角形， AD=DE=2AB，且 F 是 CD 的中点。 （ 1） 求证： AF/平面 BCE； （ 2） 求证：平面 BCE平面 CDE； （ 3） 求平面 BCE 与平面 ACD 所成 锐二面角的大小。 19.若数列na的前 n项和为S，对任意正整数 n都有6 1 2nnSa记12logba （ 1） 求1a,2的值； （ 2） 求数列nb的通项公式； （ 3） 令221( 2) ( 1)n nnc nb， 数列nc的前 项和为 ， 证明 :对于任意的 ,都有 清北高考数学通讯 -清北 2015 高考数学模拟卷 2014 年 10 月 30 日卷 6 / 18 20.如图， 21,FF 是离心率为22的椭圆 22: 1( 0 )xyC a bab 的左、右焦点，直线 l ：21x将线段 21FF 分成两段，其长度之比为 3:1 设 A, B 是 C 上的两个动点，线段 AB的中垂线与 C 交于 P,Q 两点，线段 AB 的中点 M 在直线上 （ 1） 求椭圆 C 的方程；（ 2） 求 22FP FQ 的取值范围 21. 已知函数 （ 1） 当 时 , 求函数 的单调增区间； （ 2） 求函数 在区间 上的最小值； （ 3） 在 ( )的条件下，设 , 证明： .参考数据： 答案与解析 1.【答案】 C 【解析】 ab 考虑符号共有三种情况： 1. 0ab ， 此时， 0, 0a a b b，显然满足 aa bb ； 2. 0ab ，此时 ， a a b b ，即 a a b b ； 3. 0 ab ，此时， ab ，故 0 a a b a b b 。故 ab 为 0 a a b a b b 的充分条件。又易证得 ab 为0 a a b a b b 的必要条件。故 ab 为 0 a a b a b b 的充分必要条件。 xaxaxxg ln)12()( 2 1a )(xg)(xg e,1xxxxgxf ln24)()( 2 )2()1( 23)(1 22 nnn nnkfknk 6931.02ln 清北高考数学通讯 -清北 2015 高考数学模拟卷 2014 年 10 月 30 日卷 7 / 18 2.【答案】 B 【解析】 对 94 1f x x x 求导得 291( 1)fx x ，令 0fx ，求得 2, 4x，舍去 -4。故 2a ，代入原式得 (2)f 1。故 1 11( ) 22x xgx ，即将 2xy 的图像向左平移一个单位，并将右半部沿 1x 折叠到左边，即得 B 图 3.【答案】 D 【解析】因为 nb 的前十项和10101 2 1 102312bS 。由于 na 是首项为 2，公差为 1 的等差数列，即 1nan，故 na 的前十项和为1010 1 0 2 0 3 3bSS 4. 【答案】 C 【解析】 22x y x yuxy y x ，令 t x ， t 即为点 (, )xy 到原点的斜率。由线性规划可知，1 ,23t 。故 1 102, 3ut t 5. 【答案】 C 【解析】 易知 该几何体为圆锥，其底面积为 9 ，其侧面展开为一圆弧，侧面积为1 6 5 152 ，总表面积为 24 6. 【答案】 C 【解析】 圆 C 的圆心为（ -1, 2）， 半径为 2 。 圆关于直线对称，故直线过圆心，即2 2 6 0ab 。 直 线 到 圆 心 的 距 离 为 32， 故 直 线 到 圆 的 最 短 切 线 为22(3 2 ) ( 2 ) 4 7. 【答案】 A 【解析】 考虑总共 12 盏路灯，其中有 3 盏熄灭， 7 盏点亮。因为两端的路灯不能熄灭，考虑在 9 盏点亮的路灯中插 入 3 盏熄灭的路灯 ，两侧的间隔不能插入，则共有 8 个间隔，对应38C 种插入方法。每种方法对应一种熄灯方法，共有 38C 种熄灯方法 清北高考数学通讯 -清北 2015 高考数学模拟卷 2014 年 10 月 30 日卷 8 / 18 8. 【答案】 A 【解析】二项式的通项 5510 21 1 0 1 022( ) ( ) 2 rr r r r rrT C x C xx ，显然当 2 时是常数项，这个常数是 22102 180C 9. 【答案】 B 【 解 析 】 21 (1 )1 iz i ii ， 故 9(1 )z 的 通 项 为 919()rrrT C i ，第 7 项为 6697 8 4T C i 10.【答案】 A 【解析】 在平面直角坐标系中作出集合 A， B 所表示的平面区域，由图像可知， 集合 AB所表示的平面图形是途中的阴影部分 由图形的对称性可知，集合 AB 所表示的平面图形可以看作半径为 2 的半圆的 14 ，其面积为 211 24 2 2 11. 【答案】 (4, ) 【解析】 当 1x 时， 2log 0x ，此时 2( ) logf x x 2 2 2 2( ( ) ) ( l o g ) l o g ( l o g ) 1 l o g 2 4f f x f x x x x ， 当 01x时， 2log 0x ，此时 2( ) logf x x 2l o g2( ( ) ) ( l o g ) 2 1xf f x f x x ，矛盾，舍去！ 当 0x 时，此时 ( ) 2xfx 2( ( ) ) ( 2 ) l o g 2 1xxf f x f x ，矛盾，舍去！ 综上所述，实数 x 的取值范围是 (4, ) . 清北高考数学通讯 -清北 2015 高考数学模拟卷 2014 年 10 月 30 日卷 9 / 18 12. 【答案】 【解析】本题目 考查 函数的 相关 知识， 具备综合性和创新性，做过之后也很有回味的价值。其中的各个命题的证明对学生思维的缜密程度要求很高，具有高等数学分析的思想，同时不超过高中知识范围，是非常好的精品题目。 逐条分析各命题： ： g x f x f x g x ，故 正确； ： 由于 ( ) (2 ) 0f x f x ，可知 fx关于（ 1, 0）对称 ： 表述不当。只有对任意 12xx ，都有 12( ) ( )f x f x 时， ()fx才是减函数 ： 1102 1 2 3y xx 时， y 取得极值。即 1x 时， 22y 。又由 1x ，1x 时 y 取得最小值 2m 。故 2Mm ：由定义知 f x f x ， 22f x f x 。故 4f x f x f x ，故 fx是周期为 4 的周期函数 13. 【答案】 65 【解析】 2 2 225( 2 2 ) ( 2 ) ( )5O A tO B t t ， 解得 65t 14.【答案】 59 【解析】 易知圆内的整点为 (2, -1), (2, 0), (2, 1), (3, -1), (3, 0), (3, 1), (4, -1), (4, 0), (4, 1)共 9 个 。而离直线 2 12 0xy 的距离为 5 的直线为 2 7 0xy （另一条舍去）。 一一代入验证得 (3, 1), (4, -1), (4, 0), (4, 1)在直线 2 7 0xy 右侧，即到 2 12 0xy 的距离小于 5 。故到 2 12 0xy 的距离大于 5 概率为 59 清北高考数学通讯 -清北 2015 高考数学模拟卷 2014 年 10 月 30 日卷 10 / 18 15.【答案】 75 【解析】 如图所示， 当 12FPF 取最大值时 ， P 刚好位于椭圆在 y 轴上的顶点。已知12 1cos 49F PF ，且121s in ( )2 aF PF ec ，故由二倍角公式 22co s 2 1 2 sin 得21 1249 e ，解得 57e （舍去负数） 16. 【答案】（ 1） 232243 （ 2） 19 【解析】 （ 1） 油罐被引爆的对立事件为油罐没有被引爆，没有被引爆的可能情况是：射击 5 次只击中 1 次或 1 次也没有击中，故其概率为： 45105 5 5 52 1 1 1 1( 1 ) (0 ) 3 3 3 2 4 3P P C C 所以油罐被引爆的概率为 55 2321 (1 ) ( 0) 243C P P （ 2） 射击数不小于 4 的事件包括射击 4 次引爆油罐（第 4 次必须击中）和射击 5 次（前4 次必须击中 1 次，无需考虑第 5 次是否击中） 21332 2 1 4( ) (1 ) 3 3 3 2 7P A P C 记射击 5 次为事件 B，意味着 4 次射击只击中一次或一次也未击中，相当于 4 次独立重复试验中有 1 次或 0 次发生，故 34104 4 4 42 1 1 1( ) ( 1 ) ( 0 ) 3 3 3 9P A P P C C 清北高考数学通讯 -清北 2015 高考数学模拟卷 2014 年 10 月 30 日卷 11 / 18 17. 【答案】 （ 1） 函数 )(xfy 是定义域为 R 的奇函数， 02log)0( mfa 2m 当 )0,(x 时， ),0( x ， 2 1lo g)()( xa axfxf )0,(,2 1lo g),0,2 1lo g)(xaxaxf xaxa （ 2） 当 12, 0,xx ，且 12xx ， 当 1a 时， xya 为增函数， 121122xxaa 又 logayx 也为增函数， 1211lo g lo g22xxaa，即 12( ) ( )f x f x 当 01a时， xya 为减函数， 121122xxaa 又 logayx 也为减函数， 1211lo g lo g22xxaa，即 12( ) ( )f x f x 综上，都有 )()( 21 xfxf ，函数 ),0 上是增函数。 【解析】 因为 logayx 和 xya 的底数不确定，故需要分类讨论。 18. 【 答案 】 （ 1） 取 CE 中点 P，连结 FP 、 BP ， F 为 CD 的中点， /FP DE ，且 1 .2FP DE 又 /AB DE ，且 1 .2AB DE /AB FP ，且 AB FP ， ABFP 为平行四边形， /AF BP 。 又 AF 平面 BCE ， BP 平面 BCE ， /AF 平面 BCE 。 （ 2） ACD 为正三角形， AF CD。 AB平面 ACD， DE/AB， DE平面 ACD，又 AF 平面 ACD， DE AF。又 AF CD， CD DE=D， AF平面 CDE。又 BP/AF， BP平面 CDE。 在区间)(xf清北高考数学通讯 -清北 2015 高考数学模拟卷 2014 年 10 月 30 日卷 12 / 18 又 BP 平面 BCE，平面 BCE平面 CDE。 （ 3）由（ 2），以 F 为坐标原点， FA， FD， FP 所在的直线分别为 x， y， z 轴（如图），建立空间直角坐标系 -xyzF .设 AC=2，则 (0 1 0 ) , ( 3 , 0 ,1 ) , (0 ,1 , 2 ) .C B E， ， ).1,1,0(,1.022,03,0,0,),(nzzyzyxCEnCBnB C Ezyxn则令即则的法向量为平面设 显然， )1,0,0(m 为平面 ACD 的法向量。 设平面 BCE 与平面 ACD 所成锐二面角为 .2221| |co s, nm nm 则 45 ， 即平面 BCE 与平面 ACD 所成锐二面角为 45。 【解析】 （ 1）（ 2） 小问均为典型的立体几何习题，有一定难度。 （ 3） 小问在求锐二面角时避开了繁琐的立体几何解法，通过建立坐标系以解析几何予以解决，有一定新意。 19.【答案】 （ 1） 由116 1 2Sa，得6 1 2aa，解得1 18a 22，得 1 2 21 2a a a ，解得2 132 （ 2） 由6 2nn ， 当2n时，有1 2 ， 得：1 4naa， 数列n是首项1 18，公比4q的等比数列 1 2 111 1 1 18 4 2nnnna a q ， 211122 1l og l og 2 12nnnb a n （ 3） 证明 :由（ 2）有2 2 2 21 1 1 1( 2) ( 2 ) 16 ( 2)n nc n n n n . 清北高考数学通讯 -清北 2015 高考数学模拟卷 2014 年 10 月 30 日卷 13 / 18 . 【解析】 本题的关键是分别对 1,nnSS 列出6 1 2nnSa并利用 1n n na S S 的关系式求出na 通项 。（ 3）小问的证明利用了裂项的方法，十分常用，希望能够掌握。 20.【答案】 （ 1）设 2( ,0)Fc ，则1121 32cc，所以 c=1 因为离心率 22e ，所以 2a ，所以 b=1 所以椭圆 C 的方程为 2 2 12x y. （ 2）当直线 AB 垂直于 x 轴时，直线 AB 方程为 12x ，此时 ( 2 , 0 ) ( 2 , 0 ),PQ 、22 1F P F Q 当直线 AB 不垂直于 x 轴时，设直线 AB 的斜率为 k， 1( , )( 0) ,2M m m1 1 2 2( , ), ( , )A x y B x y 由221122221212x yx y 得 121 2 1 2 12( ) 2 ( ) 0yyx x y y xx ， 则 11 4 0 , 4m k k m 清北高考数学通讯 -清北 2015 高考数学模拟卷 2014 年 10 月 30 日卷 14 / 18 此时，直线 PQ 斜率为 1 4,km PQ 的直线方程为 14 ( ),2y m m x 即 4y mx m 联立 22412y mx mx y 消去 y，整理得 2 2 2 2( 3 2 1 ) 1 6 2 2 0m x m x m 所以 212 216 ,3 2 1mxx m 212 22232 1mxx m 于是 2 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2( 1 ) ( 1 ) ( ) 1 ( 4 ) ( 4 )F P F Q x x y y x x x x m x m m x m 2 2 21 2 1 2( 1 1 6 ) ( 4 1 ) ( ) 1m x x m x x m 2 2 2 2 222 2 2( 1 1 6 ) ( 2 2 ) ( 4 1 ) ( 1 6 ) 1 9 113 2 1 3 2 1 3 2 1m m m m mmm m m . 令 21 3 2 ,1 2 9 ,t m t 则22 19 5132 32F P F Q t 又 1 29,t 所以22 1251 232F P F Q 综上， 22FPFQ 的取值范围为 125 1, )232 【解析】 此题可利用点斜法求解，即设 线段 AB 的斜率 k 和其中点 M 的纵坐标 m，代入椭圆方程可得到两者的关系。再将 22FPFQ 用 k与 m表示，通过 m的取值范围最后得到 22FPFQ的取值范围。需要注意的是直线有两种，一种有斜率一种没有斜率，都需要考虑。 21.【答案】 (1)当 时， ， 或 。函数 的单调增区间为 (2) ， 1a xxxxg ln3)( 2 0132)( 2 x xxxg1x 21x )(xf ),1(),21,0( xaxaxxg ln)12()( 2 0)(12()12(2)12(2)( 2 x axxx axaxxaaxxg清北高考数学通讯 -清北 2015 高考数学模拟卷 2014 年 10 月 30 日卷 15 / 18 当 ， 单调增。 当 ， 单调 减 . 单调 增。 当 ， 单 调 减 ， (3)令 21( ) ln ( 1),4h x x x 22 2 , ) , ( ) 02 xx h x x 3( ) ( 2) ln 2 04h x h 即 21 1 4 1 1l n ( 1 ) , 2 ( )4 l n ( 1 ) ( 1 ) 1 1xx x x x x x 221 1 1 1 1( ) l n , ( ) l n l n 2 l n 3 l nnnkkk f k k k f k k n 1 1 1 1 1 1 1 1 1 12( 1 ) 2( 1 )3 2 4 2 1 1 2 1n n n n n n 232( 2)( 1)nn nnn 【解析】 本题 （ 1）（ 2） 小问主要考察了学生对求导的掌握，其中 （ 2） 小问需要分情况讨论，解答时注意不重不漏。 （ 3） 小问需要构造函数考察，并涉及到不等式变换，有一定难度，需要灵活掌握。 1a )(,0)(,1 xgxgex axg 2)( min ea1 )(,0)(),1( xgxgax )(,0)(),( xgxgeax aaaaagxg ln)()( 2m i n ea )(,0)(,1 xgxgex aeaeegxg )12()()( 2m i neaaeaeeaaaaaaaxg,)12(1,ln1,2)(22m i n清北高考数学通讯 -清北 2015 高考数学模拟卷 2014 年 10 月 30 日卷 16 / 18 致各位老师 清北学堂高考命题研究中心（ 10 月 30 日卷） 亲爱的老师： 您好！感谢您使用本试卷，感谢您对我们的大力支持 ，感谢各位老师对第一期试卷的反馈 ！ 本次试卷为清北学堂高考模拟试题的第 二期 ，试卷每两周一期 ，在试卷中，我们将提供更多的原创题、易错题、压轴题，也会附带教育部各项最新政策的解读。本期和下一期的试题会邮件发布给各位老师，如长期需要该类试题，请以电话形式或邮件形式回复。 我们面向教师的清北学堂试卷及答疑服务将免费为您服务。 欢迎您将教学过程中遇到的疑难问题与我们交流。您可以填写下方的答疑卡，或者拍下照片，以电子邮件的形式发给我们，我们承诺将在最迟一周时间内帮您解决问题，给您答复。同时，您有教学方面的问题也欢迎致电清北学堂转高考命题研究中心，这里的专业人员和丰富资源会给您带来最大的帮助。 给您学生带来的进步是我们继续下去的希望，给您工作带来的方便是我们最大的欣慰。 您的信息 姓名： 电话： 联系方式 联系电话：15313368251 邮箱： 试卷信息 不足之处： 您的建议： 清北学堂高考命题研究中心介绍 陈建波 ：清北学堂高考命题研究中心物理主编。清华大学首届基础科学班成员，师从清华大学徐湛教授，清北学堂教研部特聘物理首席研究员。长期从事自主招生及 竞赛研究，领导研发主编自主招生及竞赛类各类书籍资料十余册，注重与学员的沟通交流，课程广受学员欢迎和好评。 肖鑫： 清北学堂高考命题研究中心数学主编。 毕业于中国科学技术大学 ，清北学堂教研部特聘数学首席研究员。 高一获得 全国数学竞赛 一等奖， 15 岁考入中国科大少年班，高考数学满分。对 数学竞赛 、自主招生的解题方法有独到的研究 ， 长期从事高考数学、国内外数学竞赛的题源分析，发表学术论文 多 篇。 李宇男： 清北学堂高考命题研究中心数学研究员。毕业于清华大学工程物理系，全国高中数学竞赛一等奖。2013,2014年连续两年参加北京 高考数学阅卷，被评为北京高考数学阅卷优秀个人。长期受邀到有关中学给学生指导数学解题和数学命题。 罗未萌： 清华学堂高考命题研究中心数学研究员。就读于北京大学物理学院。获得北京大学校长奖学金及多项荣誉，现致力于高考数学命题策略的研究。 清北学堂高考课程师资专家团队（部分） 丁益祥： 北京市特级教师，北京市高中数学兼职教研员，全国数理化名师俱乐部副理事长，首都师大数学学院硕士生导师，中国管理科学研究院特约研究员。主编或参编中学数学大全（外文出版社）、中学数学名师教学艺术（华东师范大学出版社）、高中数学补充 教材（首都师大出版社）等书籍 50余部。在自主招生、高考培训方面，是国内赋有盛名的顶级教师之一。 清北高考数学通讯 -清北 2015 高考数学模拟卷 2014 年 10 月 30 日卷 17 / 18 陈兆华： 毕业于江苏省苏州大学数学系。多年从事高中数学教学及研究工作，先后在江苏省盐城市第一中学、江苏省苏州中学任教高中数学，现担任江苏省苏州市教育科学研究院中学教学研究所副所长、命题研究中心主任兼高中数学教研员，是中国数学奥林匹克高级教练员，江苏省苏州市名教师，苏州市学科带头人，苏州市教育科研先进个人，曾获江苏省教研先进个人、江苏省课程教材实验先进个人等荣誉称号。近几年发表核心及省级论文二十多篇，曾对数学教学有