高数习题册答案1-1.docx

习题1.1A（P15）提示（仅供参考）1用定义（语言）证明：（1）证明：，故对，欲使，只需，即。故对，取（注意：不能写成，以下几个类似），当时有故（2）证明：，故对，欲使，只需，即。故对，取，当时有故（3）证明：，故对，欲使，只需，即。故对，取当时有故（4）证明：，故对，欲使，只需，即。故对，取当时有故（5）证明：，故对，欲使，只需，即。故对，取当时有故（注意：若用夹逼法：）（6）证明：，注意到，故，欲使，只需，即。故对，取当时有故（注意：若用夹逼法：）2证明：的充分必要条件是对，只有的有限多项不在中。证明：（必要性）若，则， 时有，故至多有项在不再中。（充分性）对，只有的有限多项不在中，不妨设不在中项为，取（即取不在中项脚标的最大者，故当时有，即。4.证明若，则。反之不一定，举例说明。但若，则有证明：由 ，有对，时有，故对，取 时有，故。反之不一定，例数列。由，有对，时有。故对，取 时有，故5：证明 设，证明5：证明 设，证明证明 若，由 ，有对，时有故对，取 ，当时有故若，则由极限的保号性得。由 ，有对，时有故对，取 ，当时有故6证明：若，有界，则证明：有界，故可设由，有对，时有故对，取 当时有，故。7若是否一定有或。解：否。例，8（1）设，均收敛，问是否必然收敛。解：否，例。（2）设，满足，则。证明：由，则有对，时有，则有对，时有故对，取（注意不能取，当时有，故。（3）设，收敛，这时能否保证一定收敛？解：能。不妨设，由有，故即，故由8（2）一定收敛.9证明：若单调数列有收敛子列，则证明：不妨设是单调增的。设子列（也是单调增的）收敛于，从而对，时有对，取，当时有，故10.求极限（1）解(2) 解(3) 解：（公式(4) 解： ， 故（5）解 由 ，有 （6）解 由，有（7）解 11求下列极限（夹逼法）(1) 解 ，又，故（2）见学习辅导“例12（2）”（3）解 ，又（4）解，又，故12 设令都是非负实数，证解：不妨设，则。，故13 求（必须先证明存在性再设），其中（1）见学习辅导“例22”(2) ,解：有界性：，设，则单调性：显然，设，则求极限：设，由取极限得，解出（3）见学习辅导“例25”（4），解 有界性：单调性： ，若，则，否则求极限：设，由得，故。15 试判断数列的敛散性：（1），其中；解 欲使，只需故对，取，当时，对都有即是基本列，故收敛。（2）证明: 故是单调增的。又故也是有界的，故存在，设为。，故由习题1.1（A）8(2)知道收敛。（3）证明:，对，取，则有故不是基本列，则发散。（4）解 取，对，存在，且满足故从而这说明不是基本列，故发散。16 设，且，则证明：对，由知使得当时，故对，取，当时，故17求极限（1）（2）(3) (4) 习题1.1（B）1 O.Stolz公式（1）设，且严格减。若，则证明：（A）若，对，则存在使得当时，即从而当时把上式不等式相加的 其对成立又，故当时由得当时有故对，取，当时有即从而。（B）若，则。由，故对，存在，当时有，即，从而存在，当时有，即严格递减的，故由可得，即（C）若，令,利用（B）可证明。（2）严格增，且，若，则证明：（A）若，则，令，即，故对，则存在使得当时由得得（使用迭代）即两边除以，再同时减去得故当时又，则存在使得当时对，取使得当时故（B）若，则。由，故对，存在，当时有，即故严格增的，再由得，从而时，从而由（A）得，故（C）若，令,利用（B）可证明。2设证明（1）证明 利用O.Stolz公式（2）只需令，则故。或利用定义直接证明。（2）讨论时(1)中的结论。证明：利用O.Stolz公式可得，或均成立。但，不成立，例，故时O.Stolz公式也不成立。（3），其中证明：，由保号性可得故（当，时）故，故（4），其中证明：见附录参考答案及提示。3 设，证明证明：设，故利用习题1.1（B）2(4)可得又，故，注意到，可得4.设收敛，证明证明：（微积分学习辅导P6例11（4）设，则有5.若，证明证明 令， 则，利用故利用习题1.1（B）2(1)可得又，故，从而同理利用习题1.1（B）2(1)可得又，故。易知，故。6.若证明证明 见（微积分学习辅导P6例11（2）即令，对前项应用题1.1（B）2(1).7.证明证明：见（微积分学习辅导P17例19（2）令，再利用习题1.1（B）2(4)可证明。8.求下列极限：（1）解：注意到，故，即又，故（2）解 显然，又在是单增的，故，故进一步有显然数列是单减有界的。故存在设为，易知，注意到，故有，从而得同理可得，故。（3）解 ，故又，故9.设，求证证明 显然且是单调增的，若有界，则存在，故可设，且，但由可得，这不可能，故无界，从而。 由可得，故令，则有对运用习题1.1（B）2(1)可得故，故。10.求，其中（1）；解 参照微积分学习辅导“P23例28”(2),且参见微积分学习辅导P22例2611 若数列满足：存在常数，使得对一切，有证明（1） 数列收敛。（2） 数列收敛证明（1）因为数列是单调增加的，且有上界，故数列收敛。（2）设，则 因为收敛，所以是Cauchy数列，即对，存在当时。故数列有对，取，当时，即也是Cauchy数列，所以收敛。12.证明下列不等式（1）（1）由是单调增加且，所以；由于