（应用数学专业论文）具简化holling+Ⅳ型功能反应函数的时滞培养器模型的大范围周期解.pdf

摘要 本文在时滞单种群微生物连续培养器模型； ， j ( ) = 1 5 ( ) 一p ( s ( t ) ) z ( ) i 士( t ) = 一z ( t ) + p ( 5 ( f f ) ) z ( t ) 中，取更符合实际意义的简化h o l l i n g i v 型功能反应函数，即：p ( 5 ) = r n s ( n + 5 2 ) ，研 究其大范围周期解的存在性，并且对h o p f 分支进行了详细的分析 本文共分为三节 第一节介绍培养器模型的提出和发展、本文要考虑的系统以及主要工作，分析了引 入时滞的必要性，对为何采用简化的h 0 1 l i n 醇v 型功能反应函数也做了具体说明 第二节利用h o p f 分支的相关知识、通过详细计算，对系统的分支方向和稳定性问 题进行分析 第三节构造特定的函数、分析函数图像，并利用喷射点不动点理论分析该模型只有 一个内部平衡点时的大范围周期解问题 关键词： 培养器h o l l i n gi v 型功能反应函数时滞周期解全连续喷射点 独创性声明 本人声明所呈交的学位论文是本人在导师指导下进行的研究工作及取得的研究成 果据我所知，除了文中特别加以标注和致谢的地方外，论文中不包含其他人已经发表 或撰写过的研究成果，也不包含为获得东北师范大学或其他教育机构的学位或证书而 使用过的材料。与我一同工作的同志对本研究所做的任何贡献均已在论文中作了明确 的说明并表示谢意。 学位论文作者签名：壁茎丝熟日期 2 矿。小z 。 学位论文版权使用授权书 本学位论文作者完全了解东北师范大学有关保留、使用学位论文的规定，即：东北 师范大学有权保留并向国家有关部门或机构送交学位论文的复印件和磁盘，允许论文 被查阅和借阅。本人授权东j e 师范大学可以将学位论文的全部或部分内容编入有关数 据库进行检索，可以采用影印、缩印或其它复制手段保存、汇编学位论文。 ( 保密的学位论文在解密后适用本授权书) 学位论文作者签名；堑堑丞指导教师签名：乞整鬟垄睾 日 期：1 ) 班6 ：! 如日期；上艘舀! 乒! 加 学位论文作者毕业后去向 工作单位 通讯地址 电话 邮编 1引言 培养器模型足一个简化了的湖泊模型，具有深远的生态意义。关于培养器模型各种 类型的方程如常微分方程，偏微分方程和时滞微分方程等已经有了很多结果。标准的 微生物连续培养数学模型是在1 9 4 0 1 9 5 0 期间发展起来的，近2 0 年来关于该模型的研 究取得了丰富的研究成果。如z h a o 【5 】，李宪高【1 3 等数学工作者所做的重要研究 和s h 培u ir l f m ( 。i 及付桂芳 16 关于该模型的综述 其中具时滞的单种群生物培养模型可以用下面的方程来描述 r1 jj ( ) = ( 岛一s ( ) ) d 一扣( s ( t ) ) z ( t ) f 11 、 i 虫( t ) = 一d ( ) + p ( 5 ( 一r ) ) z ，t ) 这里s ( t ) 、z ( t ) 分别是培养器内t 时刻营养基和微生物的浓度l岛为输入到培养 器内的营养基的浓度；d 为输入输出的流量；微生物的生长对营养基的消耗率设为常 数l d ；r 为时滞，表示营养基使微生物浓度发生变化所需要的时间；p 称为功能 反应函数，反映微生物增长率和营养基浓度的关系。 h o l j l n g 【1 在1 9 6 5 年首次提出了h o l l i “gi i 型功能反应函数 p ( s ) = 罴 和h o l l j n gi 儿型功能反应函数 p ( s ) = 羔 ( 1 3 ) 民i ，= f d ，且仍用s ，z ，t ， t ，n ，r 来记j ，i ，丽，a ，f ，则有 东墨察 a ， 考虑系统( 16 ) ，存在唯一的内部平衡点驴= ( 一z + ) = ；圭1 ，! ! 翥三 ) ，其中 文献【5 1 以r 为参数讨论了系统( 1 6 ) 的h 0 p f 分支存在性及大范嗣周期解的存在 ( 2 ) 如果r ( 卢) ，则e 是不稳定的，且当 r 孔妒) = 志【c o s 。警仙小姐1 1 2 ， 时系统( 1 6 ) 产生h o p f 分支，且至少存在一个周期丁 2 r 的非常值周期解这里p ( s ) = 罴肛酬儿坠磐型 呲( 萨【坐型坐 2 考虑到高浓基对微生物增长的抑制作用， a n d r e w s 【2 在1 9 6 8 年提出了非单调的 h 0 1 l i n gi v 型功能反应函数 p ( s ) = 鼎 ( 1 5 ) 口十0 s 十5 s o k o l 和h o w e u 又在文献f 4 】中提出了简化的h o l i j n gi v 型功能反应函数 p ( 5 ) 2 再了 ( 1 6 ) 这里函数( 1 5 ) 有类似函数( 1 4 ) 的性质，且能更好的符合实验数据( 见文献【2 】，文献 【3 1 ) 又只含有两个参数m 和o ，因此比( 1 4 ) 的应用更为广泛本文考虑具有简化h o l l i n g 1 v 型即( 15 ) 的系统( 1 1 ) ，令s = 5 。i ，z2s 。莉t f2 寺，。25 。百，m = 而d ，r2 寺，且仍 盼裂熏 ) z ( ) ( 1 7 ) 其中r o ，s ( f ) = 庐( f ) o 当f 一o 】，连续，且z ( o ) = z o o 与系统( 1 6 ) 不同的是，系统( 1 7 ) 可以出现两个内部平衡点文献1 17 】对( 17 ) 进 行了静态分支分析，给出了按内部平衡点个数划分的参数区域，并给出了示意图，判定 了内部平衡点的稳定性，具作者所知这是此方程仅有的结果。 本文第二节利用h o p f 分支的相关知识、通过计算，对系统的分支方向和稳定性问 题进行详细的分析，给出了判别分支方向和稳定性的公式在第三节中给出了方程的大 范围周期解存在的充分条件，通过构造特定的函数、分析函数图像，并利用喷射点不动 点理论证明了在此条件下大范围周期解存在。 2h o p f 分支分析 考虑方程 f ：曷三二：；：譬竺豸黯 对系统( 2 1 ) 做如下变换； 甘= ! ，i ( p ) ：s ( 7 一秽) ，正( p ) = 。( 丁矽) 7 _ ( 2 1 ) 且用s ，x 代替j ，那么( 2 1 ) 化为： j 喜( ) = 丁【1 5 ( ) p ( s ( t ) ) z ( t ) l 廓( t ) = r 。( ) f _ 1 + p ( s ( f 一1 ) ) 】 显然p ( s ) = m s ( 。十s 2 ) 满足； ( 1 ) p ( o ) = o ，p ( 5 ) o ，对任意s o 纵s ，：妻焉何 州s ， 三：三3 。 ( 4 ) p ( s ) = p ( 石) = m 2 v 伍 易知无论参数，h ，n 取何值， 肠= ( s o ，z o ) = ( 1 ，o ) 均是系统( 2 1 ) 的边界平衡点。 另外由于系统的实际意义，若( 5 + ，) 为系统( 2 1 ) 的内部平衡点，须有p ( s + ) = 1 ，。+ = 1 矿 o 不难证明下列结论成立： 性质2 1 ：存在与初始值无关的常数m o ，使得 m 口。 l i ms u p s ( t ) ，l i ms u p z ( t ) ) m t 十。+ + o 。 性质2 2 ；存在与初始值无关的常数d o ，使得 掣g s ( ) j - 定理2 3 ：设t n 2 面，o o l 或o m o + 1 ，n l ，则 。里s ( t ) = 1 。里( t ) = o 性质24 ：设m = 2 v 伍，o 1 或 z = n + 1 ，0 o n + 1 ，则系统( 2 1 ) 有一 个内部平衡点： e l ：( s + ，。+ ) ：( 竺 l 一竺孚丝) 性质2 5 ：若2 v 伍 m o + 1 且o o 1 ，则系统( 21 ) 有两个内部平衡点 e 。= ( s + ，z + ) = ( 竺_ = 孚，一翌_ = 雩) 玛叩，) = ( 竿，一竿) 3 如下考虑内部平衡点存在时，其附近的h o p f 分支方向及稳定性，以厅l 为例，岛存 在时同理可证 平移e 1 = ( s + ，z + ) 到原点，则方程化为： 三善：鬻篇裂捌；1 皿：， i ( # ) = r ( z + + z ( t ) ) 【一1 + p ( 矿+ ( s ( 一1 ) ) 】 、。 系统( 22 ) 在平衡点( o ，o ) 的一次近似系统为； ： 二：恶十掣卜缁o ) ( 2 3 ) ij ( ) = t 芦5 ( t 一1 ) ”7 ( 2 3 ) 的特征方程为 a 2 + r ( 1 + p ) a + r 2 卢e x p ( 一a ) = of 2 ，4 ) 其中p = 芦( 5 + ) z + o 由文献| 5 j 知： 7 - = 时，( 2 4 ) 有一对简单纯虚根，且其他根都有严格负实部， i 哥此我们用文献 6 】的方法研究( 2 2 ) 在r = 丁b 处的分支性质将( 22 ) 级数展开， 记r = + 弘； j s ( t ) = 一( + p ) 【( 1 + p ) 占( 亡) + z ( ) + 导。( ) s ( 芒) + o 协o ) s 2 0 ) ) ，。鼬 i 宕( ) =( + p ) 咿s ( z 一1 ) + 善z ( ) s ( 1 ) + o ( 。( ) 5 2 ( f 1 ) ) j 卜叫 线性部分为： 三恕艺然二秽卜却弦。 ( 2 s ) l 士0 ) = ( 而+ p ) 卢s ( 一1 ) 、7 非线性部分为： 触融，= ( 。：喜缆襻瓣，) 协- ， 定义 k 垂= ( 一+ 卢+ ui 丁0 + p ) ( ；：；昌) + ( + ，卢：) ( ： ： ；) 卵p ，p ) = ( 一+ p + ” 4 己堋小川， f 掣一l 日 o 舭) 2 z 硫川茹广乙二j f( o ，o ) r 一1 目 o 耻 ( 。i 嚣端浆搿昌黜，) 仉= ( 卢) “+ r 仉 其中仉= ( s ( ) ，z ( t ) ) r 对砂g 【o ，l l 定义： ，f 骂盟o s 1 ( 坝5 ) 2 。高t ( 。川崭乏二o ( 饥母) = 每7 ( o ) 妒( o ) 一z 。矿( 一吲咖( 剀武 求得 g ( 口) = ( 一， u o + 丁b + 1 ) ) 7 e m 是算子a 关于 u o 的特征向量， 矿( s ) = ( 一2 岫，一伯) t e “0 8 是算子a 关于一i 岫的特征向量， 其中a = ( 一督+ 1 ) + 2 “桴+ 秸p e ”) 一 令z ( t ) = ( q ，u ) ，“f = ( u l l ，“2 t ) 是方程( 2 8 ) 当p = o 时的解，记丁d 为r ， w ( ，口) = ( w 1 ( ，口) ，w 2 ( ，目) ) 了1 = “t ( 口) 一2 r e 。( ) q ( 8 ) = “t g ( t ) 口( 口) 一牙( ) 互( 口) j ( ) = ( q + ，讥) = i “o 。( ) 十矿7 j ( o ) ，( o ，叫( z ，孑) + 2 r e ( 。( t ) q ( p ) ) ) = i u o z ( t ) + 矿t ( o ) ，0 ( 名，牙) = u o z 0 ) + 9 忙，习 其中 g ( z ，j ) = 9 2 0 警+ 9 n z i + 9 0 2 警+ w ( z ，三，8 ) = w j o ( 伊) 等+ m l 妒) 孑三+ w 乞2 等+ 这里，o = ( 摇，摇) 砖= 一字( 肘+ 脬+ ( _ + ) 稠+ 等( 畹( 啪 + w 盔( o ) + 2 w 7 1 1 1 ( o ) + 2 l 矗( o ) ) z 2 。+ 舒= 三( e 。啪z 2 + e 。牙2 + 【e 叫帅+ e w 。】。孑) 一芸( w 嘉( o ) ：舟e t m + 叫、( o ) 一m + w 矗( 一1 ) + 知豫( 一1 ) ) 。2 j + 一j ( w 嘉( o ) ；舟e 。“+ 叫、( o ) 一“+ w 矗( 一1 ) + 争憾( 一1 ) ) 产j + ( 2 8 ) 其中 ，1 1 ( 们 岛= 一学一蛐州川” 4 叫；+ 2 t u o t ( 口+ 1 ) z + 丁2 卢e 一2 川。 芸醐卜慕吲 ( 磊 1 1 f 0 、 易= 等( 胪。讯- ”m ) 一字( 州 将( o ) 、哚( o ) 、雌( o ) 、峨( 一1 ) 、呜( 一1 ) 代入仍。中，求得； 蚴= 崭m ( 口+ 1 ) + 蛳一圳胝2 + r 脚。 十( 7 - + ；( 她帕一r + 1 ) ) ) n 5 + _ v 霄( t ”。r ( 卢+ 1 ) ) 勖 + ( ；r 霄+ ( r ( 口+ 1 ) 一礼) ) 2 6 - + ( 丁( 卢+ 1 ) + t o ) ( 霄一) o 吣 + 芸 6 e 1 + 2 。r + ( p 。 + ，e 一2 * “。) 琶+ 2 ( 口 + ，) 尼) 又知道： 2 丁3 霄 2 丁3 对下3 灯 9 2 0 。一_ ；_ o ，9 0 23 一i _ 6 ， 9 l l 2 一j _ 。 定理21 ：p = 0 是系统( 2 5 ) 的h o p f 分支值，分支方向由如下公式确定： 比= 一肌q ( o ) “( o ) 分支周期解的稳定性由如下公式确定； 屁= 2 r e q ( 0 ) 其中q ( o ) = 赤b 0 9 一29 ，- f 2 一 l 册。1 2 】+ j 卯- 3 只有一个内部平衡点时的周期解 对于系统( 2 2 ) ，我们将证明定理3 1 和定理3 2 成立。 定理3 1t 若1 ) ：? ”= 2 、石，n 1 ，则系统不存在周期解。 证明：由于j ( ) = r ( z + + 。( ) ) 卜1 + p ( s + + ( s 0 一1 ) ) ) 仅当s ( 一1 ) = s + 时i = o 若 s ( z 一1 ) s + 则童 n + l 或t n ：o + 1 ，0 2 r 的周期解。 性质33 ：若( h 2 ) 成立，则卢= p ( s + ) z + o 所以： ( 1 ) 若o o ，( 0 ，7 r ) 其中丁b 如上 推论34 ：当( h 2 ) 成立时，如果o 0 ，使得f ”( ) g n ， 定理3 6 ：令k 是x 空间中的无限维有界闭凸集，f ：v z ) 一是全连续的，如 果o 是f 的喷射点，那么f 在k 中存在一个异于z d 的不动点 为了构造恰当的集合k 和映射f ，定义： 舻豫篙“ p z 州， ，l = e 研) 【2 2 47 - + 。+ + p f l l 1 ，= r n n z ( s + ，z + ，z + l ) 定义函数： 9 ( s ) = ：i ；：；：；j s ( 一s + ，+ 。) ，( s ，。) = 岔( s ) 一z + 一z ，如) = 尘名笋 注1 ： g ( o ) = 矿、9 ( o ) 矿，使得： 9 7 ( s ) o ，z ，5 ( 一s ，s 1 ) ， 9 ( s ) o ，i ，s ( s 1 ，s 2 ) ； 口( s ) o ，i 5 ( s 2 ，+ o o ) ， 9 ”( s ) j ， ，。，。= ( 1 3 ) 曼o ， ( 0 ) = o ， ( 1 ) = 一1 一n h ( 8 ) 的图象为t 因此，( s ) 非增。通过上述讨论，平移( s ) 图象，可取s ，= s 2 ，则知g ( s ) 满足命题。 著o n 刍，则设h ( s 净。的两个正根分别为s j ，s ：因为n 去， 9 警 ：竺 手 兰 搁皴琐姻删荆贰叶=； 证 当 验 ， 可 此 又 因 ( 面) o ， ( 1 ) o ，所以广 以 。s j ；则瓶 o ， ( o ) = 一n ( 1 ) ：= 一1 一n 因此，当n 刍时，( s ) 的图象为： f o oss 5 j ， 故，矿( s ) os i s s ；， 【 s ； i o s ss s i 一5 4 = s l ， 得，9 7 ( s ) o5 1 = s ：s 9 5 s ；一s 。= s 2 l 一s = s 2 则可知g ( 8 ) 满足上述性质 定义： q l = “s ，z ) ：s o ，z o ) ，q 2 = 0 ，z ) ：5 o ，z o ) q 3 = ( s ，z ) ：s o ，z o ) ，印4 = ( s ，。) ：s o ，z o ) r 1 = ( s ，z ) ：s o ，( s ，z ) o ) ，r 2 = ( s ，z ) ：s o ，( s ，z ) 0 ) 妫= ( s ，z ) ：s o ，0 ，z ) o ) ，r a = ( s ，。) ：s o ，( s ，z ) o ) 则k 定义如下： “= c 州( 1 ，妒。) ：妒i e ( 一l ，o 】，r ) ，i = 1 ，2 ；妒( 一1 ) = o ，妒- ( ) 非增；。( 一1 ) o ， 2 ( 目) 非减；r ，。n z ( f ：( p ) f ：p 卜1 ，o 】，i = 1 ，2 ) ；( ( p ) ，驴2 ( ) o ) 显然k 是b a n a c h 空间c ( 1 ，o 】，r ) 上的有界闭集由于g ( s ) 在( 一s + ，o 】是凸函数 故k 是凸集。 1 0 命题37 ：存在连续函数一- ：圣一一，( 母) ，k o ) 一l o ，。) 使得s ( 一l ( 心) ) = o z ( 仃l ( 中) ) o ，且当t 0 ，盯1 ( m 】，( s ( t ，西) ，t ( t ，( i ) ) ) q 2 u q 3 证明；对v 圣r r o ) ，注意j ( t ) o ( o ) ，咎，( s ( t ) r ( t ) ) o ( o ) ，即 ( s ( t ) ，x ( t ) ) 只能在r ：，( s ，) = o 上方，则j ( t ) 0 注l ：存在t 1ef 1 ( 垂) ，o 1 茎。o ，使得，( s ( 1 ) ，z ( 1 ) ) = o ，5 ( t 1 ) o ，且( 5 ( t ) ，。( ) ) 在l 经过r 证明：如果，( l ( o ) ，也( o ) ) = 0 ，那么取t ，= o 假设，( 母( o ) ，咖2 ( o ) ) o ，若结论不成立，则( s ( t ) ，z ( t ) ) 停留在r 1 中， 由s 和x 的单滑陛得，存在( 5 - z 1 ) 尺i ，满足 墨恐( s ( ) ，z ( t ) ) = ( s l ，zz ) 此时由( 22 ) ，得t o = 7 _ 陋一s 1 一p ( ，+ s 1 ) 0 + + z 1 ) 】 o = 7 - ( z + + z 1 ) f - 1 + p ( s + + s 1 ) 】 由于( 5 1 ，z 1 ) r l ，。l 0 所以5 1 = o ，z 1 = 0 由于5 ( - ) 在r l 内非增且l ( 一1 ) = o ， 得s ( t ) ；o 特别的- ( 0 ) = o 那么，( 1 ( o ) ，咖2 ( o ) ) o 矛盾 注2 ：存在2 ：1 0 且( t ) l + ； o ，因为t 丁0 ( 卢) ，故r 卢一1 一 o ， 所以 r z + 一( s + ) + 9 ( o ) = r z + 妒( s + ) 一l 一$ + p ( s + ) o 由口( ) 和扣( ) 的连续性，存在j o ，使得： 雪( ，) + 丁( z + 一e 1 ) 一心) o ，当i s + l 巧， 吖i 巧 易知对于上述的d o ，存在正 o ，使得： s ( t ) l d ，l 茹( ) l 油( ) + r ( z + 一e 2 ) j ( ) l s ( 码十1 ) o 矛盾 利用命题37 同样的方法可证得一z 存在 命题3 1 0 ：存在o ，使得 a 。一c a ，+ ；+ 熹 下 丁z 【口1 十0 证明：如果口2 = 4 ，结论显然成立。如果口2 4 ，已知： 。( 4 ) = o ，s ( 4 ) 0 ，z ( o j ) 0 ，s ( 盯2 ) = o 且x ( t ) 单调递增，a 2 】s ( t ) 单调递减，一2 因此存在t + ( 4 ，a 2 ) ，满 足： z ( 扩) = s ( 矿) 如果+ 一4 1 ，由( 2 2 ) 二式： r r z ( + ) = z ( 。4 + 1 ) + ，4 + 1 r ( z + + z ( 。) ) 一1 十p ( s + + s ( 。一1 ) ) 】d ，r = z ( 。a + 1 ) + z 。+ lr ( 。+ + z ( 。) ) 妒( f o ) ) 5 0 一1 ) d 。 由于s ( 一1 ) 0 ，所以一1 + p ( s + + s ( 一1 ) ) o ，所以p ( ( ) ) 0 ， 故5 + p 1 + d ，所以： z ( + ) 丁( z + z ( “) ) ( p l + 6 ) s ( + ) ( + 一t 4 1 ) s ( + ) 下( z + + 。( t 4 ) ) ( p 1 + 6 ) s ( 矿) 0 + 一t 4 1 ) r z + ( p 1 + 6 ) s ( t + ) ( r t 4 1 ) 卜冰去+ ， 由( 2 2 ) 一式： ，口2 一s 0 + ) = s ( 盯2 ) 一s 0 + ) = r 陋+ 一s ( ) 一p ( s + + s ( t ) ) ( z + + z 0 ) ) d t r ，。【_ s ( ) 一z ( ) 】d r 【_ 5 ( ) 一z ( ) 】d 所以： r 口2r 口2 s ( t + ) 下z b ( t ) + m ( ) 】d t 下z s ( t ) d r 5 ( + ) ( 盯2 一) 所以； 仃2 一t + 三 叻一4 一矿当t o ，已知o s ( t ) 2 的非常数周期解。 命题3 1 2 ：存在 o ，使得a 2 ：毽n ( k ( o ) ) 一( o ，+ 。) 有界，且有正下界 证明：我们可应用命题38 的相同讨论说明l ，t 3 一，是关于口。n ( o ) ) 上的初始值 独立，且一致有界由命题3 7 的注2 ，命题3 1 0 知，可选取充分小的e 满足0 2 一1 1 且“一t 3 1 由命题3 8 和命题3 1 0 知，口1 一t 2 ，观一t 4 一致有界 所以，存在e o ，使得砚：段n ( o ) ) 一( o ，+ 。) 有界，且有正下界 对于自治泛函微分方程的一般形式 寸( ) = g ( 轨) ，t o 这里g ：e ( 卜l ，0 】，邪) 一r n 是满足g ( 0 ) = 0 的连续泛函，令l = g ，( o ) ，那么l 是 连续线性映射，l ：g 一彤。在c 空间关于口( ) = _ l 玑的特征值a 做谱分解： g = r0 吼，其中b 是伴随算子的广义特征向量空间，且是有限维的 引理3 1 3 是喷射点的判定定理； ；f 理3 ，1 3 ：设下列条件被满足： ( i ) 存在9 ( t ) = l 玑的特征值a ，满足r e a o ( i i ) 存在有界闭凸集n g ，0 满足 j i 凹f ( i n f 钎瞅蚓h ) 。 ( i i i )