第七章多属性决策分析.ppt

第七章多属性决策分析 广西大学数学与信息科学学院运筹管理系 第七章多属性决策分析 属性 attribute 指备选方案的特征 品质或性能参数 社会经济系统的决策问题 往往涉及不同属性的多个指标 多属性决策 实际问题常常有多个决策目标 每个目标的评价准则往往也不是只有一个 而是多个 多目标 多准则决策问题 多目标决策和多属性决策统称多准则决策 multi criteriondecisionmaking 多目标决策与多属性决策的划分 多目标决策 multi objectivedecisionmaking 决策变量是连续型的 即备选方案有无限多个 求解这类问题的关键是向量优化 即数学规划问题 多属性决策 multi attributedecisionmaking 决策变量是离散型的 即备选方案数量为有限多个 求解这类问题的核心是对各备选方案进行评价后排定各方案的优劣次序 再从中择优 7 1多属性决策指标体系 多属性多指标综合评价有两个显著特点 指标间的不可公度性即多属性指标之间没有统一量纲 难用同一标准进行评价 指标之间的矛盾性提高了这个指标值 可能损害另一指标值 问题 如何解决指标间的不可公度性和矛盾性 7 1多属性决策指标体系 7 1 1指标体系的基本概念多属性决策的指标体系由多个相互联系 相互依存的评价指标 按照一定层次结构组合而成 具有特定评价功能的有机整体 单一的评价指标只能反映社会经济系统的某一具体特征 要全面 准确地评价一个系统 首先要构建合理的指标体系 社会经济系统常用的评价指标 经济性指标 社会经济系统常用的评价指标 社会性指标 技术性指标 资源性指标 政策性指标 基础设施指标 其他指标 产值 收入 成本 税金 投资额 投资回收期 固定资产等等 人员素质 社会福利 生态环境 就业机会等 产品性能 可靠性 工艺水平 人员素质等 矿产资源 水源 土地 人力等 国家和地方的政策 法令 计划等 交通 供水 供电等 特定决策系统的特有指标 如净现值 7 1多属性决策指标体系 7 1 2指标体系设置的原则系统性原则指标体系应反映系统的整体性能和综合情况 指标体系的整体评价功能应大于各指标的简单总和 指标体系应层次清晰 结构合理 相互关联 协调一致 应抓住主要因素 既能反映直接效果 又能反映间接效果 保证决策的全面性和可信度 7 1多属性决策指标体系 7 1 2指标体系设置的原则可比性原则决策指标和评价标准的制定应客观实际 便于比较 指标间应避免显见的包含关系 隐含的相关关系应以适当的方法加以消除 不同量纲的指标应按特定的规则作标准化处理 化为无量纲指标 以便于整体综合评价 指标处理中应保持同趋势化 以保证指标间的可比性 7 1多属性决策指标体系 7 1 2指标体系设置的原则科学性原则定性分析与定量分析相结合 定量指标应注意绝对量和相对量的结合使用 实用性原则指标应涵义明确 数据规范 口径一致 资料收集可靠 指标设计应符合国家和地方的政策法规 口径和计算应与通用的会计 统计 业务核算协调一致 便于统计和计算 7 1多属性决策指标体系 7 1 3决策指标的标准化将不同量纲的指标 通过适当的变换 化为无量纲的标准化指标 决策指标的变化方向效益型 正向 指标 越大越优成本型 逆向 指标 越小越优中立型指标 在某中间点最优 如人的体重 7 1多属性决策指标体系 7 1 3决策指标的标准化设有n个决策指标fj 1 j n m个可行方案ai 1 i m m个方案n个指标构成决策矩阵 7 1多属性决策指标体系 7 1 3决策指标的标准化向量归一化法令 称矩阵Y yij m n为向量归一标准化矩阵 矩阵Y的列向量模等于1 即 注 向量归一标准化后 0 yij 1 正 逆向指标的方向没有发生变化 7 1 3决策指标的标准化 线性比例变换法在决策矩阵X中 对于正向指标fj 取 令 对于负向指标fj 取 令 称矩阵Y yij m n为线性比例标准化矩阵 注 经线性比例变换后 0 yij 1 所有指标均化为正向指标 最优值为1 7 1 3决策指标的标准化 极差变换法在决策矩阵X中 对于正向指标fj 取 对于负向指标fj 取 令 称矩阵Y yij m n为极差变换标准化矩阵 注 经极差变换后 0 yij 1 所有指标均化为正向指标 最优值为1 最劣值为0 7 1 3决策指标的标准化 标准样本变换法在决策矩阵X中 令 其中 称矩阵Y yij m n为标准样本变换矩阵 注 经标准样本变换后标准化矩阵的样本均值为0 方差为1 7 1 3决策指标的标准化 定性指标量化处理方法将定性指标依问题的性质划分为若干级别 第一级别分别赋以不同的量值 如 分五级赋以分值 分值 例7 1 某航空公司欲购买飞机 按6个决策指标对不同型号的飞机进行综合评价 这6个指标是 最大速度 f1 最大范围 f2 最大负载 f3 价格 f4 可靠性 f5 灵敏度 f6 现有4种型号的飞机可供选择 具体指标值如下表 例7 1 写出决策矩阵 并进行标准化处理 解 第一步 划分各类指标正向指标 f1 f2 f4 负向指标 f4 定性指标 f5 f6 第二步 将定性指标化为定量指标 得到如下决策矩阵 例7 1 解 第三步 进行标准化处理向量归一化法令 例7 5 例7 1 解 第三步 进行标准化处理 线性比例变换法 例7 4 级差变换法 7 1 3决策指标的标准化 极差变换法的改进 P175例6 6 在决策矩阵X中 对于正向指标fj 取 对于负向指标fj 取 令 变换后 1 yij 100 所有指标均化为正向指标 最优值为100 最劣值为1 7 1多属性决策指标体系 7 1 4决策指标权重的确定指标权重表示各指标相对于决策目标的重要性程度 或表示一种效益替换另一种效益的比例系数 确定指标权重的方法主观赋权法 根据主观经验和判断 用某种特定法则测算出指标权重的方法 客观赋权法 依据决策矩阵提供的评价指标的客观信息 用某种特定法则测算出指标权重的方法 7 1 4决策指标权重的确定 几种常用的确定指标权重的方法1 相对比较法 属于主观赋权法 将所有指标按三级比例标度两两相对比较评分 三级比例标度的含义是 显然 注意 评分时应满足比较的传递性 即若f1比f2重要 f2又比f3重要 则f1比f3重要 7 1 4决策指标权重的确定 几种常用的确定指标权重的方法1 相对比较法 属于主观赋权法 指标fi的权重系数为 例7 2 确定例7 1中6个指标的权重 解 1 相对比较法 评分值 4 1 5 1 5 1 5 4 5 5 18 2 9 1 12 1 12 1 12 2 9 11 36 几种常用的确定指标权重的方法 2 连环比率法 属于主观赋权法 将所有指标以任意顺序排列 不妨设为 f1 f2 fn 从前到后 依次赋以相邻两指标相对重要程度的比率值 指标fi与fi 1比较 赋以指标fi以比率值ri i 1 2 n 1 并赋以rn 1 几种常用的确定指标权重的方法 2 连环比率法 属于主观赋权法 计算各指标的修正评分值 赋以fn的修正评分值kn 1 根据比率值ri计算各指标的修正评分值 ki ri ki 1 i 1 2 n 1 归一化处理 求出各指标的权重系数值 即 例7 3 确定例7 1中6个指标的权重 解 2 连环比率法 1 1 2 1 6 1 6 1 6 1 2 5 2 1 5 1 15 1 15 1 15 1 5 2 5 几种常用的确定指标权重的方法 3 熵值法 属于客观赋值法 利用指标熵值确定权重 熵越大 权重越小 对决策矩阵X xij m n用线性比例变换法作标准化处理 得到标准化矩阵Y yij m n 并进行归一化处理 得 计算第j个指标的熵值 其中 k 0 ej 0 几种常用的确定指标权重的方法 3 熵值法 属于客观赋值法 计算第j个指标的差异系数 确定指标权重 第j个指标的权重为 例7 3 确定例7 1中6个指标的权重 解 3 熵值法 归一化处理得 例7 3 确定例7 1中6个指标的权重 解 计算第j个指标的熵值 取k 0 5 得 差异系数 指标权重为 几种常用的确定指标权重的方法 4 专家咨询法 Delphi法 属于主观赋值法 设有n个决策指标f1 f2 fn 组织m个专家咨询 每个专家确定一组指标权重估计值 对m个专家给出的权重估计值平均 得到平均估计值 计算估计值和平均估计值的偏差 几种常用的确定指标权重的方法 4 专家咨询法 Delphi法 属于主观赋值法 对偏差 ij较大的第j个指标的权重估计值 再请专家i重新估计第j个指标的权重 反复进行以上步骤 直至偏差满足一定要求为止 这样就得到一组权重指标的平均估计修正值 7 2多指标决策方法 7 2 1简单线性加权法根据实际情况 先确定各决策指标的权重 再对决策矩阵进行标准化处理 求出各方案的线性加权指标平均值 并以此作为各可行方案排序的判据 注意标准化处理时 应当使所有的指标正向化 7 2 1简单线性加权法 简单线性加权法的基本步骤用适当的方法确定各决策指标的权重 设权重向量为 决策矩阵X xij m n标准化得Y yij m n 要求标准化之后的指标均为正向指标 求出各方案的线性加权指标值 选择ui最大者为最满意方案 即 例7 4 用简单线性加权法对例7 1的购机问题进行决策解 用适当的方法确定各决策指标的权重为 用线性比例法将决策矩阵X xij m n标准化得Y yij m n 求出各方案的线性加权指标值ui ui最大者为0 851 故满意方案为方案4 7 2多指标决策方法 7 2 2理想解法 TOPSIS 通过构造多指标问题的理想解和负理想解 并以靠近理想解和远离负理想解两个基准 作为评价各可行方案的判据 理想解是设想各指标属性都达到最满意值的解 负理想解是设想各指标属性都达到最不满意值的解 又称双基点法 逼近理想解的排序方法 理想解与负理想解 设决策问题有m个可行方案a1 a2 am 两个评价指标f1 f2 不妨设二指标均为正向指标 方案ai的二指标值记为xi1 xi2 于是方案ai可以用平面f1f2上的点Ai xi1 xi2 表示 记 则 理想解为A x 1 x 2 负理想解为A x 1 x 2 理想解与负理想解 A A 问题 如何表示各方案目标值靠近理想解和远离负理想解的程度 相对贴近度 设方案ai对应的点Ai到理想点A 和负理想点A 的距离分别为 定义方案ai与理想解 负理想解的相对贴近度为 满足 0 Ci 1 理想点Ci 1 负理想点Ci 0 方案逼近理想解而远离负理想解时Ci 1 理想解法的基本步骤 用向量归一化法对决策矩阵进行标准化处理 得标准化矩阵Y yij m n 用适当的方法确定各决策指标的权重wj 计算加权标准化矩阵 确定理想解和负理想解 正向指标集 负向指标集 理想解法的基本步骤 计算各方案到理想解和负理想解的距离 计算各方案的相对贴近度Ci 相对贴近度大者为优 小者为劣 例7 5 用理想解法对例7 1的购机问题进行决策解 求决策矩阵的向量归一标准化矩阵Y适当的方法确定各决策指标的权重为 计算加权标准化矩阵 V wj yij m n 正正正负 正正 例7 5 解 确定理想解和负理想解 计算各方案到理想解和负理想解的距离 计算各方案的相对贴近度Ci Ci 最大的方案最优 故满意方案为方案1 7 2多指标决策方法 7 2 3改进的理想解法利用决策矩阵的信息 客观地赋以各指标的权重系数 并以各方案到理想点距离的加权平方和作为综合评价的判据 更简便实用 设权重向量 待定 为 最优的权重系数应满足 符号含义与理想解法相同 7 2 3改进的理想解法 注意到 vij wj yij用求解条件极值的拉格朗日乘数法 可以解得 改进的理想解法的基本步骤 将决策矩阵进行标准化得Y yij m n确定标准化矩阵的理想解 按式 7 18 计算各指标的权重系数wj j 1 2 n 计算各方案到理想解的距离平方di 并按di对方案排序 di越小 方案越优 例7 6 用改进的理想解法对例7 1的购机问题进行决策解 求决策矩阵标准化矩阵Y 以极差变换标准化矩阵为例 正正正负 正正 标准化矩阵Y的理想解为Y 1 1 1 0 1 1 例7 6 解 按式 7 18 计算各指标的权重系数wj 计算各方案到理想解的距离平方dj 得 按dj对方案排序 di越小 方案越优 因此最优方案为方案1 7 2多指标决策方法 7 2 4功效系数法将各决策指标的相异度量 转化为相应的无量纲的功效系数 再进行综合评价的多指标决策方法 功效系数的计算设第j个指标的满意值为 不允许值为 功效系数为 满意值的功效系数为100 不允许值的功效系数60 7 2 4功效系数法 功效系数法的基本步骤确定决策指标体系设决策矩阵为X xij m n 用适当的方法确定指标的权重向量 计算各指标值的功效系数dij计算各方案的总功效系数 以总功效系数为判据 对各方案进行排序 功效系数越大 方案越优 功效系数越小 方案越劣 例7 7 用功效系数法对例7 1的购机问题进行决策 解 用适当的方法确定指标的权重向量为 计算各指标值的功效系数dij 负 例7 7 解 计算各指标值的功效系数dij 计算各方案的总功效系数di 以总功效系数为判据 对各方案进行排序 功效系数越大 方案越优 功效系数越小 方案越劣 因此方案3最优 7 3主成分分析法 7 3 1主成分分析的原理在多指标决策中 当指标数量大 并且指标之间存在某种程度的相关关系时 这不仅增加决策的工作量 也直接影响到决策的有效性和可靠性 问题 如何消除指标间的相关性 主成分分析法 主元分析法 是将多个指标转化成少数几个相互无关的综合指标的一种多元统计分析方法 主成分分析体现了降维的思想 7 3 1主成分分析的原理 假定只有两个变量 指标 分别以它们为坐标轴建坐标系 则每个观测值都对应于该坐标平面上的一个点 如果这些点形成一个椭圆形状的点阵 这在变量服从二维正态的假定下是可能的 那么这个椭圆有一个长轴和一个短轴 在短轴方向上 数据变化很少 在极端的情况 短轴如果退化成一点 那只有在长轴的方向才能够解释这些点的变化了 这样 由二维到一维的降维就自然完成了 7 3 1主成分分析的原理 7 3 1主成分分析的原理 当坐标轴和椭圆的长短轴平行 那么代表长轴的变量就描述了数据的主要变化 而代表短轴的变量就描述了数据的次要变化 但是 坐标轴通常并不和椭圆的长短轴平行 因此 需要寻找椭圆的长短轴 并进行变换 使得新变量和椭圆的长短轴平行 如果长轴变量代表了数据包含的大部分信息 就用该变量代替原先的两个变量 舍去次要的一维 降维就完成了 椭圆 球 的长短轴相差得越大 降维也越有道理 7 3 1主成分分析的原理 对于多维变量的情况和二维类似 也有高维的椭球 只不过无法直观地看见罢了 首先把高维椭球的主轴找出来 再用代表大多数数据信息的最长的几个轴作为新变量 这样 主成分分析就基本完成了 注意 和二维情况类似 高维椭球的主轴也是互相垂直的 这些互相正交的新变量是原先变量的线性组合 叫做主成分 principalcomponent 7 3 1主成分分析的原理 正如二维椭圆有两个主轴 三维椭球有三个主轴一样 有几个变量 就有几个主成分 选择越少的主成分 降维就越好 什么是标准呢 那就是这些被选的主成分所代表的主轴的长度之和占了主轴长度总和的大部分 有些文献建议 所选的主轴总长度占所有主轴长度之和的大约85 即可 其实 这只是一个大体的说法 具体选几个 要看实际情况而定 7 3 1主成分分析的原理 设有n个决策指标fj 1 j n m个可行方案ai 1 i m m个方案n个指标构成决策矩阵 其中 7 3 1主成分分析的原理 如何用新的指标来代替原来的n个指标Xj呢 新变量是原先变量的线性组合 满足 7 3 1主成分分析的原理 此外 新变量应满足 相互不相关 Z1的方差最大 Z2 Zn的方差依次减少 新旧指标的总方差不变 7 3 1主成分分析的原理 满足上述条件的新变量 综合指标 Z1 Z2 Zn分别称为原始指标的第1 第2 第n个主成分 主元 当 很小时 用Z1 Z2 Zk就 可基本上反映出原始n个指标所包含的信息量 优点 减少了评价指标个数 充分保留了原始指标的信息量 新指标彼此不相关 避免了信息的交叉和重叠 7 3 1主成分分析的原理 如何求得原始指标的n个主成分 设X有协方差矩阵 1 2 n是 的从大到小的n个特征根 L1 L2 Ln是这n个特征根对应的标准化正交特征向量 其中 数理统计已经证明 原始指标的第j个主成分Zj为 7 3 2主成分分析的计算步骤 设有n个决策指标 m个可行方案的决策问题 决策矩阵为X xij m n决策矩阵标准化 一般采用标准样本变换 其中 7 3 2主成分分析的计算步骤 决策矩阵标准化 一般采用标准样本变换 为什么要进行决策矩阵的标准化由于主成分是从协方差矩阵 求得的 而协方差矩阵会受评价指标的量纲和数量级的影响 从而主成分也会因评价指标的量纲和数量级的改变而不同 标准化指标的协方差矩阵等于其相关系数矩阵 而相关系数矩阵不受指标量纲或数量级的影响 因此标准化后的主成分是不受原指标量纲或数量级的影响的 7 3 2主成分分析的计算步骤 求出样本相关系数矩阵R rij n n R是对称矩阵 且主对角线元素均为1 即 7 3 2主成分分析的计算步骤 计算相关系数矩阵R的特征值和对应的特征向量由特征方程 解出n个特征值 1 2 n再由齐次线性方程组 解出对应的特征向量 L1 L2 Ln 7 3 2主成分分析的计算步骤 按累积贡献率准则提取主成分计算各主成分的贡献率 并按累积贡献率准则 即以累积贡献率 为准则 提取k个主成分 7 3 2主成分分析的计算步骤 分析主成分的经济意义 用主成分进行综合评价综合评价值根据具体情况 可以取第1主成分 也可以按综合评价值 即以各主成分的方差贡献率为权数 对k个主成分线性加权求和 以Z值的大小来评判被评价对象的优劣 7 3 3主成分分析的应用实例 用主成分分析法对14个企业的经济效益进行综合评价 经过专家咨询 选取8个经济效益评价指标这些指标是 1 净产值利润率 2 固定资产利润率 3 总产值利润率 2 4 销售收人利润率 5 产品成本利润率 6 物耗利润率 7 人均利润率 千元 人 8 流动资金利润率 14个企业8个指标的样本数据如下表 7 3 3主成分分析的应用实例 解 样本数据标准化变换 求得样本标准化变换矩阵如下表 求出样本相关系数矩阵R rij n n 求R的特征值 特征向量和贡献率 特征值 1 2 n 按累积贡献率准则提取主成分 计算第1 2主成分的累计贡献率 提取第1主成分 第2主成分 用主成分进行综合评价 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 0 9331 0 8402 2 2525 1 5670 0 1886 2 5383 0 3692 0 8914 3 7594 0 3493 1 8104 3 4522 0 4086 0 2420 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 7 3 4主成分分析的特点及缺陷 能消除评价指标间相关关系的影响 减少了指标选择的工作量 因此指标的选择原则是尽可能全面 而不必顾虑评价指标之间的相关性 综合评价所得的权数是伴随数学变换自动生成的 具有客观性 但这种权数具有不稳定性 且各评价对象之间数值差异大的指标不一定有更重要的经济意义 综合评价结果不稳定 减少或增加被评价对象都有可能改变原来的排序 适合一次性 大样本容量的综合评价 一般要求样本容量大于指标个数的两倍 7 4物元决策方法 7 4 1物元分析和矛盾问题现实世界存在各式各样的矛盾 物元分析研究处理矛盾问题的理论和方法 物元分析的数学基础是可拓集合论经典数学的基础是经典集合论 在经典集合中 一个元素与某个集合的关系 要么属于它 要么不属于它 二者必居其一 模糊数学的基础是模糊集合论 在模糊集合论中 一个元素与某个集合的关系 或者属于它 或者不属于它 或者在一定程度上属于它 三者必居其一 7 4 1物元分析和矛盾问题 物元分析的数学基础是可拓集合论事物是处于不断的运动和变化中的 经典集合论不能描述事物及其性质的可变性 可拓集合研究不属于某集合但又能够转化为属于该集合的元素及其变换性质 7 4物元决策方法 7 4 2物元和可拓集合的基本概念人 事统称事物 事物各具不同的特征 事物的特征又由相应的量值所规定 名称 特征和量值是事物的三要素 定义7 4 物元 设事物的名称为N 关于特征C的量值为V 则三元有序组R N C V 称为事物的基本元 简称物元 N C V称为物元的三要素 7 4 2物元和可拓集合的基本概念 若某事物有多个 n个 特征记作c1 c2 cn 相应量值记作v1 v2 vn 则物元记为 称为n维物元 简记为R N C V 其中 7 4 2物元和可拓集合的基本概念 定义7 5 物元变换 使物元R0 N0 C0 V0 变换为物元R N C V 或若干个物元Ri Ni Ci Vi i 1 2 n称为物元R0的变换 记作TR0 R或TR0 R1 R2 Rn 物元变换可以是对事物的特征 量值或它们组合的变换 7 4 2物元和可拓集合的基本概念 物元变换的基本运算设有物元R1 R2 R3积变换若T1R1 R2 T2R2 R3 称使R1变为R3的变换为变换T2与T1的积变换 记作 T T2T1逆变换若T1R1 R2 称使R2变为R1的变换为变换T的逆变换 记作T 1 有 T 1 T1R1 T 1R2 R1 7 4 2物元和可拓集合的基本概念 物元变换的基本运算设有物元R1 R2 R3或变换若T1R1 R2 T2R1 R3 称使R1变为R2或R3的变换为变换T1与T2的或变换 记作 T T1 T2与变换若T1R1 R2 T2R1 R3 称使R1变为R2和R3的变换为变换T1与T2的与变换 记作 T T1 T2 7 4 2物元和可拓集合的基本概念 定义7 6 可拓子集 设 是论域U上的一个可拓子集 若对任意 u U 都对应一个实数 则称为元素u对 的关联度 实值函数 称为可拓子集 的关联函数 简记为K u 7 4 2物元和可拓集合的基本概念 定义7 6 可拓子集 称A u u U K u 0 为可拓子集 的经典域 称 u u U 1 K u 0 为可拓子集 的可拓域 称 u u U K u 1 为可拓子集 的非域 7 4 2物元和可拓集合的基本概念 定义7 7 点与区间的距 点x0与区间X a b 的距离称为点与区间的距 记作 点与区间的距对于开区间 半开半闭区间同样适用 7 4 2物元和可拓集合的基本概念 定理7 2设X0 X是实数域上的两个区间 X X0 且无公共端点 令关联函数 则x X0的充要条件是 K x 0 x X X0的充要条件是 1 K x 0 x X的充要条件是 K x 1 7 4 2物元和可拓集合的基本概念 定义7 8 节域 设有物元R N C V 事物N