2014年国庆高中数学竞赛班型入学测试答案

2014 年 国庆 数学 竞赛 班型 入学测试 答案 及分析建议 试卷说明 本测试与 全国高中数学联赛 难度相当。 希望学员经由本试卷了解数学联赛题型及难度。 如有学员希望单独得到金牌助教们的阅卷及分析，请通过邮箱与我们取得联系。方式 1：将自测结果（推荐直接在原试卷上给出答案）以照片或扫描件的形式发送。方式 2：将自测答案单独以 excel 或 word 形式发送。我们会在收到答案的两周内进行评阅并进行个性化分析。 （ 2014 年 国庆 集 中培训课程使用） QBXT/JY/RXCSDA2014/9-1 2014-9-13 发布 清北学堂教学研究部 清北学堂学科邮箱 自主招生邮箱 数学竞赛邮箱 物理竞赛邮箱 化学竞赛邮箱 生物竞赛邮箱 理科精英邮箱 清北学堂官方博客 /tsba 清北学堂微信订阅号 学习资料最新资讯 清北学堂集中培训课程课程入学测试答案 北京清北学堂教育科技有限公司 第 2 页 2014 年 国庆 数学 竞赛班 型 入学测试 答案 一试难度 一、 填空题：本大题共 8小题，每小题 8分，共 64分 1、 （ 8 分） 81. 【解】 由题设知， n 恰有 5 个约数 .设 n 的质因数分解是 11 kkn p p ，则 n的约数个数为1( 1) ( 1)k，所以 1( 1) ( 1)k 5 ，故 n 具有 4p 的形式，而443 8 1, 5 6 2 5 5 0 0 ，故 n 的最大值为 81. 2、 （ 8 分） 3021 3 【解】 据 0 1 3 1a ，1 1 3 1 3 11 1 22231a ， 2 22 2 3 1 4 3 131a ， 3 315 2a ， 4 7 3 1a ， 易得， 2 3 1 3 1kak ，21 3132 2kak ；所以2014 3021 3a 3、 （ 8 分） 16 【解】1 233( 2 )42A BDS ， 设 1AC 与 1ABD 所在 平面交于 M ， AM h ， 据 四面体 1AABD 的体积关系 得 1 1 33 2 3 2h ，所以 33h ， 而 1 3AC ，则 1 233CM ，正四面体 11ABCD 与 11ABCD 中，面 1ABD 面 11CBD ，其余三对底面也相平行，则 11ABCD 位于正四面体 11ABCD 外侧部分是四个全等的正四面体 ，1 1 111 1 2 3 3 13 3 3 2 3A B C D A B DV C M S , 1131128AA BC DVV , 故1 1 1 1 1 11 1 14 826A B C D A B C D A B C DV V V V 公 共 4、 （ 8 分） 225 【解】 据条件， 221 1 1f x f yf x y ，由于 f x f x ，只须考虑 ,xy R 的情况，令 ,x u y v，化为 1 1 1f u v f u f v，再令 1 , 00 , 0ftftgtft ， 则化为 g u v g u g v 1 ， A1 B1CC 1BADD 1清北学堂集中培训课程课程入学测试答案 北京清北学堂教育科技有限公司 第 3 页 据 1 ， 22g u g u u g u ， 3 2 2 3g u g u u g u g u g u ， 归纳得， g ku kg u ，令 25, 1ku，得 25 25 1gg ，即 1 2525 1ff， 因此 2525f （注：若看出 1 为柯西方程，则可以直接得到 gu cu ，所以 12cfxx，取 1x 得 1 2c ， 22fxx ， 25 25f ） 5、 （ 8 分） 1297 【解】 设 x y z，由于 ( ) ( ) ( ) 2 ( )x y y z x z x y z 为偶数， 则 2 2 2, ( 1) , ( 2)n n n为两奇一偶，于是 n 为奇数，而 1zy ，得 1n 若 3n ，则 222 )2(,)1(, nnn = 22 5,4,3 ，由 2 2 23 4 5 50 ， 得到 25x y z ，并且 25 25xy ，故 0z ，不合； 若 5n ，则 222 )2(,)1(, nnn = 222 7,6,5 ，由 2 2 25 6 7 110 ， 55x y z ， 于是 30, 19 , 6x y z ，这时有 1297222 zyx 6、 （ 8 分） 212. 【解】 设 cos x ，则问题等价于：对任意 0,1x ，有 2 211 ( )2x px q . 令 212,1y px q y x . 于是，2 1 22 1 2 122y y y . 故直线 :l y px q 夹在曲线 21 1:1 2xC y x 与 22 21:1 2C y x 之间 . 易知 2OB .于是， O 到 AB 的距离为 1（ O 的坐标为（ 0， 212）， A、 B表示弧 2C 的两个端点） . 显然，直接 AB （方程为 21 02xy ）与曲线 1C 相切，是可以夹在曲线 1C 与曲线 2C 之间的惟一直线，故 l 即为 AB，故 211,2pq ，所以 212pq . 7、 （ 8 分） 83 【解】 易知平面 PBD 垂直于平面 ABCD ，且将四棱锥分成两个等积的四面体，若点 G 到底面及各侧面的距离皆为 1，则 G 在等腰三角形 PBD 的中垂线 PH 上，设 G 在面 PAD上的投影为 E ，平面 GEH 过顶点 P ，且交 AD 于 F ，则GEFH 共圆， 060EFH ， 0120EGH ， 从 而3EH EF FH ， 由 此 ， 正 三 角 形 ABD 的高HADBPFGE清北学堂集中培训课程课程入学测试答案 北京清北学堂教育科技有限公司 第 4 页 23AH ，所以 4AB ， 43ABDS ， 0tan 6 0 3PH HF， 1 433P A B D A B DV P H S ， 83P ABCDV 8、 （ 8 分） 13 【解】 首先，我们可以指出 12 个连续正整数，例如 9 9 4 9 9 5 9 9 9 1 0 0 0 1 0 0 5, , , , , ,，其中任一数的各位数字之和都不是 7 的倍数，因此， 13n 再证，任何连续 13 个正整数中，必有一数，其各位数字之和是 7 的倍数 . 对每个非负整数 a ，称如下 10 个数所构成的集合 : 1 0 , 1 0 1 , 1 0 9 aA a a a 为一个“基本段”， 13 个连续正整数，要么属于两个基本段，要么属于三个基本段。当 13 个数属于两个基本段时，据抽屉原理，其中必有连续的 7 个数，属于同一个基本段；当 13 个连续数属于三个基本段 11,a a aA A A时，其中必有连续 10 个数同属于 aA .现在设 1 1 0kka a aa 1 1 0 1 1 0( 1 ) , ( 6 )k k k ka a a a a a a a是属于同一个基本段的 7 个数，它们的各位数字之和分别是0 0 0, 1 , , 6 ,k k ki i ii i ia a a 显然，这 7 个和数被 7 除的余数互不相同，其中必有一个是 7 的倍数 . 因此，所求的最小值为 13n 二、 解答题：本大题共 3 个小题，共 56 分 .解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤 . 9、（ 16 分 ） 给定圆 P： 222x y x及抛物线 S： 2 4yx ，过圆心 P 作直线 l ，此直线与上述两曲线的四个交点，自上而下顺次记为 , , ,ABCD ，如果线段 ,AB BC CD 的长按此顺序构成一个等差数列，求直线 l 的方程 . 【解】 圆 P 的方程为 2 211xy ，则其直径长 2BC ，圆心为 1,0P ，设 l 的方程为1ky x，即 1x ky,代入抛物线方程得： 2 44y ky. 设 1 1 2 2, , ,A x y D x y， 有 4421 21yy kyy 则 21221221 4)()( yyyyyy ， 故 2222 2 2 2 121 2 1 2 1 2 4yyA D y y x x y y ，kyyyy 22221221 )1(1641)( 因此 )1(4 2 kAD 据 等 差 ， BCADCDABBC 2 ， 所以63 BCAD ， 即 6)1(4 2 k ， 22k ， 则 l 方程为 122 yx 或 122 yx xyoABCDP清北学堂集中培训课程课程入学测试答案 北京清北学堂教育科技有限公司 第 5 页 10、（ 20 分 ） 已知函数 )(nf 是定义在 N 上的严格增函数，其值域也在 N 之中，且满足nnff 3)( .求 (2014)f 【解】 （ 1）首先， 1)1( f .否则，若 1)1( f ，一方面 01)1()1( fff ，另一方面，根据已知条件有 313)1( ff .矛盾 . 其次， 3)1( f .否则，若 3)1( f ，因为 )(nf 是关于 n 的严格增函数， 所以 3)3()1( fff ，这与已知 13)1( ff 相矛盾 . 综上所述，可知 2)1( f （因为 Nnf )( ） . （ 2）由 nnff 3)( ，得 (3 ) ( ( ( ) 3 ( )f n f f f n f n. 故 )3(3)3(3)3( 221 nnn fff = )(32)1(3 Nnf nn . （ 3）由（ 2）知， nnn fff 33)3()32( ，所以， )()32( nn ff nnn 33233 . 而 nnn 3332 ，且 1)()1( nfnf （因为 )(nf ）是 N 上的严格增函数）， Nnf )( ，所以， nnnn lllflf 3,2,1.32)3()3( . （ 4） ).3,2,1(33)3(3)3()32( 1 nnnnn llllfflf 故 67( 2 0 1 4 ) ( 2 3 5 5 6 ) 3 3 5 5 6 3 8 5 5 .ff 11、 （ 20 分 ） 各项均为正数的数列 na ， 12,a a a b，且对满足 m n p q 的正整数, , ,mnpq 都有 .(1 ) (1 ) (1 ) (1 )pqmnm n p qaaaaa a a a （ 1）当 14,25ab时，求通项 ；na （ 2）证明：对任意 a ，存在与 a 有关的常数 ，使得对于每个正整数对于每个正整数 n ，都有 1 .na 【解】 （ 1）由(1 ) (1 ) (1 ) (1 )pqmnm n p qaaaaa a a a 得 1 2 11 2 1 .(1 ) (1 ) (1 ) (1 )nnnna a a aa a a a 将 1214,25aa代入化简得 1121.2nnnaa a 所以 11111 ,1 3 1nnaa故数列 11 nnaa 为等比数列，从而 1 1 ,13n nnaa 即 31.31nn na 可验证， 3131nn na 满足题设条件 . 清北学堂集中培训课程课程入学测试答案 北京清北学堂教育科技有限公司 第 6 页 (2) 由题设(1 )(1 )mnaa的值仅与 mn 有关 , 记为 ,mnb 则111 .(1 ) (1 ) (1 ) (1 )nnnnna a a ab a a a a 考察函数 ( ) ( 0 )(1 ) (1 )axf x x,则在定义域上有 1,111( ) ( ) , 12, 0 11aaf x g a aa aa 故对 *nN ， 1 ()nb g a 恒成立 . 又 2 22 ()(1 )nn nab g aa, 注意到 10 ( ) 2ga,解上式得 1 ( ) 1 2 ( ) 1 ( ) 1 2 ( )() ,( ) ( )1 ( ) 1 2 ( ) ng a g a g a g aga ag a g ag a g a 取 1 ( ) 1 2 ( )()g a g aga ,即有 1 .na . 清北学堂集中培训课程课程入学测试答案 北京清北学堂教育科技有限公司 第 7 页 加试难度 1.已知凸四边形 ABCD满足 AB=BC， AD=DC， E是线段 AB上一点， F是线段 AD上一点，满足 B、E、 F、 D四点共圆，做 DPE顺向相似于 ADC；作 BQF 顺向相似于 ABC。求证： A、 P、 Q三点共线。（第七届女子数学奥林匹克） 证明：如上图所示， B、 E、 F、 D四点构成的外接圆圆心记为 O点，连结 OB、 OE、 OF、 OD、BD. 在 BDF中， O是外心，故 BOF=2 BDA. 又 ABD CBD， CDA=2 BDA. 于是 BOF= CDA= EPD 由此可知 BOF EPD 另一方面，由 B、 E、 F、 D四点共圆可知 ABF ADE 综合 可知，四边形 ABOF四边形 ADPE， 由此得 BAO= DAP 同理，可得 BAO= DAQ 表明 A、 P、 Q三点共线 .清北学堂集中培训课程课程入学测试答案 北京清北学堂教育科技有限公司 第 8 页 2.已知 a,b,c R+，且满足 abc=1，求证： 证明：做换元令 ，且 x,y,z R+ 则原不等式等价于 即 中任意两个之和大于 0. 故至多只有 1个 0. （ 1） 若其中恰有一个 0，结论显然成立 . （ 2） 若每个都 0，由于 相乘即得不等式成立 .1)11)(11)(11( accbbaxzczybyxa ,1)1)(1)(1( xyxzzxzyyzyxxy zyxzxzyzyx )()(yxzxzyzyx ,222 )(,)(,)( yyxzxzyzyxzzyxxxzyzyx 清北学堂集中培训课程课程入学测试答案 北京清北学堂教育科技有限公司 第 9 页 3.设 的所有系数都是正的，且 a+b+c=1.对所有满足： 的正数组 ，求 的最小值 .（全俄数学奥林匹克） 解： f(1)=a+b+c=1.若 ，则 =1. 若 ，则由 =1知，其中必有一个小于 1，也必有一个大于 1. 不妨设 ，将 、 用 1、 代替，考察其变化： 两式相减 0)1)(1()1)(1()1)(1( 2122212121 xxbcxxacxxxabx 反复进行上述变换，得 故 的最小值为 1. cbxaxxf 2)( 121 nxxx nxxx , 21 )()()( 21 nxfxfxf 121 nxxx )()()( 21 nxfxfxf 1, 21 不全为nxxx nxxx 211,1 21 xx 1x 2x 21xx)()()( 22212121 cbxaxcbxaxxfxf )()()( 212221221221221222212 xxbcxxacxxxxabcxxbxxa )()()1( 21222121 cxbxxaxcbaxxff )1()1()( 212221212221221222212 xxbcxxacxxxxabcxxbxxa)()1()()( 2121 xxffxfxf )1()1()1( 212122212221212121 xxxxbcxxxxacxxxxxa b x1)1()1()1()()()( 21 fffxfxfxf n )()()( 21 nxfxfxf 清北学堂集中培训课程课程入学测试答案 北京清北学堂教育科技有限公司 第 10 页 4.请说明是否存在无穷多个 1,2,3,4这四个数码构成的完全平方数 . 解：存在。 取 （ m,n N+,mn0）只需证明满足 A 形式的整数的平方为 1,2,3,4 这四个数码构成的