湖南省邵阳市隆回县第二中学高中数学 2.3.2抛物线的简单几何性质课件2 新人教A版选修11 .ppt

1 知识与技能能根据抛物线的方程推导它的几何性质 2 过程与方法能应用抛物线的性质解决有关问题归纳 对比四种方程表示的抛物线几何性质的异同 本节重点 抛物线的几何性质 本节难点 抛物线几何性质的运用 1 抛物线与椭圆 双曲线的重要区别是 只有一个焦点 一个顶点 一条对称轴和一条准线 没有中心和渐近线 2 不能把抛物线看作是双曲线的一支 虽然两者都是沿开口方向越来越远离对称轴 但抛物线却越来越接近于对称轴的平行线 3 为了简化解题过程 有时可根据抛物线方程的特征利用参数表示抛物线上动点的坐标 有时还可以利用抛物线的对称性避免分类讨论 4 在抛物线的几何性质中 应用最广泛的是范围 对称性 顶点坐标 在解题时 应先注意开口方向 焦点位置 选准标准形式 然后运用条件求解 5 要注意运用数形结合思想 根据抛物线的定义 将抛物线上的点到焦点的距离和到准线的距离相互转化 6 在求解直线与抛物线的位置关系的问题时 要注意运用函数与方程思想 将位置关系问题转化为方程根的问题 1 范围因为p 0 由方程y2 2px p 0 可知 这条抛物线上任意一点m的坐标 x y 满足等式 所以这条抛物线在y轴的侧 当x的值增大时 y 也 这说明抛物线向右上方和右下方无限延伸 它开口 2 对称性以 y代y 方程y2 2px p 0 不变 因此这条抛物线是以x轴为对称轴的轴对称图形 抛物线的对称轴叫做抛物线的 3 顶点抛物线和它的轴的交点叫做抛物线的发 在方程y2 2px p 0 中 当y 0时 x 0 因此这条抛物线的顶点就是 右 增大 越开阔 轴 顶点 坐标原点 4 离心率抛物线上的点与焦点和准线的距离的比 叫做抛物线的 用e表示 按照抛物线的定义 e 离心率 1 例2 正三角形的一个顶点位于坐标原点 另外两个顶点在抛物线y2 2px p 0 上 求这个正三角形的边长 解析 如图 设正三角形oab的顶点a b在抛物线上 且它们坐标分别为 x1 y1 和 x2 y2 则y 2px1 y 2px2 点评 本题利用了抛物线与正三角形有公共对称轴这一性质 但往往会直观上承认而忽略了它的证明 例3 求过抛物线y2 2px p 0 的焦点f的弦长的最小值 解法二 如图所示 设焦点弦ab的中点为e 分别过a e b作准线l的垂线 垂足为d h c 由抛物线定义知 ad af bc bf 所以 ab af bf ad bc 2 eh 由图可知 he gf 当且仅当ab与x轴垂直时 he gf 即 ab min 2 gf 2p 点评 解法一运用了弦长公式 解法二运用了抛物线的几何意义 由此题我们可以得出一个结论 过抛物线焦点的所有弦中 通径最短 当过焦点的弦垂直于x轴时 此弦为抛物线的通径 但值得注意的是 若弦长小于通径 则此弦不可能过焦点 抛物线的顶点在原点 以x轴为对称轴 经过焦点且倾斜角为135 的直线 被抛物线所截得的弦长为8 试求抛物线方程 2 在抛物线上求一点p 使p到直线x y 3 0的距离最短 并求出距离的最小值 分析 由题目可获取以下主要信息 已知抛物线的标准方程 求抛物线上的一点到其他元素的距离的最值 解答本题时一是可找到表示最值的目标函数 二是可分析最值对应的数学元素的意义 点评 有关抛物线的最值问题 主要有两种解决思路 一是利用抛物线的定义 进行到焦点的距离与到准线的距离的转化 数形结合 以几何意义解决之 二是利用抛物线的标准方程 进行消元代换 获得有关距离的含变量的代数关系式 以目标函数最值的求法解决之 答案 c 答案 b 3 顶点在原点 坐标轴为对称轴的抛物线 过点 1 2 则它的方程是 a y 2x2或y2 4xb y2 4x或x2 2yc x2 yd y2 4x 答案 a 解析 抛物线的顶点在原点 坐标轴为对称轴 抛物线的方程为标准形式 当抛物线的焦点在x轴上时 抛物线过点 1 2 设抛物线的方程为y2 2px p 0 22 2p 1 p 2 抛物线的方程为y2 4x 当抛物线的焦点在y轴上时 抛物线过点 1 2 设抛物线的方程为x2 2py p 0 4 过抛物线y2 8x的焦点 作倾斜角为45 的直线 则被抛物线截得的弦长为 a 8b 16c 32d 61 答案 b 解析 由抛物线y2 8x的焦点为 2 0 得直线的方程为y x 2 代入y2 8x 得 x 2 2 8x 即x2 12x 4 0 x1 x2 12 弦长 x1 x2 p 12 4 16 二 填空题5 顶点在原点 焦点在x轴上且正焦弦 过焦点和对称轴垂直的弦 长为6的抛物线方程是 答案 y2 6x 解析 焦点在x轴上 顶点在原点 抛物线方程为 y2