关于方程fx=0的根的研究论文.doc

目 录1 前言12 方程根的存在性定理及其应用22.1 方程根的存在性定理1及其应用22.2 方程根的存在性定理2及其应用32.3 方程根的存在性定理3及其应用53 方程根的唯一性定理及其应用63.1 方程根的唯一性定理63.2 应用举例64 方程根的个数讨论84.1 方程根的个数84.2 应用举例115 复合方程根的判别136 结论19参考文献20致谢21关于方程的根的研究数学系本1103班 张东指导老师: 殷摘 要：求方程的根在中学所学代数中占有重要地位，所以从四个方面研究的根，分别为：利用高等数学中的介值定理、罗尔定理和费马原理证明根的存在性；闭区间上函数的连续性定理，单调性证明根的唯一性；利用导数来研究方程根的个数；复合方程的根应该遵循的原则。关键词: 方程；根；介值定理；罗尔定理；费马原理Research on equayion rootDepartment of Mathematics, the 1003 class Zhang DongInstructor: Yin Abstract:Resulting equayion root occupies an important position in the high school learning algebra,so from four aspects to study root equayion.Such as,using the intermediate value theorem,roole theorem of higher mathematics and fermats theorem proving the existence of the root;The continuity of function on closed interval theorem,monotonicity to prove the uniqueness of the root;The number of derivative to study equayion root of;Should follow the principle of the roots of complex equations.Keywords: equayion;the root;intermediate value theorem;Rolles theorem;Fermats theorem;The function extreme value;derivativeii1 前言求方程的根是代数中的一个基本的问题，特别是在中学所学代数中，解方程占有重要地位。有学者在这方面已经作了一定的研究, 如余剑鸣在对方程根的题型分析中给出有关方程根的三类题型:方程根的存在性证明,方程根的唯一性证明及方程根的个数讨论,姚兵在关于方程的根的一些讨论一文中也是综合了上述观点；江志杰在例说复合方程根的判别原则中通过例子谈了复合方程根的判别原则。但总的来说,讨论得还不够系统也不够透彻，本课题在原有研究的基础上进行了更多方面的研究，更加系统地对方程根的解法进行阐述。本文分为四章，分别为方程根的存在性定理、证明及其应用，唯一性定理、证明及其应用，方程根的个数讨论及复合方程根的判别原则。其中我们利用微积分学的知识讨论方程的根或函数的零点。首先根据连续函数的零点定理、罗尔定理等证明根的存在性；再利用函数的单调性、极值、最值等确定方程的根的个数；而罗尔定理常被用于反证法证明根的唯一性。对于复合方程根的判别，我们利用其五个原则来解答。掌握方程的根的存在性、唯一性、个数及复合方程根的判别, 能够熟练地求解方程的根、判断方程根的个数,更好地运用数形结合思想、函数与方程思想与方法等解决方程根的问题。2 方程根的存在性定理及其应用2.1 方程根的存在性定理1及其应用定理11(零点定理) 如果在闭区间上连续,且，则至少存在一点，使得，即方程在内至少有一个根。这个定理的几何解释如图2.1.1所示：若点A（, ）与B（）分别在轴的两端，则连接A、B的连接曲线与轴至少有一个交点。yBbAaOc图2.1.1证明：利用构造法的思想,将的零点范围逐步缩小。先将二等分为，如果,则定理获证。如果，则和中必然有一个与异号,记这个小区间为,它满足。又将二等分，考虑中点的函数值,要么为零，要么不为零。如果中点的函数值为零，则定理获证。如果中点的函数值不为零,那么必然可以选出一个小区间,使得在这个区间的端点值异号,记这个小区间为，它满足，且。采用这样的方法一直进行下去,或者到有限步时,某个区间的中点的函数值为零,这样定理的结论成立。或者所有区间的中点的函数值不为零，那么我们就会得到一个无穷的区间序列，它满足:；。由单调有界定理，可知，如果，则定理可证。如果，因为在点连续，故由连续函数的局部保号性：存在一个，使得在上与同号。根据构造的区间的性质，有，存在正整数，当时，。根据区间的性质，与定理矛盾。综上所述，只有，且。定理获证。注：上面所采用的证明方法是对大学数学非常有用的二分法，这个思想可以应用于各个领域，实际上是函数零点的近似值。例1 证明方程在区间内存在实根。证：设函数，在区间内连续，且，。 由定理1可知，必存在，使，即是方程的一个实根。2.2 方程根的存在性定理2及其应用定理21（罗尔(Rolle)中值定理） 若函数满足如下条件：在闭区间上连续；在开区间内可导； ，则在内至少存在一点c，使得。罗尔定理的几何意义可以理解为：在每一点都存在导数的连续曲线上，如果这段曲线的两个端点的纵坐标相等，那么至少存在一条水平切线。（如图2.2.1）abABcOy图2.2.1证：因为在上连续，所以有最大值和最小值，分别用和表示，现分两种情况来讨论：（1）若，则在上必为常数，从而结论显然成立；（2）若，则因，使得最大值M与最小值m至少有一个在内某点处取得，从而是的极值点。由条件，在点处可导，固由费马定理推知。例2 设函数在内有二阶导数,且,其中。证明方程 在内至少有一个实根。证：由题可知，函数 在，上连续，在,内可导，且。由罗尔定理,我们可得，至少存在点,使得。又因为在上连续,在内可导,由罗尔定理可得，至少存在一点,使得,即方程在内至少有一个实根。2.3 方程根的存在性定理3及其应用定理31（函数极值存在的必要条件） 若函数在内可导，且有极值，则。这个定理的几何意义为：如果函数在极值点可导，则在该点的切线就平行于轴。例3 设在上连续, 在可导，并且满足,，则存在，使得。解: 如果, 那么在上处处有,故不妨设在不恒等于零。于是存在一点,使得。 我们又不妨设，因为, 故存在正数, 当时 , 恒有。因为在有界区间连续,故存在，使得。可以看出是在上的最大值 , 所以是的极值,则由费马定理知。3 方程根的唯一性定理及其应用3.1 方程根的唯一性定理定理2： 设函数在闭区间上连续，且与异号（即），而在开区间内单调，则在开区间内存在唯一的点使。函数在闭区间上连续且单调增，则在开区间内存在唯一的点使y这个定理的几何解释如图3.1：bo图3.13.2 应用举例例4 设在上连续，且，证明：方程在内存在唯一的实根。证明：令，因为，。则由根的存在定理可知：方程至少有一个根。又因为，即函数单调递增，则方程在内只有一个根。例5 证明方程在区间内，不可以有两个不相同的实数根。证: 设在内有两个不相同的实根，（设）。设，则。显然在上连续，在内可导，且，利用罗尔定理可得：存在一点，使得。当时，故矛盾。因此在区间内不能有两个不相同的实数根。4 方程根的个数讨论方程与解方程是中学数学的重要内容,中学数学的各类考试都比较注重对方程思想的考查，而判定方程的根的个数是考查方程思想的一个重要方面。那么，如何判定方程根的个数呢？4.1 方程根的个数我们都很清楚，一次方程与二次方程的根的个数和系数之间的关系。对于次数大于二次的高次方程，它的根的个数的讨论，我们并没有现成的公式。但我们知道，方程的根也就是对应函数图象与轴的交点的横坐标，而利用导数则可以研究函数所具有的一些性质，那么我们就来利用导数来探讨高次方程根的个数。下面以三次方程为例：设，则，导函数为二次函数。(1) 若，即时，函数在定义域上是单调递增的，与轴有且只有一个交点，对应方程有一个实根，如图4.1.1：yo图4.1.1(2) 若,即时, 有两个不相等的实根,设为,，且。当或时，；当时, 。故在、为增函数，在为减函数。且时，函数取得极大值，时，函数取得极小值。当或时，函数图象与轴有且只有一个交点，故方程仅有一个实根，如图4.1.2：y (1)yo （2）图4.1.2当或时，函数的图象与轴有两个不相同的交点，方程有两个根，如图4.1.3:yo （1）yo （2）图4.1.3当时，函数图象与轴有三个不相同的交点，方程有三个实根，如图 4.1.4；yo图4.1.4同理我们可以得出方程根的个数的解题方法：(1) 求出的驻点及不存在的点，用这些驻点及导数不存在的点将的定义域划分为若干单调增减区间。(2) 求出在每个单调区间上的极值(或最值)。(3) 分析极值(或最值)与轴的位置关系，必要时辅以极限协同分析。(4) 结合零点定理和函数的单调性可求出函数的根的个数及各根所在区间。4.2 应用举例例6 讨论曲线 与 的交点个数。解：由题设,讨论曲线 与 的交点个数，等价于考虑函数 的零点的个数，即的根的个数。因为，所以得驻点（唯一驻点）。又因为，当时，；当时，。所以，是的极小值点，同时也就是最小值点，且。当，即时，无零点，即两曲线无交点；当，即时， 有唯一的零点，即两曲线有唯一的交点；当，即 时， 由于 且在内单调，在内单调增加，所以有两个零点，即两曲线有两个交点。 5 复合方程根的判别形如“关于的方程（为实常数）”，我们不妨称之为复合方程。其由外方程和内方程复合而成，这类方程的根的判别问题涉及到四大常用数学思想（函数与方程思想、数形结合思想、转化与化归思想、分类讨论思想） ,同时考查函数作图、运算求解、抽象概括、逻辑推理等方面的能力。那么对于复合方程，我们该如何求它的根呢？求解过程应该遵循哪些原则呢？原则一：直接求解原则当复合方程中内外函数模型是一定的，常数也是一定的，可以先求解外方程，然后由的值解内方程。例7 已知 ，则函数有几个零点？解：先求得的根为和，再求出和的根，分别为-3、和、，故函数有四个零点。原则二：由外及内原则当复合方程（常数不确定），常可转化为先求外函数曲线与动直线的交点，然后由交点坐标中的取值再求内函数曲线和直线的交点。例8 若函数在处取得极大值或极小值,则称为函数 的极值点。已知 是实数，1和-1是函数 的两个极值点。(1)求和的值；(2)设函数的导函数，求的极值点；(3)设，其中，求函数的零点个数。解：（1）由 ，得。1和-1是函数 的两个极值点，解得。（2）由（1）得，解得。当时，；当时， 是的极值点。当或时，不是的极值点。的极值点是。（3）令，则。先讨论关于的方程根的情况：当时，由（2）可知， 的两个不同的根为，注意到是奇函数， 的两个不同的根为。当时，都不是的根。由（1）知。当时，于是是单调增函数，从而。此时在无实根。当时，。于是是单调增函数。又，的图像不间断，在内有唯一实根。同理，在内有唯一实根。当时，于是是单调减函数又 ，的图像不间断， 在内有唯一实根。因此，当时，有两个不同的根，且满足：当时，有三个不同的根，满足。现考虑函数的零点：当时，有两个根，满足。而有三个不同的根，有两个不同的根，故有5个零点。当时，有三个不同的根，满足。而有三个不同的根，故有9个零点。综上所述，当时，函数有5个零点: 当时，函数有5个零点。原则三：由内及外原则当复合方程的根的个数确定时，且内函数确定，可先解内函数曲线和直线的交点情况，再来求外方程的根的情况，或转化为求外函数与直线的位置关系。例9 设定义域为全体实数的函数，那么关于的方程,有个不同解(实数)的充分必要条件是（ ）。A. B.C. D.解析: 选C。由函数图象变换的知识，作出内函数的图象（如图5.1）。我们观察发现，当时，内方程有个不同的根；当时，内方程有个不同的根，故可推断是外方程的两个根，由韦达定理可知。且当取其它值时，均不符合题意，故选C。0124-2y图5.1原则四：内外兼顾原则当复合方程的根的个数一定，并且内外方程的根均不确定时，在考虑内函数和直线的交点情况时，还同时需要兼顾外方程的根的取值范围，这样才能解决问题。例10 已知函数的周期是，图象的某一个对称中心，将函数的图象上所有的点的横坐标，伸长到原来的倍（纵坐标不变）， 然后将得到的图象向右平移个单位长度后，得到函数的图象。(1) 求函数与的解析式。(2) 存在，使得，按照某种顺序成等差数列吗？如果存在，请确定的个数；不存在，请说明理由；(3)求实数和正整数，使得在内恰好有个零点。解：(1)、（2）解略，易得、；(3)由得:,其是由一元二次函数和正弦函数复合而成,但因区间不确定,使得内方程根的个数也不确定。外函数的，它必有两个不同的零点，并且有，我们不妨设,故分析讨论如下四点：(1) 当，时，在和内都有个零点，从而在内的零点个数为偶数，不符合题意；(2) 当，时，在内，有个零点，从而在内的零点个数为偶数，不符合题意；(3) 当，时，在内，有个零点，从而在内的零点个数为偶数，不符合题意；(4) 当或时，在内有个零点，而刚好，通过正弦函数的周期性可得，故的值为。原则五：利用特性原则求解复合方程的根的问题时，有时还需要利用内外函数的一些特征（比如函数的单调性、对称性、奇偶性、周期性、最值等），这对复合函数的根的个数、位置等的确定起着非常重要的作用。例11 函数的图象，关于直线对称。可推测，对任意的（非零实数），关于的方程的解集不可能的是（ ）。A. B.C. D.解析: 选B。 因为的方程由外方程和内方程复合得来的。假设是外方程的根，并且直线与抛物线有交点时（我们设交点的横坐标为）， 则。假如关于的方程有四个解时，肯定是两组关于共同的直线，对称的对称点的横坐标，显然不符合上述条件,故选B。6 结论经过分析，我们总结出面对不同的问题，选择合适的方法来求解方程的根。灵活运用微积分学的基本理论与方法 , 从不同的层面较顺利地解决有关零点( 实根) 的存在性问题；利用闭区间上函数的连续性定理，单调性证明根的唯一性：利用导数来讨论方程根的个数；复合方程根的判别问题实质上也是复合函数的零点判别问题，其中最本质的知识基础在于“方程的根函数的零点曲线与轴交点横坐标或分解为两函数曲线的交点横坐标”， 其解决关键的首要任务在于明确内、外函数模型，最核心的方法基础在于数形结合，遵循函数图象的直观性和等价性原则，所作的内、外函数图象尽可能是基本初等函数图象或由其经过图象变换得到的，并以此作为“数学实验的标本”， 将抽象化的问题和形象化的模型有机结合起来，通过对直观模型的观察操作、探索思考，可使问题化抽象为具体，化繁杂为简单。希望通过掌握方程的根的求解思路和方法，更好地运用数形结合思想、函数与方程思想与方法等解决方程根的问题。参考文献1 易林.解决函数零点问题的几种方法J.成都航空职业技术学院学报,2004, 61(4):40-41,44.2 余剑鸣.对方程的题型分析J.景德镇高专学报,2006,21(4):95, 110.3 姚兵.关于方程的根的一些讨论J.数学教学与研究,2013(17):30.4 江志杰.例说复合方程根的判别原则J.中学数学教学,2013(4):41-43.5 孔祥杰.如何判断方程根的个数J.高中数学教与学,2006(9):12-14.6 徐所扣,孟素红.导数和方程根的个数J.高中数学教学,2007(12):43-44. 7 华东师范大学数学系.数学分析（第三版）M.北京:高等教育出版社,2001.8 李艳丽.例说方程根存在的证明J.张家口职业技术学院学报,2007,20(1): 18-20.9 朱士信,唐烁,宁荣健.高等数学习题全解指南M.北京:中国电力出版社,2008.致谢首先，感谢我的论文指导老师殷凤老师的认真指导和细心修改，作为一个本科生的毕业论文，由于经验的匮乏，知识结构的局限，难免有许多考虑不周到的地方，如果没有殷老师的督促指导，想要完成本篇论文是难以想象的。殷老师在论文的整个撰写过程中从论文选题到参考资料，从中期检查到论文初稿的修改和确定都给了我耐心细致的指导。每次我向她请教都严谨而真诚，让我十分感激与佩服，殷老师对待学术的严谨与执着，对待同学的平易近人，所有这些都给我留下了很深的印象，这将积极的影响我今后的学习和工作。在此谨向殷老师致以诚挚的谢意。其次，我要感谢忻州师院数学系的各位任课老师，他们平时的细心教诲，让我对专业的数学知识有了系统的了解，他们认真严谨的教学和诲人不倦的品德，才让我具备了现在的学习素质和知识结构，最终完成论文的撰写。最后，要感谢我的舍友，感谢她们的理解与支持，不论在生活中还是在学习中都给了我很大的建议，在论文写作过程中她们提出了许多论文中的一些不足之处，并给予了我很好的建议，使我能较高效率较高质量地完成论文。感谢所有帮助和关心过我的同学和朋友们，是他们给了我前进的信心和永恒的动力。毕业设计（论文）原创性声明和使用授权说明原创性声明本人郑重承诺：所呈交的毕业设计（论文），是我个人在指导教师的指导下进行的研究工作及取得的成果。尽我所知，除文中特别加以标注和致谢的地方外，不包含其他人或组织已经发表或公布过的研究成果，也不包含我为获得 及其它教育机构的学位或学历而使用过的材料。对本研究提供过帮助和做出过贡献的个人或集体，均已在文中作了明确的说明并表示了谢意。作 者 签 名： 日 期： 指导教师签名： 日期： 使用授权说明本人完全了解 大学关于收集、保存、使用毕业设计（论文）的规定，即：按照学校要求提交毕业设计（论文）的印刷本和电子版本；学校有权保存毕业设计（论文）的印刷本和电子版，并提供目录检索与阅览服务；学校可以采用影印、缩印、数字化或其它复制手段保存论文；在不以赢利为目的前提下，学校可以公布论文的部分或全部内容。作