高考数学总复习（整合考点+典例精析+深化理解）第二章 第十四节导数在研究函数中的应用(二)课件 理.ppt

第十四节导数在研究函数中的应用 二 第二章 例1 设函数f x 1 证明 当x 1时 f x 思路点拨 欲证f x x 1 即证 也就是证ex x 1 即证ex x 1 0 假设构造函数g x ex x 1 x 1 若能证明当x 1时 g x min 0 则问题得证 利用导数证明不等式 自主解答 证明 当x 1时 f x 当且仅当ex 1 x 令g x ex x 1 则g x ex 1 当x 0时 g x 0 g x 在 0 上是增函数 当x 0时 g x 0 g x 在 0 上是减函数 于是g x 在x 0处达到最小值 因而当x r时 g x g 0 即ex 1 x 所以当x 1时 f x 点评 通过构造函数 利用导数判断出所构造的函数的单调性 利用单调性证明不等式 这也是证明不等式的一种有效方法 1 2013 北京卷 设l为曲线c y 在点 1 0 处的切线 1 求l的方程 2 证明 除切点 1 0 之外 曲线c在直线l的下方 变式探究 证明 欲证当x 1时 f x 即证ex 1 x 令g x ex x 1 则g x ex 1 当x 0时 g x 0 g x 在 0 上是增函数 当x 0时 g x 0 g x 在 0 上是减函数 于是g x 在x 0处达到最小值 因而当x r时 g x g 0 即ex 1 x 所以当x 1时 f x 例2 2013 广州质检改编 已知函数f x 2x a r 1 当a 3时 求函数f x 的单调区间 2 若过点可作函数y f x 图象的三条不同切线 求实数a的取值范围 函数的零点与导数 自主解答 解析 1 当a 3时 函数f x x2 2x 得f x x2 3x 2 x 1 x 2 所以当1 x 2时 f x 0 函数f x 单调递增 当x 1或x 2时 f x 0 函数f x 单调递减 所以函数f x 的单调递增区间为 1 2 单调递减区间为 1 和 2 2 设点p是函数y f x 图象上的切点 则过点p的切线的斜率k f t t2 at 2 所以过点p的切线方程为y 2t t2 at 2 x t 因为点在该切线上 所以 t3 t2 2t t2 at 2 0 t 即 0 若过点可作函数y f x 图象的三条不同切线 则函数g t 有三个不同的零点 即函数y g t 的图象与坐标轴横轴有三个不同的交点 令g t 2t2 at 0 解得t 0或t 因为g 0 0 所以必须即a 2 所以实数a的取值范围为 2 点评 利用导数讨论三次函数的零点的常用结论 对于在r上非单调的三次函数y f x 若f x 只有一个零点 则只需极小值大于零或极大值小于零 若f x 有两个零点 则只需极小值等于零或极大值等于零 若f x 有三个零点 则只需极小值小于零且极大值大于零 变式探究 2 已知函数f x x2 ax a x r 其中a 0 1 求函数f x 的单调区间 2 若函数f x 在区间 2 0 内恰有两个零点 求a的取值范围 解析 1 f x x2 1 a x a x 1 x a 由f x 0 得x1 1 x2 a 0 当x变化时 f x f x 的变化如下表 故函数f x 的单调递增区间是 1 a 单调递减区间是 1 a 2 由 1 知f x 在区间 2 1 内单调递增 在区间 1 0 内单调递减 从而函数f x 在区间 2 0 内恰有两个零点当且仅当解得0 a 所以 a的取值范围是 求函数的极值 例3 2013 汕尾二模 已知函数f x ax lnx 其中a为常数 设e为自然对数的底数 1 当a 1时 求f x 的最大值 2 讨论f x 在区间 0 e 上的单调情况 3 试推断方程 2x x lnx 2lnx x是否有实数解 若有实数解 请求出它的解集 点评 与导数有关的综合问题有多个方面 不等式的证明 函数单调性的判断 函数极值 最值的求解 函数零点的判断等都会用到导数方法 而导数应用的核心问题是导函数的符号与函数单调性的关系 变式探究 3 设f x 1 2x 3x a b r a 0 1 当 1 1 2 0时 设x1 x2是f x 的两个极值点 且满足x13 2 当 1 0 2 1时 求函数y f x 3 ln3 1 x x 0 的最小值 对于任意正实数a b c 当a b c 3时 求证 3aa 3bb 3cc 9 1 证明 当 1 1 2 0时 f x ax2 b 1 x 1 依题意x1 x2是f x 0两根 由x10 得 f 1 a b 2 3 a b 4a 2b 1 3 3 2 解析 当 1 0 2 1时 f x 3x x y 3x x 3 ln3 1 x y 3xln3 x 3x 3 ln3 1 易知y 是增函数 且x 1是它的唯一的零点 当x 1时 y 0 当0 x 1时 y 0 当x 1时 y 3x x 3 ln3 1 x有最小值 3ln3 证明 由 知 3xx 3 ln3 1 x