（基础数学专业论文）利用有限域上n阶幂等阵构造几何格.pdf

摘要 格是一类重要的偏序集，它的理论已经涉及到数学的许多分支，在许 多领域( 如在计算机的逻辑设计和程序理论等) 有着广泛的应用因此， 构造有实际意义的格是一项非常有意义的工作在国内，万哲先与他的学 生和合作者们利用线性空间的办法，讨论了在有限域上的典型群作用下， 由各个轨道或相同维数和秩的子空间生成的几何格但是，利用矩阵构造 几何格结果很少本文就想利用特殊矩阵来构造几何格 本文得到了构造几何格方面的一些结果，其中第一部分介绍几何格理 论的基本概念；第二部分利用有限域尼上幂等阵的分解形，构造了一个几 何格，并计算出该几何格的特征多项式及相应的一些参数 关键词几何格，有限域，幂等阵的分解形 v 了_ 7 l l l a b s t r a c t l a t t i c ei sak i n do fi m p o r t a n tp a r t i a l l yo r d e r e ds e t s ，i t st h e o r yp l a ya n i m p o r t a n tr o l ei nm a n yb r a n c h e so fm a t h e m a t i c s ，s u c ha sc o m p u t e rl o g i c a l d e s i g na n dp r o c e d u r et h e o r y t oc o n s t r u c t s o m ek i n d so f p r a c t i c a ll a t t i c ei sa v e r yi n t e r e s t i n gw o r k i nc h i n a ，w a n ，h i ss t u d e n t sa n dc o o p e r a t o r s c o n s t r u c t g e o m e t r i cl a t t i c eb ym e a n s o fl i n e a rs p a c e s ，a n dd i s c u s st h eg e o m e t r i cl a t t i c e t h a tg e n e r a t e db yv a r i o u so r b i t so rs u b s p a c e sw i t ht h es a m ed i m e n s i o no r r a n ku n d e rt h ea c t i o no fc l a s s i c a lg r o u p so v e rf i n i t ef i e l d b u tt h er e s u l t so n g e o m e t r i cl a t t i c ec o n s t r u c t e db yu s i n gm a t r i c e sa r ev e r yf e w i nt h ep r e s e n t p a p e r ，w ec o n s t r u c tg e o m e t r i cl a t t i c ew i t hi d e m p o t e n tm a t r i x s o m er e s u l t so ng e o m e t r i cl a t t i c ea r ei n v o l v e di nt h ep r e s e n tp a p e r h e r ew er e c a l ls o m ed e f i n i t i o n sa n df a c t sf r o mg e o m e t r i cl a t t i c e ，a n dt h e n b yt h em e t h o do fd e c o m p o s i t i o nf o r mo fi d e m p o t e n tm a t r i xo v e raf i n i t e f i e l d ，o n eg e o m e t r i cl a t t i c ei so b t a i n e d a tt h es a m et i m e ，t h ep r e s e n tp a p e r c o m p u t et h ec h a r a c t e r i s t i cp o l y n o m i a la n dt h ep a r a m e t e r st h a ti n v o l v e di n t h eg e o m e t r i cl a t t i c e k e y w o r d s ：g e o m e t r i cl a t t i c e ，f i n i t ef i e l d ，i d e m p o t e n t m a t r i x l v 独铷健声明 本人声明所呈交的学位论文是本人在导师指导下进行的研究工 作及取得的研究成鬃。据我所知，除了文中特别加以标注和致游的地 方羚，涂文中不包含其谴入已经发表或撰写过豹研究藏栗，氇不毽含 为获得东北师范大学或其他教育机构的学位域证书而使用过的材料。 与我一同工作的同惑对本研究所做的任何贡献均已在论文中作了明 确黪淡鳃荠表示滋惑。 学位论文作者签名：张颖日期 学位论文版权使用授权书 本学位论文 乍卷完全了解东北师范大学有关保留、使用学位论文 的规定，即：东北师范大学有权保留并向国家有关部门或机构送交学 位论文鲶复印 牛和磁盘，允许论文被查阅； 珏借阙。本人授权东i 师范 大学可以将学位论文的全部或部分内容编入有关数据蓐遴行检索，可 以采用影印、缩印城其它复制手段保存、汇编学位论文。 ( 保密的学位论文在解密后适用本授权书) 学 立论文作者签名： 日期： 强鬏 ? p d ；f ；0 指导别日璐名：趁 ) ，s ，。 学位论文 荤者毕渡后去向： 工作单位：! 妻：墨签! 蓟霞压电话：! ! ! 二曼61 1 1 口 通讯地址：! e 2 i 1 21 i 霾2 笪褥 邮编：! ! ! 1 2 5 1引言 我们首先介绍本文所需要的有关偏序集和几何格的一些预备知识，特 别是局部有限偏序集上的m 6 b i u s 函数，偏序集上的特征多项式，几何格 等 定义1 设尸是一个非空集，是定义在p 上的一个二元关系如 果f 列三条公理成立，p 就叫做一个偏序集，叫做尸上的偏序，简称 序 ( 1 ) 对于任意z p ，都有x2 x ( 2 ) 对于任意z ，y p ，如果z y ，而且y z ，那么z = y ( 3 ) 对于任意x ，y ，z p ，如果z y ，而且y 。，那么z z 除了上述三条公理外，若下面的公理( 4 ) 也成立，则p 就叫做一个 全序集或链，而叫做p 上的全序偏序有时也记作s ( 4 ) 对于任意z ，y 只z y ，y z 二者中至少有一个成立 设p 是偏序集，2 是p 上的一个偏序如果x ( 或茁y ) 而 x y ，就记z g ( 或z g ) 设丁是偏序集p 的一个子集，m t 如果不存在x t ，使得 m z ) ，r 1 2 就叫做t 的极大元( 或极小元) 如果对所有的x t ， 都有m2z ( msz ) ，m 就叫做t 的最大元( 或最小元) 显然，当p 有最 大元( 或最小元) 时，它必是p 的唯一的极大元( 或极小元) 往往把尸的 唯一的最大元( 或最小元) 记作1 ( 或0 ) 设丁是偏序集p 的一个子集，“尸如果对所有z t 都有u _ ( 或“曼z ) ，u 就叫做丁_ 的一个上界( 或下界) 注意丁的上界( 或下 界) 不一定属于丁如果u 是丁的一个上界，而对于丁的任一个上界t ，都 有f2 “，那么“就叫做丁的上确界同样可定义丁的下确界根据公理 ( 2 ) ，如果丁有上确界( 或下确界) ，则它必是唯一的，并把它记作s u p t ( 或 i n f t ) 同样丁的上确界( 或下确界) ，也不一定属于丁 设p 是偏序集，z ，y p x y ，定义 陋，y 】= z piz z y ) 并把k ，y 】叫做以z 和y 为端点的区间，简称区间 设尸是偏序集，x ，y 只z y 如果不存在z p ，使得z 。 ， 就说y 是z 的一个覆盖，记作x o y 一个链( 即全序集) 所含的元素个数有限时称为有限链，否则称为无 限链 设p 是偏序集，z ，y p ，茁 y 如果存在x o = z ，z ，z 。= y ，使 就把链f 1 1 ) 叫做以z 为起点，y 为终点的链，简称z ，y 链 的长如果x ， 0 2 ，链( 1 1 ) 就叫做x ，y 极大链如果 ( 1 1 ) 而n 叫做它 z = z ： z ： x ： z 。t = y ， ( 12 ) 也是以z 为起点，9 为终点的链，而每个z ：( 1 曼isn ) 都在( 12 ) 中出 现，( 1 2 ) 就叫做( 1 1 ) 的加细假定以x 为起点，y 为终点的链都可加细 成极大链，而以x 为起点，y 为终点的极大链的长的最大值存在，就把它 记作d ( x ，) 显然，d ( x ，z ) = 0 如果有以x 为起点，y 为终点的链不能 加细成极大链，或以x 为起点，y 为终点的诸极大链的长没有最大值，就 定义d ( z ，y ) = 。o 如果以x 为起点，y 为终点的链都可以加细成极大链， 而以x 为起点，y 为终点的极大链的长都相等，就令l ( x ，y ) = d ( z ，) ，并 把它叫做从z 到y 的长 定义2 如果对于任意a ，b 尸，a b ，以a 为起点，b 为终点的所有 极大链有相同的有限长，则称偏序集p 满足j o r d a n d e d k i n d 条件，并 简称满足j d 条件 定义3 设p 是偏序集，如果对任意z ，y p j z y ，区间p ， 都是 有限集，那么p 就叫做局部有限偏序集如果p 是有限集，尸就叫做有 限偏序集 2 可 | | n z 2 zz d z | | z 得 定义4 设尸是局部有限偏序集，r 是有单位元的交换环设肛( z ，y ) 是定义在p 上而在兄中取值的二元函数假定p ( z ，y ) 满足以下三个条件： ( i ) 对于任意z p ，总有( z ，z ) = 1 ； ( i i ) 对于z ，y p ，如果z 重y ，贝0p ( z ，y ) = 0 ； ( i i i ) 对于z ，p ，如果z ，则“( z ，：) = o ，就把“( z ，g ) 叫 做尸上的m 6 b i u s 函数 引理1 【1 】局部有限偏序集上一定有m s b i u s 函数，而且是唯一的 定义5 设p 是含有最小元0 的偏序集，对于o p ，如果l ( o ，a 1 存 在，即0 ，a 链可加细成极大链，且所有0 ，n 极大链有相同的有限长f ( 0 ，o ) ， 就把它叫做n 的秩，记作r ( 。) 如果对任意3 2 p ，都规定了秩r ( z ) ，就 称p 有秩函数r ：p _ 0 ，其中0 是全体自然数和0 组成的集合，有时 简称尸有秩函数r 引理2 【1 】设p 是含有最小元0 的偏序集，并假定对于任意o ，b p 而a b ，a ，b 链均可加细成极大链如果p 满足j d 条件，那么p 上存在 秩函数r ：p _ ，并且 ( i ) t ( o ) = 0 ； ( i i ) 如果a 6 ，那么r ( 6 ) = r ( n ) + 1 反之，如果存在p 上而在0 中取值的函数r ，并且满足( i ) ，( i i ) ，那么p 满 足j d 条件，并且以r 为p 上的秩函数 定义6 设p 是具有最小元0 和最大元1 的有限偏序集，并且p 上 又有秩函数r ，那么多项式 ) ( ( p ) z ) = 肛( o ，a ) x 7 ( 1 ) 一( 。 a e 尸 叫做p 上的特征多项式 引理3 【1 】设p 是具有最小元0 和最大元1 的偏序集假定对任意 a b p 而a b ，a ，b 链均可加细成极大链如果p 满足j d 条件，那么 尸有特征多项式 3 定义7 偏序集三称为格，如果l 中任意两个元素都有上确界和下确 界把l 中元索a 和b 的上确界和下确界分别记为a vb 和aab ，即 a v b = s u p a ，味a ab = i n f a ，6 ) avb 读作a 并b ，aab 读作a 交b 当l 含有限个元素时，就称它为有限格 引理4 【1 】设l 是含有两个- - n 运_ 算v ，a 的代数系统，并假定对于 中的任意元素o ，b ，c 来说，下列性质成立： 1 a vb = b v a ，a ab = b ao ( 交换律) 2 ( a vb ) vc = a v ( b vc ) ，( a ab ) a c 3 a va = a ，a a a = a ( 幂等律) ； a a ( 6 ac ) ( 结合律) 4 ( “vb ) aa = a ，( a ab ) va = a ( 吸收律) ； 如果规定 b a 铮a ab = a ( 或等价地a vb = b ) 那么作成一个格，并且 s u p a ，6 ) = a vb ，n ， o ，b ) = aab 定义8 格l 称为半模格，如果对所有的n ，bel aab o a = 争6 o avb 格称为下半模格，如果对所有的a ，b l b s avb 号aab e a 引理5 t 1j 格l 是半模格当且仅当对所有的n b l 对任意ce a e b avc 1 时 当l s aus b i = 1 时 当j 勘m s b l = o 日寸 b ，当42b 时 ( n - 。z ) ( 现x 1 ) 与只n 生成 s a 与s j n s ；生成， s a 与s jn s 台生成 s - n s ：生成， 当j 乳f = l s s f = 2 时 当| 乳i = i s bj = 1 且s ans b i = 1 时， 当1 = i s a l l s bj 时 其它情况 例m n ，设一a = c n n zn 。，( i ) , b = ( b la 4 ) ( x 4 1 ) ，贝ua b = 。”。， 4v b = c 。啦n 。铂，( 萎) 容易看到，v 和 是妒c ，的两个代数运 2 结合律( a v b ) v c = j 4 v ( b v c ) ，( a a b ) a c = 4 a ( b a c ) ，由 4 吸收律( a v b ) a a = a ，( a a b ) v a = a 在此，仅就性质2 给出证明，对任意a ，b ，c 妒( p ) ，分情况进行讨 论： 1 当i 乳us bus cj 2 时，( avb ) vp=av ( b vc ) 由 ( a la 2 ) i ：= 1 ) 与只u s 刍u s b 生成的； 、山 ， 当i ，乳u 岛u s c l = 1 时，( a v b ) v c = a v ( b v c ) 由s a u s b u s 0 与只u s 台u 生成的； 当l s au 乳us c i = 0 时，( avb ) vc =a v ( bvc ) 是由 s _ u s 台u 生成的 2 当i s a l = | s b l = i s c l = 2 时，( a ab ) ac=a a ( b ac ) 是由 ( n - n z ) ( 芝) 与s a n s b n s c 生成的； 当i 乳i ，i 岛i ，l s c l 芝1 ，且其中只有一个为1 时，不妨设i s a l = 1 ，则 ( a ab ) a c = a a ( ba c ) 是由s a 与戥n n 生成的，对i 岛i = 1 ， 或| s c i = 1 的情况可有类似的结果； 当l s a i ，i 如j ，l s c i 1 ，且其中只有一个为2 时，不妨设i s 一 = 2 ， 此时，若i s 口n s c | = 0 ，则( a a b ) a c = a a ( b a c ) 是由s jn s ；n s c 生成的；若i 岛ns c = 1 ，则( a ab ) ac=a a ( b a c ) 是由如n 与 懿n n 生成的对f s b l = 2 ，或s c i = 2 的情况可有类似的结果； 当i s a l = 1 s b l = l s c l = 1 时，若l s a n s b n s c l = 1 ，贝0 ( a a b ) a c = a a ( b a c ) 是由s a f q s b n s c 与s j n s b n s b 生成的；若l s a n s b n s c i = 0 ， 则( a a b ) a c=a a ( b a c ) 是由霸n n 品生成的； 当 勘i ，1 f ，l s c i 中至少有一个为0 时，( a a b ) ac = a a ( b ac ) 是由只n n 生成的 因此，性质2 成立 由引理4 ，妒( p ) 作成一个格，并且s u p a ，b ) = a v b ，n ， a ，b ) = aab 下面我们将指出妒( p ) 构成一个半模格由引理5 ，只须证明，若 1 4 a b ，对任意c 妒( p ) ，有a vc f = bvc 或avc bv c 成立，分 情况进行讨论之： i i 乳l i s u l ( i ) 1 = l s a l s b i = 2 当s c l = 2 时，容易验算av g=b v e ；当l s c i = 1 时，av c= bvc 或avc bve ；当l s c i = 0 时，avc b vc ( i i ) 0 = l s a i i s b i = 1 当l s oj = 2 时，a v c = b v c ；当l s c = 1 时，a v c = b v c 或a v c b v c ；当l s c i = 0 时，a v c b v c ， i i s a i = s b 当i s aj = i s s i = 2 时，a v c = bv c 或av c b v e ；当i s i = i s b i = 1 时，此时s a = s b ，a vc=bvc 或avc bv c | ；当i s a | = i 如l = 0 时，avc =bvc 或avc | s b i ，不成立 至此，我们证明出妒( “) 构成一个半模格 显然，妒( p ) 含有有限个元素，所以是有限格，并且对每个a 妒( 肛) o ) ，o 都是妒( p ) 中一些原子的上确界，故为原子格 综上所述， 妒似) 是没有无限链的半模原子格，从而妒( ，z ) 构成几何 格 令d f m a 表示a 的象空间的维数 定义函数 r ：妒( 卢) j o a时d i m a 显然有( i ) r ( o ) = o ；( i i ) 如果a b ，那么r ( b ) = r ( a ) + l 所以，由引理2 ，我们知道妒( p ) 满足j d 条件，并且以r 为妒( 肛) 上 的秩函数同时，由引理3 ，妒( ) 有特征多项式下面我们将求妒( p ) 的 特征多项式 首先，计算l l | - 1 5 互相 即 “【c 1 ) _ ( 存在 b l y l 或b 2 y 2 理3 ，b l ，b 2 与c t ，c 2 可以 使得 蚴( ：；) 一( c 旧啦) = ( p 。q ) ( 。z 。1 ) c 1 = p h i + s b 2 c 2 = q b l + t b 2 l = p z l + q z 2 y 22s z l 上t z 2 若c l z l 2 b l 1 ，则p b l 。l + s b 2 2 1 = p b l z l + q b l z 2 ，故s b 2 z l = q b l z 2 ， s z 铀l = 口z 2 t u t l 等式两端右乘y i 有s 。i 6 5 v = g 。2 t u t l t t ，从而q = o ；等式两端 右乘醍，有s z t b 2 t y ；= g z 。t b t 。如，于是s = 0 从而，( 6 16 2 ) ( ；? ) _ ( c m ) 月理，7 若c l z l = b 2 y 2 , 帅6 2 ) ( ：；) 咄m ) 因而，任取幂等阵( n - n 。) ( 芝) 的分解形式( 6 ， 的讨论，存在( 驰q l 蚰q 2 ) g l z ( ) 使得( 6 6 2 ) = ( 。 分解形式( c ，c z ) ( z 铂2 ) 与( 6 t6 2 ) ( 茏) 是等价的，则 1 6 啦q 2 ) ( p 。? ) 饥 定 呐 雌 删 删卜吼 =乱勿卜 2 2，i口t ，j “龟p s s i a 、i恕 ，、玑强i曲j 哟 虬 引 壤 若 因 删 面 若 蝻0 玑抛q g li k n 吼啦 ，、 oo ， (、 = 啦吼 、，t t o t 1 3 q g p 0 p p ， 哟 蚴 h 毗 = = 或有 所以 渤蚴( ：q 。) 一( n ，( 塞 。：， ( a la 2 一( a 1a 2 一( a la 2 q 吼2 ) ( 0 。 熟 ；) 对任意( ；? ) ，( ：；) g l 。( ) 等价关系都成立 因而是保证不等价关系成立的二阶可逆矩阵( 茏q ( 1 2 ) 的个数 的两倍，矩阵( q 口3 1 ) 有雨q 2 - - 1 种选取方法，矩阵( q q 。2 ) 有i q 2 - - q 种选 取方法，并且与摆放的顺序没有关系因此，这样可逆矩阵的个数是 三丘兰型：煎堕 2q 1 q 1 2 ：2 掣：q ( q + 1 ) 1 “1 = 1 l 1 + n 一2 = q ( q + 1 ) + 咒一2 由引理1 ，妒( 肛) 上一定有m 6 b i u s 函数，而且是唯一的- 下面将求 出妒( 肛) 的m 6 b i u s 函数 定义 f0如果z 基口 础川2 c - 1 尸i 。m y - d ；m x ( q 2 1 ) d i m yd i ? 1 “莴暑晏操憾捌) i 2 i( 一 m 如果z 可( 非上述情况j ( i ) 肛( z ，z ) = ( 一1 ) 4 2 ”。一出”。= 1 ( i i ) p ( z ，g ) = 0 ，若xg ； 2 4 ： 啦吼卧胁跏黜 吼啦li，、，、 八锄辄彻仲 g 口 吼啦船舶跗卵 ， ( i i i ) 如果z ；且i 最i = 0 ，l s y i = 2 - 令- m = d i m y d i m x 一2 ，则对 比，( z z ) ，有 当d i m z d i m x = 0 时，p ( z ，z ) = 肛( z ，z ) = 1 ， 当d i m z d i m x = 1 时， 肛( z ，z ) = m ( 一1 ) + ( q 2 + g ) ( 一1 ) ， t 兰= 曼y 当d i m z d i m x = 2 时， 肛( z ，z ) = c 景( 一1 ) 2 + ( q 2 + q ) c 三( 一1 ) 2 + ( q 2 + 口一1 ) ( 一1 ) 2 ， 当d i m z d i m x = m 时， p ( z ，z ) = 铝( 一1 ) m + ( q 2 + q ) 叼一。( 一1 ) m + e 署一2 z ! ：兰 ( q 2 + q 一1 ) ( 一1 ) ”， 当d i m z d i m x = m + 1 时 p ( z ，z ) = ( q 2 + q ) c 2 ( 一1 ) “+ 1 + c = 1 ( q 2 + q 1 ) ( 1 ) ”+ 1 ， z s ：s y 当d i m z d i m x = m + 2 时， “( 茁。) = ( q 2 + q 一1 ) ( 1 ) “+ 2 z 蔓z 所以 p ( z ，。) = 1 + m ( 一1 ) + e 未( 一1 ) 2 + e 嚣( 一1 ) m q ( q + 1 ) 1 + e 三( 一1 ) + + e 嚣一1 ( 一1 ) m 一1 + g 焉( 一1 ) m + ( q 2 + q 一1 ) ( 一1 ) 2 + c 量( 一1 ) 3 + + c 罢一2 ( 一1 ) m + c g 一1 ( 一1 ) ”+ 1 + ( 一1 ) ”+ 2 =0 如果x 冬y ，非上述情况，此时，仍用符号m = d i m y d i m x 肛( z ，z ) = p ( z ，z ) + ( 一1 ) 1 c 毛+ ( 一1 ) 2 c 5 + ( 一1 ) “c 2 = 0 于是，p ( z ，y ) 就是妒( “) 上的m s b i u s 函数 妒( p ) 上的特征多项式为 x ( 妒( 肛) ，z ) = 卢( o ，a ) z 7 ( 7 “) 一7 ( 4 ) a p ( p ) 为计算特征多项式中z 的系数，我们有，对于a ，a 妒( p ) ，如果 1 8 d i m a = d i m a z r ( h ) 一r ( a ) 当i s l f = 2 时， 当l 乳 = 1 时， 当i s - l = 0 时， 所以 ( 妒( “) ，z ) = ，那么 = z n d i m a 二z “一d i m a = z ( 厶) 一r ( a “ 共有m 维幂等阵c 一1 - 。2 个，且p ( 0 ，a ) = ( 一1 ) “( 口2 + q 一1 ) 共有m 维幂等阵q ( q + 1 ) q 互1 个，且卢( o ，a ) = ( 一1 ) ， 共有m 维幂等阵c 罢2 个，且( o ，a ) = ( 一1 ) “ 量 ( 一1 ) ”( q 2 + q i 、，c m 。2 + ( 一1 ) ”( q 2 + q ) c 黑五1 4 - ( 一1 ) “c m2 z “” 量一( 一1 ) m ( q 2 + q i ，、c m - 。2 + ( q 2 + q ) c m - 2