（基础数学专业论文）关于高阶周期微分方程解的性质.pdf

摘要 本文应用复分析的n e v a n l i r m a 值分布理论和w i m a n v a l i r o n 理论，研究了复 域中系数为周期函数的线性微分方程解的性质全文分为三章 第一章，首先简要地介绍了复域上线性微分方程的研究背景，然后再叙述了 本文所需的预备知识和相关记号 第二章，研究了周期系数线性微分方程解的线性相关性证明了：如果二阶 方程 厂。+ 【曰( 矿) + q ( e - 2 ) 】厂+ 【r ( 矿) + p _ - o ( e - 2 ) i f = 0 ( 其中( z ) 和q ，( z ) ( j = o ，1 ) 是z 的多项式) 的解厂( z ) 满足吒( 门= 0 ，贝l j f ( z ) 与 f ( z + 2 n i ) 线性相关 对某些高阶方程 厂”+ 【只一l ( 矿) + q l ( e - 7 ) i f ”- 1 + + 【昂( g 。) + a o ( p 一2 ) i f = o ， ( 其中乞( z ) 和q ，( z ) ( = o ，刀一1 ) 是z 的多项式) 我们也得到了同样的结论 第三章，研究了某些高阶周期系数齐次微分方程 f 8 + 只一l ( 矿) + q i ( e - 。) i f 4 1 + + 昂( p 2 ) + 9 - o ( p 一。) 】厂= 0 和非齐次方程 f ”+ 【只一，0 。) + q 一。( e - 7 ) i f ”1 + + 【只( 矿) + a o ( e - 2 ) i f = 【墨0 。) + 坞( 9 1 ) 】 ( 其中弓( z ) ，q ，( 2 ) ( 歹= 0 , 1 ，n - 1 ) 和蜀( z ) ，r ：( z ) 是z 的多项式) 次正规解的存在性 和次正规解的表达形式，并证明了这些方程的非次正规解满足吒u ) = 1 关键词：周期系数；微分方程；次正规解；线性相关；超级 a b s t r a c t i nt h i sp a p e r , w ei n v e s t i g a t e dt h ep r o p e r t i e so fs o l u t i o n so f p e r i o d i cd i f f e r e n t i a l e q u a t i o n si nc o m p l e xa p p l i e dn e v a n l i n n a sv a l u ed i s t r i b u t i o n t h e o r y a n d w i m a n - v a l i r o nt h e o r y i ti n c l u d e sf o l l o w i n gt h r e ec h a p t e r s i nc h a p t e r1 ，f i r s t l y , w ei n t r o d u c e dt h eh i s t o r yo fc o m p l e xl i n e a rd i f f e r e n t i a l e q u a t i o n s ；s e c o n d l y , w er e l a t es i m p l ys o m en o t a t i o n sw h i c hw i l lb eu s e di nt h en e x t c h a p t e r s i nc h a p t e r2 ，w er e s e a r c h e dt h el i n e a rd e p e n d e n c eo fs o l u t i o n sf o rs e c o n do r d e r l i n e a rd i f f e r e n t i a le q u a t i o nw i t hp e r i o d i cc o e f f i c i e n t ，g o ti ft h es o l u t i o nf ( z ) o ft h e e q u a t i o n s f ”+ 日( p 。) + q ( p 一。) i f 7 + 【昂( p 。) + q 0 ( e - 。) 】= 0 s a t i s f y 吒( 厂) = 0 ，t h e n f ( z ) a n d f ( z + 2 z t ) a l el i n e a rd e p e n d e n c e a n df o rs o m eh i g h e r o r d e rd i f f e r e n t i a le q u a t i o n s f “+ 【只一。( 矿) + q ：，一i ( 矿7 ) 】厂川+ + 【昂( 矿) + q 0 2 ) 】厂= o ( w h e r e 弓( z ) a n dg ( z ) ( _ ，= o ，n - 1 ) a r et h ep o l y n o m i a l si nz ) ，t h es a m e c o n c l u s i o nh o l d s i nc h a p t e r3 ，w es t u d i e dt h ee x i s t e n c ea n dt h er e p r e s e n t a t i v ef o r mo fs u b n o r m a l s o l u t i o n sf o rac l a s so fh i g h e ro r d e rp e r i o d i cc o e f f i c i e n th o m o g e n e o u sd i f f e r e n t i a l e q u a t i o n s f ”+ 只一l ( p 。) + q 玎一l ( e - 2 ) i f ”一+ + 【昂( p 2 ) + q ( p 一2 ) i f = 0 a n dt h en o n h o m o g e n e o u sd i f f e r e n t i a le q u a t i o n s f 4 + 【只一。( p 。) + q ：一。( p 一。) 】”一1 + + 【昂( p 。) + q o ( p 一2 ) 】厂= r ( p 2 ) + 恐( p 一。) 】 ( w h e r e p ：( z ) ，踢( z ) ( 歹= o ，, - - - , n - 1 ) a n d r l ( z ) ，r ( z ) a r ep o l y n o m i a l si nz ) a n dw e p r o v e do 2 ( f ) = 1o f a l ln o n s u b n o r m a ls o l u t i o n so ft h o s e e q u a t i o n s k e yw o r d s ：p e r i o d i cc o e f f i c i e n t ；d i f f e r e n t i a le q u a t i o n ；s u b n o r m a ls o l u t i o n ；l i n e a r d e p e n d e n c e ；h y p e r - o r d e r i l 独创性声明 本人声明所呈交的学位论文是本人在导师指导下进行的研究工 作及取得的研究成果。据我所知，除了文中特别加以标注和致谢的地 方外，论文中不包含其他人已经发表或撰写过的研究成果，也不包含 为获得或其他教育机构的学位或证书而使用过的材料。与我一同工作 的同志对本研究所做的任何贡献均已在论文中作了明确的说明并表 示谢意。 学位论文作者签名：签字日期：年月 日 学位论文版权使用授权书 本学位论文作者完全了解江西师范大学研究生院有关保留、使用 学位论文的规定，有权保留并向国家有关部门或机构送交论文的复印 件和磁盘，允许论文被查阅和借阅。本人授权江西师范大学研究生院 可以将学位论文的全部或部分内容编入有关数据库进行检索，可以采 用影印、缩印或扫描等复制手段保存、汇编学位论文。 ( 保密的学位论文在解密后适用本授权书) 学位论文作者签名： 签字e l 期：年 月 e l 导师签名： 签字e l 期：年 月 e 1 关于高阶周期微分方程解的性质 第一章前言与预备知识 1 1 前言 复域上的微分方程是一个跨学科的交叉领域它主要应用复分析的理论和方 法研究微分方程的性质复方程研究的角度是多方面的例如，可以从代数的角 度去研究它( 如 1 】，【2 】) ；也可以从亚纯函数的奇异方向的角度去研究它；还可以 运用n e v a n l i n n a 值分布理论和w i m a n v a l i r o n 理论研究微分方程解的复振荡性质 ( 如 3 】，【4 】， 5 9 本文着重从最后一个角度来研究复方程解的性质 1 9 4 2 年，h w i t t i c h 首次系统地研究了n e v a n l i n n a 值分布理论在复域上微分 方程研究中的应用h w i t t i c h 考虑了线性微分方程 厂”+ 4 l i ( z ) 厂”1 + + a 1 ( z ) f + 4 ( z ) 厂= 0 ，( 1 1 ) 得到了下面的结果 定理1 1 a 吲方程( 1 1 ) 的所有解为有限级整函数当且仅当( 1 1 ) 的系数4 ( z ) ， ，4 l 一，( z ) 都是多项式 1 9 8 2 年，s b b a n k 和i l a i n e 在t r a n s a m e f m a t h s o c 上发表了一篇关于复 方程的研究论文，吸引了众多学者的关注，使得复振荡理论的研究越来越活跃 他们讨论了二阶线性微分方程 + a ( z ) f = 0 ，( 1 2 ) 解的振荡性质，得到下面重要的结果 定理1 1 b 嘲设a ( z ) 是以( 1 ) 次多项式，厂( z ) 是方程( 1 2 ) 的非平凡的解则 ( a ) 厂( z ) 的增长级为兰# ； ( b ) 如果刀是奇数，则厂( z ) 的零点收敛指数是三呈； z ( c ) 如果刀是偶数，且z 及五是方程( 1 2 ) 的两个线性无关的解那么z 和正 中至少有一个的零点收敛指数为兰如果某一解f 的零点收敛指数小于 上 下n + 2 ，那么厂仅有有限多个零点 z 随后，j k 。l a n g l e y ，g g u n d e r s e n 和s h e l l e r s t e i n 等人在这个领域内做了大量 关丁二高阶周期微分方程解的性质 的研究，并取得许多有意义的结果在国内，高仕安于1 9 8 9 年首先对以多项式为 系数的非齐次微分方程进行了研究，并得到了起始性的结果接着，陈宗煊解决了 这一领域中的几个重要问题，且对系数分别为多项式，有理函数，超越整函数及 亚纯函数的线性微分方程复振荡理论进行了一系列的研究，取得了一系列的重要 结果，为该领域的发展作出了重要的贡献进一步，h w i t t i c h ，g g u n d e r s e n , s b b a n k ，j k l a n g l e y ，陈宗煊和黄志波等人还成功地研究了系数为周期函数的 微分方程的振荡理论( 见【7 】， 8 】，【9 】， 1 0 】， 1 1 ， 1 2 1 ) 本文在前人工作的基础上，继续 对系数为周期函数的微分方程的解的性质进行讨论 1 2 预备知识 现在我们简要地介绍本文将要用到的n e v a n l i n n a 理论( 见【1 3 】， 1 4 1 ， 1 5 】，【1 6 】) 和w i m a n - v a l i r o n 理论( 见 1 1 ) 的- - 些相关知识及标准记号( 见 1 3 】，【1 4 】) ，它们是研 究线性微分方程非常有力的工具 1 2 1n e v a n l i n n a 理论的相关知识 在本节中，我们先介绍在开圆盘d ( r ) = z ：i z i r ) 内的亚纯函数厂( z ) 的 n e v a n l i n n a 值分布理论的相关知识及标准记号这里当r = 0 0 时，d ( 尺) = c 其次， 我们再介绍单位圆外的n e w a n l i n n a 值分布理论的相关记号 定义1 2 1 对于每个实数x 0 ，我们定义 l o g + x = m a x 0 ，l o g z 定义1 2 2 ( 均值函数) 对于一个亚纯函数厂，我们定义 m ( ，力= 万1 弘g + l 厂( 阳j 伊) h 嘶，古= 去胁+ l 南丢卜 其中a 是某一复常数 定义1 2 3 ( 计数函数) 对于一个亚纯函数厂，我们定义 ，门= r 亟半州o ，f ) l o g ， ，南：r 型牡州。列1 。咿， 2 关于高阶周期微分方程解的性质 其中口是某一复常数，刀( 厂) 表示厂( z ) 在l z | ，内极点的个数， 而刀( ，7 表 示厂( z ) 一口在l z l ，内零点的个数，每个极点和零点按它的重数计算 定义1 2 4 亚纯函数f ( z ) 的零点收敛指数x ( f ) 定义为 名( 力：l i m s u p l o g n - ( r , 1 一f ) r + m l o g r 定义1 2 5 ( 特征函数) 亚纯函数厂的特征函数定义为 t ( r ，门= m ( r ，) + ( ，厂) 定义1 2 6 亚纯函数厂( z ) 的增长级( 厂) 定义为 盯( 力：l i m s u p l o g _ t ( r 一, f ) ；r m l o g 厂 且f ( z ) 的超级吒u ) 定义为( 见 1 5 】) f c r 2 ( 厂) ：l i m s u p 堕掣 ， l o g ， 高仕安和蒋翼迈在 8 中定义亚纯函数f ( z ) 的e 一型级如下： 定义1 2 7 8 1 假设厂( z ) 是亚纯函数，则定义f ( z ) 的e 型级为 吒( 厂) ：l i m s u p l o g t ( r , f ) ( 1 3 ) r - a o， 这样e 型级和超级可以用于更精确地估计无穷级亚纯函数的增长性下面的 性质是显然的： ( i ) 如果o 吒( 厂) 1 上的n a v a n l i n n a 特征函数 设畎z ) 是o i z f 上的亚纯函数当f z | - - ) , o o 时w ( z ) 的增长性可以用i z i 1 上 的n a v a n l i n n a 特征函数来研究( 见 16 】p 4 5 ) 关丁二高阶周期微分方程解的性质 ( 1 ) h 1 上的亚纯函数似z ) 的特征函数石( 厂，叻定义为 驰，叻= 去r 8 1 0 9 + w ( r e 旧) 例z i _ ， 而用m ( ，叻表示w 在 z ：1 | z | ， 内极点的计数函数 特别地，z = 0 0 是w ( z ) 的一个极点当且仅当互( ，w ) = o ( 1 0 9 r ) ( r 一) 注意：当z 专0 时以z ) 的增长性可以用互( ，w ) ( 厂一o o ) 来考虑，其中 矿( z ) ：w ( 马 ( 2 ) w ( z ) 在z = o o 点的增长级定义为 ( 咖l i r ，a s u p 笋， ，+ i u x ， 且在z = 0 点的增长级( 叻= ( 矿) 容易证明：如果以z ) 在o i z l 他们显然具有下面的性质： ( 1 ) 对于所有充分大的，( ，g ) 是严格递增的，连续的，并且当，一0 0 时 也趋于佃： ( 2 ) v ( r ，g ) 为递增的分段函数，右连续的，并且当，专0 0 时也趋于佃 此外，我们再定义集合e c 【0 ，栅) 的线测度为m ( e ) = f z e ( t ) d t 以及集合 e c 【1 佃) 的对数测度所( e ) = 广兰亭，其中尻( f ) 表示集合e 的特征函数 4 关于高阶周期微分方程解的性质 第二章周期微分方程解的一个性质 2 1 引言与结果 周期系数线性微分方程的解厂( z ) 和f ( z + q c o ) 的线性相关性是复振荡研究的 起步关键，其中国为方程系数的周期，g 是某正整数 对于二阶周期线性微分方程 厂。+ a ( z ) f = 0 ，( 2 1 ) s b b a n k , i l a i n e ，j k l a n g l e y , 高仕安和蒋翼迈等都曾研究过它的解f ( z ) 和 f ( z + q o j ) 线性相关性的问题，并获得了下面的结果 定理2 1 a 1 6 1 设a ( z ) 是周期为国的有限级非常数整函数，且是的超越函 数，其中口= 2 z i m 如果厂( z ) 是方程( 2 1 ) 的非平凡解，且满足名( 厂) c o ，贝j j f ( z ) 与f ( z + c o ) 线性相关 定理2 1 b 鄙设彳( z ) 是周期为国的非常数整函数如果函数厂( z ) 是方程( 2 1 ) 的非平凡解，且满s 足_ l o g + n ( r ，1 f ) = o ( ，) ，那么f ( z ) - - 与厂( z + 2 缈) 线性相关 对于二阶微分方程( 2 1 ) ，如果z 和五线性无关，则 4 彳= 鲁一( 詈) 2 + 2 筹， ， 这里e = z 五，c 是常数这个公式在证明上面两个定理时起着重要的作用但对 于高阶微分方程没有类似这样的公式，因此研究高阶周期微分方程解的线性相关 性比较困难 对于高阶周期微分方程，s b b a n k 和j k l a n g l e y 在 1 1 】中证明了下面的结果 定理2 1 c 1 设4 ，4 一：( 尼2 ) 是周期为2 z i 的整函数如果厂( z ) 是方程 厂”+ 4 2 f 一2 + + 4 f = 0 的非平凡解进一步假设： 关于高阶周期微分方程解的性质 ( i ) 4 是e 2 的非常数有理函数，如果k 3 ，则设4 ，4 一：都是常数，且厂 满足l o g + n ( r ，1 f ) = d ( ，) ： 或( i i ) 4 是矿的超越函数，如果k 3 ，则设当，沿某一线测度为无穷的集己 趋于无穷时，有t ( r ，彳，) = o t ( r ，a ) ) ( 歹= l ，k - 2 ) ，且厂满足l o g + n ( r ，1 f ) = d ( ，) 那么存在整数g ，1 q k ，使得( z ) 与f ( z + q 2 z i ) 线性相关 下面我们将考虑二阶周期微分方程 f ，+ 露( g 。) + q ( e - 。) 】厂+ 【昂( 矿) + q o ( e - 7 ) i f = 0 ( 2 3 ) 和高阶微分方程 f “+ 【只一l ( 矿) + q i ( e 一。) 】”。+ + 【只( e 2 ) + o o ( p 1 ) 】厂= 0 ( 2 4 ) ( 其中( z ) 和q ，( z ) ( 歹= 0 ，玎一1 ) 是z 的多项式) 的解f ( z ) y f f lf ( z + 2 z i ) 的线性相 关性即有下面的结果 定理2 1 1 设p o ( z ) ，露( z ) ，q o ( z ) 和q l ( z ) 是z 的多项式，l ! ip o c e 2 ) + o o ( p ”) 和 p l ( e 2 ) + q l ( p ”) 不全为常数如果函数厂( z ) 是方程( 2 3 ) 的解，且满足吒( ) = 0 ，那 么f ( z ) 与f ( z + 2 z i ) 线性相关 这个结果在某种程度上可以认为是定理2 1 a 和定理2 1 b 的补充，但是在 我们的证明中没有用到公式( 2 2 ) ，故用我们这里的方法还可以把这个结果推广到 高阶的情形即得到 定理2 1 2 设最( z ) ，q 0 ) = o ，l ，2 ，n 一1 ) 都是z 的多项式，昂+ q d 和置+ q 不全为常数，而其它的最( z ) ，o k ( z ) ( 足= 2 ，3 ，n - 1 ) 都是常数如果函数厂( z ) 是方 程( 2 4 ) 的解，且满足吒( 厂) = 0 ，那么厂( z ) 与f ( z + 2 z i ) 线性相关。 2 2 引理 引理2 2 1 1 3 1 ( 对数导数引理) 设厂是一个非常数的亚纯函数如果 f ( 0 ) o ，a o ，那么对于0 r p r ，我们有 6 关于高阶周期微分方程解的性质 所争1 c k 1 + l o g + l o g + + l o g + ! + l o g * 1 + l o g + p + l o g t ( 硝) 似 l ) 删l 吉 户一厂 b 力 引理2 2 2 1 设函数厂( z ) 于开平面亚纯，则厂( z ) 与其导数厂( z ) 有相同的增 长级 引理2 2 3 1 1 4 ( n e v a n l i n n a 第一基本定理) 设厂是一个亚纯函数，口是一个复 数，并设 f ( z ) - a = q z ，q 0 , m z 为厂一a 在原点的l a u r e n t 展开式则对于0 ， o 是常数又因为片( 矿) 和q , ( e - 。) 分别是矿和矿2 的多项式，且墨+ q 不 恒为常数，所以 m ( r ，暑( p 。) + q 0 2 ) ) = 二m a x 嘲，2 1 ) ：m ， 其中伤= d e g 眉( 善) ，惕= d e g g ( f ) ，m = i 1m a x 惕，伟 o 再结合( 2 6 ) 式就有 m l r m 1 0 9 t ( r ，) + l o g t ( r ，厂) + l o g ，】 8 关于高阶周期微分方程解的性质 结合o - 。( f ) = o 就有 l i i l l s u p ! 坚q ! 旦堕 0 r m lrm 再用引理2 2 2 就有 h 霉等竽0 ( 2 7 ) ，啪，朋 另一方面，由引理2 2 3h e = ，：f 可知 t ( r ，) t ( r ，z ) + r ( r 厂) + 0 ( 1 ) ， 再结合t r , ( f ) = o 和吒( z ) = 0 可得 l i m s u p l o g t ( r , f ) ：0 这就与( 2 7 ) 式矛盾，从i j 百f ( z ) 和f ( z + 2 7 r i ) 线性相关 2 3 2 定理2 1 2 的证明 设f ( z ) 是方程( 2 4 ) 的解，且满足吒( 厂) = 0 ，i e , f 。( z ) = f ( z + 2 r c i ) 那么经简 “单的计算可知石拓) 也是方程( 2 4 ) 的解，且满足吒( z ) = 0 若厂( z ) 为常数，则定 理的结论显然成立所以以下我们假设厂( z ) 是非常数函数来证明厂( z ) 与石( z ) 是 线性相关的 若p l ( e 。) + g ( p 。) 兰c ( c 是常数) l jp o ( e 。) + q o ( p 喈) 不恒为常数，则由方程( 2 4 ) 可知 悯吲口1 一等。孚q 手， 其中c i ( i = o ，n - i ) 是常数从而就有 n - i，j j m ( r ，只0 2 ) + q o 吖” o 再结合( 2 1 0 ) 式就有 五，k l o g t ( r ，u ) + l o g t ( r ，f 1 ) + l o g r 又因为彳满足吒= 0 ，从而，我们得到 l i m s u p l o g t ( r , u ) 笪 0 r 喇rk 另一方面，由“( z ) = 厂( z ) 石( z ) ，我们有 t ( r ，u ) t ( r ，石) + 丁( ，厂) + d ( 1 ) 又因为厂和z 分别满足吒( 门= 0 和吒何) = o ，所以 l i m s u p l o g t ( r , u ) ：o ， ， ， 这与( 2 1 1 ) 式矛盾这就证明了厂( z ) 与石( z ) 是线性相关的 ( 2 1 1 ) 关于高阶周期微分方程解的性质 第三章高阶周期微分方程的次正规解 3 1 引言与结果 在这一章中，我们将研究高阶周期微分方程的次正规解的性质，主要把c h e n z x 和s h o nk h 在2 0 0 7 年关于二阶周期微分方程的研究结果( 见 1 2 ) 推广到高 阶周期微分方程的次正规解的情形 为此，我们先给出次正规解的定义 定义3 11 7 1 ，吲如果线性微分方程的非平凡解厂满足 吒( 厂) ：l i r a s u p l o g t ( r , f ) ：0 ， ( 3 1 ) ，厂 则称厂是该方程的次正规解 因此，f l _ | ( 3 1 ) 式和( 1 3 ) 式知，若方程的解厂的8 一型级为零，那么就是该 方程的次正规解 对于二阶周期线性微分方程 f 一+ 露( 矿) 厂+ 最( 矿) 厂= 0 ， ( 3 2 ) 其中号( z ) 和( z ) 是关于z 的多项式且不全为常数众所周知方程( 3 2 ) 的每个解 都是整函数 h w i t f i c h 在文【7 】中研究了方程( 3 2 ) 的次正规解，并给出了方程( 3 2 ) 的次正 规解所具有的形式： 定理3 1 a 7 设日( z ) 和最0 ) 是不全为常数的多项式如果是方程( 3 2 ) 的 非平凡的次正规解，那么，一定有形式 厂( z ) = p 。( a o + o a e 。+ + d i n e 肥) ， 其中m 0 是一整数，c ，a o ，a 。是常数，且口o a m 0 在文献【9 中，g g u n d e r s e n 和m s t e i n b a t 精炼了定理3 1 a 的结果，得到 了更为精确的结果，即 定理3 1 b f 9 1 在定理3 1 a 的条件下，关于方程( 3 2 ) 的次正规解有下面的结 论： 1 2 关于高阶周期微分方程解的性质 ( i ) 如果d e g p 。 d e g p 2 _ f t p 2 不恒为零，则方程( 3 2 ) 的任一非平凡次正规解厂 一定有形式 厂( z ) = 吒p 一， 其中m 1 是整数，口o ，是常数，1 1a o a = 0 ( i i ) 如果最暑0 ，n d e g p ，1 ，贝a ；b - n ( 3 2 ) 的任一次正规解定是常数 ( i i i ) 如果d e g p 。 d e g 罡且d e g 暑 d e g r l ，则一定有形式 厂( z ) = s ( e 2 ) + 是( e - 2 ) ， 其中墨( z ) ，( z ) 是z 的多项式： ( i i ) 如果d e g 日 d e g p 2 r d e g p l d e g r l ，则厂一定有形式 厂( z ) = c z q p 吨+ 墨( 矿) + 是( e 。) ， 其中m o 是整数，c , a o ，a ，是常数，且以。a 。0 ，墨( z ) ，是( z ) 是z 的多项式 定理3 1 d 9 1 设弓( z ) ，b ( z ) ，墨( z ) 和恐( z ) 都是z 的多项式， 号( z ) 和( z ) 不 全为常数，且满足d e g 片 d e g 置或者 d e g a o d e g q 。，那么方程( 3 5 ) 没有非平凡的次正规解，且它的每个解满足 o r 2 ( 厂) = 1 定理3 1 g m l 假设e j ( z ) ，2 ( z ) u = o ，1 ) 和弓( z ) ( _ ，= 1 ，2 ) 是z 的多项式，且 墨+ 恐不恒为零如果d e g p o d e g 异或者d e g q o d e g q ，则方程( 3 4 ) 最多有一个 非平凡的次正规解五，并且五具有形式 f o = s l ( e 7 ) + 逆( p 。) ， 其中s ( z ) ，是( z ) 是z 的多项式；其余所有解厂都满足c r 2 ( 厂) = 1 定理3 1 h m l 设e ( z ) ，q j ( z ) ( j = o ，1 ) 都是z 的多项式，且昂+ q 不恒为零如 果d e g p 。 d e g p o 且d e g q ， d e g o o ，则方程( 3 5 ) 没有非平凡的次j 下规解，且每 个解厂满足呒( 厂) = 1 1 4 关于高阶周期微分方程解的性质 定理3 1 ib 2 假设弓( z ) ，g ( z ) ( ，= o ，1 ) 和r j ( z ) ( j = 1 ，2 ) 是z 的多项式，且 r + q 不恒为零如果d e g p 。 d e g p o 且d e g q 。 d e g o o ，则方程( 3 4 ) 最多有一个 非平凡的次正规解五，并且石具有形式 y o = s l ( e 。) + 最( e - 。) ， 其中s ( z ) ，是( z ) 是z 的多项式；其余所有解厂满足0 2 ( f ) = 1 前面c h e nz x 和s h o nk h 已经讨论了二阶线性微分方程( 3 5 ) n 其对应的齐 次线性微分方程( 3 4 ) 的次正规解的性质，现在我们自然要问前面c h e r tz x 和 s h o nk h 的结果能否推广到高阶方程的情形 现在我们考虑刀阶齐次线性微分方程 f “+ 【只一l ( 矿) + q l ( e - 。) 】厂4 - 1 + + 昂( p 。) + q o ( p 一。) 】厂= o ( 3 6 ) 和对应的非齐次线性微分方程 f ”+ 【只一l ( 9 2 ) + a n l ( e - 。) 】厂”- 1 + + 【蜀( 2 2 ) + p - - o ( e - 。) 】厂= 【墨( p 2 ) + r 2 ( e - 。) 】， ( 3 7 ) 其中p j ( z ) ，g ( z ) ( _ ，= o ，1 ，力一1 ) 和足( z ) ，心( z ) 都是z 的多项式得到 定理3 1 1 假设e j ( z ) ，q j ( z ) ( = o ，n - 1 ) 是z 的多项式如果对所有的 j ( j = 1 ，2 ，n - 1 ) ，都有 d e g p o d e g p j 或者d e g q o d e g g ， ( 3 8 ) 则方程( 3 6 ) 没有非平凡的次正规解，且每一个解厂满足吒( ) = 1 定理3 1 2 假设弓( z ) ，g ( z ) ( = o ，玎) 和写( z ) ，恐( z ) 都是z 的多项式如果 e ( z ) ，g ( z ) ( = 0 ，l ，n - 1 ) 满足( 3 8 ) ，那么方程( 3 7 ) 最多有一个非平凡的次正规 解五，且五具有形式 f o = s ( 矿) + & ( p 1 ) ， 其中s ( z ) ，蔓( z ) 是z 的多项式；方程( 3 7 ) 的其余所有解厂满足c r 2 ( 厂) = 1 定理3 1 3 设只( z ) ，g ( z ) ( 足= o ，1 ，2 ，n - 1 ) 是z 的多项式，且咒+ q o 不恒为零 则 关于高阶周期微分方程解的性质 ( i ) 如果存在某个j o ，当k 时有 d e g p j d e g p , 且d e g q j d e g q , ， ( 3 9 ) 则对方程( 3 6 ) 的每一个j wf 都有盯( ) = ，且满i f ：t r 2 ( f ) = 1 ( i i ) 如果d e g p , d e gp o _ rd e g q l d e g q o ，且其它的p j ( z ) ，g ( z ) ( = 2 , 3 ， n - 1 ) 都是常数，则方程( 3 6 ) 没有非平凡的次正规解 定理3 1 4 假设( z ) ，q j ( z ) ( _ ，= 0 ，疗一1 ) 和r ( z ) ，恐( z ) 都是z 的多项式，且 昂+ q 不恒为零如果弓( z ) ，q j ( z ) ( j = 1 9 。* e9 刀一1 ) 满足定理3 1 3 ( i i ) 的条件，那么 方程( 3 7 ) 至多有一个非平凡的次正规解五，且厶一定具有形式 o = s l ( e 。) + 是( e - 。) ， 其中s ( z ) ，是( z ) 是z 的多项式；方程( 3 7 ) 的其余所有解厂满足呸( 厂) = 1 3 2 引理 在本文中我们总是假设 弓( 矿) = 8 7 + a j ( r a ，- o e 吩- 1 弦+ + 勺i 矿+ 吩。： g ( p 一。) = ，p 一中+ 岛( 。，川矿- 1 弦+ + 岛1 8 。+ 岛。， 其中，吩。，i ，乃l ，吩。；，哆( 勺- 1 ) ，乞，。都是常数，m j o ，r j o 是整 数，0 ，o = o ，1 ，刀) 注1 由弓，g 的如上定义，显然有 ( 矿) + 2 ( p 。) l = h p 一口( 1 + 。( 1 ) ) ，m y 1 ，a r g z = 0 ( 一z r 2 ，刀2 ) ，专， m ，m j = o ，a r g z = 8 ( - # 1 2 ，万2 ) ，一o d ， = k 卜- f c o ( 1 + 。( 1 ) ) ，乃l ，a r g z = 0 ( 万2 ，3 刀2 ) ，一o o ， m ，以，= o ，a r g z = 口( 万2 ，3 # 2 ) ，专o o ， m ，m j o ，n j o ，a r g z = 万2 或一# 2 ， 其中m ( 0 ) 是某一实常数 1 6 关于高阶周期微分方程解的性质 引理3 2 1 川设g ( z ) = 艺z “是整函数，( ，) 是g ( z ) 的最大项，y ( 厂) 是g ( z ) 的 中心指标，则 ( i ) 如果川0 ，则 l o g z ( 加l 。g r 挚； ( i i ) 如果， r ，则 m ( ，g ) 引理3 2 2 1 1 设厂( z ) 为一个超越的整函数，5 为一个常数使得o l o g l a o + v ( r ) l 0 9 2 ( 3 1 0 ) a ( 2 r ) m ( 2 r ，f ) 1 7 ( 3 1 1 ) 关于高阶周期微分方程解的性质 从而由( 3 。l o ) 和( 3 1 1 ) 式，我们有 v ( r ) l 0 9 2 l o g m ( 2 r ，厂) + c ， 其中c ( o ) 是常数由超级的定义，n ( 3 1 2 ) 式，就有 ( 3 1 2 ) l h n s u p 墅半燮盟l i m s u p 墅达粤塑蚴= c r 2 ( 门：仃 ( 3 1 3 ) r l o g rr - - + l o g r 另一方面，由引理3 2 1 ( i i ) ，有 m ( ，厂) ， 又由 i 1 ) 的有界性，就有 l o g m ( r ，厂) v ( r ) l o g r + l o g v ( 2 r ) + q ， l o g l o g m ( r ，f ) 1 0 9 y ( ，)