高中数学第3章数系的扩充与复数的引入3.1.1实数系3.1.2复数的引入第2课时复数的几何意义学案新人教B版.docx

第2课时复数的几何意义学 习 目 标核 心 素 养1理解复平面、实轴、虚轴等概念2理解可以用复平面内的点或以原点为起点的向量来表示复数以及它们之间的一一对应关系(重点)3理解复数模的概念，会求复数的模(难点)通过对复数的几何意义的学习，提升学生的直观想象素养.一、复数的几何意义及复数的模1复平面(1)定义：建立了直角坐标系来表示复数的平面叫做复平面；(2)实轴：在复平面内，x轴叫做实轴，单位是1，实轴上的点都表示实数；(3)虚轴：在复平面内，y轴叫做虚轴，单位是i，除原点外，虚轴上的点都表示纯虚数；(4)原点：原点(0,0)表示实数0.2复数的几何意义(1)复数zabi(a，bR)复平面内的点Z(a，b)(2)复数zabi(a，bR) 平面向量.为方便起见，我们常把复数zabi说成点Z或说成向量，并且规定，相等的向量表示同一个复数3复数的模向量的长度叫做复数zabi的模，记作|z|或|abi|，且|abi|.二、共轭复数1定义如果两个复数的实部相等，而虚部互为相反数，则这两个复数叫做互为共轭复数2表示复数z的共轭复数用表示，即当zabi(a，bR)时，则abi.1判断(正确的打“”，错误的打“”)(1)在复平面内，对应于实数的点都在实轴上()(2)复数的模一定是正实数()(3)复数z1z2的充要条件是|z1|z2|.()解析(1)正确根据实轴的定义，x轴叫实轴，实轴上的点都表示实数，反过来，实数对应的点都在实轴上，如实轴上的点(2,0)表示实数2.(2)错误复数的模一定是实数但不一定是正实数，如：0也是复数，它的模为0不是正实数(3)错误两个复数不一定能比较大小，但两个复数的模总能比较大小答案(1)(2)(3)2复数zcos isin (i为虚数单位)其中，则复数z在复平面上所对应的点位于()A第一象限B第二象限C第三象限 D第四象限解析，cos 0且sin 0，该复数所对应的点位于复平面上第三象限答案C3若x2yi和3xi互为共轭复数，则实数x与y的值分别是_，_.解析x2yi和3xi互为共轭复数，解得答案11复数与复平面内点的关系【例1】已知复数z(a21)(2a1)i，其中aR.当复数z在复平面内对应的点满足下列条件时，求a的值(或取值范围)(1)在实轴上；(2)在第三象限；(3)在抛物线y24x上思路探究解答本题可先确定复数z的实部、虚部，再根据要求列出关于a的方程(组)或不等式(组)求解解复数z(a21)(2a1)i的实部为a21，虚部为2a1，在复平面内对应的点为(a21,2a1)(1)若z对应的点在实轴上，则有2a10，解得a.(2)若z对应的点在第三象限，则有解得1a.(3)若z对应的点在抛物线y24x上，则有(2a1)24(a21)，即4a24a14a24，解得a.复数集与复平面内所有的点组成的集合之间存在着一一对应关系.每一个复数都对应着一个有序实数对，复数的实部、虚部分别对应点的横坐标、纵坐标，从而讨论复数对应点在复平面内的位置，关键是确定复数的实、虚部，由条件列出相应的方程(或不等式)组.1在复平面内，若复数z(m2m2)(m23m2)i对应点：(1)在虚轴上；(2)在第二象限；(3)在直线yx上，分别求实数m的值或取值范围解复数z(m2m2)(m23m2)i的实部为m2m2，虚部为m23m2.(1)由题意得m2m20，解得m2或m1.(2)由题意得1m1.(3)由已知得m2m2m23m2，m2.复数与向量的对应关系【例2】已知平面直角坐标系中O是原点，向量，对应的复数分别为23i，32i，求向量对应的复数思路探究解向量，对应的复数分别为23i，32i，根据复数与复平面内的点一一对应，可得向量(2，3)，(3,2)由向量减法的坐标运算可得向量(23，32)(5，5)，根据复数与复平面内的点一一对应，可得向量对应的复数是55i.1根据复数与平面向量的对应关系，可知当平面向量的起点为原点时，向量的终点对应的复数即为向量对应的复数反之，复数对应的点确定后，从原点引出的指向该点的有向线段，即为复数对应的向量2解决复数与平面向量一一对应的题目时，一般以复数与复平面内的点一一对应为工具，实现复数、复平面内的点、向量之间的转化2在复平面内，O是原点，向量对应的复数为2i.(1)如果点A关于实轴的对称点为点B，求向量对应的复数；(2)如果(1)中的点B关于虚轴的对称点为点C，求点C对应的复数解(1)设向量对应的复数为z1x1y1i(x1，y1R)，则点B的坐标为(x1，y1)，由题意可知，点A的坐标为(2,1)根据对称性可知：x12，y11，故z12i.(2)设点C对应的复数为z2x2y2i(x2，y2R)，则点C的坐标为(x2，y2)，由对称性可知：x22，y21，故z22i.复数模的几何意义及应用探究问题1若zC，则满足|z|2的点Z的集合是什么图形？提示因为|z|2，即|2，所以满足|z|2的点Z的集合是以原点为圆心，2为半径的圆，如图所示2若zC，则满足2|z|3的点Z的集合是什么图形？提示不等式2|z|2的解集是圆|z|2外部所有的点组成的集合，不等式|z|3的解集是圆|z|3内部所有的点组成的集合，这两个集合的交集就是上述不等式组的解集因此，满足条件2|z|3的点Z的集合是以原点为圆心、分别以2和3为半径的两个圆所夹的圆环，但不包括圆环的边界，如图所示【例3】已知复数z1i，z2i.(1)求|z1|与|z2|的值，并比较它们的大小；(2)设复平面内，复数z满足|z2|z|z1|，复数z对应的点Z的集合是什么？思路探究(1)利用复数模的定义来求解若zabi(a，bR)，则|z|.(2)先确定|z|的范围，再确定点Z满足的条件，从而确定点Z的图形解(1)|z1|2.|z2|1.21，|z1|z2|.(2)由(1)知|z2|z|z1|，则1|z|2.因为不等式|z|1的解集是圆|z|1上和该圆外部所有点的集合，不等式|z|2的解集是圆|z|2上和该圆的内部所有点组成的集合，所以满足条件1|z|2的点Z的集合是以原点O为圆心，以1和2为半径的两圆所夹的圆环，且包括圆环的边界1两个复数不全为实数时不能比较大小；而任意两个复数的模均可比较大小2复数模的意义是表示复数对应的点到原点的距离，这可以类比实数的绝对值，也可以类比以原点为起点的向量的模来加深理解3|z1z2|表示点Z1，Z2两点间的距离，|z|r表示以原点为圆心，以r为半径的圆3如果复数z1ai满足条件|z|2，那么实数a的取值范围是_解析由|z|2知，z在复平面内对应的点在以原点为圆心，以2为半径的圆内(不包括边界)，由z1ai知z对应的点在直线x1上，所以线段AB(除去端点)为动点Z的集合，由图可知a.答案(， )1在复平面内，若(0，5)，则对应的复数为()A0B5C5iD5解析对应的复数z05i5i.答案C2在复平面内，复数zsin 2icos 2对应的点位于()A第一象限 B第二象限C第三象限 D第四象限解析20，cos 20.故zsin 2icos 2对应的点在第四象限答案D3已知复数z3i，则复数的模|z|是()A5