（应用数学专业论文）跳板跳水的人板多刚体模型及运动解析系统.pdf

摘要本文在人体质点模型的基础上对人一板系统的数学模型进行修正，将人体设计成多刚体系统，将跳板抽象成为一维弹性悬壁梁模型，建立人一板系统的数学模型，以此模型为基础，得出以人体各部分关节角度为控制函数的控制模型，以有关模型和人体生理、解剖学理论及有关参数为重要的约束条件，建立相应的人板系统仿真模型，并进行理论分析和运动仿真；同时，以最大腾起速度为目标函数，建立相应的隐泛函极值问题，对蹬伸过程进行优化设计。在对该隐泛函极值问题优化计算时，采用动态规划的思想，建立以最大腾起速度为目标函数的非线形规划模型，给出在给定空间中求解最优控制函数的方法，并利用我们设计的数值优化算法对人板运动模型的优化问题进行数值计算与分析，给出在给定的约束条件下的运动效果达到最佳的运动控制函数和参数。另外，我们对运动图像解析系统进行研究，给出一个实用快速的人体关节点自动识别的算法。最后，在理论和实验结果的基础上设计了包括运动图像解析、人体运动动态仿真和优化设计功能的跳板跳水运动解析系统。关键词：多刚体系窈7 数学模支。控制优花仿真图像解析a b s t r a c ti nt h i sp a p e r , t h ep r e v i o u sm a t h e m a t i c a lm o d e lo fh u m a n - b o a r d ( h b ) s y s t e mo nt h eb a s i so f t h ep a r t i c l em o d e lo f h u m a nb o d yi sm o d i f i e d ah bs y s t e mm o d e lb a s e do nt h em u l t i r i g i d _ b o d ys y s t e mm o d e lo fh u m a nb o d ya n dt h eg e o s t a t i c sm o d e lo ft h eb o a r dw h i c hi sao n e - d i m e n s i o n a le l a s t i cc a n t i l e v e rb e a mi sp r e s e n t e d w h e r et h ec o n t r o lf u n c t i o n sa r em o v e m e n tf u n c t i o n so f t h ea n g l e so f t h ej o i n t sa n dt h ec o n s t r a i n tc o n d i t i o n sa r et h ep a r a m e t e r so ft h ep h y s i o l o g i c a la n da n a t o m i c a lc o n s t r a i n t s t h c nw ea n a l y z et h em o d e la n de s t a b l i s ht h ec o r r e s p o n d i n ge m u l a t i o nc o m p u t a t i o n a la l g o r i t h m a ni m p l i c i tf u n c t i o n a le x t r e m ep r o b l e mw h o s eo b j e c t i v ef u n c t i o ni st h em a x i m a lt a k e - o f fv e l o c i t yi sa l s 0e s t a b l i s h e dt oo p t i m i z et h et a k e o f fp r o c e d u r e n l em e t h o do fd y n a m i cp r o g r a m m i n gi su s e dt oo b t a i nt h eo p t i m a lc o n t r o lf u n c t i o n si nc e r t a i ns p a c e s ot h eo p t i m a lm o v e m e n tc o n t r o lf u n c t i o n sa n dp a r a m e t e r so fh bs y s t e mc a l lb eo b t a i n e d i na d d i t i o n ，w ed i s c u s sa l g o r i t h mo ft h ea u t o i d e n t i f i c a t i o ns y s t e mo ft h ej o i n t si nt h em o v i n gi m a g ea n a l y z i n gs y s t e ma n dap r a c t i c a l l ye f f e c t i v ea l g o r i t h mi sp r e s e n t e d i nt h ee n d am o v e m e n ta n a l y t i cs y s t e mo fs p r i n g b o a r di n c l u d i n gt h em o v i n gi m a g ea n a l y z i n gf u n c t i o n ，m o v i n ge m u l a t i o n ，a n do p t i m i z a t i o nf u n c t i o ni sd e s i g n e d k e y w o r d s ：m u l t i - - r i g i d - b o d ys y s t e mm a t h e m a t i c a lm o d e lc o n t r o lo p t i m i z ee m u l a t i o ni m a g ea n a l y z i n g跳板跳水的人- 板多刚体模型及运动解析系统1 1 问题的提出背景1 引言跳板跳水是指运动员在一端固定，另一端有弹性跳板上进行跳水，跳板距离水面的高度规定为l 米和3 米。由于跳板跳水是在块弹性板上进行，而且跳板距离水面的高度较小，所以跳板跳水的起跳技术很难掌握。跳板跳水技术由四部分组成，即走板、起跳、空中动作、和入水。起跳技术是跳板跳水中最基本的技术，同时也是跳板跳水中最尖端的技术。它要求动作稳定、准确、起跳高。起跳动作的正确与否，直接影响着空中动作和入水效果。起跳技术的全过程是运动员从走板的最后步右脚开始支撑时，降低身体重心，两臂向下摆动左脚着板后，在某一时刻，跳腿( 左腿) 开始蹬伸，同时两臂向上摆动，摆动腿( 右腿) 屈膝上捉。当踏跳腿蹬伸经过一定时间以后，脚开始离板。运动员离板后，摆动双腿迅速伸直，在最高点与踏跳腿一起伸直并拢，两臂伸直上举，在身体逐渐下落的过程中，逐渐屈膝，屈髋，屈踝关节，两臂经后侧向下摆动，然后经前脚掌过渡到全脚掌着板，接着跳板下降，当板达到最低点时，板开始回弹，在这一过程中，人体同时蹬板，蹬板到某一时刻，人体以某一速度离板，人体离板后上升的高度主要取决于离板时的瞬时速度。中国运动员的跳板技术不如跳台技术，这一点为国内外专家所公认，潭良德的三次奥运会亚军就是明证。究其原因，主要是在于潭良德的板上技术比对手差。一个运动员要跳得成功，必须正确运用自己的身体和跳板，以跳到最大可能达到的高度。如何判别运动员的动作缺陷，提出正确的修正设想，指导运动训练，以提高运动成绩，是运动训练中教练员和科研工作者的基本任务之一。目前，我国大多数教练员都是根据他们的实践经验，和国内外优秀运动员的动作特征指导运动员，但我国的跳板跳水水平始终不能达到国际领先水平，原因是体育科研工作还不够，问题的实质在于解剖运动员的生理特征，将运动生物力学和数学的理论与实践结合起来，使训练更加科学化。跳板跳水的人板多刚体模型及运动解析系统针对跳板跳水，国内外在这方面的研究工作不多，如陈延正的“新空翻动作的仿真分析”；徐建成针对人体空中动作建立了简单的力学模型，并用艺术人体造型对空中动作作了动态模拟；沈有道利用人体的简化模型对跳水蹬伸瞬间的运动问题通过力学分析建立了人一板系统的数学模型。以此模型为基础，提出了以膝关节角或相对距离y ( t ) 为控制函数的控制模型。但是，这些模型都存在与实际人体模型相差较大，不能用在实际指导运动员进行训练和技术动作矫正上。对人体跳跃运动，国内外大多集中在研究刚性支撑下的起跳问题。对于跳板跳水的板上运动，即在有弹性支撑下的起跳问题，特别是蹬伸瞬间的运动问题，国内外研究很少，其中大多数采用影象分析方法作一些技术诊断和动作技术论证，如柳涛关于“跳板跳水最佳蹬伸位置的论证”；郁红高等曾对人一板系统用弹簧模拟跳板，将人看成质点，建立人一板系统方程，并用洛加尼斯的动作摄影解析结果为模板，提供了以人一板作用力n ( t ) 的标准蹬伴函数，但模型比较简单，且缺少对数学模型的理论分析，没有对人一板作用的规律作定性的或定量的分析和讨论；弹簧与跳板运动有一些相似之处，但以弹簧来简化跳板，此时各参数之间的对应关系不明确，难以计算；以人一板相互作用力n ( t )为控制量，不易于用来指导实践，也缺乏实践意义。而沈有道在“人一板系统最佳蹬伸动作的控制模型及数值分析”中把跳板简化成一悬臂梁，如图1 1 ，并将人简化为如图1 2 所示的模型，把人看成由质点m 与两长度为l 的无质量刚性细杆组成，两杆以圆柱铰相连，杆的另一端在顶点处与质点m 联接，另一端在0 点与板相连。图1 1 跳板的悬臂梁模型跳板跳水的人板多刚体模型及运动解析系统图1 2 人体的杆件模型而实际上跳板是一端铰支，另一端自由的弹性板( 如图1 3 所示) ，中间有一可调节支点0 ，运动员在跳板前可根据自己的实际情况，调整支点的位景，使之成为人们习惯上所称的硬跳板和软跳板。并且把人看成质点与无质量细杆相连的系统，显得太简单。图1 3 跳板的铰支模型1 3 研究内容和方法本文以人一板系统为背景进行研究。人一板系统是人在有弹性的物体上运动的耦合系统，人可以在板上利用人体释放能量以及跳板贮存肌肉能的传递，实现体能的最大工作效益。本文在既往工作的基础上对此进行理论与应用研究，建立更加合适的人一板偶合问题的数学模型，考虑人体的动作和跳板的硬度对起跳效果的影响。我们采用四刚体组成的多刚体系统建立人体模型，由一维弹性悬臂梁建立跳板模型，联立得到更加符合实际的人一板系统数学模型，并以此模型为基础，根据控制理论和数值计算方法把这个极端复杂的模型离散化，进行仿真。同时我们以人体质心的最大腾起速度为目标函数，人体的各段生理约束条件为约束条件，对蹬伸过程进行优化设计。并且我们对运动序列图像中跳板跳水的人一板多刚体模型及运动解析系统人体关节的自动识别算法进行研究，提出一种快速实用的方法。并且在理论和实验的基础上设计了跳板跳水的运动解析系统。跳板跳水的人- 板多冈】l 体模型及运动解析系统2 1 引言2 人板系统多刚体模型人体肌肉的收缩规律极为复杂，它与运动解剖、生物力学、生物控制论等有关，目前的研究工作尚处于认识阶段，特别是对人体环节间内力和内力矩的测算与控制在实际中仍是一个未解决的问题。一般情况下，肌肉作用力的大小和方向是受脑神经控制的变量，由运动员的主观意志所确定，运动员根据其长期训练形成的习惯或本能，随时依据其感觉器官接受到的各种信息而调节其肌肉作用力的大小和方向以完成其预定的动作，在运动过程中，人体积蓄的肌肉能不断通过肌肉的活动转化为机械能，因而人体的数学模型不是一般的刚体系，而是包含肌肉动力系统的一种特殊的相当复杂的“刚体系”。1 9 6 4 年h a n a v a n 建立了最具代表性的人体的刚体系模型，由1 5 个刚体部件组成：1 头，2 上躯干，3 下躯干，4 右手，5 左手，6 右上臂，7 左上臂，8 右前臂，9 左前臂，1 0 右大腿，1 1 左大腿，1 2 右小腿，1 3 左小腿，1 4 右足，1 5 左足( 见图2 1 1 ) 。：热4 号。口口，1 。s”可口- 。假设各刚体部件皆具有理想化几何外形( 1 、4 、5 为椭球，2 、3 为圆柱，其余皆为圆锥台) 和均匀分布质量。根据大量尸体解剖实验和利用计算机的回型! 堡坠登塑：堡兰型堡堡型垦曼垫竺堑墨竺归分析，提供出各分体的几何数据和惯性数据。由n 个刚体组成的剐体系具有3 n + 3 个自由度。如将信息传递过程也考虑在内，人体的肌肉动力系统是与生物控制论有关的复杂动力学系统，其中除与3 n + 3 个自由度对应的广义坐标，还应将各相邻分体之间的肌肉控制力矩以及感觉器官接受到的各种信息都作为未知变量。分析这样复杂的动力学系统自然是十分困难的，它大大超出经典力学的研究范围。一种简化的研究方法是只考虑肌肉活动引起的后果，即相邻分体之间的相对运动，将它看作对广义坐标的动力学约束条件，而不去追究肌肉施力过程的复杂的生物物理本质。对于由n 个刚体组成的链系统，可以列出3 n 3个约束条件。具体约束条件可由以下几种途径确定：1 利用对运动过程的高速摄影记录分析出运动员的肢体相对躯干的实际运动规律。2 根据多次实践经验归纳总结出为完成某种运动动作所必须的肢体相对运动的一般规律。3 理论上为满足某种最优要求丽设计出的理想化的肢体相对运动。本文即采用了基于h a n a v a n 模型的简化模型。h a n a v a r l 模型是由1 5 个环节组成，而跳板跳水的起跳过程中，可以忽略某些细微的影响。实际上运动员在起跳过程中，身体的许多环节始终保持左右对称的，人体的运动往往也是几乎是在一平行平面内运动，因此起跳过程中人体可以简化成二维运动，人体简化成图2 1 2 所示的4 块刚体模型，各部分用球铰连接。图2l2 人体四刚体模耻跳板跳水的人一板多刚体模型及运动解析系统其中：1 小腿+ 脚，2 大腿，3 头+ 颈+ 躯干，4 双手+ 双前臂+ 双上臂。人体相应的几何数据和惯性数据可从有关资料上获得。对于多刚体系统，建立数学模型的分析方法可以分为两大类：一是基于动力学基本定理的方法；一是基于第二类拉格朗日( l a g r a n g e ) 方程的方法。理论分析和比较表明以建立拉格朗日方程的动力分析最具有规范性，便于计算机统一处理，因此，本文建立人体模型时采用了基于第二类拉格朗日方程的方法。2 2 跳板的数学模型跳板是一端铰支，另一端自由的弹性板，( 如图2 2 1 所示) ，中间有一可调节支点，对支点位置进行调节，可以有效地改变跳板长度从而改变它的周期。图22l 跳板模型设跳板的长度为，跳板的支点距铰支端的距离为口，人体对跳板的作用力大小为( f ) ，由于( f ) 的作用，跳板支点处受到的作用力为n ：( f ) ，跳板铰支端受到的作用力为，( f ) 。板的受力情况如图2 2 2 所示力及力矩的平衡得e ；l j ”图2 22 跳板受力分析图2 ( ，) = n 1 ( ，) + n ( t )旦缈查竺：堡兰型竺堡型丝堕垫坚堑墨竺n ( t ) l = n 2 ( t ) a 所以n 。( f ) = 竺( f ) ；n 2 ( t ) = 二n ( t ) ；埘，= ：；兰妾其中：l 为跳板的长度，a 为跳板铰支端距支点的长度。由梁的弯曲微分方程日毒y 板( t f ) = m ( 互，)( 其中( 工，) 为，时刻跳板距铰支端长度为x 的点的挠度) 两边对x 积分可得剧导y 板( 州) =出掣x2 + c l ，嘁鲰( ，) 丢一尝。：+ c ：，a x ，2 2 1 其中j = 等，6 为跳板的宽度， 为跳板的厚度，e 为杨氏弹性模量。由未y 板( x ，r ) 在x = a 的连续性得华日2 + c ，( 岫一掣 c ：由此可得c l ：n ( t ) l a + c 2 代入式f 2 2 1 1 可得e l y 板( x ，)由y & ( o ) = 0 可得l 。- n a n ( 啦3 + 。t n ( t ) l a + c 2 ) z + d l ，o x a掣扛：一掣，d ：皑“，z0d ，= o跳板跳水的人一板多剐体模型肢运动解析系统由y 板( d ) = 0 得d ：塑堕6c ：堂生一三( f ) 妇，63。7。，、l 笔x 3 十( 华一半m呱。娜归1 一盟 亟 。遂一避巡，蕊【62、63。6瞄归筹”，f ( r ) 华= 吲掣卜2 划掣卜眩z y 扳( x ，r ) =y 哆r ) 丽x 3 _ ( g2 x ，。啪f ) 一- x 3 + 1 3 1 x 2 + 两( a 2r - 4 1 a ) x + l a2 ，口x 茎。工3 一口2 x2 a l ( 1 一日1+ 划掣 2 尘卜m ( 9 a 4 + 2 4 1 a3 2 0 6 l2 口2 + 2 6 4 l a 一9 9 1 418 4 0 12 ( 1 一d ) 2f 砂扳( ，f ) 1 2l 丁j9，、，f，【出_ertr_lr_jj _ _ = 塑型型塑至型塑墼塑塑墨竺式( 2 2 3 ) 右边第二项为丢r e l y 扳1 ( 1 , t ) 高( 篙肛+ 吉f 吣，高( 生糍等巡肛：! 堡堡塑：2 l ( 1 一日、2所以，式( 2 2 3 ) 即化为f ( r ) ：一箜尘型立罂堕= r 旱型! 二! 业f 盟业 2 + 监8 4 0 l2 ( ，一d ) 2ld tj 。2 l ( 1 一口12两边对t 求导，令蹦忙( 竽 2令得义脚om ( 9 a 4 + 2 4 l a 3 2 0 6 1 2 a 2 + 2 6 4 13 一9 9 1 4 、8 4 0 l2 ( ，一) 2卅f =砌) = 器llai l 孚钆一m ( 9 l b j + 2 4 1 b b3 - 2 0 6 1 b b2 + 2 6 4 l b b - - 9 9 )4 2 0 ( 1 一，m ) 2以 。商跳板跳水的人- 板多刚体模型及运动解析系统因为( ，) 不恒等于0 ，所以方程两边消去，饭( f )m m y 扳( f ) = 一( f ) 一a i h y ( f ) ( 22 4 )2 3 人体的多刚体数学模型根据运动特点，本文把人体简化为四部分组成的多刚体系统，且设人体矢状面对称，起跳中做平面运动。o 点为板水平时脚与板的接触点，以o 点为原点建立惯性坐标系( o x ，y ) ，以o 为原点建立平动坐标系，与人体的矢状面重合。以a ( i = l ，2 , 3 ，4 ) 表示第i 个刚体，分别模拟小腿，大腿，上躯干和胳膊，连接各部件的圆柱铰o ( i - l ，2 ，3 ，4 ) 分别模拟踝关节，膝关节，髋关节和肩关节，e 为a ，刚体的质心，( x ly ，) 为b ，处的坐标，如图2 3 1 所示。记三q d ：= 三。，三。：q = 三。，三叩。= 三，为刚体两铰间的距离。a 。的中心轴与zd轴的倾角为臼j ，设m ，( i _ 1 ，2 ，3 ，4 ) 为a ，的质量，m = 至m ；为人体的总质量，j = lc ，为a ，的质心相对于q 的长度。a ，刚体与a 。刚体铰接处内力矩为m ，( 以逆时针方向为正) ，绕b ，质心轴( 与z 轴平行) 的转动惯量为，。跳板跳水的人板多刚体模型及运动解析系统图2 3 1 人体的四刚体模型1 计算质心b 处坐标位移函数、速度函数、加速度函数t = ，ic o s o k + c 。c o s 0卜1i = 一，t 幺s i n o k c ，谚s i n 0k = ly ，= yd l + s i n o k + c ，s i n 0f 一1p ? = ，o j + z t k 6 kc o s o k + c 。67 c o s ok = l卜l卜1j j ，= 步m + ， 或c o s o k 一文2s i n o k + c ，谚c o s l 9 一c ，反2s i n o ik = lk = 1其中i = 1 , 2 ，3 ，4 2 计算a ，刚体的动能f 和势能_ ，每个刚体爿，的动能包括质心平动动能和绕质一t l , 轴转动动能，则l = 1 2 m 。( j ，2 + 岁，2 ) + 圭，。扫，2对于爿，刚体的势能，取o 点为重力势能零点，则爿，刚体的重力势能为= m 。g y3 肇于分析力学观点进行系统动力分析。由于本系统为非完全保守系统根据l a g r a n g e 方程，有! 堕! ! 查些叁：堡童型竺堡型墨垩垫塑堑墨篓丢( 詈) - 瓦o l = 纠峨，川其中：r = 7 1 一v ，r 为刚体系统的总动能，v 为刚体的重力势能，q ，为非保守力所对应的广义力，在本例中就是关节内力矩和( f ) 所对应的广义力，q 。为独立的广义坐标参数；月为系统的自由度。对于本系统，我们有系统的总动能和总势能为系统的广义力为r = z = 寺豫( i ，2 + 加+ ，舀2j = l片lj - l44矿= k = m g y ，q l = m l m 2 ；q 2 = m 2 一膨3q 3 = m 3 一m 4q 4 = m 4 ；q 5 = ( f ) 独立的广义坐标参数为：0 1 ( f - l ，2 ，3 ，4 ) 和y 代入l a g r a n g e 方程，整理得人体蹬板过程的数学模型( 埘l q2 + 肌2 ，i2 + 肌3 ，l2 + 朋4 ，12 + i ，1 ) 反+ ( m 2 c 2 + m 3 ，2 + m 4 ，2 ) ，lc o s ( 0 , 一0 2 ) 0 2+ ( m 3 c 3 + m 4 ，3 ) ，lc o s ( o l 一岛) 口3 + m 4 ，l c 4c o s ( 0 1 0 4 ) 0 4+ ( m 2 c 2 + m 3 1 2 + m 4 1 2 ) z ls i n ( 00 2 ) p ：r+ ( m ，c ，+ m 。，) ，s i n ( 0 一b 炮) 2+ m 。f c 。s i n ( 0 ，一吼贻。) 2 + ( m 。c + m 。，+ m 3 ，- i - m 4 ，) g c o s 0= m l m 2 ：( 2 3 1 )一坠堡坠查堕：堡墨型堡堡型墨至垫塑堑至竺( 2 c 2 十3 ，2 + 蜥4 ，2 ) ，lc o s ( 0 2 0 1 ) o l+ ( m 2 c 2 + m 3 ，2 2 + m 4 ，2 2 + ，2 ) 口2+ ( m 3 c 3 + 小4 f 3 ) f 2c o s ( 0 2 o s ) 秽3 + m 4 f 2 c 4c o s ( 0 2 0 4 ) 坑+ ( 州2 c 2 + m 3 ，2 + 4 f 2 ) z ls i n ( 0 2 一只) ( p 1 ) 2( 2 3 2 )+ ( m 3 c 3 + m 4 1 3 ) 1 2s i n ( 0 2 一岛) ( 岛) 2+ m 4 ，2 c 4s i n ( 0 2 0 4 ) ( 目4 ) 2 + ( 2 c 2 + m 3 1 2 + m 4 ，2 ) g c o s 0 2；m ，m 1 ：( m 3 c 3 + 埘4 ，) ，lc o s ( 0 3 一只) 反+ ( 肌3c 3 + 埘4 ，3 ) ，2c o s ( 0 3 一幺) 幺+ ( m 4 1 3 2 + r t 1 3 c 3 2 + j 3 ) 包+ 小4 f 3 c 4e o s ( 0 3 一目4 ) 瓯+ ( 埘3 c 3 + m 4 j 3 ) j ls i n ( 0 3 一0 1 ) ( 反) 2( 2 3 3 )+ ( m ，c 3 + ，”。，) ，：s i n ( o ，一0 2 ) 仅) 2 + m 。厶c 。s i n ( 0 3 一吼) ( 幺) z+ ( m 3 c 3 + ，”4 ，3 ) g c o s t 9 3 = m 3 一m 4 ；m 4 c 4 ，lc o s ( o 一o , ) o l + m 4 c 4 1 2c o s ( 六0 2 ) 口2+ 7 h 4 c 4 。3c o s ( 曰4 一目3 ) ? 3 + 埘4 c 4 7 3c 0 8 ( p 4 一护3 ) 臼3 + ( 聊4 c 4 2 + ，4 ) 口4( 2 3 4 )+ m 4 c 4 f 】s i n ( 0 4 一o i ) ( 吕1 ) 2 + m 4 c 4 1 2s i n ( 0 4 0 2 ) ( 日2 ) 2+ m 4 c 4 1 3s i n ( 0 4 一岛) ( 扫3 ) 2 + m 4 c 4 9 c o s 0 4 ：m 4 ；( f ) 一鸭gm ，肿) = o同时，因为y 扳= y 由跳板的动力学方程式( 2 2 4 ) 有m ，j j q + a i b h y 。：+ ( f ) = 0由式( 23 5 ) 和式( 2 36 ) 可得( 2 3 5 )( 2 3 ，6 )z _ _ l 型塑譬型燮塑巡堕一t m l 。l + m 2 l l + m 3 f l + m 4 1 1 ) c o s o l 0 1 + ( 聊2 c 2 + m 3 f 2 + 脚4 2 2 ) c o s 0 ，务，一即+ ( m 3 c 3q - m a f 一) c 。s b 既+ m 4 c 4c o s 目。舀。十( m 。+ 窆。) 少。一( m l c l + m 2 l l + 聊3 f l + m 4 f 1 ) s i n o l ( 反) 2( 2 3 7 ，一( 肌2 吐+ 坍3 ，2 + m 4 1 2 ) s i n 0 2 ( 幺) 2 一( 肌3c 3 + 肌4 ，4 ) s i n 0 4 ( o ，) 2一m l c 4s i n 六( 舀。) 2 + 4 ( 口) _ y 。+ 童g ：o ，睦( 2 3 8 )其中，d 。，6 ，( f ，= 1 ，2 ，3 ，4 ，5 ) 均为谚和只，y 。，的函数。解之可得q2 _ ( 0 1 ，0 2 ，0 3 ，吼，只，0 2 , 0 3 ，0 。，m l ，m ：，m ，m 。) ；0 22 凡t ，e 2 ，e 3 ，e 4 ，e 1 ，0 2 ，83 ，e 4 ，m 1 m 2 ，m3 ，m 。) ；0 ，2 石( q ，岛，0 3 ，只，o l ，0 2 ，0 3 ，纹，m ，m 2 ，鸲，m 。) ；吼2 厶( b ，0 2 ，以，0 t ，0 - ，0 ：，0 3 ，0 。，m l ，m 2 ，m 3 ，m 。) ；萝q = ，5 ( 口j ，0 2 , 0 3 ，0 4 ”00 20 3 ，0 4 ，y 。) 其中m ，m ，m ，m 。y 为控制量。由式( 2 3 1 ) ( 2 3 7 ) 可得：m ，= m ，( 护，9 ，疹，) ；y 。= y 。( 只，谚，矽) ( f _ l ，2 ，3 ，4 )其中只( ，j ( 汪1 , 2 ，3 ，4 ) 为控制函数。一只岛。岛。幺vinoiiiihjo八oooo j44加蚴蚴m 强33333凶咖mmm22222和衄岫鼬幻印啊咖川蚴! ! 堡! ! 查塑叁：堡墨! ! 堡堕型墨垩垫塑堑至竺故本系统可从两方面来研究。一是以人体关节的内力矩肘，为控制量，该控制量由运动员的主观意志所决定，求解运动状态臼，即所谓动力学反问题；一是已知人体的运动状态只，求解人体关节的内力矩m ，即所谓动力学正问题。根据实际问题，求解正问题即：已知人体的运动状态，来求解人体关节的内力矩。我们对运动员的动作进行分析时，直接对人体的关节内力矩测量现在还不能实现，一般是已知人体的运动和一些边界约束，对运动情况进行分析。而运动员控制自身运动时，是根据主观意志控制肌肉群共同作用的结果，肌肉群的不同运动决定了关节内力矩的不同大小，从而改变运动状态，即改变p 。根据以上人体模型，我们可以根据人体运动情况推知人体该如何主动控制关节运动。2 4 系统性能指标人体在跳板上起跳的起跳过程如下：由于跨步跳或起跳准备阶段动作的作用，人体质心从距离跳板自由端某一高度开始下落，然后脚部撞击板，与跳板结合起来运动。经过一段时间后，人体解除板的约束上升，即该时刻后，跳板对人体的支持力为0 。该时刻人体质心的速度为腾起速度，人体质心上升的最大高度为腾起高度。在这一完整过程中，设由于跨步跳或起跳准备动作的影响，跳板自由端弹回水平位置时人体质心的速度为少，。，跳板自由端的初速度为夕。，此刻开始计时( 即初始时刻) ，经过t 时间后人体解除跳板的约束，此时人体质心的速度为夕。( r ) ，跳板自由端的速度为夕。( 7 1 ) 。2 4 1 动作指标跳板跳水运动中，表征一个起跳动作的质量和特征的指标定义如下：1 腾起速度岁( r ) ：即人一板系统解体时人体质心的垂直速度。人体质，l一些堡坠查塑垒：堡墨! ! 堡堡兰垦堡垫竖塑墨竺竖直位置可按以下公式计算m ，y ，y 。= 型卜m ，i ；i因此，人体质心的速度可表示为m 岁，岁。( f ) = 号r 一m一，1，(夕。+荟t-im舀t ( t ) c o s 8 k ( t ) + c , o ( t ) ，c o s o ，c ，k + 反，( f ) i，= l女= l，m 。j = 12 最大压板幅度y 。：跳板自由端被压到的最低点，即y 。( f ) ，( f 【o ，r 】)的最小值。3 最大反弹力。：跳板对人的最大作用力，即( f ) ，o o ，r ) 的最大值。4 压板时间：从计时开始到人体主动压板动作结束的时间。5 反弹时白j ：从运动员动作舒展开到脱离跳板的时间。2 4 2 目标函数，人在平地跳跃，衡量一次起跳效果的优劣是看起跳的高度或者是人离地的速度的大小。跳板跳水的起跳过程是人体在有弹性支撑下的运动过程，从对第1 一一届亚运会跳板跳水的反馈数据表的分析中可以看出，运动员完成动作的质量与腾起高度和腾空时间是商质量完成空中高度的最基本保证。而腾起高度和腾空时问是由腾起速度决定的，故我们的目标函数选择为人体质心的垂直腾起速度，即求控制函数0 ，( f ) ，t f 0 ，t ( i = l ，2 , 3 ，4 ) ，使得目标函数跳板跳水的人- 板多剐体模型应运动解析系统达最大。夕。( 丁)型! 塾竺竺兰竺：竺! k + ，。幺( 7 1 ) c o s 口。( r ) + c ，分( 丁) ，c o s 曰，( r ) 1f = 1 = 1jm ，2 5 边界约束条件1 控制函数的约束我们将人一板相互作用共同运动看成是口( r ) 的相对变化引起的，以o a t ) 为控制函数，对人体质心的腾起速度进行优化，并由此求出各动作质量指标的值。1 ) 运动员生理条件的限制。因为人体关节的生理限制，0 。( r ) 的值有一定的范围p 。0 ，0 ) 只。( i = 1 ，2 , 3 ，4 )角加速度矿与人体的肌肉收缩能力有关，最大角加速度与了人体的最大肌肉收缩能力有关：0 。0 ，( f ) 只。( i 2 1 ，2 , 3 ，4 )2 ) 人体协调性的约束。人体运动过程中，在大脑神经的控制下，对身体各部分的运动进行协调，使身体的各部分的运动使身体重心迅速运动到相应的位置或达到平衡。在本文研究的运动中，我们认为人体的协调性体现在人体各部分大致运动趋势相同。2 初始条件的约束根据初始时刻的定义，人板系统的初始条件如下y 。= 0 ：0 ，( 0 ) = 0 些堡壁堡堕尘墅芝型! ! ! 型丝堡垫塑塑墨堕舀，( o ) = 舀川凡( o ) 2 ，m ( 滓1 ，2 ，3 ，4 )3 人一板系统解体条件当人和跳板在跳板自由端运动的一个周期内解体时，跳板对人的作用力为0 ，即n ( t 1 = 0 当人和跳板在跳板自由端运动的一个周期内解体的条件不满足时，即从跳板和运动员接触开始到跳板回弹上升到最高点的时问内，( r ) 始终大于0 ，则，取为跳板回弹上升到最高点的时刻。燮变塑：堡童型堡壁型丝堡垫壁塑至竺3 人- 板多刚体系统数值分析及仿真人体在跳板上的起跳动作过程决定了其运动效果。为了探求这一控制系统的运动规律，找出运动效果的最优控制函数，我们基于前一章给出的人板多刚体系统方程，设计了人一板多刚体系统的运动仿真系统，对人体在跳板上的起跳动作进行运动仿真。通过调整系统的参数，控制人体起跳动作，分析不同的运动方式对运动效果的影响。3 1 系统参数由文献 2 0 】( 人体环节惯性参量的活体测量) 可知人体各环节的惯性参量。表3 1 1 列出了人体各环节的相对质量，表3 12 列出了人体各环节或合成环节相对质心位置，表3 1 3 列出了人体各环节长度测量标志点。表3 1 1 人体各环节相对质量表3 1 2 人体各环节或合成环节相对廊凸位置型堕! ! 堕堕：堡兰型竺堡型墨堡塑竺堑墨竺表3 1 3 人体各环节长度测量标志点上肢长小腿长+ 足高大腿长躯干+ 颈+ 头肩峰点至中指端点之垂直距离胫骨点至足底的直线距离髋关节中点至足底的直线距离头顶正中至髋关节中点表3 1 4 列出了人体各段参数的平均值人体各段参数的平均值，作为仿真的缺省参数。表3 1 4 人体备段参数的平均值3 2 以谚为控制函数的数值仿真由于在多刚体系统下以关节扭距为控制量来研究过于复杂，我们研究以p ( i = 1 ，2 ，3 ，4 ) 为控制函数的运动规律。为了编程方便起见，我们令0 ，表示图j 引中的0 ：的补角。3 2 1 人板系统指标的数值解法1 跳板自由端运动方程的数值解法。由式( 2 35 ) 和式( 2 2 4 ) 得+ 4 f ac o s 巩) y 。吣i n 吼h c 每, c o s 0 , - m ，c , ( 0 c ) 2 s i n 叫又根据起始时问的定义，初始条件为儿= 0 ：儿( 0 ) = 少m如如。泛。hm，”、+=! 堕! ! 坐堕：堡墨型堡堡型丝墨垫鳖堑墨竺令r 12 户虬f ( o 。，0 ，0 。) =主 m ，艺以p s 卧p 。2s i n o k h 卅, c o s o ，- mc ( z 。啪，一il女；1j原方程可化为匕，= y 。，( o ) = o ；匕，a t b b y 。一f ( t 9 ，0 ，0 ，)采用四阶龙格库塔方法，有这里l l =卅，6 6 + m匕m 州= 匕，。+ 嵋+ i h 2 ( 厶+ ：+ 厶)y o l ( n + l = v o , o + h ( l t + 2 2 + 2 工，+ l 。)a i b b y 。- f ( o 。( f 。) ，毋。( f 。) ，眵( f 。) )m l b b + ma i b h ( y 。，+ 皇2 矿o 。) 一f ( o ，( + ：) ，毋，( + ：) ，巨( 。+ ；) )，= 一j l 兰l，l 6 + 厶=4 。( y 。，+ ；圪，十等- ) 一，( 臼，( f 。+ j h ) ，自，( 。+ j h ) ，谚( f 。+ ；) )h a m ( y n 。+ r v ，+ r i ll ! ) 一( 曰，( ，。+ ) ，0 ( ，。+ ) ，只( f 。+ ) )可以解得y 。( r ) ，。( ，) 的离散值。m ，+ 一里! 堡壁查塑：堡兰型堡堡型些堕垫鳖堑墨笙2 腾起速度岁。( 丁) 。4r 卜1夕。( 7 1 ) = j = ，。( r ) + 豫i f 。文( t ) c o s o ( t ) 。+ c ；毋( t ) c o s o ，( r ) li = ll k = lj其中，r 为离板时间。3 板对人体的支撑力n ( t ) 。因此( r ) = m g + m 歹，= m g + m y 。+ 圭f m ，芝i 奠c 。s 一p 。y 。i 。o k + m t c , 舀，( ，) 。9 一。一( 谚) ：。i 。p = ilk = i= ，”g + ，”卜爿。y 。( f ) 一n ( t ) ) m ，。悱型半m l b b+杖) 2s i n o k + 。，q 谚c o s o i - - m ，c , ( 谚) ：。i 。臼，p t ) 2s i f t o k + 州，c ，谚c 。s 曰，一m ，c ，( 百，) 2s i n 口，1ml + ，m l b b4 离板时间7 1 。7 的取值满足f 7 1 ) = 0 3 2 2 人板系统仿真分析3 2 2 1 控制函数的选取控制函数的获取可采取解析运动序列图像的方法。对高速摄影获得的起姚阶段的序列图像，采用鼠标取点的方法，或利用我们设计的关节点自动识别i ：件，标u 出人体的踝关节、膝关节、髋关节和肩关节点位置。计算，p ( ，) ( i = 1 ，2 ，3 ，4 ) 的离散值。奶酿sl 陬h ml。+&sl 队fhml。一! ! 堡! ! 查塑：堡兰型堡堡型丝堕塑坚塑墨笙设控制函数o ( t ) 的形式为 a i f3 + 6 1 ，2 + c l f 十d l ，p ( r ) = d 2 f3 + 6 2 ，2 + c 2 ，+ d 2【0 。，r ：l ，t一t 对人体运动进行控制，其中i 控制着人体向下曲体达到最低的时间，t 一正控制着人体蹬板的时间。该方程满足以下边界条件和连续性条件故p ( o ) = 0 0 ；口( i 一) = p ( i + ) = 0 。口( 疋) = 0 。；o ( o ) = o o ；o f t , 一1 = o f t , + ) = 0 ：p ( 疋) = 0 旷盟睾塾qd 。“22 0 0 五3 + 3 0 。，6 ，：一垫竖墨222跳板跳水的人- 板多刚体模型及运动解析系统d ：2 口。一! j ；j ；i ；熊一t j ，十，+ j ，。3 2 2 2 仿真系统输入变量仿真系统的输入变量包括：a o ( 计时开始时的各环节初始角度) ( 度) ，o ( 计时开始时的各环节初始角速度) ( 度) ，夕。( 计时开始时跳板自由端的初速度) ( 耐s ) ，王( 人向下压板动作结束的时刻) ( s ) ，丁2 ( 人蹬板结束的时刻) ( s ) ，。( 各环节角度的最小值) ( 度) ，0 。( 各环节角度的最大值) ( 度) ，k ( 跳板的固定端到支点的长度与跳板的长度之比，表征了跳板的硬度) ( m ) 。以下图例和表中单位略。3 2 2 3 系统输出变量仿真系统的输出变量包括：y 。( r ) ( 跳板自由端的位置) ( m ) ，夕。( ，) ( 跳板自由端的速度) ( m s ) ，v 。( 人体质心的腾起速度) ( m s ) ，| v ( f ) ( 跳板对人的作用力) ( 。，一( 跳板对人体的最大作用力) ( d ，正( 人体和跳板分离的时刻) o ) ，乃( 跳板向下降的时间) ( s ) ，l ( 反弹时间，即跳板向上运动的时间) o ) ，y ( 跳板自由端下降幅度的最大值) ) 。以下图例和表中单位略。3 2 2 4 典型动作分析跳板跳水起跳动作中典型的动作有三种：第一种是在跳板下降期进行蹬板动作，系统参数取值见表3 2 1 ，输出参数图见图( 3 2 1 ) ，输出参数表见表3 2 2 ；第二种是在跳板运动到最低点进行蹬板动作，系统参数取值见表3 2 3 ，输出参数图见图( 3 2 2 ) ，输出参数表见表3 2 4 ：第三种是跳板开始上升后进行蹬板动作，系统参数取值见表3 2 5 ，输出参数图见图( 323 ) ，输出参数表见表3 2 6 。旦! ! 燮查塑：堡兰型堡堡型丝堡塑竺塑墨篓表3 2 1 跳板下降期蹬板动作的系统参数6 l o6 492 889 09 0，o一0 5100一一0 。5 9 52 529 09 0_ 一_ _ 一0 。9 198 079 09 0z0120 3f m01y n005表3 2 2 跳板下降期蹬板动作的系统输出i乃ty 。n 。、v 。o4 0 2 4o 2 5 8 00 1 4 4 40 2 2 2 61 5 5 862 4 0 6 9控制函数0 ( ，) ( i = l ，2 , 3 ，4 )跳板跳水的人- 板多剐体模型及运动解析系统人体质心相对于跳板自由端的高度y 。( r )跳板对人体的支承力( f )跳板的位置y 。( t )跳板的速度j = 。( r )图3 2 1 跳板下降期间露板系统输出曲线圈从图3 2 1 中可以看出，当f = 0 0 1 时，人体质心相对于跳板的位置下降到最小，运动员开始由压板动作转变为蹬板动竹：，此时，跳板继续下降( 由跳板的位置y 。( f )在t = o 0 1 时继续下降和跳板的：堑度_ ：j 。( ，) 在t = o o l 时小于0 可以看出) 。当t = o2 5 8 0 时，跳板下降到最低点j f 。始上升( 由跳板的位置y 。( ，)在t = o 2 5 8 0 时继续下降和跳板的速度岁。( f ) 稿0 2 5 8 0 时等于0 可以看出) ，此时跳板对人体质心的支承力n ( o 达到最大。，i = 04 0 2 4 时，跳板对人体质心的支承力( ，) 减小剑0 ，人体脱离板，腾起速。为2 4 0 6 9 。! 堕坠查塑：堡兰型竺堡型墨垩垫塑塑墨竺表3 2 3 跳板下降到最低点蹬板动作的系统参数0 ，o6 53 69 09 00 ，o一1100只。5 9 52 5 29 09 0只。9 1 98 079 09 0z0 1 8l0 3l b b01j = ，。o2表3 2 4 跳板下降到最低点蹬扳动作的系统输出一力ty 。n v 。0 3 7 7 60 1 7 9 60 1 9 8 0- 0 2 5 4 91 9 8 912 9 9 1 1控制函数0 ，( t ) ( i = l ，2 , 3 ，4 )燮! ! 堕：堡兰! ! 苎堡型墨堕垫塑堑至篓p o s i t i o no ft h ec e n t e rt ob o a r d人体质心相对于跳板自由端的高度儿( f )m a po ty b ( 1 l跳板对人体的支承力( f )m a po f d y b ( 1 )跳板的位置y 。( f )跳板自由端的速度少。( ，)图3 2 2 跳板运动到最低点时蹬板系统仿真输出图从图3 2 2 中可以看出，当t = o 1 8 时，人体质心相对于跳板的位置下降到最小，运动员丌始由压板动作转变为蹬板动作，此时，跳板自由端也下降到最低位置( 由跳板的位置( ，)在t = 01 8 时下降到最低点和跳板的速度夕。( r )在t = 01 8 时等于0 可以看出) ，此时跳板对人体质心的支承力( f ) 达到最大。当t = o 3 7 7 6 时，跳板对人体质心的支承力( 咖盛小到0 ，人体脱离板，腾起速度v 。，为29 9 1 1 。跳板跳水的人- 板多刚体模型及运动解析系统表3 2 5 跳板上升阶段蹬板的系统参数i - li _ 2i = _ 3i _ 4，o8 57 99 09 0只o- 0 5100表3 2