导数的经济意义及在经济分析中的应用研究.doc

导数的经济意义及在经济分析中的应用研究摘要导数在经济领域中的应用非常广泛,特别是在微观经济学中有很多具体的例子.掌握导数的基本概念和经济中常见函数的概念非常重要.本文从边际分析、弹性分析和优化分析3个层面分析了导数在经济分析尤其是微观经济分析当中的应用，并列举实例加以说明.旨在阐明高等数学处理复杂经济问题的优越性和重要性，为广大企业管理者进行科学决策提供支持.关键词：导数；经济学；边际分析；弹性分析；优化分析1 引言 数学是一种适于定量分析的比较严密的抽象符号系统，具有较强的客观性，应用数学知识解决经济问题在一定程度上能减少分析中主观因素的影响.当然在经济研究中应用数学也会有它的局限性.它不可能使经济理论家或实践者彻底摆脱在现实经济中所遇到的困境和烦恼。但总体来说，在经济研究中应用数学是很有益的。从当前来看，在国内外经济学文献中应用数学作分析工具的越来越多，应该说这是经济学进步的一个重要标志，即它使经济学走向了定量化、精密化和准确化。微积分的创立是数学发展中的里程碑,导数作为微积分的核心概念之一,在经济学领域有其丰富的实际背景和广泛的应用。如何运用导数知识去分析、解决经济中的问题是一个必须引起重视和研究的课题。本文本着“数学为体,经济为用”的原则,就导数在经济领域中的成功应用范例:著名的边际分析、弹性分析以及经济优化问题等作一些探讨,并给出导数在经济领域中的一些应用实例。旨在拓宽人们分析问题的思路，提高人们解决问题的能力。通过本文的讨论，我们不难发现，利用导数说明和解决经济问题是非常有效的方式，使我们可以从数学的角度得出结论，又可以在经济的理论上得到合理解释，从而达到为企业经营者科学决策提供依据的目的。2 文献综述2.1 国内外研究现状 现查阅到的文献中，分别就导数在经济研究中的应用做出以下说明.其中高汝憙在文献1中精确的解释了导数的概念，强调了对数学概念的精确理解是解决问题的前提. 高鸿业、哈尔R范里安、周晓晖、宋承先分别在文献2-5中对导数在经济领域中的应用类型和相应的方法给予了较详细的说明，并介绍了经济学中常见的函数及大量的实例. 李凤香,程敬松在文献6中对边际的概念展开描述，并举例说明边际收益，边际成本等概念.文献8中, 张贤澳对需求价弹性与收益进行了详细的的解析. 文献10-12中，刘玉红，李春萍，彭文学通过弹性分析说明了数学在经济领域中的具体应用.周学勤在文献14中提出了导数在经济应用中应注意的问题. 叶子祥，于信，宿金勇, 保罗A萨缪尔森等在文献15-16中提出针对生活中的有些问题可利用优化分析的方法达到经济效益的最高的策略.2.2 国内外研究现状评价文献1-16分别就导数的经济意义与其在经济中的应用做出说明，文献中主要阐述了经济方面相关的基础知识，没有很全面地介绍导数在研究经济各方面的运用，而且文献中对最优化分析给出的分析也相对较少，对导数在经济中的应用所需要注意的问题也未给出详细深入的说明.2.3 提出问题 本文从数学的基本理论导数的概念出发,引出了经济管理学中重要的概念边际函数和弹性函数,研究它们的经济意义,介绍了经济科学中常见的函数及大量的实例,探讨了数学在经济管理学中的应用,给出了解决这些问题的一般方法，通过数学与经济学的结合来分析问题，说明导数在经济生产中的重要性和优越性.3. 导数的概念与意义定义11：设函数y=f（x）在点的某个邻域内有定义，当自变量 x在点处取得增量（点+仍在该邻域内）时，相应地函数y取得增量=f（+）-f（）；如果与之比当0时的极限存在，则称函数y=f（x）在点处可导，并称这个极限为函数y=f（x）在点处的导数，记为，即DpQp1Q1p2Q20.若函数 y=f（x）在某区间内每一点都可导，则称 y=f（x）在该区间内可导，记为y=f（x）在该区间内的可导函数（简称导数）.SPQP2Q1P1Q20图1 需求曲线函数增量与自变量增量之比y/x是函数在以和为端点的区间上的平均变化率,而导数则是函数y=在点处的瞬时变化率,它反映了函数随自变量的变化而变化的快慢程度.函数y=在点的导数的几何意义是:曲线y=在点处的切线的斜率.图2 供给曲线西方经济学家研究涉及边际经济变量时都是用增加某一个经济变量一个单位从而对另一个经济变量带来的影响是多少,如边际效用、边际成本、边际收益、边际替代率等等,这些概念都是经济学中非常重要的概念.而在这些经济学概念中,几乎都要用到数学导数的概念,它们的数学表达式也几乎可以用导数来表示.因此,导数在边际分析、弹性分析、最优化分析等方面都具有重要的作用.4. 经济分析中常用的函数4.1 需求函数与供给函数（1）需求函数.作为市场上的一种商品，其需求量受到很多因素影响，如商品的市场价格、消费者的喜好等.为了便于讨论我们先不考虑其他因素，假设商品的需求量尽受市场价格的影响，即Q表示某种商品的需求量，P表示此种商品的价格，则用 Q=f（P）表示对某种商品的需求函数.例如，某空调的价格从3000元/台降到2000元/台时，相应的需求量就从600台增到1000台，显然需求是和价格相关的一个变量.一般来说，对某种商品的需求量Q随价格减少而增加，随价格增加而减少，所以需求函数是单调减少的函数（如图1）.（2）供给函数.站在卖方的立场上，设Q表示对某种商品的供给量，P表示此种商品的价格，则用Q=F（P）表示某种商品的供给函数.一般来说，作为卖方，对某种商品的供给量Q是随价格P的增加而增加，随价格P的减少而减少，所以供给函数是单调增加的函数（如图2）.4.2 成本函数与平均成本函数（1）成本函数.产品的成本一般有两类：一类随产品的数量变化，如需要的劳动力，消耗的原料等；这种生产成本称为可变成本.另一类成本无论生产水平如何都固定不变，如房屋 设备的折旧费、保险费等，称为固定成本.设Q为某种产品的产量，C为生产此种产品的成本，生产每个单位产品的成本为a，固定成本为，则成本函数为C =C（Q）=aQ+.（2）平均成本函数.用表示每单位的平均成本函数2.4.3 价格函数、收入函数和利润函数（1）价格函数.一般来说，价格是销售量的函数.生活中随处可见，买的东西越多 消费者就可以把价格压得更低.例如，某批发站批发100件衣服给零售商，批发定价，30元，若每次多批发10件衣服，相应的批发价格就降低2元，显然价格是和销售量相关的一个变量.在厂商理论中，强调的是既定需求下的价格.在这种情况下，价格是需求量的函数，表示为P=P（Q）.要注意的是需求函数 Q=f（P）与价格函数 P=P（Q）是互为反函数的关系.（2）收入函数.在商业活动中，一定时期内的收益，就是指商品售出后的收入，记为R.销售某商品的总收入取决于该商品的销售量和价格.因此，收入函数为R=R（Q）=PQ.其中 Q 表示销售量，P表示价格.（3）利润函数.利润是指收入扣除成本后的剩余部分，记为L.则L=L（Q）=R（Q）-C（Q）.其中Q 表示产品的的数量，R（Q）表示收入，C（Q）表示成本.总收入减去变动成本称为毛利，再减去固定成本称为纯利润.5. 导数在经济分析中的应用5.1 边际分析边际概念是经济学中的一个重要概念，通常指经济变量的变化率.利用导数研究经济变量的边际变化的方法，即边际分析方法，是经济理论中的一个重要分析方法.在经济学中，习惯用平均和边际的概念描述一个经济变量y对于另外一个经济变量x的变化.平均概念y表示在自变量x的某一个范围内的平均值.显然，平均值x随着范围不同而不同，边际概念表示当x的改变量x趋于0时，y的相应改变量y与x的比值y/x的变化，即当x在某一给定值附近有微小变化时，y的瞬时变化.5.1.1边际成本设生产某种产品q单位时所需要的总成本函数c(q)可导，则其边际成本定义为 3边际成本是总成本函数c(q)关于产量q的导数，其经济含义是：当产量为q时，再生产一个单位（即q=1）所增加的总成本为c(q).因此，近似地记为 例1 生产某种产品q个单位时成本函数为c(q)=200+0.05求生产90个单位与生产100个单位该产品时的边际成本.解：边际成本为=0.1q当q=90时，=0.190=9; 当q=100时，=0.1100=10;即生产90个单位该产品与生产100个单位该产品时的边际成本分别为9和10.在这里需要注意的是：平均成本、平均变化率、边际成本三个概念虽然都反映一定意义下的平均，但是又有一定的区别.平均成本C(q)/q是生产一定数量产品时的成本平均，它只与产量范围q有关.平均变化率C(q)/q是生产一定数量产品时再增加生产q时，成本增加值C在q范围内的平均，这个比值既与产量q有关，又与增量q有关.边际成本是极限意义下的平均，是当增量q0时，总成本C(q)的瞬时变化率，这个值只与产量q有关.5.1.2 边际收入与边际成本类似,边际收入定义为,即边际收入是总收入函数R(q)关于销售量q的导数，其经济含义是：当销售量为q时，再销售一个单位（即q=1）所增加的总收入R(q).例2 某企业某种产品的收入R(单位：元)是产量q(单位：吨)的函数求生产200吨时的边际收入.解：边际收入为生产200吨时的边际收入为其经济含义是:当销售量为200吨时，再销售一吨（即q=1）所增加的总收入为700元.5.1.3边际利润分析边际利润与边际成本类似,边际利润定义为总利润函数L(q)关于销售量q的导数.其经济含义是:当销售量为q时，再销售一个单位（即q=1）所增加的总利润L(q).在这里要强调的是:边际利润0与利润L(q)0是不同的概念. 0即边际利润小于零这意味着：当产量（销量）为q时，再改变一个单位的产量（销量）(即q=1)总利润将减少，此时，可能是亏损，也可能是盈利，即总利润减少不一定是亏损.而L(q)0即利润小于零则意味着：当产量（销量）为q时企业是亏损的.例3 设某厂生产某种产品的总成本C元是产量Q件的函数，.每件产品的销售单价为800元,试写出利润函数,边际利润及生产350件、398件及400件时的边际利润,并说明其经济意义.解：设产量与销量一致,令Q为产量(或销量),由题设收益为总成本从而利润函数边际利润于是 经济意义为: 表示当产量在350件的基础上再生产一个单位产品时,利润将近似地增加9 6元; 表示在产量398件的基础上再生产一件产品时,利润将不再增加,而且开始减少; 表示在产量为400件的基础上再生产一件产品,利润就要近似地减少4元.例44 假定有酒100吨，现价8元/公斤，多陈一年可增值2元/公斤，贮存费每年10000元，因贮存酒积压资金引起机会成本每年增加（其中为酒的贮量，P为当年白酒价格，r 为利息率，且假定r=10%），那么这些酒须储存多久效益才最大呢？分析：假设须贮X年才最佳，由已知可得如下函数关系：1. x年增加的总收入函数（元）2. x年增加的贮存总成本（元）3. x年净增利润函数 （元）此时边际收入：边际成本：因为当时利润最大，所以有，即x=2.75（年）.由于驻点唯一，故只有当储存期为2.75年时,企业才能获得最佳经济效益，其最大净增利润为151 250元.由上进一步表明，边际分析这种以导数为工具，以经济现象为内容的数学分析方法已深深融人到了经济学中，并成为经济学的一个重要组成部分.5.2 需求价格弹性分析及应用在西方微观经济学中, 弹性是用来表示因变量对自变量变化的反应的敏感程度.具体地说, 当一个经济变量发生1%的变动时, 由它引起另一个经济变量变动的百分比.因此, 需求的价格弹性表示在一定时期内一种商品的需求量的变动对于该商品的价格的变动的反应程度.或者说, 它是衡量一种商品的需求量对其价格变化的反应敏感程度, 这种敏感程度通常是用需求价格弹性系数来表示.其公式为需求的价格弹性系数=需求量变动率/价格变动率5同样, 供给的价格弹性表示在一定时期内一种商品的价格变动对于该商品的供给量变动的影响.其公式为：供给的价格弹性系数=供给量变动率/价格变动率.需求的价格弹性和供给的价格弹性分为点弹性和弧弹性.而价格弧弹性的计算可以有三种情况, 它们分别是涨价时的弧弹性、降价时的弧弹性, 以及中心公式计算的弧弹性.至于到底应该采用哪一种计算方法, 这需要具体情况和需要而定.并且, 一种商品需求的价格弹性与供给的价格弹性的大小是各种影响因素综合作用的结果, 是决定商品供求变化方向、均衡数量及价格水平的重要因素.6用西方经济学的价格弹性理论研究中国市场的价格弹性的变化, 最关键是科学地计算产品的供给价格弹性和需求价格弹性.定义27 设函数y=f（x）在点x处可导，函数的相对改变量与自变量的相对改变量之比，当时的极限称为函数y=f（x）在点处的相对变化率，或称为弹性函数.记为.5.2.1需求价格弹性的概念与分析需求价格弹性的概念：经济学中，把需求量对价格的相对变化率称为需求的价格弹性.记为.由于需求函数是价格的递减函数，所以需求弹性一般为负值.其经济意义为：当某种商品的价格下降（或上升）1%时，其需求量将增加（或减少）.当=-1（即|=1）时，称为单位弹性.即商品需求量的相对变化与价格的相对变化基本相等。5.2.2需求价格弹性在企业经营中的应用（1）需求价格弹性在厂商定价中的应用对厂商来说，利润最大化是其经营目标，而厂商一般通过调整价格来实现这一目标，然而通过这一方式能否到预期效果还要由Ed的来定.在市场上，厂商若能判定某些商品是属于需求富有性的，则可以采取降价的策略，也就是“薄利多销”策略.“薄利”就是降价，降价能“多销”，因需求增加而增加的收入大于价格下降而减少的收入，会使总收益增加，但不能采取提价的策略.比如，公园除了比较大的节日，象五一节、六一节、十一节去游玩的人比较多以外，其余的时间游人非常少，造成了社会资源的闲置，非常可惜.公园的门票就属于需求富有弹性的商品，票价应该下降，因为下降以后可以吸引大批的本地居民去公园消费.而且对于园来说，一般是固定费用较大，而变动费用较少，客增加公园支出的总费用不会有太大影响，公园在增加收入的同时，支出的费用却增加很少，何乐而不为呢？8在市场上，商家若能够准确地判断出某种商品是属于需求缺乏弹性的话，就不能采取降价的策略而应该采取提价的策略.比如，在农产品市场上，由于粮食是生活必需品，需求价格弹性小.也就是说，人们不会因为粮食便宜而多吃粮食.由于丰收了而造成粮价下跌，并不会使需求量同比例地增加，反而使总收益减少，农民蒙受损失.这就是中国古语“谷贱伤农”经济学道理，意思是丰收了，由于粮价的下跌，农民的收入减少.以上分析了产品的需求价格弹性大小与企业总收益之间的关系及其在实际中的一些运用.在真正应用时，我们还要注意两点：一是上面所提到的总收益包括了成本与利润，总收益增加并不意味着利润增加，总收益减少不意味着利润减少.二是商品的需求价格弹性会由于人们收人水平、所处的地区等因素的改变而改变.综上所述，企业在制定或变动产品价格时，一定要考虑自己产品需求价格弹性的大小，这样才能够更好地利用价格策略，在竞争中求得生存与发展.例59 某企业某产品的需求价格弹性在1.5-2.0之间，如果预计明年把价格降低10，问明年的销售量预期会增加多少？总收入将会增加多少？ 解：由， .因此时， ，.当 时，.所以，明年该企业销售量预期会增加15-20，总收入将会增加5-10.由此可见，在市场经济中，企业经营者关心的是商品涨价（p0）或者降价（p0）对总收入的影响程度，利用需求弹性概念可以知道涨价未必增收，降价未必减收.（2）需求价格弹性在价格预测中的作用由于Ed在公式上等于需求量变动的百分比与价格变动的百分比之比，所以在产品需求弹性、基期价格已知的条件下，我们可以在预测未来需求量或需求量变动率后，预测商品在未来某一时期的价格.如：某一商品的弹性系数为2，2005年的销售价格是500元，预计2006年的销售量会从2000件上升到3000件，则可预测2006年的价格变动率=需求变动率/弹性系数=50%/2= 25%，预期价格=基期价格(1+价格变动率) = 500*1.25=625（3）需求价格弹性在需求量预测中的作用在基期需求量和已知Ed的条件下，企业在知晓价格变化的情况后，也可以用上面的原理来预测一下自己商品在未来某一时期内的需求量.5.2.3需求价格弹性在国家经济决策中的应用（1）利用需求价格弹性合理调控经济，做出科学决策在现实生活中，某些需求缺乏弹性的商品，如农场品，在供给量增加后，价格大幅下降，而需求量不会增加很多，从而使均衡价格维持在很低的水平，这就会极大的挫伤生产者的积极性，最终使得未来供应量减少，而在供应量减少后，该产品的价格就会大幅上升，而价格的大幅上升，又不会引起需求量的大幅减少，因此会均衡价格达到很高的水平.如：近来猪肉价的大幅上涨就与这种情形相似.而这种价格水平的急剧波动，对经济的健康发展造成很大的危害，因此国家对这商品应采用最低保护价政策，维持价格的稳定.（2）利用需求价格弹性制定科学的国贸政策一般情况下，人们普遍认为一国的货币贬值可以改善国际收支.实际上一国货币贬值是否能达到这种效果还看该国进出口商品的Ed来定, 即进出口商品的Ed之和大于1，只有在这个条件下，一国的货币贬值才能改善这个国家的国际收支.因此国家在制定国际贸易政策时，要充分考虑本国进出口商品的Ed，这样才可以提高决策的科学.（3）利用需求价格弹性制定科学的税收政策国家根据财政收支的需要和国家产业的发展规划，对具有不同Ed的商品制定不同的征税标准.对那些Ed为零且不关乎国计民生的商品，征收较高的税收，从而增加国家的财政收入；而对那些富有弹性的商品，降低税率，已达到增加需求量，促进经济增长的目的；而对那些低弹性且关乎国计民生的商品，如农产品,国家不仅不征税，还要提供财政补贴，鼓励这些弱势产业的发展.例610 某商品的需求函数为求:（1）需求价格弹性函数;（2）当P=5时的需求价格弹性并说明其经济意义；（3）当P=10时的需求价格弹性并说明其经济意义；（4）当P=15时的需求价格弹性并说明其经济意义.解：（1）按弹性定义：（2）由于，所以当P=5时，该商品的需求缺乏弹性，此时价格上涨1%，需求量下降.(3)由于，所以当P=10时，该商品具有单位弹性，此时价格上涨1%，将引起需求量下降1%.（4）由于，所以当P=15时，该商品是富有弹性的，此时若价格下降1%，将导致需求量增加3%.那么，“边际”与“弹性”之间有什么联系与区别呢？请看下面一个例子.例7 某商品的需求函数为，P为价格（1）求P=4时的边际需求.（2）求P=4时的需求弹性.（3）当P=4时,若价格上涨1%，总需求将变动百分之几，上升还是下降？若价格增加一个单位，总需求将变动多少，增加还是减少？（4）当P=4时，若价格上涨，总收益将变动多少？上升还是下降？若P=6时，将如何变化.（5）P为多少时，总收益最大？解：（1）, （2）（3）由弹性的经济意义及（2）的结果可知：若价格上涨1%，总需求将下降0.54%； 由边际的经济意义及（1）的结果可知：若价格增加一个单位，总需求将下降8个单位.由（3）可以看出，弹性是一个相对量的比较，价格变动1%，相应的需求量将变动；而边际则是一个绝对量，价格增加一个单位，需求量将增加或减少多少个绝对量.边际与弹性，一个从绝对量变化的角度，一个从相对量变化的角度.但有一点它们是相同的，就是它们都是考虑在某一点时的瞬间变化情况，均是局部性的概念，而不是对整个变化过程做研究.下面看第（4）问， 总收益应为需求量与价格的乘积，即： 边际收益收益弹性：表示p=4时，价格上升1%，总收益增加0.46%；价格增加一个单位，总收益增加27个单位.边际收益收益弹性： 表示P=6时，价格上升1%，总收益将减少0.85%；价格增加一个单位，总收益减少33个单位.由上可见，边际与弹性随着P点的不同而不同，是一个局部性的概念，掌握“边际” 与“弹性”的概念，注意它们的区别与联系，在市场管理和制定商品价格，确定生产量等方面都具有重要的经济意义.那么，总收益有时升，有时降，何时才能使总收益最大呢？这是一个整体性问题， 若用边际或弹性来解决则显得有些罗嗦，在经济数学中，一般可用最大（小）值来解决：, (舍去)所以P=5时总收益最大.53 收入弹性分析及应用 收入弹性包括需求收入弹性和供给收入弹性.需求收入弹性是指价格一定下需求量变化比例与收入的变化比例之比，是用来分析消费者收入变化与商品需求量变化的数量关系及其规律性的.用公式表示: 11一般地，商品价格不变条件下，消费者收入的变化与需求量的变化是同向的，故弹性值为正.但有些情况下，消费者收入水平提高后，对某些商品需求量反而下降，此时的弹性值为负.例如，当消费者收入水平提高后，食物结构中粗粮和蔬菜的比重会有所下降.供给收入弹性是指供给量对销售者收入变化的反映程度，其值为供给量变化率除以收入变化率所得之商.对一般的商品生产者、即销售者来说，其收入的增加表明利润的增多，因而供给量也随之增大.但对一些自给程度高(商品率低)的商品生产者来说，他们的收入增加后，供给量反而有减少的现象.比如农民家庭收入提高后，农副产品如禽蛋等供给就会减少.在经济计划中，如果要从最终产品出发进行综合平衡，就需要确定各部门的最终产品，然后通过投入产出模型求出各部门的总支出.这时可用收入弹性进行指标分解，通常是先估计出下一时期的消费总额各类产品的收入弹性，并把消费总额分解为各类产品的最终需求.例8 某地区1995年消费总额为180亿元，某产品的消费额为4亿元，其收入弹性为3.1.又1996年该地区预计消费总额为200亿元，则1996年该产品的消费额估计数X是多少？解:由弹性公式得: 有：X-4=3.10.1114=1.3764 故得：X=5.3764（亿元）用同样的方法可估计出其它产品的消费额.恩格尔定律是需求收入弹性应用的一个范例.其含义是12:对于一个家庭来说，收入水平越低，食物支出占消费总支出的比重就越大，反之则相反.对于一个国家来说也是这样.因此，如果用恩格尔系数来表示食物支出变化率与总支出变化率的比值，那么，其大小同收入水平的高低(或家庭的富裕程度)成反比.由于收入等于消费储蓄，故消费总支出可用收入代替.因此，恩格尔系数也可表示为食物支出变化率与收入变化率之比.其实质就是需求的收入弹性，西方统计学家经常以恩格尔系数的高低作为划分低、中、高收入国家的标准.事实上，恩格尔系数不仅可以反映一个家庭(或国家)的收入水平和生活水平，而且更重要的是可反映出在商品价格变化的情况下，价格的同一变动对不同收入水平的家庭(或国家)的影响不是同的.比如，食物价格上涨幅度大于其它消费品价格上涨幅度时，低收入家庭更加不利.目前，恩格尔系数已被广泛应用于消费结构的变化分析.我国的小康标准就有恩格尔系数值的规定.6.最优分析及案例最优化问题是经济管理活动的核心，通常是利用函数的导数求经济问题中的平均成本最低、总收入最大、总利润最大等问题.对企业经营者来说，对其经济环节进行定量分析是非常必要的.将导数作为分析工具，可以给企业经营者提供精确的数值和新的思路和视角.经济学分析中的主要优化问题有产出最大化分析、收入最大化分析、利润最大化分析、资源合理利用的优化分析、成本最小化分析以及最优组合分析等，通常伴随一些约束条件.通过优化分析可以帮助企业管理者寻求最大化企业的收益，并尽量降低生产成本和管理费用，意义非常深远.设函数是可导的，那么导函数在经济学中叫做边际函数.西方经济学家对它的解释是：当时，若x再增加一个单位的量，y将增加多少，它反映的是经济量的变化率；若是边际成本，则反映生产量处于某一水平时，总成本的变化率等等.在经济学中有边际需求，边际成本，边际收入，边际利润等.6.1用边际函数求最低成本（1）总成本、平均成本和边际成本企业的生产成本通常被看成是企业对所购买的生产要素的货币支出，它可以表示成产品的函数，设为C(q) ，平均成本是总成本中每生产一单位产品的所消耗的成本；边际成本.实际生产中也用企业增加一单位产品所付出的成本来代（2）总成本，平均成本和边际成本曲线由平均成本和边际成本定义可知，任何产量水平上的平均成本值都可用连接原点到总成本曲线上相应点的线段的斜率给出.任何产量水平的边际成本，可用总成本曲线相应点曲线的切线的斜率给出.由于随着产量的增加，企业投入的成本必定增加，所以总成本曲线是一条向右上方倾斜的曲线.由西方经济学研究知，在达到一定的产量水平之前，总成本的增量是递减的；在达到这个水平之后，总成本的增量是递增的，所以总成本曲线存在拐点，所以平均成本曲线和边际成本曲线都呈U型13.（3）边际成本对企业生产的指导作用任何有理性的企业主总是想扩大生产规模和追求利润的最大化，那么扩大生产规模有无限制条件？利润最大化的前提条件是什么呢？设某企业的销售函数为R (x)，利润函数为P(x)，则P(x) =R (x)-C(x)，由导数的知识知，利润P(x)的最大值一般位于 P(x)= 0处，此时，R(x)=C(x)，即边际收益等于边际成本时企业利润最大(萨缪尔森原则).例914 生产某种产品q台，总成本C（单位：千元）的函数为：.求：当产量为90台时的总成本； 当产量为90台时的平均成本； 当产量由90台增加到100台时总成本的平均变化率； 当产量为90台时的边际成本.解：总成本函数.当产量为90台时，总成本为（千元）. 当产量为90台时，平均成本为(千元). 当产量由90台增加到100台时总成本平均变化率为(千元/台). 当产量为90台时，边际成本为，（千元/台）.上式中，表 示 当产量为90台时，再多生产1台总成本将增加9千元.6.2利用边际函数求最大利润利润最大化是企业决策考虑的根本目标.由微积分基本原理知道：利润最大化的点在边际利润等于零的点获得15.在经济研究中, 生产某种产品的总成本C (x)、总收入R(x)、与总利润都是产量x的函数，因而有=R(x)-C(x), 即总利润是总收入中除去总成本的那一部分价值.从数学的角度上来讲, 利润就是x的函数, 从而将研究经济中的最大化问题转化为求函数的最大值问题14.由于发生最大值的点往往是函数的驻点(即:导数为0的点).由此我们来分析上面的问题：在= R (x ) - C ( x )两边关于产量 x求导得 ，即记作，其中MR(x)与MC(x)分别表示总收入与总成本对产量的导数，在经济学中分别称为边际收入与边际成本.令，得 MR(x)=MC(x).这就是使得利润最大的 x所满足的条件 (在实际问题中最值总是存在, 而且唯一 ) ，也就是说能够使边际收入等于边际成本的产量值就是利润最大化的产量值 (记作)，这也是经济学中的一个重要定理.此外,要保证利润是极大值,利润对产量的二阶导数必须小于零,即: 也就有其中, 是边际收益的变动率,即边际收益曲线的斜率, 是边际成本的变动率,即边际成本曲线的斜率.所以,利润最大化的必要条件是边际收益等于边际成本,充分条件是边际收益曲线的斜率小于边际成本曲线的斜率.这一法则适用于所有的厂商,不管是竞争性的还是非竞争性的.值得注意的是，许多人认为产量越高所得利润就越大，因而他们就极力使自己的产量增加，当然他们所获得的总收入也在增多，但其所得利润不一定增多.通过上面的分析，我们可以看出来，在达到某一点之前, 企业增加产量导致利润增加；过了这一点，利润会减少.以上只是关于导数在经济最优化问题方面中应用的一小部分，类似最优化的问题在现实生活中随处可见，例如税收的最大化问题、最佳存款利息、最佳批数和批量等等，而此类问题在引入导数的概念以后更加容易解决.例10 某企业 6 月份最多生产机床100台，销售x台的销售额函数，其成本函数为C（x)=500x+400(元)，求该企业生产多少台时获得的利润最大？解：，,，.令 ，即3000-40x=500.解得x=62(台)，即该企业生产62台机床时利润最大.例11 某种产品的总成本C(单位:万元)是产量x(单位:万件)的函数，求当生产水平为x=10万件时，从降低单位成本的角度看，继续提高产量是否得当？解：当生产水平x=10万件时，总成本为（万元）.这时单位产品的平均成本为 (元/件)，边际成本为(元/件).此时再加一件成本仅需4元，低于总平均成本()，加进这件产品时，平均成本得到下降，所以该企业还可继续提高产量.任何有理性的企业主总是想扩大生产规模和追求利润的最大化，那么扩大生产规模有无限制条件？利润最大化的前提条件是什么呢？设某企业的销售函数为R(x)，利润函数为P(x)，则P(x)= R(x)-C(x)，由导数的知识知，利润P(x)的最大值一般位于P(x)=0处,此时, R(x) = C(x)，即边际收益等于边际成本时企业利润最大（萨缪尔森原则）15.6.3资源合理利用的优化分析通过运用导数知识解决实际应用问题关键在于建立数学模型和目标函数。把实际问题翻译为数学语言,找出问题的关键,根据题中所给条件把主要关系近似化,形式化,抛开实际意义,抽象出一个数学模型,运用导数相关知识加以解决. 具体方法是: (1)用求导法则求出函数导数。(2)令导数等于0,得出驻点及其不可导点。(3)用这些点把区间分成几个部分,然后讨论函数的单调性。(4)求出极值点及其极值。(5)求出区间端点值与极值进行比较,得到最值。也可以通过讨论目标函数的二阶导数的正负来判断最值.例12 16某大楼有50间办公室供出租,若定价每间每月租金为120元,则将全部租出.租出的办公室每月需由房主负担维修费10元,若月租每提高一个5元,将空出一间办公室,试分析每月租定为多少时,比较合理?解:设每间月租提高x个5元租金收入为R(x)=(50-x)(120+5x)=-5+130x+6000维修费为10(50-x)元利润f(x)=(50-x)(120+5x)-10(50-x)=-5+140x+5500由实际情况定出定义域为1x50求f(x)在1,50上的最大值.令f(x)=-10x+140=0,得x=14 f(x)=-100,所以x=14处取极大值.根据例1判定最值方法知,f(x)在x=14处取最大值,即当月租为120+514=190(元/间)时,可获利最大,最大利润为f(14)=6480,此时闲房14间.而R(x)=-5x2+130x+6000,R(x)=-10x+130,令R(x)=0,得x=13,R(x)=-100,当x=13时,即月租定为120+513=185(元/间)时,收入最大,利润为f(13)=6475.由此看出,最大收入时的利润与最大利润很接近,考虑到价格对人们心理的作用,月租定为每间185元,比较合理,此时获利6475元,闲房13间.例13 某家银行，准备新设某种定期存款业务，假设存款量与利率成正比，经预测贷款投资的收益率为16%，那么存款利息定为多少时，才能收到最大的贷款纯收益?解：设存款利率为x，存款总额为M，则由题意M与x成正比，得M=k x(k是正常数)若贷款总额为M，则银行的贷款收益为：0.16M=0.16k x而这笔贷款M要付给存户的利息为xM=k从而银行的投资纯收益为=贷款收益-付给存户的利息=0.16kx-k=0.16k2kx=0得X=0.08又由=-2k0和驻点唯一知，X=0.08是的最大值点.故当存款利率为8%时，可创最高投资纯收益.例14 某工厂生产某种商品，其年销售量为100万件，分为N批生产，每批生产需要增加生产准备费1000元，而每件商品的一年库存费为0.05元，如果年销售率是均匀的，且上批售完后立即生产出下批(此时商品的库存量的平均值为商品批量的一半).问N为何值时，才