（基础数学专业论文）非线性奇异微分方程和脉冲方程边值问题的解的存在性.pdf

上海师范大学硕士学位论文中文摘要 摘要 非线性泛函分析是近年来数学界和自然科学界中发展起来的一门重要的研究学科，它 完善的理论和先进的方法为处理数学、生物学、物理学和工程力学等领域中出现的非线 性问题提供了卓有成效的理论工具其研究方法包括上下解方法、半序方法、变分方法以 及拓扑度方法和迭合度方法等，而研究的主要问题则是非线性算子方程解的存在性、多重 解的存在性和个数、解的分歧、解的迭代以及对微分积分方程和偏微分方程的应用所以， 研究非线性奇异微分方程和脉冲方程边值问题是这个领域中一个有意义且有兴趣的新课 题 本文的目的是在非线性分析中的半序空间理论中，利用非线性泛函分析中的一些方法 来研究b a n a n c h 空间中四阶奇异微分方程边值问题解的存在性以及二阶脉冲方程边值问题 解的存在性，经过深入的研究，我们得到了一些新的成果，同时也为非线性项不同奇异点的 研究和边值条件的差异提供了不同的处理方法 本论文由以下五部分组成，在第一章中，我们主要介绍了一些非线性分析的历史背 景和发展现状，并对本论文的研究问题做了一下概述；第二章则介绍了与本论文相关的 概念和相关引理以及所用的符号；第三章就四阶两点边值问题在非线性项处于t = 0 ， t = 1 和z = 0 奇异情况下得到了解的存在性；第四章则对四阶三点边值问题在参数边值条 件下利用锥拉伸和压缩不动点理论研究了解的存在性和非存在性；最后，在第五章中我们 又研究了另一类方程脉冲方程，利用不动点指数理论，在一些条件下建立了解的存在性定 理 关键词：奇异微分方程，脉冲微分方程，边值问题，锥，不动点定理，不动点指数理论 英文摘要 上海师范大学硕士学位论文 a b s t r a c t n o n l i n e a rf u n c t i o n a la n a l y s i sa sa l li m p o r t a n tr e s e a r c hs u b j e c tw h i c hd e v e l o p e do nm a t h e m a t i c sa n dn a t u r a ls c i e n c ei nr e c e n ty e a r si sa ne f f e c t i v et h e o r yi ns o l v i n gn o n l i n e a rp r o b l e m si n s u c hf i e l d sa sm a t h ，b i o l o g y ，p h y s i c sa n de n g i n e e r i n gm e c h a n i c s e t c t h em a i nr e s e a r c hm e t h o d so fn o n l i n e a rp r o b l e m sa r eu p p e ra n dl o w e rs o l u t i o nm e t h o d ，p a r t i a lo r d e rm e t h o d ，v a r i a t i o n s m e t h o d ，t o p o l o g yd e g r e em e t h o d ，c o i n c i d e n c ed e g r e em e t h o da n ds oo n t h em a j o ri s s u e st ot h e r e s e a r c ha r et h ee x i s t e n c eo fs o l u t i o n s ，m u l t i p l ee x i s t e n c ea n dn u m b e ro fs o l u t i o n s ，d i f f e r e n c e s o fs o l u t i o n ，a n di t e r a t i o no fs o l u t i o nf o rn o n l i n e a ro p e r a t o re q u a t i o n sa sw e l la st h ea p p l i c a t i o n f o rd i f f e r e n t i a l - i n t e g r a le q u a t i o na n d p a r t i a ld i f f e r e n t i a le q u a t i o n t h e r e f o r e ，t h es t u d yo nn o n l i n - e a rs i n g u l a rd i f f e r e n t i a le q u a t i o na n di m p u l s i v ee q u a t i o nb o u n d a r yv a l u eh a sb e c o m ean e wt o p i c w h i c hi sv e r ym e a n i n g f u la n di n t e r e s t i n g b a s e do ns e m i - o r d e rs p a c et h e o r ya b o u tn o n l i n e a ra n a l y s i sa n d t h r o u g ht h eu s eo fn o n l i n e a r f u n c t i o n a la n a l y s i sm e t h o d s ，t h i sa r t i c l es t u d i e st h ee x i s t e n c eo fs o l u t i o no ff o u r t ho r d e rd i f f e r e n t i a le q u a t i o na n ds e c o n do r d e ri m p u l s i v ee q u a t i o nb o u n d a r yv a l u ep r o b l e mi nb a n a c hs p a c e b y d e e ps t u d y , w eo b t m n e ds o m en e wr e s u l t sa n da l s op r o v i d e dad i f f e r e n ta p p r o a c hf o rt h ed i f f e r e n t o fn o n l i n e a rs i n g u l a rp o i n t sa n db o u n d a r yc o n d i t i o n s t h i sp a p e ri sd i v i d e di n t ot h ef o l l o w i n gf i v ec h a p t e r s t h ef i r s tc h a p t e ri so nt h ei n t r o d u c t i o n o ft h eh i s t o r i c a lb a c k g r o u n da n dc u r r e n td e v e l o p m e n to fn o n l i n e a ra n a l y s i s b e s i d e s ，i ti n t r o d u c e s t h et o p i co ft h i sp a p e rg e n e r a l l y t h es e c o n dc h a p t e ri sa b o u tt h ec o n c e p t s ，l e m m a sa n ds y m b o l s u s e di nt h i sp a p e r i nt h et h i r dc h a p t e r , a c c o r d i n gt ot h es t u d y , w h e nt h en o n l i n e a rt e r mi si nt h e e v e n to ft = 0 ，t = 1a n dz = 0 ，t h ef o u r t h o r d e rt w o p o i n tb o u n d a r yv a l u ep r o b l e m g o tt h e e x i s t e n c eo fs o l u t i o n i nt h ef o u r t hc h a p t e r , b yu s i n gt h ec o n ee x p a n s i o na n dc o m p r e s s i o nf i x e d p o i n tt h e o r y , t h ea u t h o rf o c u s e so nw h e t h e rt h es o l u t i o no ft h ef o u r - o r d e rt h r e ep o i n tb o u n d a r y v a l u ep r o b l e me x i s t so rn o tu n d e rt h es i t u a t i o no fp a r a m e t e rb o u n d a r yv a l u e s i nt h el a s tc h a p t e r , c h a p t e r5 ，t h ec o m p o s e rs t u d i e so ni m p u l s ee q u a t i o n w i t ht h eh e l po fc o m p r e s s i v ef i x e dp o i n t t h e o r y , an e wt h e o r e mo fe x i s t e n c eo fs o l u t i o n sf o ri m p u l s ee q u a t i o ni so b t a i n e d k e yw o r d s ：s i n g u l a rd i f f e r e n t i a le q u a t i o n s ，i m p u l s ed i f f e r e n t i a le q u a t i o n s ，b o u n d a r yv a l u e p r o b l e m ，c o n e ，f i x e dp o i n tt h e o r e m ，f i x e dp o i n ti n d e xt h e o r y i i 论文独创性声明 本论文是我个人在导师指导下进行的研究工作及取得的研究成果。论文中除了特别 加以标注和致谢的地方外，不包含其他人或机构已经发表或撰写过的研究成果。其他同 志对本研究的启发和所做的贡献均已在论文中做了明确的声明并表示了谢意。 作者签名龇一e t l i 习：j 么孥么4 上生刍刍l 一 作者签名姜陋一 ：j 么孥么4 上生址 论文使用授权声明 本人完全了解上海师范大学有关保留、使用学位论文的规定，即：学校有权保留送 交论文的复印件，允许论文被查阅和借阅；学校可以公布论文的全部或部分内容，可以 采用影印、缩印或其它手段保存论文。保密的论文在解密后遵守此规定。 作者签名：鎏蕴享 导师签名： 上海师范大学硕士学位论文第一章绪论 第一章绪论 1 1历史背景及发展现状介绍 近年来，非线性问题活跃于数学，生物学，物理学和工程力学等诸多领域中，而处理非 线性问题的一个重要而有力的工具是非线性泛函分析，非线性泛函分析在处理许多非线性 微分方程，积分方程以及偏微分方程中都发挥着重要的作用其研究的方法有上下解方法， 半序方法，变分方法以及拓扑度方法和迭合度方法 1 8 7 0 年，p o i n c a r e 的论文发表，开创了非线性分析的一个全新方向，使他成为了非线 性泛函分析的先驱，后来p i c a r d 把逐次逼近思想引入非线性分析，随后b a n a n c h 又把他 的逐次逼近思想推广到压缩映像原理，这一推广标志着非线性分析的诞生在1 9 2 2 年， k e l l o g y 和b i r k o h o 跋表了一篇题为”函数空间的不动点”，从而激起了许多作者对无穷维空 间中不动点的研究，直到1 9 3 0 年，j s c h a u d e r 获得了s c h a u d e r 不动点定理，并且在1 9 3 4 年，他 又与l e r a y 一起对上述方法理论加以提炼，得出了全连续算子的拓扑度理论，至此到上世 纪5 0 年代，非线性泛函分析已初步形成了一套完整的理论体系尤其在近几十年来，国内外 的许多研究学者都对非线性问题做了大量的研究工作，郭大钧先生在【l 】中对非线性泛函分 析中的非线性算子，非线性方程等都做了系统的总结和概括，且在【2 】中又介绍了如何利用 锥理论来研究非线性问题，在【4 冲又研究了非线性分析的半序方法，内容包含了这一领域 中各个方面的新成果 随着非线性泛函分析的不断完善与发展，抽象空间中微分方程的研究成为一个新的数 学分支微分方程的基本问题最早都主要集中在求通解上，但随着研究的深入，发现绝大多 数微分方程的通解是求不出来的，这使得人们改变了思想，不去求通解，而是去对定解进行 l 第一章绪论上海师范大学硕士学位论文 研究，即研究解的存在性和解的性质其中利用泛函方法，将常微分方程理论与泛函分析理 论结合起来研究b a n a n c h 空间的微分方程解的性质是郭大钧先生和孙经先先生在文献【7 】中 的集大成之作在研究非线性常微分方程中，带有奇异性的微分方程边值问题解的研究又 是一个重要课题，它不断出现在核物理，流体力学和非线性光学等领域中，对此类问题爱尔 兰数学家o r e g a n d 在他的专著【8 】中就有详细系统的论述近十几年来，脉冲微分方程是微 分方程领域的一个重要分支，它在航天技术，生物学和医学中都有着广泛的应用，它所呈现 出的结构与现实的数学模型和物理背景以及自然现象都极其吻合，因此对其研究就有其极 大的内在价值所以，用非线性分析中发展起来的一些先进工具来研究b a n a n c h 空间中的微 分积分方程和微分边值问题以及脉冲方程是一个十分有趣而有意义的新课题 1 2 本文的研究问题及其概述 ( 1 ) 常微分方程四点边值问题已经得到了很多研究，姚在文献【8 】中也研究四阶奇异微分 方程多个正解的存在性，但非线性项g ( t ，z ) 只要求在t = 0 ，t = 1 处奇异，本文第三章给出了 非线性项在t = 0 ，t = 1 及z = 0 处奇异情况下，同样利用锥拉伸和锥压缩不动点定理，得到 了四阶奇异微分方程正解的存在性 ( 2 ) 在 2 0 1 ，通过利用g u o - k r a s n o s e l s k i i 不动点原理和s c h a u d e r s 不动点定理，孙得到 了下列三点边值问题正解的存在性和非存在性 u ”m ) + 口( ) ，( u ( ) ) = 0 ，0 0 作连续函数垂：f 0 ，+ o o ) _ r 1 ，使满足 ( 1 ) j o 盯 0 ，存在6 = 6 ( e ) 0 ，使得当1 j ，t 2 j ， h t t 2 i 6 时，对任给u = u ( t ) m ，都有l u ( t 1 ) 一t | ( 2 ) l e 引理2 2 3 ( 锥拉伸与锥压缩不动点定理) 设q 1 ，q 2 是e 中有界开集，8 q 1 ，q 1cq 2 ， a ：pf l ( q 2 q 1 ) _ p 全连续如果满足条件 ( 1 ) a x 芝z ，v z p f la q l ；a x 菇z ，v z pf l0 f 2 2 ；或 ( 2 ) a x 芝z ，忱p f la 1 2 2 ；a x 菇z ，讹pna q l ； 那么，a 在pr l ( q 2 两) 中必具有不动点 引理2 2 4 ( 范数形式的锥拉伸与锥压缩不动点定理) 设q 1 ，q 2 是e 中有界开集，p q 1 ， 两cq 2 ，p n ( 砸q 1 ) _ p 全连续如果满足条件 ( 1 ) l l a x l l l | z | i ，v x pr lo f 2 l ；l i a x l l | i z i l ，v x pno g 2 ；或 ( 2 ) i a x l i l i x l l ，v z p n 0 1 2 2 ；i i a x l i l l z i i ，v z p n a q l 那么，月在pn ( 面q 1 ) 中必具有不动点 引理2 2 5 ( 不动点指数理论) 设x 是实b a n a n c h 空间e 的一个收缩核，x 1 是x 的一个 有界凸收缩核，u 是x 的非空开集且ucx 卜又设a ：x 1 _ x 全连续，a ( x 1 ) cz l ，并 且a 在x 1 u 上没有不动点，贝l j i ( a ，阢x ) = 1 6 上海师范大学硕士学位论文 第二章预备知识 2 3 相关符号 本文所用符号，除特别说明外，均按如下规定： 1 r 表示实数集合 2 r + 表示区间【o ，+ 。) 3 r 一表示区间( 一o 。，o 】 4 衍表示n 维欧氏空间 5 c 0 ，1 】表示【o ，1 】上的全体连续的函数的全体 6 砭表示q 的闭包 7 a q 表示q 的边界 8 表示b a n a n c h 空间中的范数，一般是上确界定义下的范数 9 i ( ，) 表示不动点指数 1 0 i n f 表示下确界，s u p 表示上确界 11 m a x a ，6 ) 表示取o ，6 中的最大的一个；m i n a ，6 ) 表示取n ，6 中最小的一个 7 第三章四阶两点非线性奇异边值问题的正解 上海师范大学硕士学位论文 第三章四阶两点非线性奇异边值问题的正解 本章主要内容是利用g u o - k r a s n o s e l s k i i 锥拉伸和锥压缩不动点定理及格林函数的性质， 研究四阶奇异边值问题正解的存在性，而非线性项9 ( t ，z ) 允许在t = 0 ，t = 1 和z = o r 奇异， 最后通过具体例子说明了所得结论的有效性 3 1 引入及准备工作 本章考虑下列四阶常微分方程奇异边值问题 ( 4 ( ) = g ( t ，z ) ，0 t 1 ( 3 1 1 ) ( 0 ) = 一( o ) = x ( 1 ) = 一( 1 ) = 0 正解的存在性，其中允许非线性项9 ( t ，z ) 在t = 0 ，t = l 及z = 0 r 奇异 问题( 3 1 1 ) 描述的是平衡状态下两端固定的弹性梁形变由于其重要的应用背景， 对问题( 3 1 1 ) 的研究已引起许多作者的广泛关注( 参见文献【8 】【1 0 】) 只要求非线性项 在= 0 ，t = 1 处奇异情况下，文【8 】利用l ( r a s n o s e l s 始不动点定理，得到了问题( 3 i 1 ) 多个正 解存在性 受文【8 】的启发，本文中非线性项不仅允许在t = 0 ，t = 1 处奇异，而且也允许在z = 0 处 奇异，结合g r e e n i 垂i 数的性质，利用锥拉伸与锥压缩不动点定理，证明了问题( 3 1 1 ) 至少存在 一个正解 r z z ，-i_j(1li【 圭童堕蔓盔兰垦主兰垡笙茎：= 竺= 苎! = ! = = 兰三塞竺丝堡墼童矍塑笙量量鎏堡堡些 令e = c o ，1 1 赋予范 数i 。 。s 墨u t s p l t z ( ) i 令c + o , l l = 为问题( 3 1 1 ) 所对应的齐次问题的g r e e n i 函数 0 s t 1 ， 0 t s 1 引理3 1 1 ( t ) 危( s ) c ( t ，s ) j i z ( s ) ，其中 ( s ) = s 2 ( 1 一s ) 2 ，h ( t ) 2t 2 ( 1 一印。，v t ，5 【0 ，1 】 证明：( i ) 当0 t 8 l l l r ， g ( 抽) = 丢2 ( 1 - s ) 2 【( s 一) + 2 s ( 1 一) 】 丢s 2 ( 1 一s ) 2 【( s 一) + 2 s ( 1 一) 】 i 三i5 2 ( 一) 2 2 ( 1 1 t21 一s ) t 一5f一) 一s ) 6 。 、77 丢s 2 ( 1 - s ) 2 t 2 ( tl 叫2 = 三即) m ) i s 。l z ) = i 月( ) ( s ) uu 由( i i i ) ( i v ) 知a ( t ，8 ) ；日( t ) ( s ) 注1 看z ( ) 是边值i 司题( 3 1 1 ) 的一个解，由引理3 1 1 知 z ( ) = f 0 1g ( ，s ) 9 ( s ，z ( s ) ) d s f o ah ( s ) 9 ( s ，z ( s ) ) 幽，。t 1 从而 i l z i i = s u p i z ( t ) 1 ) h ( s ) g ( s ，x ( s ) ) d s ，z c o ，1 】 o s t s ij o 且 坤) 吾1 即) 1 郴) 如，小) ) d s 丢邯川z i i 定义1 z ( t ) 称为边值问题( 3 1 1 ) 的一个非零解是指函数z ( ) c ( 4 ( o ，1 ) nc o ，l 】满足边 值i ；- j n ( 3 1 1 ) r 在【o ，1 _ l x ( t ) 0 z ( ) 称为边值问题( 3 1 1 ) 的一个i e 解l $ 指函数z ( ) 是问 题( 3 1 1 ) 的一个解且z ( t ) 0 ，v t 【0 ，l 】 记尸= z ( ) c + f o ，l lj z ( t ) h ( t ) l l x l l ，t f 0 ，1 1 ，则pce 为e 中的一个锥固 定兄 f 0 ，令户r 月：= z p ：r i i x l i 册，定义算子a ：j p ，r c + 【o ，l 】如下： a z ( ) = f o 1 g ( ，s ) 夕( s ，z ( s ) ) d s , xej ；p n r 易知a 有定义上1 a x ( t ) 0 ，v t 【0 ，1 】 本文假定下列条件成立： ( h 1 ) g c ( ( o ，1 ) x ( 0 ，+ ) ，【0 ，+ 。) ) ，且对任意t ( 0 ，1 ) ，存在c 0 ，当o z c 时，9 关 于z 单调不增，e n g n 0 u c ，有o 詹 ( s ) 9 ( s ， h ( s ) w ) d s c ，使得f ( x ) c ( 【j 7 i ，+ o 。) ，【0 ，+ ) ) ，且存在非负可测函数p ( t ) 占塑堕蔓奎兰翌主兰墼，：，! = = = = 篁至量堡竺翼堡塑璧墅堑篓量望篁塑矍燮 c ( ( o ，1 ) ，【0 ，+ 。) ) ，使得当o t m 时，有夕( ，z ) p ( ) f ( z ) ，且p ( ) 和尸( z ) 均满 足o f 0 1h ( s ) p ( s ) d s + 陬$ 掣= 0 引理3 1 2 a ( p n r ) cp 证明：对任意z ( t ) 尸r ，r ，我们有 0 ( a x ) ( t ) = z 1a(t，s)g(s0，巾) ) d s j 厂0 1 吣) 小，小) ) 旭。 1 () = ， ，z ( s ) ) d s ( s ) 夕( s ，z ( s ) ) d s ，o 1 ， 且 ( a x ) ( ) 丢日( ) f o ( s ) 夕( s ，z ( s ) ) d s2 1 日( t ) 1 1 a z i i 】0 0 ，使 当o c 及o 牙而汉1 面，使i f ( z ) i 恻l n r , 比m ， 记b = m a x f ( x ) l c z m ) 对任意z p r , r ，我们有 i i a z i i = s u pi ( a z ) ( ) i ( s ) 9 ( s ，z ( s ) ) d s o t 1 j 0 六，c 1 蝴( s ，删凼+ b 厶m 吣m s ) d s + 厶，用帅( s ，删凼 z 1 ( 5 ) 9 ( s ，三日( s ) r ) d s + bf 0 1 危( s ) p ( s ) d s + n rz 1 危( s ) p ( s ) d s m a x 芷坐丝善等岽蓑磐，m - v i 正a z 芝z ，比p 忙| i = r 若否，则存在z l p ，忙1i | = r ，使得a z l z l , ：t ：g ，我们有 r = f i z l 8s u p o t 1i a x z ( ) l f o h ( s ) 夕( s ，z ( s ) ) 如 五，c 】九( s ) 9 ( s ，z ( s ) ) d s + 名， f 0 1h ( s ) g ( s ，吾日( s ) 棚s + 8 ( s ) 夕( s ，x ( s ) ) d s + h ( s ) g ( s ，x ( s ) ) d s m 】j 【m ，捌 1 郴) 小) d s + n r f 0 1 ) 小) d s 兄， 矛盾从而对任意z p ，忙f f = r ：有a z 兰z 由条件( h 1 ) 知，当o 0 ，取o r r 这与悄z 2 f l 7 矛盾故结论成立由第二章引理2 2 3 知边值问题( 3 1 1 ) 至少有一个正解矿， 且矿( ) h ( t ) l l x l # h ( t ) r = p h ( t ) ，其中p = 扣 1 3 第三章四阶两点非线性奇异边值问题的正解 上海师范大学硕士学位论文 3 3 应用举例 例1 考虑f 列边值问题 f ， p ) _ 赫， 吣k 1 ( 3 3 - 1 ) 【邢) = ( o ) = m ) = 川) = o 令9 ( 六z ) = 丽z 司+ l 雾，显然9 在t = 0 ，t = l ，z = o 处奇异，取c = 1 ，则当o 1 ，当1 z m 时，b = 4 ，且当z m 时，1 9 ( ，x ) l p ( ) f ( z ) 一l i m 。掣= 0 ， 0 詹h ( s ) p ( s ) d s ( 3 0 从而条件( 也) 满足由定理3 2 1 知问题( 3 3 1 ) 至少有一个正解 1 4 结束语：本论文己发表在上海师范大学学报( 自然科学版) 2 0 0 9 年第3 8 卷第四期 上海师范大学硕士学位论文 第四章四阶三点奇异边值问题的正解 第四章四阶三点奇异边值问题的正解 本章主要是利用g u o k r a s n o s e l 凼i 范数形式的锥拉伸和锥压缩不动点定理，在一些弱 的条件下研究了四阶三点奇异边值问题正解的存在性与非存在性 4 1 引入及准备工作 1 伟， 其中o 叩 1 ，q 【o ，：) ，入【o ，+ o 。) 是参数，f ( t ，u ( ) ) 在= 0 和t = 1 处奇异，这里函 数札+ ( ) 被称为正解是指它在( o ，1 ) 上正的且满足问题( 4 1 1 ) 本章采用下列假设： ( 风) ，：( 0 ，1 ) x 【0 ，+ 。o ) _ 【0 ，+ ) 是连续的， ( 1 1 2 ) 令0 a b 1 ，存在连续函数口：( 0 ，1 ) 一【0 ，+ o 。) 使得 。 6s ( 1 一s ) 口( s ) d s z 1 s ( 1 一s ) 窖( s ) d 5 + 。， ( 凰) 存在连续函数9 ：【0 ，1 】【0 ，+ 。) _ 【o ，+ ) 使得 f ( t ，u ) q ( t ) g ( t ，让) ，( z ，“) ( 0 ，1 ) 【0 ，+ o o ) 四阶边值问题出现在应用数学与物理的诸多领域，近年来，许多作者已经进行了大量的 研究并且获得了一些结果，参考 1 2 1 7 1 5 第四章四阶三点奇异边值问题的正解上海师范大学硕士学位论文 在【1 8 】中，冯，刘和孙通过利用k r a s n o s e l s k i i 不动点定理研究了下列边值问题正解的存 在性 u ( 4 ) ( ) = f ( t ，u ( ) ) ，0 t 1 饥( 0 ) = t ( 1 ) = 0 ， ( 4 1 2 ) ( o ) = 0 ，u t t ( 1 ) = q ( 7 7 ) ， 其中非线性项f ( t ，u ) 在t = 0 和= 1 处奇异 在文献【1 9 】中，通过构造特殊的积分方程和应用锥上的不动点原理，姚庆六先生研究了 下列四阶常微分方程的钆个正解 t 【0 ，1 】e ， 其中ec 【0 ，1 】是零测度闭集并且非线性项，( ，u ，v ) 在t e 处奇异 ( 4 1 3 ) 在文【2 0 】中，通过利用g u o k r a s n o s e l s k i i 不动点原理和s c h a u d e r s 不动点定理，孙永平 老师得到了下列三点边值问题正解的存在性和非存在性 u ( t ) + o ( ) ，( u ( ) ) = 0 ，0 t 1 u ( o ) = ( 0 ) = 0 ， ( 4 1 4 ) u ”) 一o t i t 7 ( 叩) = a ， 在文1 2 1 中，通过利用不动点指数理论和g r e e n 数的性质，张和王也研究了下列四阶 边值问题的正解的存在性 1 6 u 4 ( t ) = f ( t ，乱( ) ) ，0 t 1 ， ( 4 1 5 ) u ( 0 ) = 仳( 1 ) = u t ( o ) = 札，( 1 ) = 0 ， 0 = 、， l q 1 = 让 ” = 吖 l u i 、乃 u 以 = 、， l o ， ， ， = i i 产 “ ，-，、i【 上海师范大学硕士学位论文 第四章四阶三点奇异边值问题的正解 其中非线性项，( ，u ) 要求在t = 0 ，t = 1 和钍= 0 处奇异 受上述文献的启发，本章我们研究问题( 4 1 1 ) ，首先构造个特殊的锥，并且把问 题( 4 1 1 ) 转化为积分方程，然后对其进行了解的存在性与非存在性的研究 令e = c o ，l 】，赋予范数忙f | = 0 m 0 那么下列线性边值问题 存在唯一的正解 钍( t ) = f og ( 乇s ) p ( s ) 如+ 币a t 3f o 1 k ( 7 7 ，s ) p ( s ) d s + 页芝而 其中 并且 和 g ( t ，s ) k ( t ，s ) s ) 一 s ) ， s 1 一 s ) ， 0 s t 1 ， 0 t s 1 ， 0 s t 1 ， 0 t s 1 ， 0 s t 1 ， 0 t s 1 证明事实上，如果札( ) l h - 题( 4 i 6 ) f f j t 解，由泰勒展式，得到 乱( z ) = 知+ 。t z + 考z 2 + 等z 3 一丢z ( z s ) 3 p ( s ) d s ( 4 1 6 ) 1 7 = 久 仉 = i l = 们 、， v 烈 即 玳 帅 耐 力 i l 卜 p 弋 眯 妒 一 一 1 上 l ，i 3 3 1 6 1 6 一 一 l 1 ，l，l 2 2 t l 一2 1 2 曲 1 l ，i、 g a 一疣 砂 d 一 一1 l m 啦 ，ij(1-ll【 砖 g 堡舻 第四章四阶三点奇异边值问题的正解上海师范大学硕士学位论文 那么 代人边界值条件有 和 因此 和 1 8 乱他) = a l + a 2 t + i a 3 2 一j 1 o ( 一s ) 2 酬d s 乱疗( ) = a 2 + a 3 t - - o ( 一s ) p ( s ) d s 。3 = f i 0 1 ( 1 - s ) 出) 蚪南z 叼( s 刊加) d s + 高 牡( ) = 一石1 ( 一s ) ( s ) d s + 瓦丽t 3z 1 ( 1 一s ) p ( s ) 如 + 矿a 丽t 3 小刊s ) d s + 禹 = 石1 小3 ( 1 - s ) 邮_ s ) 3 d s + 丢1 反1 _ s ) p ( s ) d s + 而a t 3 眙( 1 刊s 肌z 1 抑刊s ) d 卜确a t a = z 1g s ) 小) d s + 币a t 3z 0 1 确，s ) p ( s ) 幽+ 杀乌 引理4 1 3 对( ，s ) 【0 ，1 j 【0 ，1 】，有 丢九( 1 - - s ) g s ) s ( 1 一s ) 证明如果0 t s 1 ，那么 g ( ，s ) = 丢3 ( 1 一s ) 丢5 3 ( 1 一s ) s ( 1 一s ) ， 如果0 s t 1 ，那么 g 纯s ) = 石i 以l - s ) 扣( 1 - s ) g s ) = 丢3 ( 1 - s ) 一石1 ( - s ) 3 圭塑堕蔓奎兰堡主兰垡笙奎= ：= = ! = = = = = = = = ：型! 圣竺塑主兰堑垡墼丝墼型型 = 丢s ( s 2 + 3 t 2 - 3 t s _ 矿) s 丢s t 2 一t 3 + 3 t ( 一s ) 】 丢s 【t 2 ( 1 一s