（应用数学专业论文）奇异非一致非共振一维plaplacian方程边值问题.pdf

摘要 非线性常微分方程奇异边值问题来源于力学，边界层理论，反应扩散过程，生 物学等应用学科中，是微分方程理论中一个重要的研究课题 本文给出了下面奇异非一致非共振边值问题 i 瞄( u ) 】7 + ，( z ，u ，) = o ， t ( o ，1 ) ， iu ( o ) = “( 1 ) = o ， 的存在性结果，其中( s ) = i s r 2 s ，p 1 ，在让= o ，t = o 或t = 1 处具有奇性且 可变号存在性结果是通过上下解理论得到的 本文是文献f 1 2 ，2 2 1 中奇异问题一些结果的直接推广，即，在“= o 处具有 奇性，且在第一特征处非一致非共振其中技巧主要结合了 1 8 ，2 0 中的上下解理 论，这个理论对此类型的问题都很适用参考文献 3 】中给出了在，是允许改变 符号的，且，( t ，u ， ) 可能在u = 0 ，t = 0 或t = 1 处具有奇性条件下，p = 2 特殊 情形时非一致非共振条件下的存在性结果本文就是利用 3 】建立的上下解理论将 p = 2 时的结果推广到p 2 时 文章共分为两部分首先是引言部分，介绍论文写作背景和要研究的问题，即 奇异一维p l a p l a c i a n 方程边值问题简要概括其它文献中对该问题作出的成果， 引入一些基本知识理论以及在正文证明过程中需要用到的命题结果等 其次是正文部分，给出一个存在性定理，对该定理进行证明此过程中需要用 到文献【3 】和【1 2 】中所读到的内容和方法，但根本的依据还是上下解理论 关键词：奇异边值问题；非一致非共振；上下解理论。 a b s t r a c t s i n g u l a rb o u n d a r yv a l u ep r o b l e m 8f o rn o n l i n e a ro r d i n a r yd i 珏e r e n t i a le q u a t i o n s ，w h i c ha r i s ei nav a r i e t yo fa ，r e a ss u c ha sm e c h a n i c 8 ， b o u n d a r y1 a y e rt h e o r y ，d i 饪h s i o na n dr e a c t i o ne q u a t i o n s ，b i 0 1 0 9 y ，e c t ， b e c o m ea ni m p o 七a n tt o p i ci no r d i n a t ye q u a 七i o n 8 矗e l d s i nt h i sp a p e r ，e x i 8 t e n c er e 8 u l t sa r ep r e s e n 七e df o rt h en o r m n i f o r m n o n r e s o n a n t8 i n g u l a rb o u n d a r yv a l u ep r o b l e m f ( u ) 7 + ，( t u ) = o 【“( o ) = u ( 1 ) = o ， f o r t ( o ，1 ) w h e r e ( 5 ) = h 9 _ 2 s ，p 1 t h es i n g u l a r i t ym a ya p p e a ra t = o ，t = oo r 亡= 1 ，a n d 七h ef h n c t i o n ，m a yc h a n g es i g n t h ee x i s t e n c eo f s o l u t i o n si so b t a i n e dv i aa nu p p e ra n dl o w e rs 0 1 u t i o n s n l e t h o d t h ep r e s e n 七w o r ki sad i r e c te x t e n s i o no fs o m er e s u l t si n 1 2 ，2 2 f o rt h es i n g u l a rp r o b l e m ，i e ，厂i ss i n g u l a ra tu = oa n dn o n u n i f o r m n o n r e s o n a n c ea tt h ef i r 8 te i g e n v a l u e o u rt e c h n i q u er e l i e 8e s s e n 七i a l l y o nam e t h o do fu p p e ra n dl o 、v e rs o l u 七i o n si n 1 8 ，2 0 w h i c h 、v eb e l i e v ei s w e l la d a p t e dt ot h i st y p eo fp r o b l e m w h e n ，i sa l l o w e dt oc h a n g es i g n ， a n di 厂( t ，u ，钉) m a yb es i n g u l a ra tu = o ，亡= oa n d 亡= 1 ， 3 o b t a i n e d e x i s t e n c er e s u l t su n d e rn o n u n i f o r mn o n r e 8 0 n a n c e ，w h e np = 2 v e x t e n t e dt h er e s u n ；so fp ：= 2t op 2u s i n g 七h eu p p e ra n dl o w - e r s o l u t i o n sm e t h o de 8 t a b l i s h e di n 3 】 t h i st h e 8 i si sc o m p o s e do ft w op a r t s i nt h ef i r s tp a r t ，w ei n t r o d u c et h eh i s t o r i c a lb a c k g r o u n do fp r o b l e m sw h i c hw i l lb ei n v e s t i g a 七e d a n dt h em a i np r o m l e ms t u d i e di nt h i sp a p e r ，n a m e l yt h es i n g u l a r0 n e d i m e n s i o np l a p l a c i a nb o u n d a r yv a l u ep r o b l e m s t h e r ei sab r i e f s u m m a r i z eo fr e s u l t 8o ft h i sp r o b l e mi no t h e r1 i t e r a t u r e s ，a n di n t r o d u c t i o no f8 0 m eb a s i ck n o w k d g ea n dp r o p o s i t i o n st h a tn e e d e di nt h e p r o o fo ft h et h e o r e m i i t h es e c o n dp a r ti st h em a i nt e x t ，w ee s t a b l i s ht h ee x i s t e n c er e s u l t f b rt h es i n g u l a rn o n l i n e a rb o u n d a r yv a l u ep r o b l e i na n dp r o v ei t t h e c o n t e h t sa n dm e t h o d s f r o m 3 a n d 1 2 a r en e e d e di nt h i 8p r o c e s s ，b u t t h em a i nb a s i si s8 t i l lt h eu p p e ra n dl o w e rs o l u t i o n sa p p r o a c h k e y r o r d s ：s i n g u l a rb o u n d a r yv a l u ep r o b l e m ； n o n u n i f o r mn o n r e s o n a n c e ；u p p e ra n dl o r e r8 0 l u t i o n sa p p r o a c h i i i 独创性声明 本人声明所呈交的学位论文是本人在导师指导下进行的研究 工作及取得的研究成果。据我所知，除了文中特别加以标注和致 谫f 的地方外，论文中不包含其他人已经发表或撰写过的研究成果， 也不包含为获得东北师范大学或其他教育机构的学位或证书而使 用过的材料。与我一同工作的同志对本研究所做的任何贡献均已 在论文中作了明确的说明并表示谢意。 学位论文作者签名：；脚日期：一巫 学位论文版权使用授权书 本学位论文作者完全了解东北师范大学有关保留、使用学位 论文的规定，即：东北师范大学有权保留并向国家有关部门或机 构送交学位论文的复印件和磁盘，允许论文被查阅和借阅。本人 授权东北师范大学可以将学位论文的全部或部分内容编入有关数 据库进行检索，可以采用影印、缩印或其它复制手段保存、汇编 学位论文。 ( 保密的学位论文在解密后适用本授权书) 学位论文作者签名 日 期 学位论文作者毕业后去向： 指导教师签名：二监 日 期：z 6 ：! 垒 工作单位：牢瞄墨监苫 通讯地址：j l 流量钕知托：一文 电话： 邮编：，矗。彳】 婶型址址 一引言 本章讨论丁奇异d i r i c h i e t 边值问题 fp ( “7 ) 1 + ，( ，u ，) = o ，t ( o ，1 ) ， ( 1 1 j 【( o ) = u ( 1 ) = o ， 其中( s ) = h ”2 s ，p 1 ，在“= 0 ，t = 0 或t = 1 处具有奇性且可变号 近来，很多人已经广泛研究了问题( t1 ) ，读者可以具体参考文献( 8 ，9 ，1 1 ，1 2 ， 1 4 ，1 8 2 2 】在【1 4 ，1 8 ，2 0 ，2 2 里，问题没有涉及到奇性在【1 4 ，1 8 ，2 0 中，作者 给出了一种上下解理论在 2 2 】中，作者运用度理论，研究了在p 乩a p l a c i a n 第一 特征值处的非一致非共振问题很多文章都得到了有关奇异边值问题的一些基本结 果，例如文献【l ，2 ，8 ，1 9 _ 在所有这些文章里，都假设，是正的，这意味着这些问 题的解都是凹的 最近，很多作者更多地关注，允许变号时的奇异问题，并且，他u j 。) 可能在 = o ，t = o 和t = 1 处具有奇性大家可以参考文献【3 _ 7 ，1 0 ，1 7 1 ( p = 2 ) 和 9 ，l l ， 1 2 ，2 1 1 这些文章都通过一种修正的上下解理论很好地解决了奇异问题关于奇异 问题，大多数的文章都假设，允许在处是超线性的参考文献f 1 2 中，作者研 究了在第一特征值处一致非共振奇异问题( 1 1 ) ，然而，这里，( t ，u ，”) 仅仅是 “，w ) 线性增长的，例如： ，( t ，“， ) = t m ( 1 一t ) 一4 “一。+ n o “9 1 + 6 0 b p 一1 + s i n ( 8 t ) 其中0sm ，竹 0 ，a o o ，b 0 ，且o o ，6 0 满足n o a f l + 百1 印 1 这里 a 1 是问题( ) 】，+ a ( q ) = o ，u ( o ) = u ( 1 ) = o 的第一特征值 当p = 2 且，在o = 0 或# = l 处具有奇性时，对于非共振d c h l e t 问题和混 合型边值问题，我们可以参考d o r e g a n 的文章( 1 3 ，1 5 ，1 6 中运用度理论作出的 工作本文是文献【1 2 ，2 2 】中奇异问题一些结果的直接推广，即，在= o 处具有 奇性，且在第一特征处非一致非共振其中技巧主要结合了【1 8 ，2 0 】中的上下解理 论，这个理论对此类型的问题都很适用 论，这个理论对此类型的问题都很适用 问题( 1 1 ) 的非线性特征方程是 f 曲( u 7 ) + a 币( 让) = o ，( o ，1 ) ， 【u ( o ) = u ( 1 ) = o ( 1 2 ) 众所周知( 参见【2 2 】) ( 1 1 ) 有特征值 0 a 1 a 2 k o i 是叫) 卜 九( t ，u ，) = o ，o o ，ja ，6 ，口o ，6 oa 、e 0 ，1 j ，并且j ，卢，1 曼 p ， 1 卢 p ，口+ 芦= p 使得n 扣e 【o ，1 】，若b o 贝qu ，( t ，u ，2 ) so ( t ) u 9 i + 6 0 ) 珏。 z l 口对t ( o ，1 ) ，毪，z 冠； ( 2 4 ) 訾+ 紫组 ( 2 s ) f 下面二者之一成立： ( a ) 在f o ，1 j 的任一正测度子集上，d ( ) i 。且o ( 1 扣) 叫i 。 ( 26 ) 【( 6 ) 在 o ，1 】的任一正测度子集上，6 ( t ) 删j 。且6 ( i 南) o ，j o o ，6 0 ，仇，口o o ，6 0 o ，仇oa e 【o ，1 】，并且j 正7 ， o d p ，o ，y p 使得知l 1 【o ，1 j ，6 0 l 尚f o ，l 】，骓三1 f o ，l j 有 ( 2 7 ) ll ，0 ，u ，z ) lso o ( t ) u 6 + 沁0 ) z p + 讯0 ) 对t ( o ，1 ) ，钍芝e 和z r 则( 1 1 ) 存在一个解“e o ，1 】，对t o ，l 】，钍( t ) 口( ) ( 这里血是( 2 3 ) 中给定 的) 证明：对n = n o ，n o + l ，令 e 。= 击，l 】， 民( ) = m a x l 2 “+ l ，t ) ，o t 1 4 ，n 0 ，。，z ) = m 缸 ，( 口。( t ) ，z ，z ) ， ，z ，z ) ) 下面归纳定义 9 。( t ，茁，g ) = 厶。 ，z ，z ) ， g 。( 亡，g ，z ) = m i n ，n o ( ，z ，z ) ， ( ，茁，z ) ) 礼= n o + 1 ，礼o + 2 注意 ， ，z ，z ) 9 。+ l ( t ，z ，z ) s 乳( 亡，z ，z ) s 蜘o ( t ，z ，z ) 0 ，z ，z ) ( o ，1 ) ( o ，) r ，并且 9 。( t ，。，z ) = ，( ，z ) ，( t ，z ，z ) e 。( o ，。) r 由下面的边值问题开始 f 渺( ) l + 鼽( t ，u ，让) = o ， t ( o ，1 ) ， lu ( o ) ：“( 1 ) ：m 首先，考虑边值问题 f 【咖( t 上，) 】，+ 9 ：。( t ，t ，u ) = o ，t ( o ，1 ) ， 1u ( o ) ：乱( 1 ) ：p n 。， 其中 ，c c ，札，z ，= 羔：长2 ：+ r 肌。一钍：主2 ： 径向影射r ：r _ 【一1 ，1 】如下定义 巾，= 慷篱： 为证明( 1 1 ) 存在解，考虑下面一族问题 f 咖( u ，) 】+ a 踮。( 乱7 ) = o ， t ( o ，1 ) 【u ( o ) = “( 1 ) = 肌。 其中a ( o ，1 ) 对某个a ( o ，1 ) ，令t 是( 2 1 0 ) 的任意一个解 首先证明 ( t ) 肌。， o ，1 ( 2 8 ) 。 ( 2 9 ) ( 2 1 0 ) ( 2 1 1 ) 假设( 2 儿) 是不正确的，则存在一个t o ( o ，1 ) 有u ( o ) 肌。，“协o ) = o ，且 ( ，) 心o ) n 另外有 眵( “) 1 7 0 0 ) = 一a 贰。( 如，钆( 如) ，u 7 ( 亡0 ) ) = 一a 肌。( 如，p m ，o ) + r ( p n 。一( ) ) 】 我们需要讨论两种情形，即幻【j i 扣，1 ) 和钿( o ，南) 情形( a ) ：t o 【嘉干r ，1 ) 因为对( ，z ) ( o ，o 。) r ( 注意z o e 。) ，乳。( t o ，“，z ) = ，( t o ，u ，g ) ，于是有 【( ) 1 ( t o ) = 一a 【，( t o ，肌。，o ) + r ( m 。让( o ) ) 】 o ，得到矛盾 情形( b ) ：南( o ，南) 因为鲰。( t o ，“，。) = m a x ，( 南，钍，z ) ，( 如，“，z ) ，所以有 玑。( u ，z ) ，( 让，z ) 和9 。( ，札，z ) ，( i 击t ，z ) 对u ( o ，。) z 冗 因此 ( 札) 7 ( t o ) = 一a 【g 。( o ，p 。，o ) + r ( p 。一札( t o ) ) 1 一a 【，( i 扣，_ d 。，o ) + r ( p 。一t ( t o ) ) o ， 又得到矛盾 所以( 2 1 1 ) 是正确的接下来证明 札( t ) o ，1 ( 2 1 2 ) 这里m ；。( p 。) 是一个预定的常数( 参见( 2 2 5 ) ) 由( 2 7 ) ( 取e = 肌。) 可知存在 口o ，b ，骓，j 和，y ( 如( 2 7 ) 中所述) 由9 。( ，z ) 的定义可知，存在庐1 ( t ) l 1 f o ，1 】，2 ( t ) 三南【o ，1 】，咖3 ( t ) l 1 【o ，1 】，使得 鲒。( t ，“，乱7 ) = i 夕。( t ，“，u 引= f 。( ，u ，“引曲1 ( f ) 钍6 + 毋2 ( t ) j 札j 7 + 3 ( t ) ( 2 1 3 ) 对t ( o ，1 ) ，u p 。和u 7 r ，其中 - ( ) = m a x ( n o ( t ) ，o o ( ( t ) ) o 2 ( t ) = m a x 6 0 ( t ) ，6 0 ( 以。( t ) ) o ， 币3 ( t ) = m a x 町。( t ) ，叼。( 口。( ) ) ) o 由( 2 4 ) ( 取e = 肌。) 可知存在o ，b ，卢和7 ( 如( 2 4 ) 所述) ，有 让鲒。0 ，仙，让) = 牡厶。( 亡，让，u ) 5 4 ( t ) 扩+ 庐s ( t ) u 。j 钍j 4 ， ( 2 1 4 ) 6 其中 庐4 ( t ) = m a x 。( z ) ，n ( 。( ) ) ) o ， 九( t ) g 【o ，1 ， 5 ( ) = m a x 6 0 ) ，6 ( 以。( t ) ) ) o ， 咖5 ( t ) g o ，1 】 令u ( t ) ：= 札( ) 一肌。，贝9 ( t ) o ， ( o ) = ( 1 ) = o 在方程( 2 1 0 ) a 两边乘以u ( t ) 并从。到l 积分，可得到 一上 咖( u ，) ( t ) 出= a 上靠。( t ，u ， ) ( t ) 疵， 即 呐旧詹吼。( t ，u ( ) ，”) ) ( ) 出 詹鲰。( t ，u ( ) ，口沁) ) u ( t ) 出+ 詹耽。i 蜘。( t ，u ( ) ，u 俅) ) i 出 s 詹曲4 ( ) 舻( t ) d t + 詹妒5 ( t ) 。( t ) j u 协) p 出+ p 。詹l ( t ) ( t ) 出 ( 2 1 5 ) + 肌。詹妒2 ( ) ( t ) 1 1 出+ 肌。詹3 ( t ) 出， 肌。詹曲- ( t ) u 6 ( t ) 出sm 。 l | 舒。( t ) 出 砌2 ) w 川蛐， ( 2 - 1 6 ) 肌。口。( t ) l ” ( ) 班s 加。 詹i 妒z ( t ) i 南d 胡2 尹畸i ”咏) r ；d 纠； ；m 。慨| | 击m i ；， 、 p 。j ：曲3 ( t ) d ts 卢。1 | 毋3 | | 1 ( 2 1 8 ) 情形( a ) ：假设在 o ，1 】的任意正测度子集上，口( ) i o 。且。( j 击t ) m f o 。 逸意味着在 o ，1 的任意正测度子集上，妒4 ( ) 0 有 詹妒4 ( t ) 札9 ( t ) 疵s ( 訾一q 1 ) 峨 ( 2 1 9 ) 詹s ( t ) u 。( t ) i ”7 ( t ) 1 4 d 亡si i s l | 。【蔚| ( ”( ) + 风。) i ，出j ；【詹( t ) l ，d 司 = 俐。舾+ m 。恻懈 剑b m + m 。) 州幅 ( 2 2 0 ) | 1 6 | | 。( 警+ 肌。) 。m 眵 由( 2 1 5 ) 一( 2 1 8 ) ，( 2 1 9 ) ( 2 2 0 ) 和( 2 5 ) 可得到 l i ”；( 屿峄一m ) l l t ，i 喀+ i i b l | 。( 1 | 乎+ p 。) 。i 卜川2 + 肌。( 1 2 ) 扛怕l i l l + 肌。l | 2 | | 击旧 ( 2 2 1 ) + p 。i l 也忆 7 所以存在一个。( 与a 无关) ，有 。芝p 。，i u | j ，= ij 川，s 。 ( 22 2 ) 成立若( 2 2 2 ) 是不正确的，则桫= o o ，由等式( 2 2 1 ) 可得到 ，茎訾哪+ 砦， 得到矛盾 情形( b ) ：假设在【o ，1 的任意正测度子集上，6 ( t ) l 。且6 ( 南) 0 使得 ( | j 6 i i 量a i t q 2 ) ；l | 6 i i o 。a i # 一卵3 ， 则 詹钆( t ) 钍a ( t ) ( t ) 1 4 出i 詹i ；。铲( t ) f j 】；【詹( t ) r ；】 ( 1 1 6 i l 奏入i 1 一啦) ；i l u ： ( 2 2 3 ) ( 1 1 6 | i o 。a 。一啦) | | 口2 又由引理1 1 知 詹毋4 ( t ) 舻( ) d t l | 咖4 i f 。oj ji 牡( t ) l ，d o i 。 i u 旧 ( 2 2 4 ) 紫m 瞄 由( 2 1 5 ) 一( 2 1 8 ) ，( 2 2 3 ) 和( 2 2 4 ) 可得到 q 3 ；2 p 。| j 0 0 幅+ 肌。1 1 | j 者l i 口川；+ 肌。| | 仇忆 因此存在一个e 1 0 ，。肌。使得( 2 2 2 ) 成立 两种情形下( 2 2 2 ) 都成立，又因为怕| | o 。( 1 2 ) 卜1 扫l i ，则有呐f | o 。 ( 1 2 ) 卜1 ，p 。，于是可得到 l l t l i ( 1 2 ) 1 1 加。+ p 。三a “。，l i u i i p 。( 2 2 5 ) 8 对( 2 ，1 0 ) 的任意一个解u ，由( 2 7 ) ( 取e = p 。) 和( 2 ，2 5 ) 可得 对i ( u 7 ( t ) ) 】 出= a 詹1 9 ：。( t ，u ( t ) ，( ) ) l 出 茎詹 l ( t ) 札5 ( t ) + 庐2 ( ) i 钆0 ) i ，+ 西3 ( t ) d t i ，j | l 。+ 磊l i 庐z l i 尚+ | | 。| | - 三国n 。 因为u ( 0 ) = u ( 1 ) = 肌。，所以有 i ( 钍( t ) ) l 时桫( u 沁) ) 川出q 。于是存在一个常数瑞。使得l | | o 。s 昆。 由引理1 3 ，( 2 9 ) 存在一个正解p g 1 ( o ，1 j ，r ) ，卢( ) 三砌。 现在可以看到卢( z ) 和肌。分别是方程( 2 8 ) 。的一个上解和下解，由上下解定 理，存在( 2 8 ) 。的一个解。( t ) g 1 【o ，1 l 有 肌。札。( t ) 靠。，【o ，1 ， | | u ：。i i o 。茎。 在( 2 3 ) 中，如果取 ( t ，u ，z ) = 鲰。( ，札，z ) ，则因为9 。2 ，和乱。满足 妒( “：。) 7 + 9 h 。 ，u n 。，u ：。) = o ，t ( o ，1 ) ，卢h 。“n 。( ) t ( o ，1 ) ， 贝4 u 。q ) q ( 亡) 0 ，1 ( 2 2 6 ) 考虑下面边值问题 眵 + 踮。+ “屯u ，让。= o 。仉1 ( 2 2 7 ) 【u ( o ) = u ( 1 ) = 肌。+ 1 其中 i 鲰o + i ( t ，m o + l ，矿) + r ( 陬o + 1 一让) ， u 肌。十l ； 菇o + l ( z ，札，z ) = g 。+ l ( t ，t ，矿) ， 几。+ l u u 。( t ) ； lg 。+ l ( t ，u 。o ( t ) ，z + ) + r ( u 。( t ) 一“) ，u t 。( t ) i r o + l ，。 r 时l ； 石= z ， 一r 咖+ l z r n o + 1 ； l 一2 k o “，。一冗。o + 1 这里。十1 兰风。是预定的常数( 参见( 2 3 0 ) ) 由s c h a u d e r 不动点定理可知( 2 2 7 ) 存在一个解让。十1 g 1 【o ，1 】 首先证明 u 。+ 1 ( ) p 。+ 1 ， o ，1 】( 22 8 ) 9 假设( 2 2 8 ) 不正确，则存在一个t ，( o ，1 ) 有 u 。+ l ( t 1 ) p 。+ 1 ，u ：。十l ( t i ) = o ，f 庐( 让：。+ 1 ) 】7 ( t i ) o 我们需要讨论两种情形，即t 1 【i 南，1 ) 和t l ( o ，j 南) 情形( a ) ：t t 【赤，1 ) 因为9 。0 + 1 ( l ，u ，z ) = ，( t 1 ，u ，g ) ，( “，。) ( o ，o o ) 兄，( 1 e 。十1 ) 有 眵( “：。+ 1 ) 】7 ( 1 ) = 一，( l ，岛+ l ，o ) 一r ( p h 。+ l 一钍。+ 1 0 1 ) ) o ， 1 n 得到矛盾，所以( 2 2 9 ) 成立 此外，因为l i u 。+ - i l o o l l 札。l i o 。螈。，则由( 2 7 ) ( 取e = 肌。+ t ) 可知存在 o o ，6 0 ，仇，d 和，y ( 如( 2 7 ) 中所述) 有( 注意菇。+ 1 ( t ，u n 。+ 1 ( t ) ，u ：。+ 1 ( ) ) = 鼽。+ 1 ( ，钆。+ 1 ( t ) ，( 乱十1 ( t ) ) + ) ) i g + ，( t ，钍。+ 1 0 ) ，u ：。+ ( t ) ) i e ( ) u 。+ t 0 ) 6 + ，( t ) i ( 仳+ ，( ) ) + i ，+ 妒8 0 ) 6 ( t ) 嘲。+ 7 ( ) l “：。+ l ( ) 1 7 + 妒8 ( t ) 对t ( o ，1 ) ，( p i 吲) 这里 毋o ( t ) = m a x 口o ( t ) ，o o ( 靠。( t ) ) ，n o ( + - ( t ) ) ) 7 ( t ) = m a x b o ( t ) 扣o ( ( t ) ) ，6 0 ( 。+ - ( t ) ) ) 8 ( t ) = m a x ( ( t ) ，啦( 如。( t ) ) ，仇( 口。+ 1 ( t ) ) ) 于是 | | u + 1 旧= 口( u 时l ( t ) 一p 。+ 1 ) 9 ：。+ 1 ( ，u n o + l ( ) ，u ：。+ l ( t ) ) 出 州。( 尬。+ 耽。+ 1 ) 詹妒6 ( t ) d 亡+ ( 靠。+ 肌。+ 1 ) 詹咖8 ( ) 出 + ( 。+ m o + 1 ) 曰m t ) l 南删甲 对+ 。( 卯锄； 蛾。( 螈。+ p n 0 + 1 ) l - + ( 螈。+ 肌0 十1 ) 恻l 南憾o + 1 旧 + ( + 肌。+ 1 ) l f 妒8 忆 所以存在一个常数j f n 0 + 1 m 。+ l ij 嵋o + l 帏o + 1 又因为札。o + 1 ( o ) = u 。+ l ( 1 ) = 加。+ 1 ，于是有 l 庐( 让：。+ ( t ) ) ij 孑揠庐( u + 。( s ) ) 】l d s = 詹院。+ l ( t ，。+ ( ) ，：。+ t ( t ) ) ij 咖fz 瑰+ 眉磊+ i r f i 击十| | 九i f 三国。+ ， 所以存在一个兄；。+ l 日。，使得 j t ：。+ l s 见0 + 1 ( 2 3 0 ) 如果在( 2 3 ) 中令矗( t ，u ，z ) = 鼽。十l ( t ，z ) ，则因为鼽。+ l ，且札。+ l 满足 【币( u ：。+ 1 ) 1 7 + 9 。十- ( t ，u 。+ 1 ( t ) ，蛎0 + 1 ( t ) ) = o ，( o ，1 ) ，我们有 让。+ l ( t ) n ( t ) t 【o ，l 】 ( 2 3 1 ) 往下依次构造解乱。+ 2 ，u 。十3 ，假设对某个k n o 十l ，n o + 2 ，) ，存在一个乱k ， 则对t 【o ，1 】，( t ) u ( t ) 茎一- ( t ) 考虑下面边值问题 j 【咖( t ) 】+ g ：+ 1 ( 。，u ，u ) = o ， 。( o ，1 ) ， ( 2 3 2 ) 、l o ， 【u ( o ) = u ( 1 ) = m + l 其中 im + l ( t ，p 女+ l ，名。) + r ( p 自+ 1 一 ) ， usp 女+ 1 ； 9 ；+ 1 ( ，u ，岩) = 9 女+ 1 ( t ，名4 ) ， p + ls 让u 七( # ) ； i9 知+ l ( t ，u 知( ) ，z + ) + r ( t 七( t ) 一u ) ，_ u 1 王( t ) i 风+ 1 ， z 兄蚪1 ； z + = g ，一r k + l zs 兄女+ 1 ； i 一风+ l ，z 一r t + l 这里r + l 吼是确定的常数由s c h a u d e r 不动点定理可知( 2 3 2 ) 存在一个解 扎k + l g 1 o ，1 】，同上面一样可得到 p k + 1 u k + i ( t ) 札k ( t ) ，t f o ，1 】，札+ l o 。r + 1 ，且有 u + 1 ( t ) a ( t ) ，t 【o ，1 】在( o ，1 ) 上，【( u ：十1 ) 】7 + 9 i + 1 0 ，u k + 1 0 ) ，让：十1 0 ) ) = o 这样我们得到了( 2 8 ) 。的一列解 u 。( t ) 首先来证明 j u p l ，忍n 。+ lj = o ，1 在 壹，1 一南1( 2 3 3 ) l 上是一个有界的等度连续函数族， 、 记 e = 刚= 【南，1 一南】，e = 嘧口( t ) ，i 。s 螈。，n + 1 ， 则由条件( 2 7 ) 知，存在n o ，6 0 ，啦，d 和7 ( 如( 2 7 ) 中所述) 有 i 肌( t ，u n ( ) ，u ) = n 哆u ) 1( 2 3 4 ) so o ( t ) 朋：。+ b o o ) i u ：( t ) l ，+ ，k ( t ) 、7 1 2 对t e 8 0 ，几n o + 1 ，令 r 。( z ) = u 。( t ) ( u 。( 。) + 兰型掣( t 一。) ) 则r 。( n ) = r 。( 6 ) = o 对n 礼o + l ，有 j ( 6 咖( “：( t ) ) 】7 r 。( t ) d i = l 上6i “：( ) r d + 兰! 掣z 6 ( ：( t ) ) d l 咖( “：( t ) ) ( t ) 酬= 卜“：( ) 附+ 竺等塑业( ：( t ) ) 出 j 8 j no aj d 又因为对t e ，( ) 4 。，则对任意礼几o + 1 有 片i ：( t ) i ，出! 鲁露i 咖( 让：( t ) ) i 出+ 4 m j 。詹渺( ：( ) ) 】，d 亡 = 型：墨 片i u ：l ( 亡) 阳】宁+ 4 嗍- 片。( t ) d f + 4 埘矗启6 0 ( t ) l 钍：( t ) 1 1 砒+ 4 靠。片仇( t ) 出 = 瞄m ( t ) 眦1 宁十4 州枷。| | ， + 4 螈。i 者雠卯卅j + 4 眠。恻1 1 所以存在一个c k ，0 fi u ：( t ) i 班s ( 矗。礼n o + 1 ( 2 ，3 5 ) ，n 又存在t 。e 使得：( 如) = 鲥掣，所以对n 伽+ 1 有( 运用( 2 3 5 ) ) 片i 【( “：( t ) ) 】j d t = e1 9 i 0 ，u 。( t ) ，峨( ) ) l d o 片o o ( t ) 嘲。疵+ 露6 0 ( t ) i u ：( t ) i ，出+ 詹仉( t ) 出 n 。i i o o | | l + | | l | 甚；露i u ：( t ) i 出】j + 1 1 l l l o ，因为1 i m 。_ 十o 。让。( o ) = o ，则存在一个礼1 扎o ，n o + 1 ) ，u 。( o ) o 有 ( t ) ；t 。】 1 4 对n n 1 ，因为( 。( t ) ) 对t o ，1 是不增的，则 ( t ) 钍。( t ) 钍。( t ) 兰t 【o ，矗，】 6 于是有 q ( t ) u 0 ) 冬鲁 ( o ，占。】， 于是札在。点处连续类似地，u 在1 点处也连续则札g o ，1 】 定理2 1 证毕 注1 ：从证明过程中可以看到( 2 4 ) 中的条件“厂( ，u ，z ) o ( t ) u ，+ 6 ( t ) u 。4 可以 用 扎，( ，u ，z ) sn ( ) 矿+ 6 ( t ) u 。i z p + c ( ) 钍1 + d ( t ) u i z l 7 + u 也0 ) ， 来代替，这里c l 1 o ，1 】，d l 寿 o ，1 】，k l 1 o ，1 ，1s ，y 0 ，v t ( o ，1 ) ， ( 3 ) a ( t ) ss l ，t e l ，a ( t ) 。，v t e 。e 。