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济南人学硕j ：学位论文 光折变介质中的非线性l a n d a u - - z e n e r 隧穿 摘要 本文研究了光束在三种光折变介质：k e r r 介质、屏蔽介质和光伏介质中传播时的 非线性l a n d a u - - z e n e r 隧穿。研究光折变介质中的非线性l a n d a u - - z e n e r 隧穿问题， 需要有光束在光折变介质中传播的一- - z h l 匕e 级模型。其中，屏蔽介质和光伏介质属于饱和 型的光折变介质，其非线性项形式较为复杂，推导光束演化的二能级模型较为困难， 以前未见有此方面的报道。本文首先推导出光束在这三种光折变介质中的一维光子晶 格中演化的二能级模型。其中得到的屏蔽介质和光伏介质中的一维光子晶格中演化的 二能级模型，是讨论隧穿、几何相、自囚禁等问题的基础。从推导出的这些量子力学 二能级模型出发，进一步给出了光束在这三种光折变介质中传播时二能级系统的经典 哈密顿形式。 其次，用数值的方法研究了光束在k e r r 介质的二维光子晶格中的非线性 l a n d a u z e n e r 隧穿。推导出六方晶系光子晶格中非线性三能级的l a n d a u z e n e r 隧穿模 型，在特殊初值条件下将其转化为非线性二能级模型。对于三能级隧穿模型，选择特 殊初值，数值地研究了隧穿率随参数的变化规律。 最后，本文用解析和数值的方法研究了屏蔽介质中的非线性l a n d a u z e n e r 隧穿。 做出了经典相图，并总结出了非线性对于隧穿率的影响规律，确定了非线性参数影响 能级拓扑结构的临界值。在绝热极限下，利用作用量不变原理解析地求解了非线性隧 穿率，其结果与我们直接用数值方法对非线性薛定谔方程积分得到的隧穿率能够很好 地吻合。在非绝热情况下( 尤其是近绝热情况下) ，我们发现了隧穿率在临界区域附 近随参数变化的幂率关系，并在次临界区域发现了由于非线性产生的，与线性情况下 不同的新的隧穿率公式。在快扫描情况下，用稳相近似的方法推导出非线性隧穿率的 公式，得到的解析结果与数值计算的结果能够较好地吻合。 关键词：二能级模型，光折变介质，光子晶格，非线性l a n d a u z e n e r 隧穿 济南人学硕i j 学位论文 n o n l i n e a rl a n d a u - - z e n e r t u n n e l i n gi np h o t o r e f r a c t i v em e d i a a b s t r a c t n o n l i n e a rl a n d a u z e n e rt u n n e l i n gi np h o t o r e f r a c t i v em e d i ai ss t u d i e d t w o l e v e l n o n l i n e a rl a n d a u - z e n e rm o d e l so fl i g h tp r o p a g a t i n gi no n e d i m e n s i o np h o t o n i cl a t t i c e so f t h r e ek i n d so fp h o t o r e 行a c t i v em e d i u m s ：k e r rm e d i u m ，s c r e e n i n gm e d i u ma n dp h o t o v o l t a i c m e d i u ma r e p r o p o s e d s c r e e n i n gm e d i u ma n dp h o t o v o l t a i cm e d i u ma r es a t u r a t e d p h o t o r e f r a c t i v em e d i u m s ，i nw h i c ht h en o n l i n e a r i t yi sc o m p l i c a t e da n dt h et w o - l e v e l m o d e l sa r eh a r dt oo b t a i n o nt h e s eb a s e s ，t h ee q u i v a l e n tc l a s s i c a lh a m i l t o n i a n so ft h e s e t w o l e v e lm o d e l sa r e g i v e n n o n l i n e a rl a n d a u z e n e rt u n n e l i n gi nt w o d i m e n s i o n a l p h o t o n i c l a t t i c e so fk e r r n o n l i n e a r i t ym e d i u mi si n v e s t i g a t e dn u m e r i c a l l y w ef i r s td e r i v et h en o n l i n e a rt h r e e - l e v e l l a n d a u z e n e rm o d e li np h o t o n i cl a t t i c e sf o rt h ec a s eo fh e x a g o n a ls y m m e t r y , a n dt h e n s i m p l i f yt h i sm o d e lt oan o n l i n e a rt w o 1 e v e ll a n d a u z e n e rm o d e lu n d e rc e r t a i ni n i t i a l c o n d i t i o n s f o rt h et h r e e l e v e lt u n n e l i n gm o d e l ，w ec a l c u l a t et h et u n n e l i n gp r o b a b i l i t y n u m e r i c a l l ya n ds t u d yi t sc h a n g i n gr u l e su n d e rs p e c if i ci n i t i a lc o n d i t i o n w es h o wh o wn o n l i n e a r i t ya f f e c t st h el a n d a u z e n e rt u n n e l i n ga n df i n dac r i t i c a lp o i n t o ft h en o n l i n e a r i t yo ft h i sm o d e l i nt h ea d i a b a t i cl i m i t ，t h er e s u l t so fn o n l i n e a rt u n n e l i n g p r o b a b i l i t yc a l c u l a t e da n a l y t i c a l l ya c c o r d i n gt ot h ep r i n c i p l eo fc o n s t a n ta c t i o ns h o wa g o o da g r e e m e n tw i t ht h en u m e r i c a ls o l u t i o n sb yi n t e g r a t i n gt h en o n l i n e a rs c h r f d i n g e r e q u a t i o n f o rn o n a d i a b a t i cc a s e ( e s p e c i a l l yn e a ra d i a b a t i c ) ，w er e v e a lt h ep o w e rl a w so f t u n n e l i n gp r o b a b i l i t yn e a rt h ec r i t i c a lr e g i m ea n ds h o wan e we x p o n e n t i a ll a wo ft u n n e l i n g p r o b a b i l i t ym o d i f i e db yt h en o n l i n e a r i t yi nt h es u b c r i t i c a lr e g i m e f o rs u d d e nl i m i t ，w e d e r i v et h en o n l i n e a rt u n n e l i n gp r o b a b i l i t yu s i n gt h em e t h o do ft h e s t a t i o n a r yp h a s e a p p r o x i m a t i o nw h i c hh a sb e e nc o n f i r m e db yn u m e r i c a lc a l c u l a t i o n s k e y w o r d s ：t w o l e v e lm o d e l ，p h o t o r e f r a c t i v em e d i u m ，p h o t o n i cl a t t i c e s ， n o n l i n e a rl a n d a u z e n e rt u n n e l i n g v 原创性声明 本人郑重声明：所呈交的学位论文，是本人在导师的指导下，独立 进行研究所取得的成果。除文中已经注明引用的内容外，本论文不包含 任何其他个人或集体已经发表或撰写过的科研成果。对本文的研究作出 重要贡献的个人和集体，均己在文中以明确方式标明。本人完全意识到 本声明的法律责任由本人承担。 论文作者签名： 掣 e t 期：印翌坐：彩 关于学位论文使用授权的声明 本人完全了解济南大学有关保留、使用学位论文的规定，同意学 校保留或向国家有关部门或机构送交论文的复印件和电子版，允许论 文被查阅和借鉴；本人授权济南大学可以将学位论文的全部或部分内 容编入有关数据库进行检索，可以采用影印、缩印或其他复制手段保 存论文和汇编本学位论文。 ( 保密论文在解密后应遵守此规定) 论文作者签名： 至挚 导师签名：叠监日期 济南人学硕十学位论文 第一章引言 1 1 非线性l a n d a u - - z e n e r 隧穿 1 1 1l a n d a u - - z e n e r 隧穿 l a n d a u z e n e r 隧穿是一种非常基本的量子力学现象，它描述一个哈密顿量含时的 系统，在外场线性驱动下能级1 日j 的黾子隧穿。这个现象是1 9 3 2 年由3 个物理学家： z e n e d l l ，l a n d a u 2 1 ，m a j o r a n a l 3 1 分别独立发现的。这种隧穿相当普遍地存在于很多系统 中，并有广泛的应用，比如化学反应系统、核物理系统和自旋体系等。近年来， l a n d a u z e n e r 隧穿现象仍然是理论和实验研究的热点，并被应用于多种新的物理系统 中，包括电子在半导体超品格中的运动【4 1 、光子在多孔硅制成的光学超品格中的传播【5 l 和冷原子在光学晶格中的运动1 6 1 。 二能级系统的l a n d a u z e n e r 隧穿由以下无量纲的矩阵方程描述： r 鲁( 詈) = 圭( ：二7 ) ( 兰) t - t ， 其中口，b 是系统波函数在两个量子态上的分量，y 是系统的能级差，1 ，是耦合常数。 这个系统有两个本征值= 7 2 + ，2 2 。图1 1 显示了这两个本征能级是如何随着参 数厂变化的。当y = 0 时，两能级f h j 的能隙最小。当能级差7 随时间，线性变化时( 即 y = 口f ，其中口是外场扫描速率) ，系统波函数在二能级之间发生隧穿行为，即为 l a n d a u z e n e r 隧穿。 图1 1 线性二能级模型的能级图 l 假设在初始时刻( ，一o o ) ，系统处于低能级，波函数为( 口，6 ) 哼( 1 ，o ) ，。若不 发生隧穿，f 寸时，系统仍处于低能级，波函数为( 口，6 ) - - ) ( 0 ，1 ) 。随着外场的 变化，系统将有可能从低能级隧穿到高能级。定义隧穿率厂为系统从低能级跃迁到 高能级的几率，即，o o 时系统波函数仍处于口态的几率。厂的解析表达式为卜3 j x p ( - 篆 两种极限的情况是：l 、外场快速扫描( 口一o o ) 时，隧穿率厂一l ，这意味着系统 完全从低能级隧穿到高能级；2 、当外场变化非常缓慢( 口专o ) 时，即在绝热极限下， 隧穿率厂一0 。这意味着系统仍然完全处于低能级。这正是经典量子绝热定理【8 1 所描 述的结果，即在绝热演化过程中能级之问没有隧穿，系统始终处于初始时刻的本征态上。 1 1 2 非线性l a n d a u - - z e n e r 隧穿 非线性l a n d a u z e n e r 隧穿的概念由吴飙、牛谦在2 0 0 0 年提出9 1 ，最初是为了描 述加速光晶格中的玻色爱因斯坦凝聚体( b e c ) 。这个体系同样包含有两个能级和一 个外界线性驱动。但因为系统存在着相互作用，即b e c 中原子间存在的相互散射， 系统能级l 日j 的隧穿不能再用线性的l a n d a u z e n e r 隧穿描述。为了研究非线性对系统 隧穿行为的影响，吴飙、牛谦提出了非线性二能级模型，并用数值的方法研究了非线 性参数对系统能级结构及隧穿率的影响1 1 。 2 0 0 2 年，刘杰等人详细地研究了非线性l a n d a u z e n e r 隧穿1 2 】，找到了非线性参 数影响系统隧穿率的临界值，并在不同的非线性参数范围内给出了非线性隧穿率的解 析公式。2 0 0 6 年，王冠芳等人研究了三能级系统的非线性l a n d a u z e n e r 隧穿【1 3 m ) 。 由于许多系统中非线性效应对系统的影响不能忽略，甚至影响很大，越来越多的人在 不同系统中研究了不同情况下的非线性l a n d a u - z e n e r 隧穿1 1 5 1 6 1 ，并由此引出大量相 关的研究及可能的应用 1 7 - 2 6 l 。 1 2 光折变介质 1 2 1 光折变效应 光折变效应( p h o t o r e f r a c t i v ee f f e c t ) 是光致折射率改变效应( 1 i g h ti n d u c e dr e f r a c t i v e i n d e xc h a n g ee f f e c t ) 的简称。它是电光材料在光辐照下，由光强的空阳j 分布引起材料 折射率发生变化的一种非线性光学现象，首先由贝尔实验室的a s h k i n 等人f 2 7 i 于1 9 6 5 济雨人掌坝i ：学位论文 年发现。光折变效应应用广泛而且发展迅速，已被认为是电光材料的通性。目前，利 用光折变材料已经成功制作出了多种用途的非线性器件1 2 8 1 。 1 2 2 光折变介质的分类 光束在光折变介质中传播时的非线性效应，可以分为两大类，其一是由于k e r r 效应产生的非线性效应，其二是在饱和型光折变介质中的非线性效应。 光致k e r r 效应是最早发现的光折变效应，即折射率的变化与光强成正比， a no c ，。光束在k e r r 介质中传播时，方程中非线性项的大小正比于光强，其形式类 似于加速光品格中b e c 原子间的相互作用非线性项。但光致k e r r 效应的产生需要高 强度的激光源，而高强度的激光在入射到k e r r 介质中时，容易产生“灾害性的自聚 焦效应”并最终烧毁介质，故在实验上难以实现，因此对光致k e r r 效应的研究多限 于理论层面。 饱和型光折变介质与k e r r 介质的不同在于产生光折变效应的机制不同。当光束 在饱和型光折变介质中传播时，光致折射率的改变量( 反映非线性项的大小) 正比于 光强的倒数，所以不需要高强度的激光源。因此，对光束在饱和型光折变介质中传播 时的非线性l a n d a u z e n e r 隧穿的研究，显然具有更高的理论价值及更好的实验可行 性。但是光束在饱和介质中传播时，方程中的非线性项的形式与k e r r 介质中非线性 项的形式有很大差别，使得推导出含有光束在饱和型光折变介质中传播时的非线性二 能级模型时，遇到很多困难，至今尚未见到相关的报道。 1 3 光折变介质中的非线性l a n d a u - - z e n e r 隧穿 对非线性l a n d a u z e n e r 隧穿的研究，最早见于加速光品格中的b e c 系统2 1 。由 于量子力学中的波粒二象性，电磁波在带有周期势场的电介质中传播时的行为，与粒 子在晶格势中的行为十分相似，因此，许多由于粒子在光学晶格中的效应，也可以通 过检测光在光子晶体结构中的传播而观察到。这就启发人们，最早应用于研究加速光 晶格中b e c 系统在不同能级间跃迁的非线性l a n d a u z e n e r 隧穿，也能应用在光束在光 折变介质的光子晶格中传播时在不同能带间的跃迁。 最近的报道显示，已在实验上观察到光束在二维光子晶格中的l a n d a u - z e n e r 隧纠2 9 1 ， 并在方晶格和六方品格中研究了推广的l a n d a u z e n e r 模型【3 0 ，3 1 1 。该模型描述了布里渊 区高对称点上跨能带的隧穿，并且用数值模拟分析了跨能带的隧穿率。但是上述研究 的缺点是，在理论分析时忽略了光折变晶体中的非线性效应，仅对线性情况做了分 1 光折变介质中的1 f 线性l a n d a u z e n e r 隧穿 析。其原因可能就是难以得到光束在饱和型光折变介质中传播时的非线性二能级模 型，因此无法讨论非线性的影响，只能做线性分析。这促使我们首先要解决的问题是， 推导出光束在饱和型光折变介质中传播时的非线性二能级模型。 本文首次把非线性l a n d a u z e n e r 隧穿引入到光束在光折变介质的传播中。首先推 导出光束在k e r r 介质和两种饱和型光折变介质中传播时的非线性二能级模型，接着利 用这螳模型研究了非线性的l a n d a u z e n e r 隧穿。 4 济南人学硕i ：学位论文 第二章光折变介质中非线性l a n d a u - - z e n e r 隧穿的 二能级模型推导 二能级模型是典型的物理模型。为了研究光束在光折变介质的光子品格中传播时 隧穿问题，需要推导出光束演化方程的二能级模型。对于k e r r 介质，其非线性项的形 式与加速光品格中b e c 原子间的相互作用非线性项类似，因此呵以仿照讨论加速光晶 格中b e c 问题的方法，得到k e r r 介质中光束演化方程的二能级模型。而对于饱和型光 折变介质，由于其非线性项的形式较为复杂，推导二能级形式的过程会遇到许多困难， 因此以往的研究往往忽略非线性项的效应，仅做线性情况的分析【2 ”1 1 。但是若忽略非 线性项的效应，将不能完整地反映光折变介质的性质。 本章讨论有非线性项的影响时，在光折变介质中光束演化方程的二能级形模型。 主要讨论的光折变介质有三种，i l j k e r r 介质、屏蔽介质和光伏介质。下面对这三种介 质，分别推导一维光子晶格中光束演化的二能级模型。另有屏蔽一光伏型光折变介质， 其非线性项的形式是屏蔽介质与光伏介质中非线性项的叠加，数学推导方法相同，且 不带来新的物理性质，本文不做讨论。 2 1 一维光子晶格中光束传播的非线性模型推导 在一维光子晶格中，光束传播的电场振幅满足无量纲的近轴演化方程f 3 0 , 3 1 】： ，罢+ 三害t - 加( 抑：0 0 ( 2 2 。i )z 二+ 一j _ 一m 刀1 0 沙2 i a 7 7 2a 孝2 “ 。、 其中7 7 是光束传播方向的坐标，孝是垂直光束传播方向的横向坐标，a - ( o 是光致折 射率改变量，z 是其系数。( 2 1 ) 式的最后一项中 名刀( f ) = u ( 孝) 一孝+ 厂( i y l 2 ) 其中与外加横向偏压有关，取为常数3 0 ，3 。( 1y1 2 ) 是由于光折变效应而产生的非 线性项，对于在不同非线性的介质中传播的光束，这一项的形式不同。一维的光子晶 格是由两束相对的相干线偏振光照射在晶体上产生的，其形式为 u ( o = v e o s ( 2 q 孝) 5 光折变介质中的1 f 线性l a n d a u z e n e r 隧穿 其中常数v f 比于激光强度，q 是激光的波数。 2 2k e r r 介质中非线性l a n d a u - - z e n e r 隧穿的二能级模型推导 在k e r r 介质中，非线性项的形式为f ( i 缈1 2 ) = gl 缈1 2 ，其中常数g 为非线性项的 系数。一维光束演化方程为 f 筹专著少+ s ( 2 朔一掰+ g l 卅胪。 ( 2 2 ) 因为l a n d a u z e n e r 隧穿主要发生在布罩渊区的边界上，因此仅保留共振的傅立叶分 量1 3 0 i ，可做两模近似 缈( f ，玎) ：c , ( r ) e 政( 玎k + c 2 ( r 1 ) e k ( r l j - 2 q ( 2 3 ) 其中q ，c 2 是傅立叶分量的系数，满足l q l 2 + l c ：1 2 = l 。后为b l o c h 波矢。为了方便计 算，定义d 尼d 刁= 一以消去偌项【3 0 1 。这是因为总可以适当地调节外加偏压，使得 d k d r l = 一。将( 2 3 ) 式代入( 2 2 ) 式，其中，非线性项为： g19 , 1 2 沙= g ( 1 + g c 2 e 一2 蝣+ c i c 2 + e 2 耐) ( c l e 鲇+ c 2 e h 4 f ) = g c l p 船f + 毵p 舭咖增+ g l c l l 2 心枞 ( 2 4 ) + 西( 硝e 劬f + g c ? c z + e 皿，e 2 w + g ql c ，_ 1 2 f ( 2 2 ) 式中的势能项变成 v c o s ( 2 q ( ) 少= ，去( p 2 埘+ p 七蟛) ( c t e a 善+ c 2 e “卜2 们f ) = v c 。e a s e 2 目嘻+ 委v c ：口艟+ v c l e i ( 1 一z 叮，f + - - z 兰- m c ：e ，t t z - ，善p z 句管2 5 将式( 2 3 ) ( 2 5 ) 代入式( 2 2 ) ，整理得： i d 。ge a 4 + i 要扩z 州： 1 k 2 c , - g c , ( 1 + l c 2 1 2 ) 一1 v c 2 】e 蟛 d 7 7q r 一 一 + ( k - 2 q ) 2 c 2 - g b ( 1 + i c 。1 2 ) r c 。】p 。( i 一2 9 ) f ( 2 6 ) 1 西z + 丢k e i ( k - 4 q ) 42 * + 丢嵋嘲增 ( 2 6 ) 式两边左乘e 讯f ，得： 6 f 粤+ f 黑p - f 2 孵： 1 k 2 c , - g g ( 1 + i c 2 1 2 ) 一1 吲22 d ，7d ，7 71 + 【圭( 七嘲) 2 q 一刚l 制2 ) 一扣矿衫 ( 2 7 ) 一【i c ：2 + 三峨】p _ “西1 薪c ；+ i 1 嵋矽2 谚 令x = 2 菇，并由l c , 1 2 + l c ：1 2 = l ，( 2 7 ) 式变为 f粤+j鲁口：【!七zq一伊。(2-1q12)一ll,c2】dd22 ，77 7 。1 7 。 “圭( 七一2 乞一g c 2 ( 1 啪i1 2 ) 一丢嵋】p - 打 ( 2 8 ) 一【g 。c ；+ l v c z e - n x 2 + v c j p 良 ( 2 8 ) 式两边对x 从0 到2 万积分，考虑到 2 r e ：l ：i x d x ：0 ，f 芹p 2 n d x ：0 ，得： w国 ，鲁= 圭k 2 c l + g l c 2c t - 2 一三w ： ( 2 9 ) 同理，用e m 2 - f 左乘( 2 6 ) 式两边，并同样积分可得： f 鲁= l ( k - 2 q ) 2 c 2 + g c ： 2 c 2 - 2 毵一圭嵋 ( 2 1 0 ) 与文c 3 。，3 ，相同，l j 。( k = q - c t r l , 并取g ：三，做变换( 三) = 卜扣_ 矿+ 2 朋( 兰) ， 可将( 2 9 ) 和( 2 1 0 ) 式表示成变量( 口，b ) 的方程。又令厂= a t i ，口表征厂随7 7 变化的快慢程 度，当口专。时，对应于绝热过程。最后，将变量( 口，b ) 的方程写成矩阵形式，则光 df ，口、 而u 2一! r + g i 口i g l 1 2 一z 口 1 2 一 l 2 丢y + g 1 6 1 2 互y + 6 l 这个方程与光晶格中b e c 的二能级演化方程【9 ，1 2 1 在形式上一致。 ( 2 1 1 ) 2 3 屏蔽介质中非线性l a n d a u - - z e n e r 隧穿的二能级模型推导 屏蔽介质中光束传播的非线性行为是一种饱和型的非线性行为，实验上需要一个 7 外加的均匀电场，一束背景光和一束信号光。在这种介质中，光激发的载流子( 电子、 空穴) 对外加电场产生非均匀屏蔽，引起折射率改变，形成光折变效应p 2 3 3 1 。对屏 蔽介质，( 2 1 ) 式中的非线性项为3 2 , 3 3 f ( 1 1 2 ) 2 卉 描述光场振幅的非线性薛定谔方程为： ，茜+ 三警+ v c o s ( 2 q 争彤+ 南卜。 亿m 按2 2 节相同的考虑，做两模近似 沙( 孝，7 ) ：q ( 7 7 ) ( 叩) f + c 2 ( 叩) e 水( 叩卜2 叮 ( 2 1 3 ) 其中q ，q 是傅立叶分量的系数，同样满足h 1 2 + l c 2 1 2 = 1 。七为b l o c h 波矢，定义 d k d r l = 一以消去掰项( 因为总可以适当地调节外加偏压以满足此式) 。将( 2 1 3 ) 代 入( 2 1 2 ) 中，得 c 鲁一圭k 2 c t + 2 v c 2 + 扣附啪蟮 吨鲁一三( h g ) 2 c 2 + 1 v c 。】e i ( k _ 2 q ) f 芝l 渺4 彬 ( 2 1 4 ) + 瓦万可g q 雨万8 疆f + 瓦万甄g c 2 雨万h 以= 。 令c i = be 嵋，乞= l c 2e 魄，秒= 岛一q ，并用e - a 手左乘( 2 1 4 ) 式，得 f 岛一l k 2 c | 1 i + 互1 彬2 西 + 【7 面d c 2 一一k - 2 q ) 2c 2 + j 1 w 。】e - i 2 q 善+ l v c 2 p - 4 谚( 2 1 5 ) + 2 + l c 瓢i i cl e 毒+ i t 耵i i e l e+ 2 + i t 瓢i i 乞l e 毋关+ i t 瓣e 丽0 l2 一p 一。2 9 l 一旧p 2 9 f 。 l 日p 一2 9 f lli c 2 7 口e 2 9 f 。 令y = 2 衫，( 2 1 5 ) 式变为 8 ，啬一扣+ i 1 k t 舻 “f d d c _ _ ，7 2 l l ( k - 2 q ) 2 c 2 + l v c 小匆+ 三p 叻 ( 2 1 6 ) + 竖! + 丝! ： ：o 。2 + l c 。i i c ：e 口p 一+ i c 。l i t ：e 一护p 吵2 + l c 。i i c 2 1 e 口p 一+ l c 。i i c ：e 一p p 吵一” ( 2 1 6 ) 式两边对y 从。到2 万积分，并利用2 x e i y d y = 0 ，r ”p 2 驴砂= 0 ，得 陪d q 1 ”1 卜舻，r ”碉阢扔 亿 + 跃r 厅珥而若扔2 。一 利用留数定理对上式后两项进行积分( 详细过程见附录a ) ，( 2 1 7 ) 式变为 i 号号一三2 七2 q + 三2wz+12南+三2黟zp一触揣ciileal 2 。c 2 j 8 ， d 7 7 。2 l l c 。1 2i 乞1 2 。2 l i c ，1 2l e l 2 、叫 其中，罱2 妒p _ ，( k 研1p 峨2 爵，代蛔8 成并整理得 f 裂如- 一扣三静+ 三满 仁1 9 ， 同理，用e - i ( k - 2 q ) f 左乘( 2 1 4 ) 式，按同样做法，可得关于分量c 2 的方程 f 茜= 三( k - 2 q ) 2 c 2 - 扣三爵+ 三满2 。 仁2 。， 取k = q - t r r i , 作变换( 芝) = p p v ( 兰 ，代入c 2 9 ，、c 2 2 。，式，并令厂= 口7 ，口 df ，口、 而u 2一争卉+ 鼎 9 争奔+ 鼎 ( 口 ( 2 2 1 ) 光折变介质中的1 f 线性l a n d a u - z e n e r 隧穿 2 4 光伏介质中非线性l a n d a u - - z e n e r 隧穿的二能级模型推导 光伏介质是指在饱和型光折变介质中，由材料的光生伏打效应引起光伏电流而形 成光伏场，进而引起晶体中光束折射率的变化【3 4 ，3 5 1 。光伏光折变现象的产生不需要 外加电场。光伏介质中的非线性项的形式为 川卅) _ g 器一南 此公式表明，光伏介质中非线性项的形式与外加电场的屏蔽介质中的非线性项相比， 只相差一个负号和一个常数。其中常数项可略去，非线性相差一个符号，不带来数学 推导上的区别。因此可采用与2 3 节类似的方法，得到光伏介质中光束演化方程的二 能级模型： df ，口、 而h 2一争卉一鼎 争奔一鼎 ( 2 2 2 ) 式与( 2 2 1 ) 式的区别仪在于非线性项的符号不同。 ”2 2 2 2 5 经典形式的哈密顿量推导 对方程( 2 11 ) 、( 2 2 1 ) 、( 2 2 2 ) 数值求解时，可采用其哈密顿量的经典形式进行 计算。利用哈密顿量的经典形式，可以方便地得到空间相图，并可用于讨论隧穿、空 间几何相位、外驱动的影响等问题。 将方程( 2 11 ) 、( 2 2 1 ) 、( 2 2 2 ) 分别做变换，取口= i 口i p 吃，b = l b l e 魄，令 s = 1 6 1 2 一h 2 ，护= 包一眈。新变量s ，p 是经典哈密顿系统的一对正则变量，满足正则 方程生d r 一嚣，骂墨a s 。通过计算可分另l j 得到系统的经典哈密顿量。 2 5 1k e r r 介质中经典哈密顿量推导 由k e r r 介质中光束传播的二能级模型( 2 1 1 ) 式，有 1 0 堕：一去( y 口一2 9 p 2 a + v 一、 (223)dr 一一万p 一2 即a + v b ) 【z 2 3 石d b = 去( y b + 2 9 1 6 2 b - v a ) ( 2 2 4 ) t r ( 2 2 3 ) 、( 2 2 4 ) 式的复共轭，得 一d a ：1 ( y a - 2 9 “2a +vbd ) ( 2 2 5 ) 一q2 芝 “ j ( 2 2 5 筹= 一去( 肌2 9 1 62 b * 叫 ( 2 2 6 ) f b ( 2 2 4 ) b x ( 2 2 6 ) 一a + ( 2 2 3 ) 一a x ( 2 2 5 ) ，得 熹：盟业一v，(、ab-abd ) 勘帅印 (227)r d 7 7f 、 ， 。| 。 、 又因| 口1 2 + l b l 2 = 1 ，1 6 | 2 一盯= s i 口i =厚，1 6 1 1 = 厚，趴2 刀埔 鱼：v 瓜s i n 0 d r l 又因为口6 。+ 口b = 2 l al b l e o s o = f 了c 。s 9 ，两边对7 7 求导，得 左边= 右边j 左边：里生6 + 口旦垒+ 皇竺6 + 口璺笠 d 7 7d 叩d 蟹d 玎 = 去( y 口+ 6 - 2 9 口1 2 口6 + v + 去( 9 1 6 1 2 口n v 一去( 脚一2 9 l 口1 2 口6 + v 一去( 脚+ 2 9 1 6 1 2 一w ) - i ( a b - a b ) ( 7 + 伊) = ( 7 + 伊) 正了s i n 0 右边：再s i n 0 f 一7 v s c o s o 一塑1 ll s 2d 刁j d ov s c o s 0 石一厂一伊一了再 l i ( 2 2 8 ) ( 2 2 9 ) 光折变介质中的1 f 线性l a n d a u - z e n e r 隧穿 “秒满足的删方程堡d r 一筹，考= 警，得k e 仃介质中光束在光子晶 格中传播时的经典哈密顿量 万( 5 ，矽，y = - - y s + v i - - s 2 。c 。s 9 一j 1 黟2 ( 2 3 0 ) 2 5 2 屏蔽介质中经典哈密顿量推导 由屏蔽介质中光束传播的二能级模型( 2 2 1 ) 式，有 如+ 爵一志+ _ ：d b _ 1l y 6 一爵+ 话f _ ：渐一w 取( 2 3 1 ) 、( 2 3 2 ) 式的复共轭，得 ( 2 3 1 ) ( 2 3 2 ) 去卜箭一嵩m 亿3 3 ， = 一去卜箭+ 祜可 仁3 4 ， 同k e r r 介质一样，由( 2 3 1 ) ( 2 3 4 ) 可推出 皇：y 打了s i n 0 d 7 7 同样可推出口b + + 口6 ：f 了c o s o ，两边对叩求导，得 1 2 ( 2 3 5 ) 盯一奶 一叻 左边：坚6 + 口d b + 塑6 + 口堂 d r ld r d r ld r = 去卜仉g 爵一g 簪万眷亓+ v 1 6 1 2 + 去( 6 一g 寄+ g 锌万眷雨叫矸 一万1 脚一+ g 丌a b 一g 簪再畚而刊印 - 去 脚一g 箐+ g 肄万畚雨一v i 彳 = 瓜s i n p 卜筹一考静l 右边= 瓜s i n 秒( 再v s c o s o 一面d o j 石d o 叫一丽v s c o s o 一再2 9 s + 南 ( 2 3 6 ) 石一卜了再一再+ f 葡 仨3 同理，由s ，秒满足的正则方程鱼d r = 一筹，等= i a ：h c 7 7 ，可得屏蔽介质中，光束 0 移no s 在光子晶格中传播时的经典哈密顿量 ( s ，秒，7 ) = 一p + ，正了c o s 0 + 2 9 i n ( 2 + 6 了) ( 2 3 7 ) 2 5 3 光伏介质中经典哈密顿量推导 光伏介质中光束传播的二能级模型推导同屏蔽介质中二能级模型的推导过程类 似，本节直接给出结果： 2 6 本章小结 玎( s ，0 ，厂) = 一y s + v 扛了c o s 一2 9i n ( 2 + 厄了) ( 2 3 8 ) 本章推导了光束在光折变介质的光子晶格中传播时满足的演化方程，并分别对于 k e r r 介质、屏蔽介质和光伏介质，推导了光束在光子晶格中传播时的二能级模型。最 后对于这三种介质推导出了经典形式的哈密顿量。 光折变介质中的1 f 线性l a n d a u z e n e r 隧穿 第三章k e r r 介质中的非线性l a n d a u - - z e n e r 隧穿 本章，我们将讨论k e r r 介质二维光子晶格中的非线性l a n d a u z e n e r 隧穿。首先， 推导出光束在k e r r 介质的二维光子晶格中演化的方程，并推导出三能级非线性 l a n d a u z e n e r 隧穿模型。通过选择特殊初值，可将三能级模型转化为标准的非线性二 能级l a n d a u z e n e r 隧穿模型，因此可以利用二能级模型已有的结果进行讨论。最后， 对于一般的给定初值，数值地研究了三能级非线性l a n d a u z e n e r 隧穿模型。 3 1 六方晶系( 二维) 光子晶格中非线性三能级l a n d a u z e n e r 隧穿 模型 在二维光子晶格中，光束传播时的电场振幅满足下述的无量纲演化方程1 3 0 3 1 1 ，篝= 一三c 警+ 害，+ z e r o ( 咖 t ， 其中r 是光束传播方向的坐标，= ( 五y ) 是垂直于光束传播方向的横向坐标。对于 k e r r 介质，( 3 1 ) 式右边最后一项的系数为： z a n ( r ) = u ( r ) + ，+ gl 缈1 2 ( 3 2 ) 其中矢量为指数梯度将( 3 2 ) 式代入( 3 1 ) 式中，得到近轴下描述场振幅的无量纲非 线性薛定谔方程： ，茜1 1l ( c 3 萨z + 等 + i - u ( ，) 修，- i 眦咖 ( 3 3 ) 二维的六方晶系光子晶格是由6 束位置相对的相干自然偏振宽光束照射在一块 有偏压的光折变晶体上产生的，其中的周期势场u ( ，) 如图3 1 ( a ) ，具有如下形式2 6 1 ： ) = 8 v c o s 2 ( 字) c 。f ( 孚) c o s 2 ( 字) d 4 ， 其中两个矢- 目- - b l 2 定义了晶格的对称性，如图3 1 ( b ) ，且b ，= b 2 - b ，b j i = 6 。 1 4 济m m f j ”沧 h l 利31 ( a ) 公式( 34 ) 嵌而的d 格井小怠h ，【b ) 第一布n 游j k 埘波由数川品格辨做博讧l l f 分析，波龋数展，r 为( ，- 7 ) = 胁c ( 叩) p ”呐”， t 拈格势蜒 为u ( r ) = 。e 一并只保留满足b r a g g ) i 振条什的傅妒分品，则波 卣数，丐为 = c - ( _ ) p 。1 ”呐”+ c 、( v ) e 怕r 刖+ c ，( 1 ) p “旷刖7 协场”l ；为 “( ，) = 等p ”一”h “ ， i t 中q q mqm _ 是筘柿 1 渊区连接f 到m + m _ m ”的欠量。把和u 的表达式代 入( 31 ) ，并做变换。( j = e ”1 。， ( ，= 1 、2 ) ，去掉4 ：巫耍的相位，其中 d 【l 口= f q j + p 1 矿) 2n 叮得非线性能绒系统： ，等一。肺+ 等( ”。) 一州一 堕d q - _ q 。肌：+ 尝( q ) 酬2 c 1( ”) ，堕d q _ _ q 。口 等( “) 一州c 令q i 卢= 口，q 。卢= q 、r _ 卢= 口，3 v 4 ，( 35 ) 式变为 曼曼曼曼曼曼曼量曼曼曼曼曼曼曼曼鼍曼曼曼曼皇量曼曼曼曼曼曼曼曼! 曼皇曼曼曼i 1 l 皇量曼曼曼曼曼曼曼曼曼曼量曼曼曼量皇曼曼曼皇舅葛鲁曼曼曼曼曼曼曼曼曼曼曼量 f d d c _ _ 7 7 k = - a r c + v ( c 2 + c 3 ) 一g i q l 2 c t 鲁=rc+v(ci+)一gc211 - a f t 7 c 2v ( qc 3 gc 2 2 c 2 ( 3 6 )t+ j c 2 6 ， 口r l ，r d ，c 3 一= 一c l i r c 34 - v ( 7 c 。+ c 2 ) 一g i c 3 1 2c 3 j ，一 i +j il a t i 比式即为k e r r 介盾中* 靠涫仳的韭烤幛= 能缈楼型 3 2 简化的标准非线性二能级l a n d a u z e n e r 隧穿模型 方程组( 3 6 ) 在特殊条件下可以简化为二能级系统。为做简化，令破= c ， 欢= 忑1 ( 乞+ 乞) ，九= 万1 ( c 2 一巳) ，取= 一口，并令y = 口刁，系统的哈密顿量变为： u ( r ) = 一厂一g 卅 西 , 4 2 v 厂+ v 一詈( i 欢1 2 + 2 l 么1 2 ) o gt t 一亏缟办 o 一薹苁红 厂一v 一詈( 1 么1 2 + 2 l 唬1 2 ) ( 3 7 ) 观察( 3 7 ) 式，可发现：若入射到晶格势中的探测光束场强满足初始条件么= 0 ，那么 c 厂，= ：- r - 西g l # , r7 + v _ 薹g i 唬l ： c 3 8 ， 求解哈密顿量( 3 8 ) 的本征值，可得到此二能级系统的绝热能级占( 厂) 随厂的变化曲线， 见图3 2 。研究发现，当非线性参数较小( g 8 2 3 ) 系统转化成文献【1 2 】中的标准非线性二能级l a n d a u z e n e r 模型。 1 6 济南人学硕i - q ：位论文 o 6 0 4 0 ，2 0 0 0 2 - 0 4 0 6 - 0 4 0 20 00 20 4 - 0 4 0 20 00 20 4 0 4 0 20 00 20