内蒙古中考数学重点题型专项训练 圆的相关证明与计算.doc

圆的相关证明与计算类型一 平行线模型1. 如图，ABC内接于O，AC是直径，BCBA，在ACB 的内部作ACF30，且 CFCA，过点 F 作 FHAC 于点 H，连接 BF.(1)若CF交O于点G，O的半径是 4，求AG的长；(2)请判断直线BF与O的位置关系，并说明理由第 1 题图解：(1)如解图，连接OG，ACF30，AOG2ACF60，O的半径是4，lnr6044；AG1801803(2)直线BF与O相切，理由如下：如解图，连接 OB，AC 是O 的直径，ABC90，BCBA，OCOA，BO12AC，BOAC，BOC90，FHAC，FHCBOC90，BOFH，在 RtFHC中，ACF30，FH12CF，BO12AC，CFCA，BOFH，BOFH，四边形 BOHF 是平行四边形FHC90，平行四边形 BOHF 是矩形，FBO90，OBBF，OB 是O 的半径，直线 BF 与O 相切2.在等腰ABC中，ACBC，以BC为直径的O分别与AB、AC 相交于点 D、E，过点 D 作 DFAC，垂足为点 F.(1)求证：DF是O的切线；(2)分别延长CB、FD，相交于点G，A60，O的半径为 6，求阴影部分的面积第 2 题图（1）证明：如解图，连接OD，ODOB，ODBOBD，第 2 题解图ACBC，AOBD，ODBA，ACOD，DFAC，DFOD，OD 为O 的半径，DF 是O 的切线；(2)解：A60，ACBC，OBOD，CDOB60，由(1)知ODG90，G30，OD6，DGOD 636 3， tan3016062S 阴影SODGS 扇形DOB66318 36.3602类型二 弦切角模型1.如图，AB是O的直径，C是O上一点，D在AB的延长线上，且BCDA.(1)求证：CD是O的切线；(2)若O的半径为 3，CD4，求BD的长第 1 题图(1)证明：如解图，连接OC，AB 是O 的直径，ACB90，ACOOCB90，OAOC，OACOCA，OACBCD，OCABCD，BCDBCO90，OCCD，CO 是O 的半径，CD 是O 的切线；(2)解：在RtOCD中，OC3，CD4，OCD90，由勾股定理得 ODOC2CD25，BDODOB532.第 1 题解图2.如图，在ABC中，ABAC，以AB为直径的O与BC交于点 D，过点 D 作O 的切线交 AC 于点 E.(1)求证：ABDADE；(2)若O的半径为256，AD203，求CE的长第 2 题图(1)证明：如解图，连接OD.DE 为O 的切线，ODDE，ADOADE90.AB 为O 的直径，ADB90，ADOODB90.ADEODB，OBOD，OBDODB，ABD ADE;第 2 题解图(2)解：ABAC2256253，ADBADC90，ABCC，BDCD.O 为 AB 的中点，OD 为ABC 的中位线，ODAC，ODDE，ACDE，在 RtACD中，CDAC2AD2（253）2（203）25，CC，DECADC90，DECADC，CEDCCE5DCAC，即525，CE3.类型三 双切线模型1.如图，AB是O的直径，PA是O的切线，点C在O上，CBPO.(1)判断PC与O的位置关系，并说明理由；(2)若AB6，CB4，求PC的长解：(1)PC与O相切理由如下：如解图，连接 OC，第 1 题解图CBPO，POAB，POCOCB，OCOB，OCBB，POAPOC，又OAOC，OPOP，APOCPO，OAPOCP，PA 是O 的切线，OAP90，OCP90PC 是O 的切线；(2)如解图，连接AC，AB是O的直径，ACB90，由(1)知PCO90，BOCBPOC，ACBPCO，OCBCACPC，又在 RtABC中，ACAB2CB2624225，PCOCAC32535.BC422. 如图，PB为O的切线，B为切点，过B作OP的垂线BA，垂足为 C，交O 于点 A，连接 PA，AO，并延长 AO 交O 于点 E，与 PB 的延长线交于点 D.(1)求证：PA是O的切线；(2)若 cosCAO45，且OC6，求PB的长第 2 题图(1)证明：如解图，连接OB，OAOB，OABOBA，OPAB，ACBC，OP 是 AB 的垂直平分线，PAPB，PABPBA，PAOPBO.PB 为O 的切线，OBP90，PAO90，OA 为O 的半径，PA 是O 的切线；(2)解：cosCAO45，设 AC4k，AO5k，由勾股定理可知 OC3k，sinCAO35，tanCOA43，COOA35，即OA635，解得 OA10，tanPOAtanCOAAOAP43，AP1043，解得 AP403，PAPB，PBPA403.3.如图，PA、PB是O的切线，A、B为切点，连接AO并延长，交 PB 的延长线于点 C，连接 PO，交O 于点 D.(1)求证：PO平分APC；(2)连接DB，若C30，求证：DBAC.第 3 题图证明：(1)如解图，连接OB，PA、PB 是O 的切线，OAAP，OBBP.又OAOB，PO 平分APC；第 3 题解图(2)OAAP，OBBP，CAPOBP90，C30，APC90C60，PO 平分APC，OPC12APC126030，POB90OPC60，又ODOB，ODB 是等边三角形，OBD60，DBPOBPOBD30，DBPC，DBAC.类型四 其他模型1.如图，以AB为直径的O经过点P，C是O上一点，连接 PC 交 AB 于点 E，且ACP60，PAPD.(1)试判断DP与O的位置关系，并说明理由；若点 C 是的中点，AB ，求 CE CP 的值(2)AB4第 1 题图解：(1)PD与O相切证明如下：如解图，连接 OP，ACP60，AOP120，OAOP，OAPOPA30，PAPD，PAOD30，PODOAPOPA60，在POD 中，OPD 180D DOP 180306090，即DPOP，OP 是O 的半径，DP 是O 的切线；第 1 题解图(2)如解图，连接BC，AB是O的直径，ACB90，又C 为的中点，CABABCAPC，AB45AB4，ACABsin4522，ACPACP，CABAPC，CAECPA，CACPCACE，CECPCA2(22)28.2.如图，AB是O的直径，点C是O上一点，AD和过点 C 的切线互相垂直，垂足为 D，直线 DC 与 AB 的延长线相交于点 P，弦 CE 平分ACB，交直径 AB 于点 F，连接 BE.(1)求证：AC平分DAB；(2)探究线段PC，PF之间的大小关系，并加以证明；(3)若 tanPCB34，BE52，求PF的长第 2 题图(1)证明：如解图，连接 OC,OA=OC，OACOCA，PC 是O 的切线，ADCD，OCPD90，OCAD,CADOCA=OAC，即 AC 平分DAB；（2）解：PC=PF，证明如下：AB 是O 的直径，ACB=90，PCB+ACD=90，又CAD+ACD=90，CABCAD=PCB,第 2 题解图ACEBCE,PFCCAB+ACE，PCFPCB+BCE,PFCPCF,PCPF；（3）解：如解图，连接AE，ACEBCE, AE=BE,AE=BE,AB 是的直径，AEB=90，AB= 2 BE=10,OB=OC=5,PCB=PAC，P=P，PCBPAC，PCPB=BCCA，tanPCB=tanCAB=34，设 PB=3x，则 PC=4x，在RtPOC 中，（3x+5）2=（4x）2+52，解得x1=0（舍去），x2= 307，PF=PC=1207.3.如图，在RtABC中，ACB90，以BC为直径的O 交 AB 于点 D，E 是 AC 的中点，OE 交 CD 于点 F.(1)若BCD36，BC10，求的长；BD(2)判断直线DE与O的位置关系，并说明理由；(3)求证：2CE2ABEF.第 3 题图(1)解：如解图，连接OD，BCD36，BOD2BCD23672，BC 是O 的直径，BC10，OB5，l 7252；BD180第 3 题解图(2)解：DE是O的切线；理由如下：BC 是O 的直径，ADC180BDC90，又点 E 是线段 AC 的中点，DE12ACEC，ODOC在DOE 与COE 中，OEOE ，DOECOE(SSS)DECEACB90，ODEOCE90，OD 是O 的半