（概率论与数理统计专业论文）部分和与最大值的几乎处处中心极限定理及移动平均的pickands估计量.pdf

独创性声明 y9 0 1 751 学位论文题目：部分塑量量太鱼的且垩处处虫! 坠援陧定堡丞蔓动垩塑 的里i 堡垒盟出估盐量 本人声明所呈交的学位论文是本人在导师指导下进行的研究工 作及取得的研究成果。据我所知，除了文中特别加以标注和致谢的地 方外，论文中不包含其他人已经发表或撰写过的研究成果，也不包含 为获得西南大学或其他教育机构的学位或证书而使用过的材料。与我 一同工作的同志对本研究所做的任何贡献均已在论文中作了明确的 说明并表示谢意。 学位论文作者：至荔额签字日期：d n ，年4 月多日 学位论文版权使用授权书 本学位论文作者完全了解西南大学有关保留、使用学位论文的规 定，有权保留并向国家有关部门或机构送交论文的复印件和磁盘，允 许论文被查阅和借阅。本人授权西南大学研究生院可以将学位论文的 全部或部分内容编入有关数据库进行检索，可以采用影印、缩印或扫 描等复制手段保存、汇编学位论文。 ( 保密的学位论文在解密后适用本授权书，本论文：口不保密， 口保密期限至年月止) 。 勘r1 研 细年争月3 日 电话：鱼迪兰整! 望z ， 邮编：d 至丛业 日 二 特鉴 错一举攀 摘要 本文的第一部分分别在独立同分布和。混合情形下得到了部分和 与最大值的几乎处处中心极限定理主要结论如下： 定理a令【，n 1 ) 为独立同分布的随机变量列，且其共同分 布函数f 为非退化分布，满足f 而= 0 、e x ? = l 和蹦尹6 ， 0 ，j = l ，2 ，n 假设存在常数a n 0 和6 n r 使得 j i 墨pf 至z ，m - b s 1 ：日( 矗v ) ，一o 。 0 为满足e 畿= 口i 的数列，且n k 时，器( ；) 1 ， 0 ，对v 1 墨2 k o 函数，( z ，y ) 在定义域内分别关于z 和v 满足l i p s c h i t z 条件且有界则 。l 圳i r a 0 9 n 1 - - - - 等 叭 i s k ，丝学) = m 删z ) d 铷) 0 。- 在本文的第二部分中，针对移动平均( m a ) 有限的时序提出了三足 标的p i c k a n d s 估计量a 。d 和简化的位置不变的p i c k a n d s 估计量a 。，d ，女： a n , e l = 2 0 0 s 田( 1 0 9 擎等鬻) - - 1 a n - - k 3 a n - - k 4 哦( ，锯学，x n - k 譬2 , na 慧b - k 3 1 1 j 刀一 ，”t 一 一 a 。，a = z c - 。s a ，( 。s ；! ：! 离) 一1 一c ，。s 回( ，。s ；：i 离) 一1 证明了这两个估计量的弱相合性，讨论了k 的最优选择，并在最优分整 岛的选取下证明了估计量蕊d 和a 。，d 的渐近正态性 关键词：极值分布，稳定分布，部分和与最大值，几乎处处中心极限 定理，混合，相合性，渐近正态性 a l m o s ts u r ec e n t r a ll i m i tt h e o r e mo fp a r t i a l s u ma n dm a x i m u m ，a n dp i c k a n d s t y p e e s t i m a t o ro fm o v i n ga v e r a g et i m es e r i e s m a j o r ：p r o b a b i l i t ya n ds t a t i s t i c s t u t o r ：p r o f p e n gz u o x i a n g s p e c i a l i t y ：p r o b a b i l i t y a u t h o r ：w a n gl i l i a b s t r a c t i nt h ef i r s tp a r to ft h i sp a p e r ，a l m o s ts u r ec e n t r a ll i m i tt h e o r e mo fp a r t i a ls u ma n dm a x i m u mw a sa n a l y z e d ，a n dd e r i v e dt h e mi ni i d a n dd m i x i n g c o n d i t i o n sr e s p e c t i v e l y t h em a i nr e s u l t sa r e ： t h e o r e ma l e t 矗，n 1 b ei i d r a n d o mv a r i a b l e sw i t hn o n d e g e n e r a t ec o m m o nd i s t r i b u t i o nf u n c t i o nf ，s a t i s f y i n ge x = 0 e x 2 = 1a n d e x 2 + 5 0 l e ts n = 苎1x i ，蛆l = m a x 置，1 i 茎n ) i f t h e r ee x i s t s c o n s t a n t so n 0 ，b n r ，s u c ht h a t l i r ap ( 嘉“竿，) 叫刚，一c ，o 0s a t i s f y i n ge 岛= 2a n d 尝( 詈) 1 ，7 0w h e n n k a s s u m e t h a t e i 等等 c 矿k ， f o rw h i c hv 1s2 k 0 ，k r ，对非退 化分布函数g ( z ) ，使得 p ( ，。s z + k ) = f “( o 。z 十b 。) _ c ( x )( n 斗o 。) 则g ( z ) 必与 g 7 扛) = e x p 一( 1 + ) 一1 ， 1 + 7 z 0 ，y r 同类不失一般性，可令g ( z ) = g ，( z ) 此时称分布函数f ( z ) 属于吸引场 q ( z ) ，7 称为极值指数，记为f d ( q ) 当分布函数f ( z ) 未知时，对极值 指数，y 的估计构成了极值理论的重要组成部份，同时在建筑工程、水力学、气象 学、地震预防和风险度量等领域中也有其重要的应用价值 对极值指数的估计，p i c k a n d s ( 1 9 7 5 ) 提出估计量 馏= 南1 0 9 塾x n _ 2 k 生+ l , n - - 生x n _ 业4 k + l , n 其中k = k ( n ) 为满足当n - + o o 时 k - + o 。，三一+ 0( 1 5 ) 的正整数列，称该估计量为p i c k a n d s 估计量p i c k a n d s ( 1 9 7 5 ) 、d e k k e r 和 d eh a a n ( 1 9 8 9 ) 分别证明了该估计量的相合性和渐近正态性程士宏( 1 9 9 1 ) 把 p i c k a n d s 估计量推广为 其中d 1 为实数 效，且 醒，。= 1 0 - 南l o g 瓦x n = - k ! + i l , n 了- x 而n - k 2 + l , n = ( n ) 满足( 1 5 ) 式( i = 1 ，2 ，3 ) ，l k 1 为实数，岛= k i ( n ) 满足( 1 5 ) 式( i = 1 ，2 ，3 ，4 ) ，k l k 2 1 ，k i = 乜( n ) 满足( 1 5 ) 式 ( i = 1 ，2 ) 。k 。 1 ， 整数，且 = ( n ) ，k i = 岛( n ) 满足( 1 5 ) 式( i = 1 ，2 ) ，k l 如 k 为正 鲁- + a ，譬- 。 并且证明了该估计量的相合性，给出了其渐近展式和强收敛速度， 选择进行了讨论和通过自适应方法进行了随机模拟分析 ( 1 8 ) 对k 。的最优 这些估计量都是针对 x ，竹1 ) 为独立序列情形提出的，当随机变量序 列不独立，特别是当它为有限的移动平均( m o v i n g - a v e r a g e ) 时间序列( 即墨= j 勺五钉一，i = 1 ，2 ，- 1 其中五为独立同分布非负随机变量列) 时，为了避免 j = l 对参数c i 的估计，g c l u k 和p e n gl i a n g ( 2 0 0 0 ) 在铝2 估计量的基础上提出了 a n ( 叭= 2 ( 1 0 9 2 ) ( 崦瓦x n _ 2 k , n - - i 卅0 9 2 ) ( 1 0 9 x n - k , n 。1 7 并证明了其相合性和渐近正态性，给出了在均方误差最小的情况下k 的优选( 其 中o = ，a n ( 女) 为。的估计量) 由于该估计量不是位置不变的，本文第二部分 第一节在篇3 估计量的基础上提出位置不变的估计量 6。，a=z(，。sa)(-。s；：老)一1一(。sa)(，昭jxi：r,二-：i：ni-二瓦xn-ka,n、一1 并给出了其相合性和渐近正态性。以及女的优选第二节在谨 a 估计量的基础 上提出另一类位置不变的估计量 。矗t：=2(109d)(109xxn_k2i,n瓦-xn_k,n-1一(1。gd)(1。g又xn-hkl,n。-一xxn-k，,。nn-kan - k r l - n - k - 。1 n 一，n 1 2 一一，“ 给出其相合性和渐近正态性的证明 1 2 符号说明 下面给出几个全文通用的记号： 1 记中和妒分别为标准正态分布的分布函数和密度函数 2 以“、“旦 ”、“马”、“曼马，分别表示“同分帮，、“依分布收敛”、 “依概率收敛”和“几乎处处收敛f 1 - 3 记b 和a 一6 分别表示a = d ( 6 ) 和：- 1 4 记靠= 2 1 墨，靠，。= 邕+ lx ，m = m “1 1 i ( k x i ，帆，。= m r x k i _ n 置 5 若，( z ，y ) 满足 ，( z ，y 1 ) 一( x ，) 1 l l y l 一伽l ，其中( z ，y 1 ) 、( z ，9 2 ) g ，l 为常数则称，( 。，) 在g 上关于y 满足l i p s c h i t z 条件 8 第二章部分和与最大值的几乎处处中心极限定理 f a h m e ra n ds t a d t m u l l e r ( 1 9 9 8 ) 和程士宏等( 1 9 9 8 ) 将部分和的几乎处处中 d 极限定理扩展到独立同分布序列的最大值情形，得到： 去砉；m - ( 慨一哟茎z ) 马g ( 乩n - + o o 其中m k = m a x l 0 , 州= 忙x p ( - ( - x ) 。 0 ( 2 1 ) ( 2 2 ) a ( 。) = e x p ( 一e x p ( 一z ) ) ， z r 本文在其基础上继续扩展，分析部分和与最大值联合分布的几乎处处中心极 限定理 2 1独立同分布情形 下面先给出一些引理 首先由c h o wa n dt e u g e l s ( 1 9 7 8 ) 可得如下引理 引理2 1 令托，恐，为独立同分布的随机变量列，且其共同分布函数 f 为非退化的。满足e x j = 0 、e x ；= 1 和e 雹2 o ，j = l ，2 ，- ，n 则存在常数a 。 0 和b 。r 使得 舰p ( 杀甄m n 。- 。b ”) = 脚，n o 。 训 2 + 6 或g ( ) = 皿。( ”) ，0 口 2 时，有日( z ，) = 西( z ) g ( ”) 9 我们将使用下面的b e r r y - e s s e e n 不等式( 参p e t r o v ，v v ( 1 9 7 5 ) ) 引理2 2 ( b e r r y e s s e e n 不等式) 令x l ，恐，以为独立随机变量列，满 足e x j = 0 和e i 置1 2 + 6 o 。，6 为某小于l 的正数，j = 1 ，2 ，n 则 争l p ( 喾墨z ) 叫z ) i皂b 妻j = t e l 玛1 2 + 6( z s ) 其中b n = 兰，e 砑，c 6 为常数 定理2 3 令7 7 l ，啦，为有界随机变量列，若v a t ( ：。 m ) ( 1 0 9 n ) 2 一， 0 6 1 则 撬面1 善n ；( t k - - e ，) = 。叫 证明z 令如= 赤是。( 町七一e 仉) 即证肛。驾0 取n k = e x p ( k ”) ，其中 为某大于；的数 ( 1 0 9n * ) k = 3r ( 善；m ) 由 的定义知e t - _ 3 k 一譬 。从而有墨3 肛 。o 矗所以可由三级数定 理知p n - 0 a 8 又因为k - + o o 时，堕l o g ! n 址h = 当= ( 1 + ) ”_ + 1 显然对任意给定的 n 都存在正整数，使得n 女 0 和b 。r 使得 熙p ( 丧g 警，) = h ( z , y ，一。o 础 + o 。 成立。且h ( x ，o 。) = 圣( z ) 为标准正态分布，日( o 。，y ) 为极值分布则对任意的 z 和y ，有 腮志喜；，( 去甄警s ”) 刈嘎，p 叫 其中i ( a ) 表示事件j 4 的示性函数 证明，由引理2 1 及s t o l z e 定理知，只需证 j 骢去喜；( ，( 去s zt m k - - b k ”1 一p ( 袅ksz o 、m k - - b a k v 1 1 = 。sj 再由定理2 3 可转化为证明 ( 喜；，( 袅鲺一m k - - b 茎，) ) c 计s ，川， 令m = j ( 袅sz ，急产) 一p ( 袅z ，鼍) ，则 哳( 喜；，( 袅甄警s”) ) = e ( ) 2 因为l 玑l 2 ，所以l 1 ：l 耵1 k ，有 旧酬l = c o , o ( ，( 丧妇警 = 妻去讯卜z 掣 = 11 k ( 1 n 圭l l + l 2 可) ，( 袅鲺竿s ，) ) 1 渊( ，( 击s 甄丝”) ，( 袅i 等v ) 一，( 妥墨堕喾，) ) i + ，( 袅“警，) ，( 妥鲺竿”) 一，( 志甄等v ) ) 1 1 + l 例( ，( 熹“警) ，f 毒竺 帆，1 ) ，o o = f ( z ) 。k f ( z ) h 1d f ( x ) j 一 s 小出= ； 冬) ) 由p e t r o v ( 1 9 7 5 ) 定理6 ( p 1 1 5 ) 知 ( 治警砂( 羟警小( 志红学”) ) e l - ( 啬鲺警sv ) 一，( 涟“学，) l e l ，( 姜s 茹) 一，( 志。) i i p ( 去兰$ ) 叫z ，i + i p c 浩剑叫。 从而 。曩。掣。曩。丽1 争。等十。墨。掣 垒正+ 冗+ 乃 对于t 对于如 ni 一1 ，n ， 正s 壶墨= l 。g n i = l = lf = 1 莎呜：- 2 g - 。l o g n - _ n 2 书1 0 9 删哪 对于t 3 耻，三。掣+ 。篆掣 关于死1 关于如 乃。 t ( 1 0 9 n ) - ( 1 0 9 n ) 2 一 一l 驴o g n 三n - - j 南l f o g 曼k = l p l 南， j o g n = 一l o g ( n j = l l o g “ j ) + j l l o g n = 1 l o g “ s2 一l o g n j = 1 = 刍1 。g n ( 1 0 9 l q n - 1 ) ( 1 。训2 名 综上，y n r ( ：。 j ( 袅墨e 蛔乒口) ) ( 1 。g n ) 2 一 。从而定理得证 推论2 5 在定理2 4 的条件下，假定 p ( 竿sz ) j g n sn - + o 。 成立，且g ( z ) 为g u m b e l 分布a 、w e i b u l l 分布皿。( z ) ( 0 口 2 ) 或f r e c h e t 分布( 。) ( d 2 + 6 ) 则对任意的z 和y ，。有 m _ k _ - b k 9 1 ：圣( z ) g ( g ) 口s 0 1 3 n 唱 0 令靠 0 为满足e 霹= 口。2 的数列，且 n k 时有嚣( 2 ) “，7 0 对v 1 2 k o “l 函数，( z ，g ) 在定义域内分别关于z 和y 满足l i p s c h i t z 条件且有界则 怒石1 ! f ( s k ，警) = m m 侧圳驰h s 证明t 同定理2 4 的证明。只需证明 ( 妄；罐，学) ) 2 一， 同上令讯= ，( 尝，坚皆) 一e ，( 卺，丝皆) 当z k 时， 阮刚i = m ，降y a k 等) ，镌，警) ) l i 删f ，降k a y , 警) ，礁，学) 一礁，竿) ) l + m 罐，m k _ - - _ b k 、1 , 堠，竿) 一，( 鲁，竿) ) + i 例( ，( 尝，警) ，陋a t 竿) ) i 由 五。) 是a 一混合序列知 倒( ，( 妻，警) ，( 等 同时由，为有界函数且满足l i p s c h i t z 条件知 i 鲫( ，( 妾，警) ，礁，掣) 墨e 憎，丝 ) 一礁，竿) 和 0 时有 。觇高一。 ( 3 ) 恶丁葛商。“ ) 此时关于指数q ，研究者们提出了各种不同的估计量本节考虑观测值为有限 的m o v i n g - a v e r a g e 时间序列： 墨= 勺互妒l ， _ 1 h 2 - q o ，j = 1 ，f ( 3 2 ) 由f u l l e r ( 1 9 7 1 ) 知，x i 虽然不再独立，但是它们仍有共同的边际分布函数 f 且f 同r 一样满足t 当z 0 时 觇 鬻一。 ( 3 。) 为了得到渐近正态性，我们假定函数f 0 的尾部满足二阶正规变化条件，即 l i m 登# 一。等。 0 c34t-+oo at ，三型o ：z 一。三：兰。 ( 1 ( )一岛 、 其中。为满足n ( t ) - o o o 。) 的函数变形得 1 一f 0 ( z ) = 口o z 一。 1 + b o x 一如+ o 扛一口0 ) 】 a s 。 o 。 ( 3 5 ) 其中a o 0 ，q 0 ，岛 0 且6 0 0 由g e l u k ( 2 0 0 0 ) 的定理1 知，在条件( 3 5 ) 下，x l ，恐疋。有共同的边际 分布函数f ，且f 满足 1 一f ( x ) = o z 一。【1 + 6 z 一4 + o ( x 一4 ) 】n 3z o o( 3 6 ) 其中a 0 和b 0 均为a o ，a ，岛，b o 和c i ，i = 1 ，f 的函数 当q 1 时，卢= m i n ( 1 ，岛) ， 1 9 3 1三足标p i c k a n d s 估计量 令) ( 曼x 。为xh - 一，墨。的顺序统计量，在三足标p i c k a n d s 估 计量的基础上我们给出如下的尾指数估计： a 。d = 2 ( 1 0 9d ) ( 1 0 9f l y n - k 2 , n - - f l y x n - k 3 , n ，一1 一( 1 0 9d ) ( 1 0 9 令；兰生! f a n - k 2n ) 一1 n k 3 ，n 一 n - k 4 n n b n 一 n - k 3 n 其中七l k 2 l ，且a 钮( 女) 和- i j ( k ) 分别表示样本砖上的“( k ) 和- n ( 女) 引理3 6 假定( 3 5 ) 式成立，令n l = d ( n 5 ) ( o 1 ) 且 “：= n r g m i n k ( n n - 】) - l ( 。( k ) 一一o t i n 。，( 女) ) 2 则 k o , l n l 2 # 1 ( 0 + 2 # ) 马1 k o n - 2 儿a + 2 助 证明：见g e l u k ( 2 0 0 0 ) 的定理4 推论3 7 假定( 3 5 ) 式成立，令n l = o ( n 5 ) ( e 1 ) n 2 = 【n i n l 且 k o 一= 哪m i n ( k n i 】) _ l ( a j 。一k ) 一西。一k ) ) 2 其中，i = 1 ，2 则 曼马。 七o 2 詹。 进一步有 是( 勰1 ) 丽胁马，z ( d 一；一1 ) ( 2 驴一) 一 其中 11 0 9 。1 d = 2 _ - 一 。 2 ( 1 0 9 n 1 0 9 ，1 ) 所以 2 ( 1 0 9 警n 知m 。一l o g 岛1 ) 一 证明，由推论3 5 及引理3 6 易得 3 2位置不变的简化的p i c k a n d s 估计量 令x s sx 。，。为x 1 ，一，x 。的顺序统计量。在陶宝( 2 0 0 5 ) 的 p i c k a n d s 估计量的基础上我们给出如下的尾指数估计： a 。 d = 2 ( i o g d ) o o g 争虫 害坐) 一一( 1 0 9 d ) ( 1 0 9 拿塑二害堂 n 一乜，n a n k t n a n 1 2 n 一 n k , n 其中l k 2 0 且警_ + 0 ，即主l k _ 0 ，从而( 砉) 一：叶0 所以 从而 x n k l ，n 一五i 一 4 矗一 m 一一i n ( 告) 一：乌o ：气寮五墨 ( 叁) 一带 马d 孥业挚马矗 vv 1 一 。1 b - - j c 3 no 。n - k , n 从而a 。 d 马口 定理3 9 假定( 3 5 ) 式成立，i 满足l i r a 。- + 。v 伍( 2 ) 一：= a 【0 ，o 。) 和 以( 吉) 一i 1 一 - 0 ，a 8 礼- 0 令 ：= a r g m i n k l e ( a n ，k ，d 一口) 2 巫一 生咯 1 | 堕丢 垫 则 吲 ( 型拦拦紫) 赤n 蒜卜慨 进一步有 佤 一m ( 紫，警) 其中皿= 【( 1 + d - 1 b ( 1 ，1 ) 一2 d - 1 7 ( 1 ，d ) 1 。7 定义同引理3 1 中所述 证明：根据定理3 6 ，我们有 因此 万xn-kl,n-xn-k,n马dj 墨。一b 。一。一k ，。 ( 1 0 9d ) ( 1 0 9 争虫 拿坐) 一o ：。( 1 0 9 争孛) - tl o g 絮血掣 ：。( 1 0 9 争孛) - 1 坠塑笛正墨笋监( 1 + d ( 1 ) ) 叫- 瓯x n - k a , n - - x n - k , n 广焉幂1 唑鼍赢产( 1 + d ( 1 ) ) = n ( 1 0 9 瓦g n - i k l , t t - - 瓦x n - = k , n 且 ) - 1 嘉卜内( ( 蒜缸叫+ ( 1 一向( 鲁) 丢一、( 州x ( n 叫- k a ) , n 可_ 1 ) + 疯面高每一一) ) ( 1 + d ( 1 ) ) ( 3 1 4 ) 2 ( 1 0 9 d ) ( 1 0 9a ，n - k t , n - - a 。n - k , n ) ，一2 a a n - - k 3 n 一 n - k n = z 。c - 。s 妻兰寇，一1 嘉 c 一a ，c 丧，一c 揣一1 ，+ ( 1 。) ( 恚一一研x 丽n - k 2 , 可n叫“( 高离岛廿) ) ( 1 十0 ( 1 ) ) ( 3 1 5 ) 因此由引理3 1 知, t t ( a 。，k ，d q ) 的方差渐近等于 e 蒜p ；硼 一如) 】 = 紫e d 。州h 忡) 2 紫( ( 1 们，) - 2 d - 1 7 ( 1 i d ) 】 一晶陆一坝旷抑， ) 2 其中7 的定义如引理3 1 中所述 因此由引理3 1 也可知v 酉( a 。，州一o ) 的偏度渐近等于 焉p 一；譬一+ ：瓶c 缘札一譬瓶c 耖搿+ 1 一晶p 譬一+ ! 佰c 一- - 也- d - q k - c 矿nq = 案( 2 d ) ( d ) 瓶( 采用和d e k k e r s ( 1 9 9 3 ) 同样的最小化方法 瞩州叫：= 业塑攀忿净型剑+ 蔫鬻等 瓶c 圳2 关于- 求偏导得 q 2 ( 2 a 一 一1 ) 2 【( 1 + d - ：) 7 ( 1 ，1 ) 一2 d 一1 7 ( 1 ，d ) 】 故 k ( 1 0 9d ) 2 + 望k 等 a t a 2 口一等6 2 ( 2 d 一1 ) 2 ( 1 0 9d ) 2 ( d ：一1 ) 一2 w ( 型瓣嚣紫) 赤n 器卜 进一步可知 熙佤( 杀) 一：= a ( 2 d 一 一1 ) 2 【( 1 + d - 1 ) ，y ( 1 ，1 ) 一2 d 一1 7 ( 1 ，d ) l 2 z a 一警6 2 ( 2 d 一1 ) 2 ( d 一1 ) 2 n 一等：0 从而 佤( a a , e - a ) 乌a a ( 霸1 + d - d _ ：) 7 ( 1 _ 1 ) , 1 ) 叫- 2 唰d - , ( 1 , d ) ：，盟菡替等掣) 定理得证 定理31 0 假定c 3 5 ) 式成立，k 满足l i r a 。_ + 。以k 、n 。) 一；= a 【o ，o 。) 和 以( 吉) 一一 _ 0 ，sn _ + 0 令 ：= a r g m i n he c a n d 一百。 d ) 2 ( 拦器端) 赤n 器 一- 其中7 的定义如引理3 1 中所述 证明：由( 3 1 4 ) 和( 3 1 5 ) ，我们知道俩( a 。，一_ n d ) 的方差渐近等于 e 蒜一陆一坝旷如， _ 磊陆。1 。坝旷如， ) 2 2 蒜( d - l 1 ) e d 。1 州) 叫1 ) 2 = i i ：i 舞( d 一。一1 ) 【( 1 + d 一1 ) ，y ( 1 ，1 ) 一2 d 一1 7 ( 1 ，d ) 1 而、瓦f 瓯。d 一虱。、的偏度渐近等于 磊p 一；譬一+ e 瓶c 爷瓣n 一譬征c 爷锚+ ； 一蔷卜搴一十：瓜c 一譬瓶c = 紫衅_ 1 ) 2 瓶( 与上一定理同样地最小化讨论可得 瓦 ( 监考端笋) 赤n 寸+ 定理得证 由定理3 7 和定理3 8 得 推论3 1 1 假定c 3 5 ) 式成立，k 满足l i r a 。以k 、n 。) 一；= a 【o ，o 。) 和 以( 鲁) 一：一；1 - 0 sn - + 0 则 慧一+ ( 湍) 南 参考文献 ( 1 】b e r k e s ，i ，d e h l i n g ，h a n dm 6 r i ，tf ，c o u n t e r e x a m p l e sr e l a t e dt ot h ea l m o s ts n r e c e n t r a ll i m i tt h e o r e m s t u d i as c i m a t h h u n g ，1 9 9 1 ，2 6 ：1 5 3 1 6 4 f 2 】2b e r k o s ，i ，d e h l i n g ，h ，s o m el i m i tt h e o r e m si nl o gd e n s i t y a n n p r o b a b ，1 9 9 3 ， 2 1 ：1 6 4 0 - 1 6 7 0 1 3 ) b e r k e s ，i ，a n dc s a k i ，e ，au n i v e r s a lr e s u l ti na l m o s ts u r ec e n t r a ll i m i tt h e o r y s t o c h p r o c a p p l ，2 0 0 1 ，9 4 ：1 0 5 - 1 3 4 1 4 1b e r k e s ，i ，c s j k i ，e ，a n dh o r v d t h ，l ，a l m o s ts u r el i m i tt h e o r e m su n d e rm i m m m c o n d i t i o n s s t a t p r o b a b 1 e t t e r s ，1 9 9 8 ，3 7 ：6 7 - 7 6 5 】5b r n s a m l e r ，g a ，a na l m o s te v e r y w h e r ec e n t r a ll i m i tt h e o r e m m a t h p r o c c a m b p h i l s o c ，1 9 8 8 ，1 0 4 ：5 6 1 - 5 7 4 6 jc a r l s t e i n ，e t h en s eo fs u b s e r i e sv a l t i p sf o re s t i m a t i n gt h ev a r i a n c eo fag e n e r a l s t a t i s t i cf r o mas t a t i o n a r ys e q u e n c e a n n s t a t i s t 1 9 8 6 ，1 4 ：1 1 7 1 1 1 7 9 【7 】c h e n g ，s ，a p p r o x i m a t i o nt ot h ee x p e c t a t i o no faf u n c t i o no fo r d e rs t a t i s t i c sa n d i t sa p p l i c a t i o n s t e c h n i c a lr e p o