幂函数的定义.doc

高中数学幂函数的定义编稿老师李斌一校张小雯二校黄楠审核孙溢【考点精讲】1. 幂函数的概念：一般地，我们把形如 的函数称为幂函数，其中 是自变量， 是常数。注意：幂函数与指数函数的区别。2. 幂函数的性质：（1）幂函数的图象都过点 ；任何幂函数都不过 象限；（2）当时，幂函数在上 ；当时，幂函数在上 ；（3）当时，幂函数是 ；当时，幂函数是 。【典例精析】例题1 已知 f（x）， m为何值时，f（x）是：（1）正比例函数？（2）反比例函数？（3）二次函数？（4）幂函数？（5）在（4）的条件下，满足在（0，）上单调递增？思路导航：本题考查函数的定义，需要注意幂函数的系数必须为1。答案：（1）若f（x）为正比例函数，则m1。（2）若f（x）为反比例函数，则m1。（3）若f（x）为二次函数，则m。（4）若f（x）为幂函数，则m22m1，m1。（5）若f（x）在（0，）上单调递增，m1。例题2 已知幂函数f（x）（mN*）的图象关于y轴对称，且在（0，）上是减函数，求满足的a的取值范围。思路导航：解答此类问题可分为两步：第一步，利用单调性和奇偶性（图象对称性）求出m的值或范围；第二步，利用分类讨论的思想，结合函数的图象求出参数a的取值范围。答案：函数在（0，）上递减，m22m30，解得1m3。mN*，m1，2。又函数的图象关于y轴对称，m22m3是偶数，而222233为奇数，122134为偶数，m1。而在（，0），（0，）上均为减函数，等价于a132a0或0a132a或a1032a。解得a1或a。故a的取值范围为a|a1或a。点评：本题集幂函数的概念、图象及单调性、奇偶性于一体，综合性较强，解此题的关键是弄清幂函数的概念及性质。例题3 已知mN*，函数f（x）（2mm2）在（0，）上是增函数，判断函数f（x）的奇偶性。思路导航：（1）幂函数y的特点：系数必须为1；指数必须为常数。（2）幂函数的单调性：当0时，y在（0，）上为增函数；当0时，y在（0，）上为减函数。答案：由函数f（x）在（0，）上是增函数，得或即或m2或2m0。mN*，m1.此时f（x）x3，xR。f（x）（x）3x3f（x），函数f（x）为奇函数。【总结提升】要注意幂函数与指数函数的区别，它们的解析式有如下区别：幂函数底数是自变量，指数是常数；指数函数指数是自变量，底数是常数。（答题时间：15分钟）1. 已知幂函数yf（x）通过点（2，2），则幂函数的解析式为（ ）A. y2 B. y C. y D. y2. 下列命题中正确的是（ ）A. 当时函数的图象是一条直线B. 幂函数的图象都经过点（0，0）和（1，1）C. 若幂函数是奇函数，则是定义域上的增函数D. 幂函数的图象不可能出现在第四象限3. 已知（0.71.3）m（1.30.7）m，则实数m的取值范围是（ ）A.（0，） B.（1，） C.（0，1） D.（，0）4. 已知幂函数f（x）xm的部分对应值如表所示，则不等式f（|x|）2的解集为（ ）x1f（x）1A. x|0x B. x|0x4 C. x|x D. x|4x45. 设x（0，1），幂函数yxa的图象在直线yx的上方，则实数a的取值范围是_。6. 已知函数（mZ）为偶函数，且f（3）f（5），求m的值，并确定f（x）的解析式。1. C 解析：设yx，则由已知得，22，即2，f（x）。2. D 解析：A错，当时函数的图象是一条直线（去掉点（0，1）；B错，如幂函数的图象不过点（0，0）；C错，如幂函数在定义域上不是增函数；D正确，当时，。3. A 解析：因为00.71.30.701，1.30.71.301，00.71.31.30.7。又（0.71.3）m（1.30.7）m，函数yxm在（0，）上为增函数，故m0。4. D 解析：由表中数值，可先求出m的值，然后由函数的奇偶性及单调性，得出不等式，求解即可。由（）m，得m，f（x），f（|x|），又f（|x|）2，2，即|x|4，4x4。5. （，1） 解析：由幂函数的图象知a（，1）。6. 解：f（x）是偶函数，应为偶数。又f（3）f（5），即，整理，得。，解得。又mZ，m0或1。当m0时，为奇数（舍去）；当m1时，为偶数