（应用数学专业论文）基于三角和代数多项式的四次t曲线上的拐点和奇点.pdf

中文摘要 摘要 本文用代数的方法讨论了定义在平面上从空间t 5 = s p a n 1 ，c o s t ，s i n t ，c 0 8 2 t ，s i n 2 t ) 提取出的t 基构成的四次t 曲线上拐点与奇 点的存在性问题，分析得到了四次t - 曲线上关于拐点、奇点存在性的充要条 件。这些结果都用有关的仿射不变量表示，可以用来控制四次t _ 曲线的形状。 在参数曲线的发展史上，代数多项式曲线的应用最广，而且已经有了许多 理论上的研究。这种多项式参数曲线有许多非常有用的性质，比如保凸性、保 形性、线性精度性、变差缩减性以及局部控制性等；但遗憾的是，它们不能精 确地表示某些圆锥曲线如圆弧、椭圆等，也不能精确地表示正弦曲线； 本文研究的四次t _ 曲线既继承了多项式曲线的优点，又具有三角函数的 优点，无需有理形式，它就可以精确地表示直线、椭圆、圆和一般的多项式曲 线，以及一些超越曲线等传统的几何曲线。作者通过解代数多项式的方法分析 研究了这种曲线的拐点和奇点的存在性条件，有助于用控制顶点的形式来控制 参数曲线的形状。 关键词：t - 曲线：t - b 6 z i e r 基；t - b 6 z i e r 曲线；b e m s t e i n 基；b 6 z i e r 曲线；拐 点；奇点 英文摘要 a b s t r a c t i nt h i sp a p e r , w eu s em e t h o do f a l g e b r at oi n v e s t i g a t et h er e a li n f l e c t i o np o i n t sa n d r e a ls i n g u l a r i t i e so fq u a r t i ct - c u r v e sw h i c ha r ec o n s t r u c t e db yt - b a s i sg e n e r a t e do v e r t h es p a c e t 5 = s p a n 1 ，c o s t ，s i n t ，c o s 2 t ，s i n 2 t a n dg e t t h en e c e s s a r ya n ds u f f i c i e n t c o n d i t i o n so ft h eo c c u r r e n c eo fr e a li n f l e c t i o np o i n t sa n dr e a ls i n g u l a r i t i e so fq u a r t i c t - c u r v e s t h er e s u l t sa r ed e n o t e db yr e l a t e da f f i n ei n v a r i a n t ，a n dc a nb e u s e dt oc o n t r o l t h es h a p eo fq u a r t i ct - c u r v e s i nt h eh i s t o r yo f p a r a m e t r i cc u i r v c s ，a l g e b r a i cp o l y n o m i a lc u r v e sw e r em o s t l yu s e d ， a n d 也e yh a v eb e e ne x t e n s i v e l ys t u d i e di nt h e o r y t h e r ea r eag r e a td e a lo f u s e f u lp r o p e r t i e si np o l y n o m i a lp a r a m e t r i cc u r v e ss u c ha sc o n v e x i t yp r e s e r v i n g ，s h a p ep r e s e r v i n g ， l i n e a rp r e c i s i o n ，v a r i a t i o nd i m i n i s h i n gp r o p e r t y , l o c a lc o n t r o l l i n gp r o p e r t ya n de t c b u t i ti sar e g r e tt h a tt h e yc a nn o tp r e c i s e l yr e p r e s e n ts o m ec y c l o i d ss u c ha sa r c s ，e l l i p s e ， s i n ec h i v e sa n de t c t h eq u a r t i ct - c u r v e sd i s c u s s e dh e r ea r eb o t hi n h e r i t e dt h ea d v a n t a g ef r o mp o l y n o m i a lc m v e sa n di np o s s e s s i o no ft h ea d v a n t a g eo ft r i g o n o m e t r i cc u r v e s w i t h o u t r a t i o n a lf o r m ，t h e yc a np r e c i s e l yr e p r e s e n tl i n e s ，e l l i p s e ，c i r c l e ，g e n e r a lp o l y n o m i a l c n r v e s ，e s p e c i a l l yt r a n s c e n d e n t a lc u r v e sa n d a n o t h e rt r a d i t i o n a lg e o m e t r i cc u r v e s w e i n v e s t i g a t et h er e a li n f l e c t i o np o i n t sa n dr e a ls i n g u l a r i t i e so f q u a r t i ct - c u r v e sb yu s e o f m e t h o do fs o l v i n ga l g e b r a i cp o l y n o m i a l ，a n dt h er e s u l t sa r eh e l p f u lf o rc o n t r o l l i n gt h e s h a p eo f q u a r t i ct - c u r v ew i t hc o n t r o lp o i n t s k e yw o r d s ：t - c u r v e s ；t - b 6 z i e rb a s i s ；t - b 6 z i e rc u r v e s ；b e m s t e i nb a s i s ；b 6 z i e r c u r v e s ；i n f l e c t i o np o i n t ；s i n g u l a r i t y i i 主要符号对照表 r 死 矿 d 鹾( “”( r 2 吼 吼 磊 ，( - ) 9 ( ) 主要符号对照表 n 维代数多项式空间 n 维代数与三角混合多项式空间 序列变号数 三次代数多项式方程根的判别式 b 6 z i e r 基函数 t - b 6 z i e r 基函数 二维点空间全体 点向量 向量 质点 拐点方程 奇点方程 一i v 第一章背景 第一章背景 在参数曲线的发展史上，代数多项式曲线的应用最广，而且已经有了许多 理论上的研究。 b e r n s t e i n 基是从空间f 。= 1 ，t ，t 2 ，t “中提取出的一组具有众多优美性 质的基底，以它为基础构造的b 6 z i e r 曲线以及b 一样条曲线具有众多适于几何 造型的性质，在一个统一的数学模型下可表示自由曲线和传统的解析曲线， 是c a g d 中表示曲线和曲面的重要工具之一。这种多项式参数曲线有许多非 常有用的性质，比如保凸性、保形性、线性精度性、变差缩减性以及局部控 制性等；但遗憾的是，它们不能精确地表示某些圆锥曲线如圆弧、椭圆等， 也不能精确地表示正弦曲线等一些超越曲线。随着几何造型工业的发展， 人们更多的应用到超越曲线，为了利用控制顶点这个有力的工具来表示超越 曲线，以b e m s t e i n 基为基础，人们进行了一系列的研究。在参考文献 1 4 ， p o t t m a n n 用开花的形式定义了以限制在区间长度为7 r 的t c h e b y c h e f f 体系为基 的的t - b 6 z i e r 和t b 样条曲线；在参考文献 2 2 中，作为三次b 6 z i e r 曲线的 扩张，张积文研究了由空间丑= s p a n 1 ，t ，c o s t ，s i n t 提取出的带形状参数o t 的c 基，其中，q 【0 ，7 r ；c h e n 和w a n g 在参考文献【1 】中对这种c 一曲线作 了一些改进，对每一c 曲线段取不同的形状参数o ，从而得到了一组新的c 曲线。由这种基构成的带形状参数口的c 曲线能精确的表示圆弧、椭圆以及 正弦曲线等超越曲线。而l 缸和w a n g 在参考文献【9 】定义了基于双曲和代数 混合多项式的带形状参数a 的双曲b 样条也同样可以能精确的表示圆弧、椭 圆以及正弦曲线等超越曲线。进一步的，在参考文献f l o ，m a i n a r 和p e n a 找 出了空间t 8 = s p a n 1 ，t ，c o s t ，s i n t ，c o s 2 t ，s i n 2 t ，t 5 = s p a n 1 ，t ，t 2 ，c o s t ，s i n t 和t 6 = s p a n 1 ，t ，c o s t ，s i n t ，tc o s t ，ts i n t 的标准化b 基；在参考文献【2 ，丁 敏与汪国昭从空间e = s p a n l ，t ，t 2 ，t 一4 ，c o s t ，s i n t ，c o s 2 t ，s i n 2 t 提取出名为 t - b 6 z i e r 的一组基( 注：取名为t - b 6 z i e r 基是因为它是在原有b e m s t e i n 基的代数 多项式空间增加了三角多项式后得到的基，t 取t r i g o n o m e t r i c 的第一个字母) ； 由这些基构造的曲线也可以表示一些b 6 z i e r 曲线所不能表示的超越曲线。更进 一步的，w u 【2 0 】用微分方程的分段函数解以及逼近论的方法给出了对于一般分 段多项式、三角多项式以及双曲多项式等空间上的一般样条基的构造方法。 在计算几何中研究平面参数曲线时，无论我们怎样选取坐标系的位置，其 几何外形( 包括拐点和奇点等) 总是不会改变的。为了使拟合曲线有更好的光 第一章背景 滑性或者光顺性，我们必须对控制顶点与其参数曲线的拐点和奇点的关系进行 分析和综合。早在1 9 7 0 年，f o r e s t 3 对基于b 6 z i e r 多边形的三次非有理螺旋 代数曲线进行了分类；随后，w a n g 【1 9 】与m e e k 【1 3 进一步把这种分类推广到 了三次参数曲线以及均匀b 样条曲线。更进一步的，苏步青在文献【1 6 】对以 b e r n s t e i n 基为基底的三次参数样条曲线段的拐点与奇点进行了详细的讨论，并 在参考文献 1 7 1 进一步给出了三次b 6 z i e r 曲线保凸的充要条件。随后，华宣 积【4 在 1 7 】的基础上作了一些补充。关于四次代数曲线方面，参考文献【5 】5 和 7 】研究了四次b 6 z i e r 曲线上的拐点和奇点。参考文献 1 8 总结描述了具有 参数多项式的曲线和样条的仿射不变量和几何特征：拐点、奇点以及曲线的凸 性等，并提出了几次参数多项式曲线最多有2 礼一4 个拐点；1 9 9 2 年，m a n o c h a 与c a n n y 【l1 开始对一般曲线上的拐点与尖点进行研究；l i 与c r i p p s 8 】、 m o n t e r d e 【1 2 】以及s a k a i 1 5 】把研究领域推广到了平面上的有理多项式曲线。而 对于c 曲线，由于其可以被看作是摆线或者正弦曲线的仿射，在早期是把其作 为摆线来分析研究的。最早对其图像进行研究是k r u p p a 6 】，它是以限制在区 间长度为7 r 的t c h e b y c h e f f 体系为基的；参考文献 2 1 】进一步对三次c 曲线上 的拐点和奇点与控制顶点的关系进行了详细的分类。 在这篇文章中，主要讨论由空间死= s p a n 1 ，c o s t ，s i n t ，c o s 2 t ，s i n 2 t 提取 的t 基构成的四次曲线上的拐点、奇点有关的方程；通过分析这些方程， 得到四次t _ 曲线关于拐点、奇点存在性的充要条件。这些结果都是用有关的仿 射不变量表示的，可以用来控制四次t _ 曲线的形状。本文的讨论仅限于平面曲 线的范围。 下面是本文的结构。第二章，把文中要用到的关于代数多项式和三角多项 式的定义、引理归纳一下。第三章，先提出四次t - b 6 z i e r 曲线的基函数，然后 讨论四次t _ b 6 z i e r 曲线的一些性质。第四章，研究分析四次t - 曲线上拐点和奇 点的存在性条件。第五章，提出一些数值例子说明四次t - b 6 z i e r 曲线的一些性 质。第六章，讨论四次c 曲线上拐点与奇点的存在性条件。第七章，我们对本 文进行总结。 一2 一 第二章预备知识 第二章预备知识 本文要用到代数多项式和三角多项式的一些性质，因此首先介绍下面的定 义与引理，为后面我们的工作做准备。 定义2 h 对实数列x = z - ，x 2 ，z 。) ，在这个实数列中划去零，再从左往右 看，若相邻的两个数的符号相反，则称有一个变号；如符号相同则没有变号。 序列中变号数的总和称为该序列的变号数，记为y ( x ) 。 引理2 2 ( c a r d a n 公式) ：对形如 z 3 + p x + q = 0 的三次代数多项式在复数域上有实数根 z =丽+ 隔- + 2 - 汗 ( 2 1 ) ( 2 2 ) 三次方程( 2 1 ) 应有三个根，引理2 2 只求出了一个实根，是不完全的。定 义叫，叫2 表示1 的两个立方虚根，即方程。2 + z + 1 = 0 的两个根，则方程( 2 1 ) 的全部根为： 丽+ 曛 蹶需- - + 2 - i 护蹶+ 叫孺 ( 2 3 ) 记d = 百q 2 + 西p 3 为三次方程( 2 1 ) 根的判别式，则有： 引理2 3 ：( 1 ) 当d 0 ，t ( 0 ，a ) ( 5 ) , t o ，4 ( t ) ，u l ，4 ( t ) ，一，u 4 ，4 ( t ) 线性无关 ( 6 ) 对称性 ，4 ( t ) = “4 一，4 ( o t ) ，t 0 ，o 】，i = 0 ，1 ，一，4 3 3 四次t - b 6 z i e r 曲线的性质 由基函数的性质即可得到四次t - b d z i e r 曲线的一些性质。 ( 1 ) 端点性质 p ( o ) = q o ，p ( o ) = 如，3 ( 口1 一q o ) p ( a ) = 吼，p ( 盘) = 如，3 ( 口4 一q 3 ) 一 一 第三章四次t - b 6 z i e r 基与t - b e z i e r 曲线的定义与性质 ( 2 ) 四次t - b 6 z i e r 曲线的导曲线 3 p ( t ) = 吼u 啪o ) i = o 其中，a i = 民，3 ( 吼+ 1 一吼) ，i = 0 ，1 ，2 ，3 。 ( 3 ) 凸包性 ( 4 ) 变差缩减性，保凸性 ( 5 ) 几何不变性和仿射不变性 曲线仅依赖于控制顶点以及形状参数o t 而与坐标系的位置和方向无关，即 曲线的形状不随坐标系的平移和旋转而改变；同时，对控制多边形进行缩放或 剪切等仿射变换后所得到的新曲线就是相同仿射变换后的曲线。 一8 一 第四章四次t 曲线上的拐点和奇点 第四章四次曲线上的拐点和奇点 在计算几何中研究平面参数曲线时，无论我们怎样选取坐标系的位置，其 几何外形( 包括拐点和奇点等) 总是不会改变的。为了使拟合曲线有更好的光滑 性或者光顺性，我们必须对控制顶点与其参数曲线的拐点和奇点的关系进行分 析和综合。通过对参数曲线的拐点和奇点的存在性的分析，我们可以改变控制 顶点之间的位置来获得一定的光滑性与光顺性。下面来研究四次t - 曲线上的拐 点和奇点。 在平面上给定一个有序点列q o ，q 1 ，q 2 ，q 3 ，q 4 础，由此点列可以构成四次 t - b 6 z i e r 曲线控制多边形q o q l q 2 q 3 q 4 ，并生成如( 3 3 ) 所示的四次t - b 6 z i e r 曲线， p ( t ) 可简化为： p ( t ) = 珈s i n 2 t + v 1c o s 2 t + v 2s i n h 螂o s t + v 4 ，t e o ，。 ，q ( o ，三) ( 4 1 ) 其中 珈。高 2 s c q o 一2 s ( l + 2 c ) q l + 2 s ( 2 + c ) q 2 2 s q 3 12 高 ( 2 e 2 1 ) q o + 2 ( 1 2 c ) 0 + c ) q 1 + 2 c ( 2 + c ) q 2 2 ( 1 + c ) q 3 + 吼】 忱2 高 - 4 s q o + 4 s ( 2 + c ) q 1 4 s ( 2 + c ) q 2 + 4 s q 3 地= 志 - 4 c q o + 4 ( 1 + c ) 2 9 1 4 ( 1 + c ) ( 2 + c ) q 2 + 8 ( 1 + c ) q 3 4 9 4 m 。蓟r 圭虿f 3 q o 一6 ( 1 + c ) q 1 + 2 ( 2 + e ) 2 9 2 6 ( 1 + c ) q 3 + 3 q 4 其中，c ，s 如第三章所定义。 同理，由于t - b 6 z i e r 基与t - b 样条基之间有类似于b 6 z i e r 基与b 样条基 之间的关系，则对于四次t - b 一样条曲线，我们也可以把其分段写成如( 4 1 ) 所 示的形式，只是此时，? 3 0 ，口。， 2 ，口3 ，v 4 的关于控制点的表达式有所不同。为简便 起见，我们下面只讨论t - b 6 z i e r 曲线上的拐点和奇点，而t - b 一样条曲线( 更一 般的，t - 曲线) 上的拐点和奇点的存在性条件可以通过一定的仿射变换获得。 一o 一 第四章四次t 曲线上的拐点和奇点 4 1 四次t - b 6 z i e r 曲线上的拐点 记a i = 吼+ l 一哦，i = 0 ，1 ，2 ，3 ，只j = d e t ( a ；，) ，0 i 0 d 1 + ： r j 6 、 2 r 2 一( 1 + j ) r b 、 2 r 3 一( 1 + 亏) ( 仡一r 1 ) 0 ( r 3 一r 2 ) 0 需+ 曛 ( 3 ) 有两个根 k = 0 0 | ： = 0 z 如 + ； 记巧( ( z t ，茁。，) ) = y ( ，( z t ) ，( z 。) ，) ) 为序列t ，( z ) ，( z 。) ，) 的变 号数。并记 。o3 8 。t a n i 一 轳a r c 纰霜t a n 沁，3 y o2a r c t a n 下2 = = = = = = = = = 产2 = = = = = = = = ? 一 一；+ 隔+ i 一；一孵一j b 则由综上所述，可得到判别一般四次t - b 6 z i e r 曲线拐点个数与控制顶点的关系 图，见图4 1 。 这样，我们可以得到判别一般四次t - b 6 z i e r 曲线拐点个数的充分必要条 件。 定理4 1 ：如图4 1 所示，若b ，g ，d 满足图4 1 的其中一个分支，则当w = i 时，四次t - b 6 z i e r 曲线有i 个拐点。 推论4 1 ：当d 0 ( 4 9 ) ( 4 1 0 ) ( 4 1 1 ) 奇点方程( 4 8 ) 可改写为： 。”c o s u 孕- 2 v l s i n xc o s t v - 4 y + v 2 c o s 詈t n ( 4 1 2 ) 处理后，得 ( 4 1 3 ) 式中q 玎如方程( 4 2 ) 所示a 当q 。t = 。时，若是= 瓦q 1 3 ，选取满足( 4 1 1 ) 的 ( z ，g ) ，可求得t z ，。；若丽q 0 3 手丽q 1 3 时，( z ，) 嘉解。贝i 薹q 。，。时，方程组 fq 。t 掣兰三2 q 。- q i 。) t a n 2 ；一( 2 q 。+ q 。s ) t a n ；+ q 。= o i c o s 譬2 去c 碍q 0 2 一碍q 0 3 ， 1 4 若方程组( 4 1 4 ) 的解( z ，y ) 满足不等式组( 4 1 1 ) ，则对应的p ( t 1 ) 是四次 一1 6 一 a 叫0 啊 可认。一句 q 列l 一虬扩铲护 置 咖 q 啷 瞄 骗 q 荤 啷 瞄 第四章四次t _ 曲线上的拐点和奇点 t - b 6 z i e r 曲线的奇点；并且由方程组( 4 1 4 ) 可知，四次t - b 6 z i e r 曲线至多有三个 实奇点。由此得下面的定理： 定理4 2 ：四次t - b d z i e r 曲线有奇点的充分必要条件是不等式组( 4 1 1 ) 和方程组 ( 4 1 4 ) 有解；并且，四次t - b 6 z i e r 曲线至多有三个实奇点。 二重点退化成尖点的条件是t l t 2 ，即( 4 1 1 ) 中的z 2 4 y = 0 成立。此时 可令。= 2 t ，y = t 2 ，此时，不等式组( 4 1 1 ) 与方程组( 4 1 4 ) 变为： i q 0 3 t a n 3 t + ( 2 q x 3 一q 1 2 ) t a n 2 t 一( 2 q 1 2 + q 0 3 ) t a n t + 口0 2 = 0 丽1 ( 黑一面q 0 3 ) _ 1 ( 4 1 5 ) 10 t l + 昙 2 r 3 ，得r ( t 正+ ) 在 舣蚋辆伸亿伽“走a r c m 去，0 ) ) = v ( 6 9 9 4 1 ，7 4 2 2 5 ，1 8 3 5 8 ，1 5 9 2 ) ) = 0 ，所以生成的四淀b b 6 z i e r 曲线宪拐点。 第五章几个数值例子 例2 如图5 2 所示，故得拐点方程以及经过整理后的拐点方程的导数方程为 f ( t ) = 3 0 2 6 0 s i n 3 t 一1 0 1 8 7 c o s 3 t + 6 6 8 8 7 s i n t + 7 4 2 4 5c o s t 一5 9 7 8 9 ：0 ，+ ( z + ) = 札“+ o 3 5 4 4 u + 一o 0 1 1 2 = 0 经过计算得d = 0 0 0 1 7 0 ，u + = 0 0 3 1 6 ，1 + 昙= 一1 1 7 7 0 ，由u + 1 + 百b ，得广( u + ) 在定义域内只有一个解矿。又坼( 三，a r c t a n 土百，o ) ) = v ( 4 5 3 6 7 ，5 0 2 7 2 ，4 2 6 9 ) = 0 ，所以生成的四次t - b 6 z i e r 曲线无拐点。 图5 2 ( 5 ，3 ) 为了说明四次t - b d z i e r 曲线的拐点和尖点可以在同一t - b 6 z i e r 曲线上共 存，我们构造了下面的例子： 例3 如图5 3 所示，此四次t - b 6 z i e r 曲线有一个拐点一个尖点。 综上所述，我们得到四次t - b 6 z i e r 曲线有与三次b 6 z i e r 曲线所不具有的性 质，即对非凸的特征多边形也可以有凸的四次t - b 6 z i e r 曲线以及四次t - b 6 z i e r 曲线的拐点和奇点可以在同一t - b 6 z i e r 曲线上共存。并且，四次t - b 6 z i e r 曲线 一1 9 第五章几个数值例子 q 2 ( 8 ，- 4 ) 最多有四个拐点以及三个奇点。当然，这些性质在t - b 样条曲线甚至t 曲线 上也是存在的。了解了这些性质，我们可以更加容易地利用控制顶点的位置来 控制t - 曲线的形状。 第六章四次c 一曲线上的拐点和奇点 第六章四次c 曲线上的拐点和奇点 类似于对t _ 曲线的讨论，由于c b 6 z i e r 基与c b 样条基可以通过仿射变 换互相表示，下面我们只讨论c b 6 z i e r 曲线上的拐点和奇点，而对于c b 样条 曲线以及c 曲线可以类似讨论得到相似的结论。 在平面上给定一个有序点列吼r 2 ，i = 0 ，1 ，2 ，3 ，4 ，由此点列可 以构成一个四次c b 6 z i e r 曲线特征多边形q o q l q 2 q 3 q 4 ，并生成空间正= s p a n 1 ，t ，t 2 ，c o s t ，s i n t 上的四次c b 6 z i e r 曲线： 其中 4 p o ) = q t 讹，4 ) 0 t 。 ( 6 1 ) i = 0 札t ( t ) = 端魄a ：( z 3 ) ( 击) 2 u ( t ) = u , 4 , 4 ( o t t ) 2 , i , 4 ( t ) = u 3 4 ( q t ) u 2 ，t ( t ) = 1 一u 讲( t ) t 2 钍t ( t ) = t 2 2c 。s g ( t ) ，s = s i n e ( 。) ，e = c o s c ( a ) ，s = s i n 詈，c ：c o s 詈 s i n = 一s i n t ，s g ( t ) = 1 一c 。s t ，忍( ) = 丁s i n e ( t ) ，。 q 7 r 记三次c b d z i e r 基函数为 钍叩( t ) = 忑1 ( c o s a s i n t - s i n a c o s t - t + a ) 札3 ( t ) = i 二函 ( 1 - - c o s a - - m ) s i n t + ( 。一k ) m c 。s t + m t 一( 口一k ) m 】 u 2 ，3 ( t ) = 再急( m s i n t k m c o s t 一尬+ k m ) 魄。( t ) = 石( 一s i n t + t ) 其中 = 善鬻 q = 7 r 0 o l 所 第六章四次c 曲线上的拐点和奇点 并记 ( 6 2 ) 则由参考文献 1 】对c b 6 z i e r 基函数的构造，我们有下面的关于三次c b d z i e r 基函数与四次c b d z i e r 基函数之间的关系式： p t t u 。，t ( 。) = 1 一南，3 牡。，3 ( s ) d s ，u z ，a ) 2j o ( 6 0 j 0，。，3 ( s ) 一6 ，3 让，。( s ) ) d s ，t，t u 2 ，4 ( t ) = ( 6 l ，3 u l ，3 ( s ) 一6 2 ，3 u 2 ，3 ( 8 ) ) d 8 ，u 3 ，4 ( t ) = ( 6 2 ，3 , 2 ，3 ( 8 ) 一6 3 , 3 u 3 ，3 ( s ) ) d s j 0d o u t ，a ( t ) = o 。如，。u 。，s ( s ) d s ( 6 3 1 对方程( 6 1 ) 进行适当处理，其可以简单的表示成 p ( t ) = o s i n t + 口1c o s + v 2 t 2 + v 3 t + 4( 6 4 ) 下面只围绕方程( 6 4 ) 进行讨论。 6 1 四次c b 6 z i e r