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人口预测的灰色增量模型及其应用 摘要 人口数量是反映一个国家经济发展水平、衡量社会进步的重要指标。准确 地把握人口数量、了解其发展态势，对于制定国民经济计划和社会发展战略有 着深远的意义。中国是世界上第一人口大国，其人口占世界人口总量的五分之 一，人口问题一直是制约中国经济和社会发展的首要因素。本文应用灰色系统 理论对未来中国人口加以预测和分析研究，为国家制定人口政策、经济政策提 供参考性意见。 灰色系统是我国学者邓聚龙教授于1 9 8 2 年创立的，其研究对象是“部分信 息已知，部分信息未知”的“小样本”、“贫信息”不确定性系统。它通过对 “部分”已知信息的生成、开发去了解、认识现实世界，实现对系统运行行为 和演化规律的正确把握和描述。在现行灰色系统理论的基础上，本文根据我国 人口发展的实际和最新数据资料，在对数据预处理的过程中加入一阶累减算子 过程，突出了增量信息效应，弱化了干扰因素，可在人口预测方面取得良好的 效果。同时结合灰色理论最新研究成果，分别建立人口预测的新初值灰色增量 模型和离散灰色增量模型，并应用于全国人口预测分析的实际之中，结果显示 预测精度有所提高。为进一步验证人口预测新型灰色增量模型的实用效果，本 文以全国东部最发达的江苏省和上海市为例，依据最新数据资料( 截止到2 0 0 5 年) 对其未来人口发展趋势进行预测研究。实际检验表明，灰色增量模型在人 口中长期预测中也可保持较高的预测精度。不仅如此，该模型不苛求大样本量， 可选择4 8 个小样本量建模，这特别是适合于数据难以求得的场合，加之建模 操作灵活简便，计算量不大，因此人口预测的灰色增量模型是理想而经济的新 工具。 关键词：人口预测灰色增量模型，新初值灰色增量模型，离散灰色增量模型 中国人口，江苏省人口，上海市人口，人口预测 t h ei n c r e a s e dg r e ym o d e la n di t sa p p l i c a t i o n so n p o p u l a t i o np r e d i c t i o n a b s t r a c t n l en u m b e ro fp o p u l a t i o ni sa ni m p o r t a n ti n d e xt or e f l e c tt h ed e v e l o p m e n tl e v e l f o re c o n o m ya n ds c a l et h es o c i a la d v a n c e m e n t w eg r a s pt h en u m b e ro fp o p u l a t i o n a n dk n o wi t sd e v e l o p m e n t a lf e n de x a c t l y , w h i c hw i l lb eo fp r o f o u n di n f e c t i o n e s t a b l i s h i n gt h ep l a no fn a t i o n a le c o n o m ya n dt a c t i co fs o c i a ld e v e l o p m e n t c h i n a h a st h ef i r s tl a r g e s tn u m b e ro fp o p u l a t i o ni nt h ew o r l d w h i c hp o s s e s s e so n e 丘m 1o f t h ew o r l dp o p u l a t i o n t h ep r o b l e mo fl a r g ep o p u l a f i o ni st h ec h i e ff a c t o rr e s t r i c t i n g c h i n e s ee c o n o m ya n ds o c i a la d v a n c e m e n t t h i sp a p e l a p p l i e st h eg r e ys y s t e m t h e o r yt op r e d i c ta n da n a l y s et h ef u t u r ep o p u l a t i o ni nc h i n a , w h i c hp r o v i d e r e f e r e n c e ds u g g e s t i o n sf o re s t a b l i s h i n gp o p u l a t i o na n de c o n o m i c a lp o k e y n l eg r e ys y s t e mt h e o r yw a sf o u n d e db yp r o f j ld e n gi n1 9 8 2 w h i c hs t u d i e s t h eu n c e r t a i ns y s t e mo nt h e s m a l l s a m p l e ”，“p o o ri n f o r m a t i o n ”，i e ， p a r t i n f o r m a t i o nk n o w n p a r ti n f o r m a t i o nu n k r l o w n ”w eh a v e t h r o u 吐c r e a t i n ga n d e x c a v a t i n gt h el i m i t e di n f o r m a t i o n w ec o u l du n d e r s t a n dt h er e a lw o r l d d e s c r i b ei t s e v o l v e m e n tr u l ea n dg r a s pi t sr u n n i n gb e h a v i o re x a c t l y o nt h eb a s i so fg r e ys y s t e m t h e o r y , t h i sp a p e ri m p r o v e st h eg r e ym o d e l ，i e ，a d d ap r o c e s so ff i r s t - o r d e r a c c l l n l u l a t i v es u b t r a c t i o nf o r 也ep u r p o s eo fs e p a r a t i n gt h ei n c r e m e n tp a r t 础s c h a n g es 缸e n g t h e ni n c r e m e n ti n f o r m a t i o np r o m i n e n c e 。w e a k e nd i s t u r b i n gf a c t o r sa n d r e v e a lt h eo p e r a t i o n a ll a wo f t h es y s t e m ，t h u sh i g h e rp r e c i s i o nc a nb eg a i n e d a tt h e s a n 2 et i m e ，t h ea u t h o ru n i t et h e1 a t e s tr e s e a r c hp r o d u c t i o n ，p u tt h ei n c r e m e n tc o n c e d t i n t on e wi n i t i a lv a l u eg r e ya n dd i s p e r s e dg r e ym o d e l w ec a l ln g i ma n dd g i mf o r s h o r t t h er e s u l t ss h o wh i g h e rp r e c i s i o no nc h i n a sp o p u l a t i o np r e d i c t i o na c c o r d i n g t 0 也el a t e s td a t ao fc h i n ap o p u l a t i o n i no r d e rt ov a l i d a t et h ei m p r e s s i o no fg r e y i n c r e m e n tm o d e lo np o p u l a t i o np r e d i c t i o n , t h ea u t h o rs e te x a m p l e so fj i a n g s u p r o v i n c ea n dt h ec i t yo fs h a n g h a i ，w h i c ha r et h em o s td e v e l o p e dr e g i o ni ne a s t c h i n a a n dm a k ep r e d i c t i o n sa n da n a l y s i sf o r 血e i rf u t u r ep o p u l a t i o na c c o r d i n gt o t h el a t e s td a t a t h er e s u l t ss h o wt h a tg r e yi n c r e m e n tm o d e l sw i l lm a i n t a i nh i g h p r e d i c t i n ga c c u r a c yi nm i d a n dl o n g - r a n g ep r e d i c t i o n s b e s i d e s ，n ol a r g eq u a n t i t i e s o f d a t aa r ed e m a n d e di nc o l l e c t i o n , f o u rt oe i g h ts a m p l e sc a nb ec h o s e nf o rm o d e l i n g w h i c hi su s e f u le s p e c i a l l yw h e nd a t aa r ed i 伍c u l tt oo b t a i n a n di ti sf l e x i b l ei n m o d e lo p e r a t i o nw i 血s l n a l c a l c u l a t i o n s c o n s e q u e n t l y , t h eg r e yi n c r e m e n tm o d e li s au s e f u ln e wt o o lf o rp o p u l a t i o np r e d i c t i o n k e yw o r d s ：g r e yi n c r e m e n tm o d e lf o rp o p u l a t i o np r e d i c t i o n , g r e yi n c r e m e n t m o d e l 、i t l ln e wi n i t i a l v a l u e ，d i s p e r s e dg r e yi n c r e m e n tm o d e l c h i n a sp o p u l a t i o n ，j i a n g s up o p u l a t i o n ， s h a n 曲a lp o p u l a t i o n ， p o p u l a t i o np r e d i c t i o n i i i 学位论文独创性声明 本人邦重声明： 1 、坚持以“求实、创新”的科学糖神从事研究工作 2 、本论文是我个人在导师指导下进行的研究工作和取得的研究成果 3 ，本论文中赊引文井，所有实验、数据和考关材料均是宾实的 4 、本论文中除引文和致谢的内容外，不包古其他人或其它机构已经发 表或撰写过的研究成果。 5 、其他同志对本研究所做的贡献均己在论文中作了声明著表示了谢意。 僦名：篮壶盘 日期： ! ：! ：! 至 学位论文使用授权声明 本人完全了解南京信息工程大学有关保留、使用学位论文的规定，学校 有权保留学位论文并向目家主管部门或其指定机构送交论文的电子腹和纸 质版；有权将学位论文用于非赢利目的的少量复制并允许论文进入学校图书 馆被查阅；有权将学位论文的内容编入有关数据库进行检索；有权将学位论 文的标题和摘要汇编出版保密的学位论文在群密后适用本魏定 作者签名：! 盘查墨 日期： ! k ：三：! 互 贾凌云：人口预测的灰色增量模型及其应用 第一章绪论 1 i 研究意义和目的 “凡事预则立，不预则废”，预测是决策的基础。各种事物都存在着过去、现在、未来， 这些过程反映着事物的规律性变化。所谓预测，就是人们在观察和分析客观事物发展过程 的历史和现状的基础上，通过对客观事物发展过程的认识，进而推断其未来的状况的过程。 人口问题是一个关系全局的重要问题，人口的变动会影响到基本国策的制定，影响到 劳动就业的安排，社会福利事业的发展，甚至影响到国民经济和社会发展战略的规范。只 有正确处理人口资源经济的关系，才能实现“十一五”规划的目标，更好地促进社会的可 持续笈展，构建和谐社会。人口预测是依据人口发展变动的规律对未来人口图像的描绘， 它作为经济、社会研究的一种方法，应用越来越广泛，也越来越受到人们的重视。在描绘 未来小康社会的蓝图时，首先要考虑的是未来中国的人口数量、结构、分布、劳动力、负 担系数等等，这必须通过人口预测来一一显示。总人口数预测在人口预测中占有十分重要 的地位。总人口数是综合反映一个国家或地区在某一特定时点上人口总量规模的重耍指标。 它是反映一个国家或地区的国情或区情的人口拥有量的重要数量标志。在实际社会中，许 多方面的考察，常常需要同一个国家或地区的人口总量联系起来进行研究方才具有实际意 义，诸如人口发展与社会经济发展的关系研究，一个国家或地区的最佳人口规模研究、人 口控制目标的研究、人口的地域分布关系的研究以及人口与生态平衡关系的研究等等，都 与人口总量指标，即总人口的数量规模有着密切联系。 根据人口的历史发展状况和目前状况、社会经济的发展水平及其对人口发展的要求、 人口政策因素的影响，用测算的方法取得未来人口状况的资料。按人口预测的范围可以分 为地区人口预测、全国人口预测、全球人口预测。按人口预测时间的长短，可分为短期预 测( 1 3 ) 年、中期预测( 5 1 0 年) 、长期预测( 1 0 年以上，可长达1 0 0 年) 。人口预测 的内容包括：人口总数，生育状况( 生育率、出生人数) ，死亡状况( 死亡率、死亡人数) ， 人口结构、年龄结构、性别结构、城乡分布、地区分布等) ，以及迁移状况( 净迁移率、净 迁移人数) 等。人口预测的意义在于，它能使国家、地区预见未来人口的发展趋势，做出 正确决策。采取相应措施。它对于制订人口规划、确定人口与计划生育政策、加强计划生 育管理、编制国民经济和社会发展计划等都有十分重要的意义。人口预测的方法是在认识 人口发展变化的客观规律和人口变量的特征及其内在联系的基础上，建立数学模型来进行 测算。因此。预测未来人口状况，需要有三个前提条件：( 1 ) 掌握现有人口状况( 年龄、 贾凌云：人口预测的灰色增量模型及其应用 性别、城乡、民族人数) 和人口变动各项要素( 人口增长率、生育率、死亡率、迁移率、 各年龄结婚比例、婚育间隔、两胎之间的年限等) 。( 2 ) 了解人口变动各要素之间的客观联 系，并以此建立相应的人口数学模型。( 3 ) 根据对社会经济因素和人口因素未来发展的分 析，估计上述各项要素未来可能出现的数值。准确估计人口变动要素的变动值，是建立人 口数学模型和保证人口预测质量的关键所在。 1 2 本文采用的预测方法 ( i ) 多项式方程模型 一种多项式方程的表达形式是y f ；b 。+ 6 l 坼+ 幻x ，2 + b 3 x t 3 + u t ，其中b l o ，b 2 o ，6 3 0 和碗 o ，b 3 0 ，口 0 情形的图形分别见图1 2 4 和1 2 5 。美国人口统计学家p e a r l 和 r e e d 广泛研究有机体的生长，得到了上述数学模型。生长模型( 或逻辑斯谛曲线，p e a r l r e e d 曲线) 常用于描述有机体生长发育过程。其中k 和0 分别为y 。的生长上限和下限。l i m y ，= r 七，l i m y ，= o 。岛b 为待估参数。曲线有拐点，其坐标为( 丝，娄) ，曲线的上下两部分对 “ 称于拐点。 图1 24y ，；k ( 1 + b e 嘣州r ) 图1 2 5y r = k ( 1 + b e 田+ 虬) 为能运用最d 、- - - - 乘法估计参数岛b ，必须先估计出生长上极限值k 。其线性化过程如下。 当给出时，作如下变换，鲫，= 1 + 拒“”r ，移项得协，一1 = b e “m ，取自然对数 贾凌云：人口预测的灰色增量模型及其应用 l n ( 砂f 1 ) = l n b a t + 地 令y t = l n ( 砂，一1 ) ，扩= l n b ，则y ：= 6 一。f + u t ，此时可用最小二乘法估计6 + 和a 。 ( 4 ) 时间序列a r i m a 模型 a r i m a 过程几用中( z ) 4 = 岛+ p ( d 骗表示，其中中( 工) 和p ( 工) 分别是p ，g 阶的 以三为变数的多项式，它们的根都在单位圆之外。岛为位移项，44 儿表示对yr 进行d 次 差分之后可以表达为一个平稳的可逆的a r m a 过程。这是随机过程的一般表达式。它既包 括了a r ，m a 和a r i v l a 过程，也包括了单整的a r ，m a 和a r m a 过程。 建立时间序列模型通常包括三个步骤：( 1 ) 模型的识别；( 2 ) 模型参数的估计；( 3 ) 诊 断与检验。 模型的识别就是通过对相关图的分析，初步确定适台于给定样本的a r i m a 模型形式， 即确定d , p q 的取值。模型参数的估计就是待初步确定模型形式后对模型参数进行估计。 诊断与检验就是以样本为基础检验拟合的模型，以求发现某些不妥之处。如果模型的某些 参数估计值不能通过显著性检验，或者残差序列不能近似为一个白噪声过程，应返回第一 步再次对模型进行识别。如果上述两个问题都不存在，就可接受所建立的模型。 对于时间序列模型，一般采用极大似然法估计参数。对于一组相互独立的随机变量z 。 ( r = 1 ，2 ，) ，当得到一个样本，z 2 ，x r ) 时，似然函数可表示为 r 上( y l x l , x 2 ，x 疗= ，g l ir ) f ( x 2 1y ) ，o r i ，) 2 兀，o ，i ，) f - 1 其中，= ( m ，咒，鲰) 是一组未知参数。对数似然函数是 l o g l = y l o g f ( x ，i ，) 百 通过选择y 使上式达到最大，从而求得极大似然估计值，。具体步骤是用上述对数似然 函数对每个未知参数求偏导数并令其为零，即 ，型：0 a n 8 1 0 9 l ：o ，( 女个方程联立) l o ， 一般来说似然函数是非线性的，必须采用迭代计算的方法求参数的极大似然估计值。 极大似然估计量( m l e ) 具有一致性和渐近有效性。 ( 5 ) 灰色预测模型 灰色系统理论是用时间数据序列建立系统的动态模型，把一组离散的、随机的原始数 4 贾凌云：人口预测的灰色增量模型及其应用 据序列经m 次累加，生成规律性较强的累加生成序列，从而达到使原始序列随机性弱化的 目的。然后对累加生成序列建模，最后再进行m 次累减还原成预测值。一般取m = l ，作一 次累加生成序列建模，即g m ( i ，1 ) 模型。 灰色预测模型一般分为模型建立、求解参数、建立预测公式和模型检验这四个步骤。 g m ( 1 ，1 ) 模型是单变量一阶线性模型，它是灰色预测模型中最基本的模型。它比多变 量多阶预测模型或其它预测方法计算简单，预测精度较高，且兼有对样本数量和概率分布 无严格要求的特点。因而其预测效果好，适应性强，可广泛应用于人口、疾病等方面的预 测，为政府决策部门提供超前服务。 灰色模型是本文的主要研究对象，后面章节有具体介绍，在这里就不再赘述。 1 3 研究思路和主要工作 人口问题是关系国民经济和社会发展的重大问题，是制定一切规划、政策和措施的基 础。人口总量预测又是人口问题中最基本的东西。本文以灰色系统理论中的g m ( 1 ，1 ) 模型 为基础，构建新型的灰色增量模型、新初值灰色增量模型、离散灰色增量模型对2 0 0 6 - 2 0 5 5 年中国人口发展趋势进行预测研究，并与其他时间序列外推模型进行对比研究，从而突出 灰色增量模型在人口预测方面的优势。在此基础上，以东部地区人口密度最大的省份一江 苏省、东部经济最发达的直辖市一上海市为例，进一步验证灰色增量模型在人口预测研究 上的效果。最后，对中国人口、省市人口进行分析与讨论，为实现生育率迅速下降，少儿 与老年抚养负担均相对较轻，总人口中劳动适龄人口比重上升，从而在老年人口比例达到 较高水平之前，形成一个劳动力资源相对比较丰富，对经济发展十分有利的“人口红利” 期提供参考意见。 本文第二章介绍了灰色系统理论的科学背景、发展动态、基本原理等主要内容。在文 献”1 灰色增量模型( 即i g m 模型) 的基础上，对灰色模型理论进行改进，提出人口预测的 新初值灰色增量模型和离散灰色增量模型，这是本文的创新之处。 第三章分析全国人口现状，根据建国以来人口统计资料，用灰色增量模型对全国人口 进行模拟预测，并用一般模型与其进行对比分析，体现灰色增量模型在入口预测方面的可 行性。根据预测结果进行分析研究，提出未来人口、社会、环境可持续发展的建议。 第四、五章以江苏省人口、上海市人口为例，进一步验证灰色增量模型在人口预测上 的精确性和可行性，分析江苏省和上海市人口发展的趋势，并提出参考性意见。 贾凌云：人r n 预测的灰色增量模型及其应用 第二章灰色系统理论基础 2 1 灰色系统理论产生的科学背景 现代科学技术在高度分化的基础上高度综合的大趋势，导致了具有方法论意义的系统 学学科群的出现。系统科学揭示了事物之间更为深刻、更具本质性的内在联系，大大促进 了科学技术的整体化进程；许多科学领域中长期难以解决的复杂问题随着系统科学的出现 迎刃而解；人们对自然界和客观事物演化规律的认识也由于系统科学的出现而逐步深化。 2 0 世纪4 0 年代末期诞生的系统论、信息论、控制论，产生于2 0 世纪6 0 年代末、7 0 年代 初的耗散结构理论、协同论、突变论、分形理论以及7 0 年代中后期相继出现的超循环理论、 动力系统理论、泛系统理论等都是具有横向性、交叉性的系统科学新学科。 在对系统的研究中，由于内外扰动的存在和认识水平的局限，人们所得到的信息往往 带有某种不确定性。随着科学技术的发展和人类社会的进步，人们对各类系统不确定性的 认识逐步深化，不确定系统的研究也日益深入。2 0 世纪后半叶，在系统科学和系统工程领 域，各种不确定性系统理论和方法不断涌现形成一大景观。如扎德( l a z a d e h ) 教授于6 0 年代创立的模糊数学，邓聚龙教授于8 0 年代创立的灰色系统理论，帕拉克( z p a w l a k ) 教 授于8 0 年代创立的粗糙集理论( i u g hs e t st h e o r y ) 和王光远教授于9 0 年代创立的未确 知数学等，都是不确定性系统研究的重要成果。这些成果从不同角度、不同侧面论述了描 述和处理各类不确定信息的理论和方法。 1 9 8 2 年，中国学者邓聚龙教授创立的灰色系统理论，是一种研究少数据、贫信息不确 定问题的新方法。灰色系统理论以“部分信息已知、部分信息未知”的“小样本”、“贫信 息”不确定系统为研究对象，主要通过对部分己知信息的生成、开发，提取有价值的信息、 实现对系统运行行为、演化规律的正确描述和有效监控。灰色系统模型对实验观测数据没 有什么特别的要求和限制，因此应用领域十分宽广。 2 2 灰色系统理论的产生与发展动态 1 9 8 2 年，北荷兰出版公司出版的系统与控制通 ； 【( s y s t e m s c o n t r o l l e t t e r s ) 杂志 刊载了我国学者邓聚龙教授的第一篇灰色系统论文“灰色系统的控制问题”( t h ec o n t r o i p r o b l e m so fg r e ys y s t e m s ) 同年，华中工学院学报刊载了邓聚龙教授的第一篇中文灰 色系统论文“灰色控制系统”。这两篇开创性论文的公开发表，标志着灰色系统理论这一新 兴横断学科开始问世。这一理论刚一诞生，就受到国内外学术界和广大实际工作者的积极 关注，不少著名学者和专家给予充分肯定和大力支持，许多中青年学者纷纷加入灰色系统 6 贾凌云：人口预测的灰色增量模型及其应用 理论研究工作。尤其是它在众多科学领域中的成功应用，赢得了国际学术界的肯定和关注。 目前，英国、美国、德国、澳大利亚、日本、加拿大、奥地利、俄罗斯等国家及中国台湾、 香港地区以及联合国等国际组织有许多学者从事灰色系统的研究和应用。1 98 9 年在英国创 办的英文版国际学术刊物灰色系统学报( t h ej o u r n a lo f g r e ys y s t e m ) 已成为英国科 学文摘( s a ) 、美国数学评论( m r ) 等重要国际文摘机构的核心期刊。全世界有3 0 0 余种学术期刊接受、刊登灰色系统论文，美国计算机学会会刊、台湾模糊数学通讯、系 统与控制国际杂志k y b e m e t e s ( s c i 源期刊) 出版了灰色系统专辑。 世界上有1 0 0 多所大学如华中科技大学，中国人民大学，清华大学，浙江大学，山东 大学，南京航空航天大学，美国马里兰大学，日本丰桥大学，神奈川大学，维也纳经济大 学，法国宇航中心，台湾中央大学和成功大学，大同工学院，大溪大学等开设了灰色系统 理论教程。华中科技大学、南京航空航天大学、福州大学和武汉理工大学已招收、培养灰 色系统专业方向的博士研究生，世界各国高等学校计有数千名博士、硕士研究生运用灰色 理论的思想方法开展科学研究，撰写学位论文。 国内外许多出版机构，如科学出版社、国防工业出版社、华中理工大学出版社、江苏 科学技术出版社、山东人民出版社、科学技术文献出版社、台湾全华科技图书出版社、台 湾高立图书有限公司、日本理工出版社、美国1 1 g s s 学术出版社等等，出版灰色系统学术 著作6 0 余种。一批新兴边缘科学如灰色水文学、灰色地质学、灰色育种学、区域经济灰色 系统分析、灰色哲学应运而生。国家及各省、市科学基金积极资助灰色系统研究，每年都 有一大批灰色系统理论或应用研究项目获得各类基金资助。据统计，全国各地有1 6 0 多项 灰色系统成果获得国家或省部级奖励；2 0 0 2 年，我国灰色系统学者获系统与控制世界组织 奖。据不完全统计，s c i ，e i ，i s t p , s a ，m r , m a 等国际权威性检索机构跟踪、摘引我国学者 的灰色系统论著3 0 0 0 多次；据中国科学引文数据库( c s c d ) 发布的信息( 中国科学时报， 1 9 9 7 年1 1 月2 6 日) ，华中理工大学邓聚龙教授的灰色系统理论被引用5 3 3 次，居全国第 一。中国国家科技部编撰出版的中国科学技术蓝皮书( 第8 号) 把灰色系统理论作为中 国学者创立的软科学新方法给予肯定。 许多国际重要会议，如不确定性系统建模国际会议，系统预测控制国际会议，国际一 般系统研究会年会，系统与控制世界组织年会，计算机与工业工程国际会议，i e e e 系统、 人、控制国际会议等等都把灰色系统理论列为讨论专题。如2 0 0 2 年3 月在美国匹兹堡召开 的系统与控制世界组织( w o s c ) 第1 2 届年会和国际一般系统研究会( 1 7 g s s ) 第4 届年会共 为灰色系统理论安排了6 场专题会议。2 0 0 3 年8 月在爱尔兰利默瑞克召开的第3 2 届计算 7 贾凌云：人口预测的灰色增量模型及其应用 机与工业工程国际会议，为灰色系统理论安排了4 场专题会议。灰色系统理论成为许多重 要国际会议关注、讨论的热点，这对于世界系统科学界同行进一步了解灰色系统理论无疑 会起到积极作用。 2 3 灰色系统的基本概念 社会、经济、农业、工业、生态、生物等许多系统，是根据研究对象所属的领域和范 围命名的，而灰色系统却是按颜色命名的。在控制论中，人们常用颜色的深浅形容信息的 明确程度，如艾什比( a s h b y ) 将内部信息未知的对象称之为黑箱( b l a c k b o x ) 。这种称谓 己为人们普遍接受。再如在政治生活中，人民群众希望了解决策及其形成过程的有关信息， 就提出要增加“透明度”。我们用“黑”表示信息未知，用“自”表示信息完全明确，用“灰” 表示部分信息明确、部分信息不明确。相应地，信息完全明确的系统称之为白色系统，信 息位置的系统称之为黑色系统，部分信息明确部分信息不明确的系统称之为灰色系统。 请注意“系统”与“箱”这两个概念的区别。通常地，“箱”侧重于对象外部特征而不 重视其内部信息的开发利用，往往通过运输关系或因果关系研究对象的功能和特征。“系统” 则通过对象、要素、环境三者之间的有机联系和变化规律研究其结构和功能。 灰色系统的研究对象是“部分信息已知、部分信息未知”的“小样本”、“贫信息”不 确定性系统，它通过对“部分”已知信息的生成开发实现对现实世界的确切描述和认识。 在人们的社会、经济活动或科研活动中，会经常遇到信息不完全的情况。如在农业生 产中，即使是播种面积、种子、化肥、灌溉等信息完全明确，但由于劳动者技术水平、自 然环境、气候条件、市场行情等信息不明确，仍难以准确地预计出产量、产值i 再如生物 防治系统，虽然害虫与其天敌之间的关系十分明确，但却往往因为人们对害虫与诱饵、天 敌鱼饵料、某一天敌与其它天敌、某一害虫与其它害虫之间的关联信息不够了解，使得生 物防治难以收到预期效果：价格体系的调整与改革，常常因缺乏民众心理承受力的信息， 以及某些商品价格变动对其它商品价格影响的确切信息而举步维艰；在证券市场上，即使 最高明的系统分析人员亦难以稳操胜券，因为你测不准金融政策、利率政策、企业改革、 政治风云和国际市场变化及其某些板块价格波动地其它板块之影响的确切信息；一般的社 会经济系统，由于其没有明确的“内”、“外”关系，系统本身与环境系统、系统内部与系 统外部的边界若明若暗，难以分析输入( 投入) 对输出( 产出) 的影响。而同一个经济变 量有的研究者把它视为内生变量，另一些研究者却把它视为外生变量，这是因为系统缺 乏系统结构、系统模型及系统功能信息所致。 贾凌云：人口预铡的灰色增量模型及其应用 综上所述，可以把系统信息不完全的庸况分为以下四种： ( 1 ) 元素( 参数) 信息不完全： ( 2 ) 结构信息不完全； ( 3 ) 边界信息不完全； ( 4 ) 运行行为信息不完全。 “信息不完全”是“灰”的基本含义。从不同场合、不同角度看，还可以将“灰”的 含义加以引申( 见表2 3 1 ) 表2 3 1“灰”概念引申 2 4 灰色系统基本原理与主要内容 在灰色系统理论的创立和发展过程中，邓聚龙教授发现并提炼出灰色系统的基本原理。 公理2 4 1 ( 差异信息原理)“差异”是信息、凡信息必有差异。 我们说事物a 不同于事物b ，即畲有事物a 相对于事物b 之特殊性的有关信息。客观 世界中万事万物之间的“差异”为我们提供了认识世界的基本信息。 信息i 改变了我们对某一复杂事物的认识和或看法，信息i 与人们对该事物的原认识 信息有差异。科学研究中的重大突破为人们提供了认识世界、改造世界的重要信息，这些 信息与原来的信息必有差异。信息i 的信息含量越大，它与原信息的差异就越大。 公理2 4 2 ( 解的非难一性原理) 信息不完全、不确定的解是非唯一的。 “解的非唯一性原理”在决策上的体现是灰靶思想。灰靶是目标非唯一与目标可约束 的统一。比如升学填报志愿，一个认定了“非某校不上”的考生，如果考分不具有绝对优 势，其愿望很可能落空。相同条件对于愿意退而求其“次”，多目标、多选择的考生，其升 学的机会更多。 9 贾凌云：人口预测的灰色增量模型及其应用 “解的非唯一性原理”也是目标可接近、信息可补充、方案可完善、关系可协调、思 维可多向、人事可深化、途径可优化的具体体现。在面对多种可能的解时，能够通过定性 分析、补充信息，确定出一个或几个满意解。因此，“非唯一性”的求解途径是定性分析与 定量分析相结合的求解途径。 公理2 4 3 ( 最少信息原理)灰色系统理论的特点是充分开发利用已占有的“最少信 息”。 “最少信息原理”是“少”与“多”的辩证统一，灰色系统理论的特点是研究“小样 本”、“贫信息”不确定性问题。其立足点是“有限信息空间”，“最少信息”是灰色系统基 本原则。所能获得的信息“量”是判别“灰”与“非灰”的分水岭，充分开发利用己占有 的“最少信息”是灰色系统理论解决问题的基本思路。 公理2 4 4 ( 认知根据原理) 信息是认知的根据。 认知必须以信息为依据，没有信息，无以认知。以完全、确定的信息为根据，可以获 得完全确定的认知，以不完全、不确定的信息为根据，只能得到不完全、不确定的灰认知。 公理2 4 5 ( 新信息优先原理) 新信息对认知的作用大于老信息。 “新信息优先原理”是灰色系统理论的信息观，赋予新信息较大的权重可以提高灰色 建模、灰色预测、灰色分析、灰色评估、灰色决策等的功效。“新陈代谢”模型体现了“新 信息优先原理”。新信息的补充为灰元白化提供了科学依据。“新信息优先原理”是信息的 时效性的具体体现。 公理2 。4 6 ( 灰性不灭原理)“信息不完全”( 灰) 是绝对的。 信息不完全、不确定具有普遍性。信息完全是相对的、暂时的。原有的不确定性消失， 新的不确定性很快出现。人类对客观世界的认识，通过信息的不断补充而一次又一次的升 华。信息无穷尽，认知无穷尽，灰性永不灭。 灰色系统理论经过2 0 年的发展，现已基本建立起- - 1 7 新兴学科的结构体系。其主要内 容包括以灰色代数系统、灰色方程、灰色矩阵等为基础的理论体系，以灰色序列生成为基 础的方法体系，以灰色关联空间为依托的分析体系，以灰色模型( g m ) 为核心的模型体系， 以系统分析、评估、建模、预测、决策、控制、优化为主体的技术体系。 灰色代数系统、灰色矩阵、灰色方程等是灰色系统理论的基础，从学科体系自身的优 美、完善出发，这里有许多问题值得进一步深入研究。灰色系统分析除灰色关联分析外， 还包括灰色聚类和灰色统计评估等方面的内容。 灰色模型按照五步建模思想构建，通过灰色生成或序列算子的作用弱化随机性，挖掘 1 0 贾凌云：人e l 预测的灰色增量模型及其应用 潜在的规律，经过差分方程与微分方程之间的互换实现了利用离散的数据序列建立连续的 动态微分方程的新飞跃。 灰色预测是基于g m 模型作出的定量预测，按照其功能和特征可分为数列预测、区间 预测、灾变预测、季节性灾害预测、波形预铡和系统预测等几种类型。 灰色组合模型包括灰色经济计量学模型( g e ) 、灰色生产函数模型( g - c _ d ) 、灰色马尔 可夫模型( g 旧、灰色时序组合模型等。 灰色决策包括灰靶决策、灰色关联决策、灰色统计、聚类决策、灰色局势决策和灰色 层次决策等。 灰色优化技术包括灰色线性规划、灰色整数规划和灰色动态规戈等。 灰色投入产出则是以灰色投入产出优化模型为核心的方法体系。 灰色控制的主要内容包括本征性灰色系统的控制问题和以灰色系统方法为主构成的控 制，如灰色关联控制和o m o ，1 ) 预测控制等。 2 5 灰色预测模型 2 5 1 五步建模思想 研究一个系统，一般应首先建立系统的数学模型，进而对系统的整体功能、协调功能 以及系统各因素之间的关联关系、动态关系进行具体的量化研究。这种研究必须以定性分 析为先导，定量与定性紧密结合。系统模型的建立一般要经历思想开发、因素分析、量 化、动态化、优化五个步骤，故称为五步建模。 第一步：开发思想，形成概念，通过定性分析、研究，明确研究的方向、目标、途径、 措施，并将结果用准确简练的语言加以表达，这便是语言模型。 第二步：对语言模型中的因素及各因素之间的关系进行剖析，找出影响事物发展的前 因、后果。 第三步：对各环节的因果关系进行量化研究，初步得出低层次的概略量化关系，即为 量化模型。 第四步：进一步收集各环节输入数据和输出数据，利用所得数据序列，建立动态g m 模型，即动态模型。 动态模型是高层次的量化模型，它更为深刻地揭示出输入与输出之间的数量关系或转 换规律，是系统分析、优化的基础。 第五步：对动态模型进行系统研究和分析，通过结构、机理、参数的调整，进行系统 至堡至：垒曼薹型塑垄垦望曼竖型墨薹皇旦一 重组，达到优化配置、改善系统动态品质的目的。这样得到的模型称之为优化模型。 五步建模的全过程，是在五个不同阶段建立五种模型的过程： 语言模型网络模型 量化模型斗动态模型优化模型 在建模过程中，要不断地将下一阶段中所得的结果回馈，经过多次循环往复，使整个 模型逐步趋于完善。 2 5 2o m ( 1 ，1 ) 模型的一般过程 1 累加生成。设y o 为原始序列 z ( o = x ( o ( 1 xx ( o ( 2 ) ，x o ( n ) ， 对z ( o 进行一次累加生成，即1 - a g o ( a c c u m u l a t i n gg e n e r a t i o no p e r a t o r ) ，得生成序列 ( 1 ) = e x ( ”( 1 ) ，x ( 1 ( 2 ) ，x 1 ) ( n ) ， 其中，x o ) ( t ) = x 。( f ) ，k = l ，2 ，”。 2 建模。由置( 1 构造背景值序列 z ( 1 ) = 沙( 2 ) ，z 1 ( 3 ) ，z 1 ( m ) 其中z ( 1 ) ( 七) - 口x ( 1 ) ( 七一1 ) + ( 1 一口) x 1 ( 七) ， k = 2 ，3 ，玎。一般取口= 0 5 建立自化 方程( 影子方程) 为 丛+ 戤( 1 ) ：o ， 一+ 戤、7 2 d t 称之为g m ( 1 ，1 ) 模型的原始形式。这里，符号g m ( 1 ，1 ) 的含义如下： gm( 1 ，1 ) ffff g r e y m o d e li 阶方程 1 个变量 ( 灰色) ( 模型) 将上式离散化，微分变差分，得到g m ( i ，1 ) 灰微分方程如下： x ( ( _ j ) + c 踞1 ( _ j ) = b 称之为g m ( 1 ，1 ) 模型的基本形式。其中口，b 为待定系数，分别称之为发展系数和灰色作用 量，的有效区间是( 一2 ，2 ) 。 3 求解参数。应用最小二乘法可经下式求得： 贾凌云：人口预测的灰色增量模型及其应用 盎= ( 盯，6 ) 7 = ( b 7 四) 一b 7 e 其中， b ； 一1 2 ( x 1 ( n 一1 ) + x 1 ( 月) ) ， e = i x o ( 2 ) ，( 3 ) ，x o ( n ) 实际灰色建模中，系统的原始序列数据不一定全部用来建模，不同维数( 长度) 序列建 模，所得参数口，b 的值是不一样的，因而模型的预测效果也不同，它们构成一个预测灰区 间。发展系数a 反映系统发展态势，根据灰色理论，当a 为负值时，其绝对值越大，系统 发展就越快；反之则越慢。灰色作用量b 是从背景值中挖掘出来的，它反映数据变化的关 系，其确切内涵是灰的。灰色作用量是内涵外延化的具体体现，它的存在是区别灰色建模 与一般输入输出建模( 黑箱建模) 的分水岭，也是区别灰色系统观点与灰箱观点的重要标志。 4 建立预测公式 5 模型检验 为确保所建灰色模型有较高的精度应用于预测实践，一般需按下述步骤进行检验 ( 1 ) 求出x 0 1 ) 与i 。 ) 之残差p ( 七) 、相对误差趣和平均相对误差五： p ( 七) = x o ( 七) 一量o ( 七) ， ( 2 ) 求出原始数据平均值f ，残差平均值虿 i ：土主川_ 】 ) 百 1 0 0 ，五：三争。 竹智 ( 3 ) 求出原始数据方差与残差方差霹的均方差比值c 和小误差概率p 寄= 吉扩埘，霹= 击扩b 崩 c = j ：丑，p = p 难。 ) 一f i o 6 7 4 5 s 1 ) 。 ” q 0 枷帕 + d 刁 0 u 2 2 一 一 6 一口 + 妁 “ i 它手 、j 一 6 一d 卜 一 1 、， 斗0 后 吖 弘 i | = d d + + ” x x ，、l 。m 上 = 一g 3 贾凌云c 人口预测的灰色增量模型及其应用 ( 4 ) 求x o ) 与i ( o ) 的绝对关联度，。 通常e ( k ) 、赴、c 值越小，y 、p 值越大，则模型精度越好- 若 0 0 1 且 趣 0 9 0 则模型精度为一级。根据灰色系统理论，当发 展系数o 3 时，1 步预测精度可在9 8 p a 上，2 - - 5 步预测精度可在9 7 p al - ：当 o 3 n 时，称x ( o ( t ) 为模型预测值。 蜘枷 一蜘 贾凌云：人口