（机械制造及其自动化专业论文）数字化齿面的展成方法研究.pdf

华中科技大学硕士学位论文 摘要 随着齿轮技术的发展，常常要面对加工以离散形式表达齿面情形。数字化齿面的 展成方法研究就是为适应这一现实需求而提出来的。其实质是共轭曲面的第五类问题， 即由已知的数字化齿面和已知的以解析表达式表达的刀具曲面，来研究两者之间的共 ：i j 。- 一 轭运动。 数字化曲面法矢是数字化曲面局部特征的重要参数。本文采用累加弦长三次样条 参数曲线，通过求解离散点处两个方向的切矢，求出该离散点的法矢。本方法与传统 的用样条曲面的方法求数字化曲面法矢的方法不同，对于有限离散点处的法矢求解简 单实用。数字化曲面法矢求解为数字化齿面展成方法研究提供了必需的条件。 通过应用基本的共轭曲面原理，提出针对数字化齿面的展成加工方法，得到数字 化齿面展成加工的运动模型。并以二维数字化齿面和三维数字化齿面展成加工为实例， 通过计算，获得了实际展成加工中的加工参数，以及实际展成加工的齿面。 利用计算机图形技术及动画技术，以o p e n g l 图形库为开发工具，开发出三维磨 齿加工仿真系统。该系统具有直观地观察数字化齿面和刀具的相互运动的功能。 本文在前人的研究基础上，以及齿轮自身的几何特性和磨齿的加工特性的基础上， 提出了基于实体的布尔运算和基于图像的布尔运算。 数字化齿面的展成方法研究对于完善齿面加工理论，实现齿面加工c a d c a m 都 具有重要的理论价值和应用价值。) 卢、 关键字：共轭曲面 展成方法 数字化齿面：i 墓) 华中科技大学硕士学位论文 a b s t r a c t w i t ht h ed e v e l o p m e n to ft h et e c h n o l o g yo ft h eg e a r w eo f t e nf a c es u c hs i t u a t i o nt h a t w em u s tm a c h i n et h eg e a rs u r f a c e st h a tp r e s e n t e db yd i s c r e t ef o r m t h er e s e a r c ho n g e n e r a t i n gm e t h o d o f d i g i t a ls u r f a c e si sb r o u l g h tu p t om e e ts u c h p r a c t i c a ln e e d s i t se s s e n c e i st h ef i f t ha s p e c to ft h et h e o r yo f c o n j u g a t es u r f a c e s ，t h a ti st os a y ，t or e v e a lt h e r e l a t i o no f t h ec o n j u g a t em o t i o n sb e t w e e nt h ek n o w nc u t t e rs u r f a c e st h a tp r e s e n t e db yt h ea n a l y t i c a l e x p r e s s i o na n d t h ek n o w n d i g i t a lg e a t s u r f a c e s t h a tp r e s e n t e d b y d i s c r e t ep o i n t s n o r m a lv e c t o ri sa ni m p o r t a n tp a r a m e t e ro ft h el o c a lc h a r a c t e r i s t i c so fd j 【g i t a ls u r f a c e s t h i sp a d e rp r e s e n t st h es o l u t i o no fn o r m a lv e c t o rb yt h em e t h o do ft h ea c c u m u l a t i v e h y p o t e n u s et r i s p l i n ec u r v e f i r s t l v t w od i r e c t i o n a lt a n g e n tv e c t o r so f d i s c r e t ep o i n t sa r e c a l c u l a t e d ，a n dt h e nt h en o r m a lv e c t o ro fd i s c r e t ep o i n t sc a nb ec a l c u l a t e d c o m p a r e dw i t h t h ec o n v e n t i o n a ls p l i n es u r f a c e sm e t h o do f c a l c u l a t i n g o ft h es u r f a c e sn o r m a lv e c t o ro f d i 西t a ts u r f a c e sp r e s e n t e db yd i s c r e t ep o i n t s ，s u c hm e t h o di ss i m p l ea n dp r a c t i c a lt os o l v et h e n o r m a lv e c t o ro ft h ef i n i t ed i s c r e t ep o i n t s t h es o l u t i o no fn o r m a lv e c t o rp r o v i d e sn e c e s s a r y c o n d i t i o nt ot h eg e n e r a t i n gm e t h o do fd i g i t a lt o o t hs u r f a c e s b y t h ea i do ft h et h e o r yo f c o n j u g a t es u r f a c e s ，t h i sp a p e rp u t sf o r w a r d t h eg e n e r a t i n g m e t h o do f d i g i t a lt o o t hs u r f a c e sa n d a t t a i n st h em o t i o nm o d e lo ft h eg e n e r a t i n gd i g i t a l s u r f a c e s f m a l l y ，t a k i n gt h eg e n e r a t i n g t w o d i m e n s i o n a la n dt h r e e d i m e n s i o n a ld i g i t a lt o o t h s u r f a c e sa sa ne x a m p l e ，w eh a v et h em a c h i n i n gp a r a m e t e r sa n dt h ep r a c t i c a lt o o t hs u r f a c e s b yt h em e a n s o ft h es i m u l a t i o na n dc a l c u l a t i o n w i t hc o m p u t e rs i m u l a t e d t e c h n o l o g ya n dc o m p u t e ra n i m a t e dt e c h n o l o g y ，w ed e v e l o p t h es y s t e mo ft h r e e d i m e n s i o n a lg r i n d i n g g e a rb yu s i n go p e n g lg r a p h i c sl i b r a r y s u c h s y s t e mh a sf u n c t i o nt h a t w ec a no b s e r v et h em o t i o n sb e t w e e nt h ed i g i t a lg e a rs u r f a c e s a n dc u t t e rd i r e c t l y t h i sp a p e r p r e s e n t st h es u b t r a c t i n g o fb o o l e a n o p e r a t i o nb a s e do n s o l i da n dt h e s u b t r a c t i n go f b o o l e a n o p e r a t i o n b a s e do n i m a g eb ys t u d y i n gt h er e s u l to fp r e d e c e s s o r ，a n d t h es p e c i a lc h a r a c t e r i s t i c so f g e a r s u r f a c e sa n dt h es p e c i a lc h a r a c t e r i s t i c so f g e a rg r i n d i n g t h er e s e a r c ho n g e n e r a t i n gm e t h o d o f d i g i t a lg e a r s u r f a c e sh a st h ei m p o r t a n t t h e o r e t i c a la n d p r a c t i c a lv a l u ei np e r f e c t i n gt h et h e o r y o f g e a rm a c h i n i n g ，a n dr e a l i z i n gt h e c a d c a mo ft h eg e a rm a c h i n i n g k e yw o r d s ：c o n j u g a t es u r f a c e sg e n e r a t i n gm e t h o d d i g i t a lg e a r s u r f a c e ss i m u l a t i o n l i 华中科技大学硕士学位论文 1 1 课题来源 1 绪论 本课题来源于国家自然科学基金项目一数字化蓝面的展成方法研究。 1 2 课题提出 目8 0 年代未期，“先进制造技术”这一概念经美国率先提出后，立即得到各国的 重视，我国也将先进制造技术的发展列入“九五”国家重点科技发展领域之一。我国 近几十年来，通过技术改造和引进先进制造技术，制造水平有了长足进步，但与西方 发达国家的制造水平差距还很大，因此需要在已有的条件水平下，不断研究新的制造 技术，来提高我国的制造水平。数字化齿面的展成方法研究就是适应这种需求而提出 来的，它是针对那些在生产实际中解析表达式未知或非解析表达的齿面进行精加工而 提出来的，有着重大的理论及实践意义1 1 1 。 1 3 课题研究目的和意义 传统的齿面j 口7 - 方法分为成形法和展成法，其加工理论是基于几何解析的，其共 轭展成运动是基于连续齿面的。展成运动主要由机械传动机构实现，不具备局部运动 控制能力，对于修形齿面的加工必须采用特制刀具，更无法对数字化设计的齿面和测 量重构的数字化齿面加工。因此，迫切需要研究基于数字化的齿面展成理论和方法， 实现数字化设计的齿面和测量重构的数字化齿面加工。目前还未见有关数字化曲面共 轭展成加工研究报道，国外或因技术原因亦未公开。 由于工艺系统的几何误差和力、热等因素导致的误差存在，实际加工出的齿面与 理想齿面必定存在一定的误差。提高机床精度是直接有效的方法，但是单纯提高机床， 刀具精度，效果有限且代价高，在达到一定的精度后就难以提高。在机床几何精度方 面，采取硬补偿的方法，在一定范围能取得一定的效果。但是力、热因素的随机性和 快慢变量的交织，使得加工误差问题变得异常复杂。但是，单纯的热平衡法热变形误 差补偿。响应慢、耗能大，而且温度场与热变形误差关系复杂，所以补偿效果不理想。 在特定的工艺条件下，各种误差的综合影响直接反应在加工表面形成的误差，这时的 误差值具有一定的稳定性。这个误差就是加工出的自由齿面相对于解析齿面的差异， 如果对加工的齿面进行测量，通过误差分析、确定补偿策略，即可在) j - c 中进行误差 华中科技大学硕士学位论文 补偿，通过加工原理和补偿方法的突破，可以实现良好的效果。因此，为实现高效， 离精，高柔度的加工，同样需要以基于数字化齿面的展成理论和方法为基础。 此外，齿面仿形加工也是重要的基于数字化齿面数控加工，许多采用引进技术自 行生产的质量不如原装，问题在于核心技术没能掌握，未知齿面难以建立解析关系， 且齿形精度对于运行性能较为敏感，微小差异会产生较大性能变化。由于缺乏数字化 齿面加工技术，使仿制加工也形成困难。 为此，本文提出基于数字化齿面的展成理论和方法的研究。若本研究取得突破， 可为高质量的齿轮加工提供技术基础，其结果亦可直接用于未知齿面的仿形加工，形 成完整的数字化加工技术，并为进一步的齿轮c a d c m 集成和数字化制造提供技术 基础。 1 4 相关技术的国内外发展现状及趋势 伴随着二十一世纪的到来，机械工程科学技术的发展更加迅猛，世界范围的先进 制造技术的竞争日趋激烈，高效，高质量，高柔度，清洁地制造产品，进入交叉化，综 合化，信息化，集成化，自动化，智能化，数字化，敏捷化，精密化发展的历史时期。 齿轮是机械传动的基础元件，其制造质量直接影响机器设备的精度，效率，噪声和寿命。 美，日等发达国家对齿轮制造技术非常重视，将其作为制造技术中的关键，并认为：一 个国家的制造水平在汽车工业，而汽车工业技术水平则反映在齿轮制造。为提高齿轮传 动性能和寿命，实现高速，重载，高效，低噪，需考虑运行中的力，热变形，基于理想 刚体的标准齿形已不能满足要求，为此，需设计新型齿廓或对现有标准齿廓加以修形， 以适应实际运行中的啮合变化，满足高质量的传动要求。c n 技术，有限元和边界元分 析，计算机模拟和数值仿真，优化设计的技术等应用，为齿形的创新优化设计提供了手 段。以数字化离散方式表达的新型齿廓或修形齿廓的设计，将成为现代设计理论和方法 的一个重要发展方向。 近几十年来在生产实践中出现了许多不能用数学表达式描述的曲面【6 q “。如外形曲 面包含许多剧烈变化曲面的雕塑曲面、基于飞机、车身表面的自由曲面、以及由众多简 单曲面拼接而成的复杂曲面以及通过优化设计和坐标机测量所得到的离散值表达的曲 面。对于这些数字化曲面的加工不能通过传统加工方法实现，必须通过数控技术、计算 机辅助几何设计、计算几何和计算方法、离散数学等方法加以解决。数字化曲面加工实 现直接关系到国家的制造业水平提高以及缩短与先进国家的技术差距，因而迫切需要研 究基于数字化曲面的加工方法与理论。 目前对以离散表达的数字化曲面的加工多采用多轴联动的数控铣削加工【2 7 枷j 。本 2 华中科技大学硕士学位论文 方法以解析的共轭曲面原理和数字化技术为理论基础，研究被加工数字化曲面与刀具形 成面的展成共轭运动关系，目前尚未见有此研究成果报道。其理论基础与核心是数字化 共轭曲面原理。 基于解析的传统共轭曲面原理的研究在5 0 年代中期就开始了，理论体系日臻完 善。共轭曲面原理研究的对象是几何图形和共扼运动，它研究在机械加工和机械传动 这种具体条件下，几何图形和共轭运动之间的对立统一，以及相互转换。它的任务是 揭示共轭几何图形与共轭运动之间的内在联系以及阐述这些关系的具体应用。在实际 运用中其表现为五类共轭啦面( 曲率) 的求懈问题l 矧。多年来，国内外学者在共轭曲 面原理方面作了许多研究工作【2 4 “。他们运用多种数学方法，对成对几何图形与成对 运动间的内在联系和相互转换规律作了深入研究。其典型理论有研究成对弹性体曲面 几何图形及其运动的弹性共轭曲面原理：用于解决成对弹性齿轮的运动的相互联系和 相互转换规律，其突破了传统的理论的刚体假设规范及连续性假定。离散解析共轭曲 面原理：用于解决在己知一个共轭曲面和其运动求其与之共轭的共轭曲面的所存在大 量的人为公式推导和计算，通过计算机的离散数值处理能力，全部过程转换为计算机 自适应处理的，其突破了大量的推导和计算需要通过人为进行。共轭曲面数字仿真原 理：突破两曲面必须连续相切地接触，将所有问题转化为标杆函数的求解。而数字化 共轭曲面原理是研究一对由离散点集描述的数字化曲面之间的联系与运动和其相互转 化规律，它突破了传统共轭曲面理论所要求的两成对共轭曲面必须都是解析曲面的限 制。数字化共轭曲面原理是脱胎于传统的解析理论，利用现代数值方法，离散数学以 及计算机对数据离散处理的能力，将宏观连续曲面共轭问题转化为微观离散点共轭问 题。 1 5 技术方案 在数字化曲面共轭理论研究方面，必须以现有基于解析共轭曲面原理为基础，将连 续问题转换为离散问题，达到连续与离散的统一。其实质是要对传统的解析共轭曲面原 理进行数字化离散改造，为了使传统的解析理论可以用于数字化曲面，必须求出离散点 的微观特性，主要是数字化曲面离散点法矢求解，需要通过数值分析、计算几何、离散 数学等数学方法加以解决。因此数字化共轭曲面理论是要解决离散点的微观特性【1 _ 的问 题。通常数字化曲面给出的形式可分为两类：1 ) 给出数字化曲面离散点的位矢和法矢。 2 ) 只给出数字化曲面离散点的位矢，其中又包括给出的是散乱点的情况和给出的是有 序拓朴的矩性形列阵点的情况。对于第二种情况由于法矢是未知的，因而先要求出离散 点的法矢。对于散乱点求法矢可用三角形法等方法求得【1 8 - 2 2 】，本文主要对矩形拓朴阵 3 华中科技大学硕士学位论文 列离散点的法矢进行求解。然后利用曲面共轭的三个条件：即在固定坐标系下数字化睦 面的一个离散点与解析的刀具面上的一点重合；在固定坐标系下数字化曲面一个离散点 的法矢与解析刀具面上的对应一点的法矢共线反向：数字化曲面的一个离散点的法矢与 数字化曲面的一个离散点和解析的刀具面上的对应一点的相对速度相垂直。这样求出数 字化曲面的一个离散点所确定的解析的刀具面上的对应一点的位矢，以及数字化曲面的 一个离散点与解析的刀具面上的对应一点的相互共轭运动，和数字化曲面的一个离散点 的速度与解析的刀具面上的对应一点的速度。最后应用数值分析的数学方法将离散的共 轭运动插值成连续的运动以完成实际加工中的连续加工运动。 在加工仿真方面，以v i s u a lc + + 6 0 和o p e n g l 图形库为开发工具，利用o p e n g l 三维图形绘制和动画的功能，和v i s u a lc + + 6 0 界面控制功能，来实现磨齿加工中数字 化齿面和刀具之间的相互运动的三维模拟，可实时直观观察已知的数字化齿面与刀具之 间的相互运动以及运动参数的数值变化。实际数控磨齿加工，已知的数字化曲面的最终 形成，是通过刀具切削齿坯，在齿坯上留下的包络面形成的，其实质是研究刀具和齿坯 之间的布尔运算。实现实体被切削效果有两种方式：基于视觉的布尔运算和基于实体的 布尔运算。 1 6 本文的主要研究工作 本学位论文为数字化曲面展成加工提供理论依据、刀位数据和仿真。具体研究工 作主要体现在以下几个方面： ( 1 ) 基于数字化曲面共轭原理的几种共轭曲面( 曲线) 创成方法：为二维数字化 曲面的展成方法研究和三维数字化曲面的展成方法研究提供理论依据和方向； ( 2 ) 二维数字化曲面的展成方法研究：提出二维数字化曲面的切矢的求解：二维 数字化齿面和解析刀具的之间的相互运动的求解。实际展成的连续解析曲面求解； ( 3 ) 三维数字化曲面的展成方法研究：提出三维数字化曲面的法矢的求解；三维 数字化齿面和解析刀具的之间的相互运动的求解。实际展成的连续解析齿面求解； ( 4 ) 数字化齿面展成加工的三维仿真：完成数字化齿面和刀具相互运动的三维动 画仿真；以及基于视觉的布尔运算和基于实体的布尔运算的初步研究； 4 华中科技大学硕士学位论文 2 基于数字化曲面共轭原理的几种共轭曲面( 曲线) 创成方法 21 引言 齿曲面的啮合，劈锥凸轮曲面间的传动，机械加工中刀刃曲面或刀刃曲线与加工 所得的曲面间的关系，旋转发动机转子与壳体轮廓间的对应关系，内齿油泵中内外齿 间的啮合，甚至履带车辆的履带刺与它在松软地面上留下的印迹间的关系等等技术课 题，在外表虽有显著的差别，但撇开其不同的外型，单纯从几何角度加以抽像的话， 那么，将发现这些多种多样的技术课题却具有相同的本质，即他们实质上都体现着同 一种关系一两个曲面相互接触传动的关系，共轭曲面原理就是研究这种关系的内在规 律的一门技术学科。共轭曲面原理的研究对象是几何图形及其共轭运动，它的任务是 研究在机械加工、机械传动条件下共轭几何图形与共轭运动之间的内在联系及相互转 换，在实际应用中则体现为五类共轭曲面的求解问题。 在实际问题中我们往往要加工一些不知到其具体表达式，以离散点的方式来出现 的曲面，如通过三维测量技术提取实体的三维数据而得到一些特殊的曲面，这类曲面 要么有很复杂的解析表达式，要么没有解析表达式，而是由有限的离散点形式来表达。 而传统的共轭曲面原理研究的对象是两个连续的曲面，不能解决这类问题。因此要利 用改造过的共轭曲面的基本原理对这类曲面的加工或创成方法进行研究。 本文主要是利用改造过的共轭曲面第五类问题的基本原理，具体是已知共轭的以 解析方式表达的刀具曲面和以离散方式表达的数字化曲面( 或将有复杂表达式的曲面 离散成数字化曲面) ，求两共轭曲面的相互运动。然后利用求得的共轭运动将实际的 连续的共轭曲面( 菌线) 创成出来。 2 2 共轭曲面基本原理 2 2 1 共轭的三个基本条件1 1 ) 一对共轭点在接触位置时坐标必须重合： - - ( o )- - ( o ) 5 r 2 ； 2 ) 两共轭曲面在共轭接触点处必须相切，为了避免相互干涉，两共轭曲面必 须错开( 见图2 - 1 ) ： 5 华中科技大学硕士学位论文 一；一夏9 图2 - 1 两共轭曲面的实体部份相互错开 2 2 2 共轭曲面研究中的五类问题 3 ) 为了保证两共轭曲 面间保持连续接触传动，在共 轭接触点处，两曲面的相对运 动必须垂直于该点处两曲面 的公共法线； 彳”i ，0 ； ( 1 ) 已知曲面，及共轭运动u ，v ：，求解共轭曲面，与啮合轨迹图形z 。啮合 传动中求解共轭曲面，啮合轨迹和机械加工中常遇到此类问题。 ( 2 ) 已知啮合轨迹图形z ，及共轭运动u ，v ，求解共轭曲面，与z ，。机械传动 中求解传动副几何图形时常遇到此类问题。 ( 3 ) 已知共轭曲面，z ，及两共轭运动之一，求解啮合轨迹图形。与另一个 共轭运动。在对机械传动进行接触状况和传动精度分析以及在测量精密复杂曲面时， 大量遇到此类问题。 ( 4 ) 已知曲面，啮合轨迹图形，与两共轭运动之一。求解共轭曲面，和另 一个共轭运动。在机械加工中确定工具曲面和加工运动轨迹或在控制切削加工所得曲 面的表面粗糙形态时，遇到此类问题。 ( 5 ) 已知共轭曲面三，z ，及啮合轨迹图形z ，。求解共轭运动h ，v z 。在机械加 工中确定加工运动轨迹，包括数控加工的程序编制中大量遇到此类问题。 2 3 基于数字化曲面共轭原理的几种共轭曲面( 曲线) 创成 1 ) 基于单参数点接触的共轭曲面创成： 心筷害念 华中科技大学硕士学位论文 图2 - 2 基于单参数点接触的共轭曲面创成 曲面三：为待创成的曲面，曲面z ，为刀具曲面，共轭运动为单参数a 的相对运动( 见 图2 - 2 ) ；曲面z ，的包络面：求解为： ( 2 1 ) ( 2 2 ) 甘j 0 2 ) 可求得。一“1 ( h ，a ) ；将h l 带x o - 1 ) 得zr - 2 峥： ( u ，a ) ，吃( u ，a ) af i ( v 1 ，a ) ； 当固定a 时r 一2 似) 为一条接触衄线。也就是说当a 固定时：上有一条线上的点满足共 轭条件；a 变动时这一系列的接触曲线形成了；曲面。实际的z ，创成可以将z ，沿一定 方向划分成有限的曲线，当，沿其中一条曲线运动时形成了包络面三：，当沿着这些三 上的有限的曲线运动时，这些有限包络面：就刨成了：。下面讨论当z ，沿三：上一条 曲线运动时，运动参数a 的求解。 沿，一条曲u ：- u 2 ( 心) ，取n 个点并设定，1 个点的法矢已知( 具体的法矢求解见第 四章的相关部份) 。 令0 一x y z 为固定坐标系，0 ，一_ y 。z ，为与已知的解析曲面，( _ ( “。，v 。) ) 固联的坐标 系，0 ：一x 2 y ：z ：为与已知的待刨成的曲面：固联的坐标系，共轭运动- - 4 - t ，1 2 , s ：为 了方便起见将f 。分配给解析曲面，f ，可以为平动也可以为转动；将f ：，s ：分配给曲面 ，可以为平动也可以为转动，s ，可以为平动也可以为转动。f 、，1 2 ，s ：可以根据具体 情况来选定。 各坐标系之间的变换如下： m 。m 。( f 1 ) ；其中巩，为坐标系q 一五y 声。变换到坐标系。一码圮的变换矩阵， m 。( ) 表示m 。是以为变量的函数； 7 0 皇 、l，、， h 口 吨h ，l ， 一h “ ， n ； m q 喜 卯 q 一 墨 (一p 一如一n ，j-，、，l【 华中科技大学硕士学位论文 m 。：= m 。：( f ：，s 2 ) ；其中m 。为坐标系o ：一x 2 y ：z ：变换到坐标系。一掣的变换 阵，m 。：u ：，s ：) 表示m 。是以f ：，s ：为变量的函数； 由共轭曲面的基本原理知，解析曲面。与曲面：上一点 ：，v ：) 必须满足接触相 条件：即i ：乏徊，i 徊；一n 一2 徊； a ) 接触条件( 坐标重合) 即i 。r 一2 。其中云为曲面z ：的一点( “：，v ：) 在d x y z 坐标系的矢量表达：i 为解析曲面三在0 一x y z 坐标系的矢量表达； 铲r t 。m 。，“) i ，v o ； 由 云，m 。：“：，s ：) i 。，v ：) ；知，上式有三个独立的方程： p 爿”； f 。，h ，l z ，s ：) ；0( 2 3 ) ，2 ，1 1 ，1 2 ，s ：) a0( 2 4 ) il ( u 1 ，1 ；1 ，l l ，1 2 ，5 2 ) - 0( 2 5 ) b ) 相切条件( 法矢重合反向) 矿；由慝裟一施 f l ( u 1 ，吒，l l ，1 2 ，s 2 ) 一0( 2 6 ) i l ( u l ，v l ，f 2 ，屯) = 0( 2 7 ) 由共轭条件分析得出的五个独立的方程，未知数有“，h ，1 2 ，s ：；当给定= ：上一点 ( “：，v 2 ) 可唯一解出一组未知数h ，u ，l z ，s ：。即每取出曲面：中曲线的点可求出与之 对应的解析曲面。中一点和该两点到达共轭位置时所需的三个运动量l 。，l ：，s ：这样可 求出曲面，上一条线上n 个点所对应的解析曲面的n 个对应点和离散的n 组三个共 轭运动i i , l ，s ，。 实际共轭运动为连续的，所以必需将离散的共轭运动插值成连续的共轭运动。由 值计算知： 每一个，对应于一个l l ，s ，； 由l z f 2 l ，f 2 z ，k 有- l ，i t 2 ，k ； 由l z = 1 2 1 ，l z z ，屯 有s 2 = s 2 1 ，岛2 ，s 2 ，| ； 故可用基于i 型边界条件的三次样条插值法插值，边界条件可由五点公式求出 矢【3 4 】： 华中科技大学硕士学位论文 这样即有= 他) ；s ：= 5 ：( f ：) 。 令z ，。c o n s a ( c o n s ；勾常量) ( a 常为时间参数) ； 有f 。= 1 1 ( n j + 口) z i i ( a ) ； s 2 一s 2 ( c o n s 。a ) ；s 2 ) 这样即可求出为形成：时的以a 为单参数的共轭运动。 2 ) 基于单参数线接触的共轭曲面创成： 图2 - 3 基于单参数线接触的共轭曲面创成 在，上选取一个不是接触线的曲线l ，在上面选取一点k ，每取一个k ，就在曲 面：上形成一条曲面z ，与：接触线，当点k 沿曲线工变动时，z ：上的接触线就形成了 创成曲面，( 见图2 3 ) 。和基于单参数点接触共轭曲面的刨成方法不同的是有一条线 上的一系列点都满足共轭条件，并且有相同的共轭运动f 1 f ：，s ：，也就是说只要求出接 触线中一个点k 的共轭运动，l ，s ，就可以了； 实际曲面，的创成，可假定在，上取足够多的有限个点，就可由这些离散点确定 ，f ：，s ：；由于有一些点的? 。，2 ：，j 2 相同( 可取一个阀值e ，当 一j 扭e ；l 乞一f ：f 忙口；i s 。一s ：ji se ；可以确定第i 点和第j 点在一条接触线上，即他们 有相同的运动参数) ；因此要去除重合的，f ：，s ：，最后将排序后的离散的，f ：，s ：插值： 这样即有= ( f 2 ) ；s ：- s ：( 1 2 ) 令z ，；c o n s - a ( c o n s 为常量) ( q 常为时间参数) ； 有2 l ；f l ( c o n s a ) ；2 l ( a ) ； s 2 = s 2 ( c o n s a ) - s 2 ) 9 华中科技大学硕士学位论文 这样即可求出为形成，时的以口为单参数的共轭运动。 3 ) 基于双参数点接触的共轭曲面创成： 设刀具曲面为z ，相对，作独立参数为口，声的双自由度运动，包络出2 ，则相对 运动可表示为v 1 2 ；忑+ 礓( 忑，礓分别是由a ，声引起的相互独立的相对运动速度) 。 要创成三：时，可以先令z ，按自由度a 作相对运动v 品，包络出z 。，。也叫作产形面， 再让。做余下的运动谣，则z 。的包络面就是：，也就是说，可以先由。的方程及条 件式i 瓦；o 解1 t i 曲面产形面。，再由。的方程及条件式i v 墨一0 解出：( 见图 2 4 ) 。z ：可表达为t ： ，p ) ，v ： ，卢) ) ，r 2 ，卢) - 在实际双自由度的加工中可以先固定p ，让，做参数c t 单自由度的共轭运动，形 成一个产形面，当卢取有限个值时，这些有限个产形面变交形成一个贴近：的曲面， 称之为实际双自由度共轭曲面 3 3 1 。它有三对共轭曲面：与，点接触，三：与。线接 触，z ，与z ，线接触。 7 、 。 8 图2 - 4 基于双参数点接触的共轭曲面创成 4 ) 基于单参数点接触的平面共轭曲线创成 2 l o f 华中科技大学硕士学位论文 图2 - 5 基于单参数点接触的平面共轭曲线刨成 已知曲线f ，( i ( f ) ) 和曲线f ：( 见图2 - 5 ) 以及他们之间相互运动单参数a a 由共轭条件知： lr 2 一 彳2 ，( a ) r 1 0 ) lr 2 ( ，a ) ； f b r 2 ，一o ； 或可写成 x 2 。屯( f ，a ) ； y 2 罱y 2 ( f ，a ) ； 堕监一堕亟，o ： a rao ca d 越 最后简化成侥：黧怒：搿勰；a 当a 为固定值时，形成了曲线r ，上的点，当a 变动时，这些点就形成了r ，曲线。 实际a 的求取如下： 已知解析曲线r 。( ) ，一，k ) ) 和曲线r ：上 n 个点 ( 【仅，y ：) l 也，y ：，) ，o 。，y 。) ，q ：。，y ：。) 】) ，并设定这n 个点的切矢已知( 具体的求法见 第三章的相关部份) ，来求他们之间相互运动关系。 0 一x y 为固定坐标系，0 ，一一y 。为与已知的解析曲线固联的坐标系，0 2 一工：y 2 为与已 知的数字化曲线固联的坐标系，共轭运动有两个，f 2 为了方便起见将f 。分配给解析曲 线，可以为平动也可以为转动；将，：分配给数字化曲线，：可以为平动也可以为转 动。f 。，l 。可以根据具体情况来选定。 各坐标系之间的变换如下： m 。= 帆。“) ；其中m 。为坐标系o l 一_ y 1 变换到坐标系0 一x y 的变换矩阵， m 。( f 1 ) 表示m o 。是以为变量的函数： m ( 1 2 一m 0 2 ( 2 ) ；其中m 0 2 为坐标系0 2 一x z y 2 变换到坐标系0 一x y 的变换矩阵， 华中科技大学硕士学位论文 m 。( z ：) 表示m 。：是以? ：为变量的函数； 数字化曲线的一点p 2 经过运动1 2 要与解析曲线的一点p 。经过运动后成为共轭点 必须满足共轭条件中的接触相切条件；即满足在0 一x y 坐标系中数字化曲线一点p ，与 其对应的解析曲线的一点p ，坐标重合，切线共线。 a ) 坐标重合 即；，“。厂2 - - ( o ) ；其中云。为数字化曲线的一点p ：在d 一叫坐标系的表达；。1 为解 析曲线一点p l 在0 一叫坐标系的表达： 鼍誉删“爿。； 上式有两个独立的方程： f 五“，：) a0( 2 - l o ) i ，2 ，1 2 ) = 0( 2 - 1 1 ) b ) 切线共线 呱一；由屡：麓警一一一： ，3 “，f 。，1 2 ) ；0( 2 - 1 2 ) 由共轭条件分析得出的三个独立方程，未知数有，l z ，f 。；由此可唯一解出未知数 x 11 。，f ：。即每取出曲线r ：的一点可求出与之对应的解析曲线r 1 中点和该两点到达共 轭位置时所需的两个离散运动量；这样可求出曲线r 2 所有点所对应的解析曲线r l 的点 和两个离散共轭运动量。 c ) 共轭运动分析 设v 1 为解析曲线f 。一点p 。在d - x y 坐标系的速度；屹为曲线f 。的一点p ：在d 一叫 坐标系的速度；v t 2 为解析曲线r ，一点p 1 相对曲线f 2 的一点p ：的相对速度； 由相对速度的方向与重合点的切线共线知： 设v - 2 昌u y 2 鲁g ( ，z2 x + ，l2 ) ，； 则象铹咄令象叫删 j 2 ) ； 前面的五，i i ，1 2 都已求出，故可求出p 。 实际的加工是连续的，所以必须将离散的共轭运动插值成连续的共轭运动。 由二f 每一个乞对应于每一个， 1 2 华中科技大学硕士学位论文 = = 岩= = = = = = = = = = = = = ；= = ；= = = = = = = = ；= = = ；= ；= = = = = = = = ；= = = = = = = = = = = = 一f - , = = = = = = = = = = = = = = = = = ；= = = = = = = ；= 皇= 由于屯；1 2 p ，：屯。有= ，：i i 。及p 。= d l l 。d 1 2 ，p 2 = 以：d 1 2 ：p n = 巩讲z 。 故已知给定n 个插值点乞。f 2 ，1 2 2 z ：。及其对应的函数；、，：。和一阶导数值 p 。= d f l ，d f ：。，p ：；d ：d 1 2 ：，以= d l ，。d f 2 。，可用埃尔米特插值求得： 1 2 = s a ( 5 为常量) ( a 通常为时间的参数) ； f 1 曩f l u 2 ) ；f ，( s + a ) 叠( c c ) ； 这样就可求出基于单参数点接触的平面共轭曲线创成的单参数； 2 4 本章小结 本章利用共轭曲面的基本原理对曲面( 曲线) 刨成的方法和过程做了完备的论述。 常用到的曲面加工就是曲面创成的一个典型的实例，曲面的加工就是利用刀具曲面包 络出来待力a - t - 的曲面，有先形成点、点形成线、线形成面、有线形成面等方法，对常 用到的四种曲面( 曲线) 的创成方法：1 ) 基于单参数点接触的共轭曲面刨成；2 ) 基 于单参数线接触的共轭曲面创成；3 ) 基于双参数点接触的共轭曲面创成；4 ) 基于单 参数点接触的平面共轭曲线创成。该方法不仅可用于解析曲面( 曲线) 的加工，也可 用于离散点表达的数字化曲面( 曲面) 的加工。该方法为后面的两章一二维数字化曲 面展成方法和三维数字化曲面展成方法奠定了必要的理论方法和依据。后面的两章是 该章部份具体的实现。 华中科技大学硕士学位论文 3 1 引言 3 二维数字化齿面的展成方法 随着齿轮技术以及现代测量技术的发展，我们在实际二维齿面的展成加工中，通 常遇到以离散点形式表达的数字化齿面。其来源通常有三类 3 5 - 3 6 1 ：a 由展成齿面方程 生成；b 由仿真程序给出；c 由坐标测量机测得。如何由数字化齿面点直接生成加工中的 加工参数，并形成通用的二维数字化齿面展成加工理论，传统的加工方法已不能满足 要求，因此迫切需要对这类加工问题进行研究。二维数字化齿面的展成方法研究就是 为了解决这类问题而提出来的，其实质是由已知的数字化齿面和已知的以解析表达式 表达j 丁具形成面，来研究两者之间的共轭运动。本章利用共轭曲面原理，提出针对实 际加： 的数字化齿面的展成加工方法，并以二维的数字化渐开线齿面和二维非标准数 字化齿面的展成加工为实例，通过仿真计算，获得了实际展成加工中的加工参数，以 及实际所展成加工出的齿面。该方法对于完善齿面加工理论，并应用于实际齿面的滚 齿、插齿、磨齿等加工工艺，都具有重要的理论价值和应用价值。 3 2 数字化曲线切矢求解 在实际工程中我们常遇到以离散点表达的蓝线，曲线的切矢是曲线重要局部参量 之一，而传统的基于解析表达公式的求解已不能解决，下面将研究如何求得组成数字 化曲线的离散点处切矢的求解： 给定n 个节点c 五c - 1 ，其函数值为y f ；， ) ( f a 0 ，1 ，n 1 ) ；及两端点上的 一阶导数值j 曹2 厂! x ，o ) ，利用三次样条函数计算各节点上的导数。 i n 一。一，阮一。) j y ? 2 ，? 。)可由五点公式求出： 1 ) ，。( x o 1 ) 先做四次插值函数p 。0 ) ： 1 4 华中科技大学硕士学位论文 p ； ) ；善鼍擎每譬型燃( x o ) ( x o 一葺) ( x o x 2 ) ( 一x 3 ) ( 一x 。) + 莘蓑高芸蓑篙( 一) ，屯) 一) “一) 7 -篆畿型粼f(xz)x2x o ) ( x - x d ( x ：- x 4 )( 一 ：一而) ( z ： + 毒蓑剖譬案心一) 0 厂一) ( b 一屯) 瓴一) 7 + 景x 4x 畿o ) ( x 蒜黼- x d ( x , 删( 一 。一) 瓴 一屯) n o ) ，印t 猛这样可求出_ ) ：；p ：) ；同理可求出贰- 1 其余n 一2 个节点上的一阶导数值_ y ，( ，= 1 ，n 一2 ) 的公式如下： a 篁o ： b o y o ； j ，工j + l x j , ，一0 ，1 n 一2 ； 中 h 峨哪棚； 卢j1 3 0 一口，) ( _ ) ，一y 卜1 ) 1 1 + a ，( _ y j + 1 一y j ) h ，】，一1 , 2 ，l 一2 ； 旷一+ ( 1 ，) 叫，j - 骖一n - 2 ； 铲旧，卜q 垮廿a 川= 骆一咄 y ，。a y ，+ l + ，j n 一2 ，n 一3 - - 1 ； 3 3 坐标的建立与变换 图3 - 1 为展成二维数字化齿面所建立的坐标系。其中0 ，一x l y 。为与锥面砂轮固联的 坐标系，在初始时刻与。卅一靠) ，。重合，运动时沿负向作平移运动，位移为；0 ：一z ：y ： 是与二维数字化齿面固联的坐标系，在初始时刻与0 x y 重合，运动时作旋转运动， 华中科技大学硕士学位论文 旋转角度为妒：o m x m y 。为辅助固定坐标系，与机床固定坐标系相距a ：0 一石y 为机 床固定坐标系。 x l i t t 1 l _ ? 图3 1 坐标的建立 眠- 。卜。 f 10 口1 m 0 12 mo l 帆l 2 【：。1 j j j 为坐标系0 1 一m 变换到坐标系0 x y 的变换矩阵。 m m 。( - s 0 8 c p zc o s i n c p 2 ：；) 为坐标系叱一x ：y ：变换到坐标系o - x y 的变换矩阵。 华中科技大学硕士学位论文 3 4 刀具形成面的数学模型 j 工i k - ， 一一 一 、 a l 。td 。 一 ，1 - 1 土j 二 图3 - 2 刀具形成面 女工 图3 - 2 为刀具形成面截形，其数学表达式为：y 。= x l t g a + ，( 轨s 5 一口，) ，其斜 率值为t g a 。 刀具形成面上点在固定坐标0 一x y 的坐标为： ( 霉：) 。m m ( 霉) ，即 矗j ：三：； 3 5 二维数字化齿面的描述 鹃o ) ，y 2 0 ) ) 屯j 、 “。 d ： r y 2 图3 - 3 二维数字化齿面 1 7 华中科技大学硕士学位论文 数字化齿面一点( x ( f ) ，y ( f ) ) ( 见图3 - 3 ) 在0 一x y 固定坐标系的坐标为 yx。o：2。=x一2。(；n)妒cos屯9“2，+yy2：(。i)，s。in。cp妒2。 3 6 共轭条件分析 由共轭曲面