（基础数学专业论文）一类四阶非线性波动方程的初值问题.pdf

和 一类四阶非线性波动方程的初值问题 摘要 本文研究如下的初值问题： t k o l t 瞄一眈耐一0 3 t k “= ，( z k b ， 卫r ，t 0 口( 。，0 ) = t ) 0 ( z ) ，v t ( x ，0 ) = 钉1 ( z ) ， z r t 一c 1 弘陆一c 2 t k 甜t = ，( t k ) z ，i t , r ，t 0 口( 为0 ) = 咖0 ) ，仇( z ，0 ) = ( z ) ， 。r ， ( 1 ) ( 2 ) ( 3 ) ( 2 ) 其中a l , 0 , 2 ，o s ，c ，c a 0 为常数，v ( x ，t ) 为未知函数，( s ) 为给定的非线性函 数，( z ) 和u i ( z ) 为给定的初值函数，下标z 和t 分别表示对z 和t 求偏导 数方程( 1 ) 是一非线性波动方程，它是在研究弹性杆中的非线性波时提出的 模型在研究非线性弹性杆中的应变弧波时提出了方程( 3 ) 作变量代换 可将初值问题( 1 ) ，( 2 ) 化为 作变量代换 z = 劢，t = t z 一n 仳一触删一t 正删= 妒( u k “( z ，0 ) = 仳o ( z ) ，t “( z ，0 ) = u l ( x ) 卫= 厄，t = t 可将初值问题( 3 ) ，( 2 ) 化为 “廿一6 t 。砧一t b 耐t = g ( u z k ， u ( z ，0 ) = = o ( z ) ，u t ( x ，0 ) = u l ( x ) i ( 4 ) ( 5 ) ( 6 ) ( 8 ) ( 6 ) 所以本文只研究初值问题( 5 ) ，( 6 ) 和初值问题( 8 ) ，( 6 ) 的整体广义解和整体古典 解的存在性，唯一性以及解的爆破，因为通过代换( 4 ) 和( 7 ) 分别可得到问题 ( 1 ) ，( 2 ) 的结果和问题( 3 ) ，( 2 ) 的结果 本文分四章：第一章为引言；第二章研究四阶非线性波动方程初值问题 ( 5 ) ，( 6 ) 的局部广义解，局部古典解，整体广义解和整体古典解的存在性和唯一 性；第三章研究此初值问题( 5 ) ，( 6 ) 解的爆破；第四章研究问题( 8 ) ，( 6 ) 的整体 广义解，整体古典解和解的爆破主要结果如下： 定理1 假定 ( 1 ) 8 ；，妒c m + 1 ( r ) ，妒( o ) = o ； ( 2 ) u o ( x ) h 5 ( r ) ，u l ( x ) h 。( r ) 则问题( 5 ) ，( 6 ) 有唯一局部广义解u ( x ，t ) c ( 【0 ，) ；h 。( r ) ) ，其中【o ，t o ) 是解存在 的最大时间区间 定理2 假定 ( 1 ) s ；，妒c 纠+ 1 ( 兄) ，妒( o ) = 0 ，妒( ) 0 ，妒( u 嘶) l 1 ； ( 2 ) u o ( x ) 伊( r ) ，u l ( x ) h 8 ( 冗) ； ( 3 ) l 妒( ) i a 妒( ) ；i 钍。i + b ，其中a ，b 0 , 1 p o o ， 其中 妒( “。) = t 妒( s ) d s ，u 则问题( 5 ) ，( 6 ) 有唯一整体广义解u ( x ，t ) g ( 【0 ，o o ) ；h s ( 兄) ) 注1 在定理2 的条件下，若s ，则问题( 5 ) ，( 6 ) 存在整体古典解u ( x ，t ) g 2 ( o ，o o ) ；c 2 ( r ) ) 定理3 假设妒( s ) e ( 兄) ，铷( z ) h 1 ( 冗) ，牡1 ( z ) h 1 ( 动，妒( s ) l 1 且存在 ，y 0 满足不等式 s 妒( s ) ( 3 + 钾) 妒( s ) ，v s r ， 则问题( 5 ) ，( 6 ) 的广义解或古典解u ( x ，t ) 在有限时刻发生爆破，若下列条件之 一成立： ( 1 ) e ( o ) 0 一一 ( 3 ) e ( 。) 。且上蛳札，出+ 上“札。如 筹鬟e ( o ) ( 忆洲2 + 忆川2 ) ， e ( o ) ：1 1 让1 1 2 + 。1 1 1 1 2 + i l u , 。1 1 2 + 2 厂+ 。妒( u 慨) d z j - - o o 定理4 假定 ( 1 ) s ；，g c 8 1 + 1 ( r ) ，g ( o ) = 0 ，( ( “。) 0 ，( ( u o 。) l 1 ； ( 2 ) 咖( z ) h 5 ( r ) ，u l ( x ) h 。( r ) ； ( 3 ) i g ( ) l a e ( ) ；i i + b ，其中a ，b 0 , i p 0 0 ， 其中 e ( “z ) 2 上g ( s ) d s 。 则问题( 8 ) ，( 6 ) 有唯一整体广义解u ( x ，t ) g ( 【o ，o o ) ；伊( 冠) ) 注2 在定理4 的条件下，若s 2 ，则问题( 8 ) ，( 6 ) 存在整体古典解u ( x ，t ) c 2 ( 0 ，o o ) ；伊( r ) ) 定理5 假设9 ( s ) e ( r ) ，u o ( z ) h 1 ( r ) ，u 1 ( 茹) h 1 ( r ) ，( ( s ) l 1 且存在 1 0 满足不等式 s g ( s ) ( 3 + 4 7 ) e ( s ) ， v s r ， 则问题( 8 ) ，( 6 ) 的广义解或古典解u ( x ，t ) 在有限时刻发生爆破，若下列条件之 一成立： ( 1 ) e ( 0 ) o ( 3 ) e ( 。) o 且上钍舛，如+ 上让，。如2 筹鬟e ( o ) ( 忆。胪+ 忆胪) ， 其中 e ( o ) = 0 l l i 2 + 6 l l “眙1 1 2 + l l u l 。1 1 2 + 2 ，1 0 0 e ( 铀嘶) d z ，十 j - - 0 0 关键词：四阶非线性波动方程；初值问题；局部解；整体解；解的爆破 1 v t h ei n i t i a lv 砒u ep r o b l e mf o rac l a s so fn o n l i n e a r w a v ee q u a t i o no ff o u r t h - o r d e r a b s t r a c t i nt h i sp a p e r ，w ea r ec o n c e r n e dw i t ht h ef o l l o w i n gi n i t i a lv a l u ep r o b l e m s ： t k 0 1 t k 0 2 科一如$ 托= ，( ) ， z r ，t 0 钉( z ，0 ) = z j 0 ( z ) ，v t ( x ，0 ) = v l ( x ) ， z r 一c 1 一c 2 蚴= f ( v z ) 。， z r ，t 0 v ( x ，0 ) = v 0 ( x ) ，仇扛，0 ) = v l ( x ) ， z r ， ( 1 ) ( 2 ) ( 3 ) ( 2 ) w h e r ea 1 ，a 2 ，a 3 ，c 1 ，c 2 0a r ec o n s t a n t s ，f ( 8 ) i sag i v e nn o n l i n e a rf u n c t i o n ，咖( z ) a n dv 1 ( x ) a r eg i v e ni n i t i a lv a l u ef u n c t i o n s a n ds u b s c r i p t sza n dti n d i c a t et h ep a r t i a ld e r i v a t i v ew i t h r e s p e c tt oza n dt ，r e s p e c t i v e l y e q u a t i o n ( 1 ) i san o n l i n e a re v o l u t i o ne q u a t i o n t h e r e e x i s t st h ee q u a t i o n ( 1 ) i nt h es t u d yo fn o n l i n e a rw a v e si nt h ee l a s t i cr o d s i nt h es t u d yo f s t r a i ns o l i t a r yw a v e si nn o n l i n e a re l a s t i cr o d s ，t h e r ee x i s t st h ee q u a t i o n ( 3 ) w em a k ea c h a n g eo fv a r i a b l e s z = 动，t = t ，( 4 ) t h e nt h ei n i t i a lv a l u ep r o b l e m ( 1 ) ，( 2 ) b e c o m e s t 一o 。一触删一“。= 妒( 趾。k ，( 5 ) u ( x ，0 ) = u 0 ( x ) ，毗( z ，0 ) = u l ( x ) ( 6 ) l e t z = 厄，t = t( 7 ) v t h e nt h ei n i t i a lv a l u ep r o b l e m ( 3 ) ，( 2 ) b e c o m e s “托一6 “船一t 删= g ( u 。) z ， u ( x ，0 ) = ( z ) ，毗( z ，0 ) = 札l ( z ) ( 8 ) ( 6 ) i nt h i sp a p e r ，w eo n l ys t u d yt h ee x i s t e n c ea n du n i q u e n e s so ft h eg l o b a lg e n e r a f i z e d s o l u t i o n ，t h eg l o b a lc l a s s i c a ls o l u t i o na n db l o w - u po ft h es o l u t i o nf o rt h ep r o b l e m ( 5 ) ，( 6 ) a n dt h ep r o b l e m ( 8 ) ，( 6 ) ，b e c a u s ew ec a no b t a i nt h es a m er e s u l t so ft h ep r o b l e m ( 1 ) ，( 2 ) a n d t h ep r o b l e m ( 3 ) ，( 2 ) b yt h et r a n s f o r m ( 4 ) a n dt h et r a n s f o r m ( 7 ) ，r e s p e c t i v e l y t h i sp a p e rc o n s i s t so ff o u rc h a p t e r s t h ef i r s tc h a p t e ri st h ei n t r o d u c t i o n i nt h e s e c o n dc h a p t e r ，w ew i l ls t u d yt h ee x i s t e n c ea n du n i q u e n e s so ft h el o c a lg e n e r a l i z e ds o l u t i o n ，t h el o c a lc l a s s i c a ls o l u t i o n ，t h eg l o b a lg e n e r a l i z e ds o l u t i o na n dt h eg l o b a lc l a s s i c a ls o l u t i o n f o r t h e i n i t i a l v a l u e p r o b l e m ( 5 ) ，( 6 ) o f n o n l i n e a r w a v ee q u a t i o n o f f o u r t h - o r d e r i n t h e t h i r d c h a p t e r ，w ew i l lg i v et h es u f f i c i e n tc o n d i t i o n so fb l o w - u po ft h es o l u t i o nf o rt h ep r o b l e m ( 5 ) ，( 6 ) i nt h ef o u r t hc h a p t e r ，w ew i l ls t u d y t h ee x i s t e n c eo ft h eg l o b a lg e n e r a f i z e ds o l u t i o n ，t h eg l o b a lc l a s s i c a ls o l u t i o na n db l o w - u po ft h es o l u t i o n sf o rt h ep r o b l e m ( 8 ) ，( 6 ) t h e m a i nr e s u l t sa r et h ef o l l o w i n g ： t h e o r e m1 s u p p o s et h a t ( 1 ) s ；，妒( s ) c m + 1 ( r )a n d 妒( o ) = 0 ； ( 2 ) u ox ) h 5 ( r ) a n du l ( x ) h 5 ( r ) t h e nt h ep r o b l e m ( 5 ) ，( 6 ) a d m i t sau n i q u el o c a lg e n e r a l i z e ds o l u t i o nu ( x ，t ) c ( 【o ，死) ；h 8 ( r ) ，w h e r e 【o ，t o ) i st h em a x i m a lt i m ei n t e r v a l t h e o r e m2 s u p p o s et h a t ( 1 ) s ，妒( s ) c b l + 1 ( r ) ，妒( o ) = 0 ，妒( 钍。) 0a n d 妒( t 正妇) l t ； ( 2 ) t 幻( z ) h 。( 冗) a n du l ( x ) h 5 ( r ) ( 3 ) l 妒( “。) i a 妒( u 。) 考i u x i + b ，w h e r ea ，b o ，l p o o ， w h e r e 妒( “。) = f 。妒( s ) d s ， t h e nt h ep r o b l e m ( 5 ) ，( 6 ) a d m i t sau n i q u eg l o b a lg e n e r a l i z e ds o l u t i o nu ( x ，t ) e ( 【o ，o o ) ；h 8 ) 、，i r e m a r k1u n d e rt h ec o n d i t i o n so ft h e o r e m2 ，i fs ；, t h ep r o b l e m ( 5 ) ，( 6 ) a d m i t s au n i q u eg l o b a lc l a s s i c a ls o l u t i o nu ( x ，t ) c 2 ( 【o ，o o ) ；c 2 ( r ) ) t h e o r e m3a s s u m et h a t 妒( s ) g ( r ) ，u o ( x ) 日1 ( r ) ，u l ( x ) h 1 ( r ) a n d 妒( s ) l 1a n dt h e r ei s7 o , w h i c hs a t i s f i e s s 妒( s ) ( 3 + 钾) 妒( s ) ，v s r ， t h e nt h eg e n e r a l i z e ds o l u t i o n “( z ，t ) o rt h ec l a s s i c a ls o l u t i o nu ( z ，t ) o ft h ep r o b l e m ( 5 ) ，( 6 ) b l o w su pi nf i n i t et i m ei fo n eo ft h ef o l l o w i n gc o n d i t i o n si ss a t i s f i e d ( 1 ) e ( 0 ) o ； ( 3 ) e ( o ) 0a n d r u o u l 如+ 上u 1 。d x w h e r e e ( o ) ：1 1 1 1 1 。+ 。o u 嘶1 1 2 + i l q l 。i l 。+ 2 ，+ 。t p ( u o x ) d x t h e o r e m4 s u p p o s et h a t ( 1 ) s i ，g ( s ) c e , i + 1 ( r ) ，g ( o ) = o ，( ( 仳。) 2o ，( ( “o z ) l 1 ； ( 2 ) u o ( z ) h 8 ( 兄) ，u t ( x ) h 8 ( r ) ( 3 ) i g ( t b ) l a ( ( 札。) ；i 札。i + b ，w h e r e a ，b o ，1 p o o ， w h e r e ( ( ”z ) 2 上9 ( s ) d s ， t h e nt h ep r o b l e m ( 8 ) ，( 6 ) a d m i t sau n i q u eg l o b a lg e n e r a l i z e ds o l u t i o nu ( x ，t ) g ( 【o ，o o ) ；h 5 ( r ) r e m a r k2u n d e rt h ec o n d i t i o n so ft h e o r e m4 ，i fs 2 ，t h ep r o b l e m ( 8 ) ，( 6 ) a d m i t s au n i q u eg l o b a lc l a s s i c a ls o l u t i o n 私0 ，t ) c 哆( o ，) ；c 2 ( 冗) ) 一 t h e o r e m5a s s u m et h a tg ( s ) c ( 冗) ，u o ( x ) h 1 ( 兄) ，u l ( x ) 日1 ( r ) ，( ( 8 ) l 1 a n dt h e r ee ) 【i s t s ，y 0 ，w h i c hs a t i s f i e s s g ( s ) ( 3 + 4 7 ) ( ( 8 ) ， v s r ， l t h e nt h eg e n e r a l i z e ds o l u t i o nu ( x ，t ) o rt h ec l a s s i c a ls o l u t i o nu ( z ，t ) o ft h ep r o b l e m ( 8 ) ，( 6 ) b l o w su pi nf i n i t et i m ei fo n eo ft h ef o l l o w i n gc o n d i t i o n si ss a t i s f i e d ( 1 ) e ( 0 ) 0 ； ( 3 ) e ( o ) oa n d 。u d x + f r u o z u 。d x w h e r e ， e ( o ) ：l l u 。l l 。+ 6 0 u 慨1 1 2 + l l u 。i l z + 2 ，+ 。e ( u o z ) 如 j 一 k e y w o r d s ： n o n l i n e a rw a v ee q u a t i o no ff o u r t h - o r d e r ；i n i t i a lv a l u ep r o b l e m ；l o c a l s o l u t i o n ；g l o b a ls o l u t i o n ；b l o w - u po fs o l u t i o n l l 第一章引言 在本论文中，我们考虑如下的初值问题： 一a l v x 一n 2 科一0 3 t k 。“= f ( v x ) z ， z r ，t 0 ， ( 1 1 ) v ( x ，0 ) = v o ( x ) ，v t ( x ，0 ) = t ，1 ( 茹) ， z r ( 1 2 ) 和初值问题 v t t c 1 t k $ 一c 2 v = 。t t = f ( v x ) ， z r ，t 0 ，( 1 3 ) ( z ，0 ) = v o ( x ) ，仇( 茁，0 ) = t ，1 ( z ) ， z r ， ( 1 2 ) 其中a 1 ，a 2 ，0 3 c 1 ，c 2 0 为常数， ( z ，t ) 为未知函数，( s ) 为给定的非线性函 数，珈( z ) 和钉。( z ) 为给定的初值函数，下标茹和t 分别表示对$ 和t 求偏导 数 我们知道在研究弹性杆中的非线性波时，提出了如下的四阶非线性双曲型 方程 一c 0 2 1 + 舢。一1 】地。一卢蹦= v z z t ， ( 1 4 ) 其中皤，p ，7 0 和a n 0 为常数，n 为自然数( 见【1 】) ，在【1 】1 中作者将方程 ( 1 4 ) 简化为广义的k o r t e w e g d ev r i e s b u r g e r s 方程，并讨论了它的弧波的存 在性，但没有研究方程( 1 4 ) 的任何定解问题在【2 】中作者研究了方程( 1 4 ) 的 的初值问题和第一初边值问题局部古典解的存在性与唯一性在文献【3 ，4 】中 作者研究了较方程( 1 4 ) 更广的方程 一a l 一啦疵一0 3 础= f ( v z ) 。 ( 1 1 ) 的第一初边值问题和第二初边值问题存在唯一的整体古典解及解的渐近性质， 并给出整体古典解不存在的充分条件 在文献【5 ，6 】中研究了非线性弹性杆的应变弧波，并着重讨论了杆的物理 参数和几何参数对于波动的影响，提出了如下的四阶非线性波动方程 睨一【b o + b l n v ：- 1 】。一6 2 扰= 0 ， ( 1 5 ) 1 其中b o ，b 2 0 和b 。为任意实数，几为自然数同样，作者将方程( 1 5 ) 简化为 k d v 方程，研究了其弧波解的存在性和性质，并没有对其方程本身的定解问 题作任何研究文【7 】证明了较方程( 1 5 ) 更一般的方程 魄一c 1 奶。一c 2 让础= f ( v z ) 。 ( 1 3 ) 的初边值问题整体古典解的存在性和唯一性，还讨论了解的爆破 1 8 7 2 年，j b o u s s i n e s q 提出了描述浅水波的方程 t = t b z + ( “2 ) z z + u z z z 。， 称之为却方程改进的b q 方程为 地一u ：z 一= ( u 2 ) 称之为i b q 方程i b q 方程的修正为 一。一u z z t t = ( u 3 ) 口， 称之为i m b q 方程，它的多维形式和广义形式分别为 “一v 2 u n v 2 = v 2 ( “3 ) ， 和 锄一v 2 锄一v 2 u = x 7 2 9 ( ) 对于却方程和它的广义方程已有很多结果文【8 】研究了一维广义i m b q 方程初值问题解的爆破文【9 】证明了一维广义i m b q 方程初值问题整体古典 解的存在性与唯一性文【1 0 ，1 1 1 证明了一维广义i m b q 方程初边值问题整体 广义解和整体古典解的存在性与唯一性，并给出了解爆破的充分条件文【1 2 】 证明了广义多维i m b q 方程整体强解和古典解的存在唯一性，并给出了解爆 破的充分条件 i m b q 方程与方程( 1 1 ) 和( 1 3 ) 具有相同的主要项毗，。和u = z f $ ，不同的 是非线性项和阻尼项 2 从形式上看方程( 1 1 ) 比方程( 1 3 ) 多了一阻尼项a 2 幽对于他们的初值问 题，还未见到任何结果本文将研究初值问题( 1 1 ) ，( 1 2 ) 和( 1 3 ) ，( 1 2 ) 的整体广 义解和整体古典解的存在性和唯一性，并讨论解的爆破现象 为了讨论简单起见，作变量代换 z = 西，t = t ( 1 6 ) 可把( 1 1 ) 变为 v “( o a k t ) 一石a l ( 厕，t ) 一塞晰( 何，t ) 一晰( 厕，t ) = 去，( 去( 面k 在上式中如果把y 写成z ，并记 t ，( v r 石x , t ) = i t ( 蚺去，( 去( 廊，啪。= 出也， 则问题( 1 1 ) ，( 1 2 ) 可写为 t 正“一o “船一f h 正删一“删= p ( t b ) 。，( 1 7 ) u ( x ，0 ) = u o ( x ) ，t “( z ，0 ) = 让1 ( 。) ，( 1 8 ) 其中口= a lp = 等，咖( z ) = v o ( v 伍x ) 和u ( z ) = v 1 ( 4 a ；x ) 我们在这里只研究问题( 1 7 ) ，( 1 8 ) 的整体广义解和整体古典解的存在唯 一性及解的爆破，因为通过变换( 1 6 ) 可把问题( 1 7 ) ，( 1 8 ) 的结果变为问题 ( 1 1 ) ，( 1 2 ) 的结果 本文采用以下记号和概念，2 ( 1 p 0 0 ) 表示通常的r 上的函数空 间，并赋予范数i i f l l ，= j i f l l p ，特别地j i f l i = i i f l l 。；日。( 冗) 是通常的r 上的s o b o l e v 空间，具有范数i l y l l - - = i i ( i - o z 2 ) i f l l ，其中s 为实数，为恒等算子和o x = 鑫 为了证明问题( 1 7 ) ，( 1 8 ) 存在整体广义解和整体古典解，需要下面的引理 引理1 1 ( 积分型的m i n k o w s k i 不等式) 若x 为b a n a c h 空间，对于几乎处处的t 有g x ，且函数t i i g ( ，t ) l l x 属 于l 1 ( 耽这里，c ( 0 ，+ o o ) 是区间，则 i if , g ( 1 t ) d t l l x 曼j i i i g ( ，t ) l l x d t 引理1 2 1 1 3 】假设f c ( r ) ，f ( 0 ) = o ，“h 5n 俨且k = 【s 】+ l ，其中8 0 若l l u l l 。m ，贝4 有 i i f ( u ) l l k i ( m ) h u l h ， 其中k i ( m ) 为依赖于m 的常数 引理1 3 1 1 4 设s 0 ，f c ( r ) = 【s 】+ 1 ) ，若钍，钉h 8 nl o o ，且i l u l l 。 m ，l i v l l 。m ，则 0 ，( 札) 一f ( v ) i h k 2 ( m ) l l u v i i , ， 其中k 2 ( m ) 为依赖于m 的常数 为证明定解问题( 1 7 ) ，( 1 8 ) 的广义解的存在性，我们将通过一个二阶常微 分方程的基本解，把定解问题( 1 7 ) ，( 1 8 ) 转化为积分方程为此，令g ( z ) 【1 5 ，1 6 为如下常微分方程 w ( x ) 一w 五( z ) = 0 ( 1 9 ) 的基本解，即g ( z ) = e i “，z r 对g ( z ) 有下面的引理成立 引理1 4 ( 1 ) a ( x ) 在r 上有定义且连续； ( 2 ) a ( x ) 满足方程c ( x ) 一倪。( z ) = 6 ( z ) ，其中6 ( z ) 为d i r a c 函数； ( 3 ) g ( z ) l q ，其中1 q o o ，且i i g ( z ) | 1 1 = l ； ( 4 ) i i g ，川伊= i i f l i h 一 证明性质( 1 ) 一( 3 ) 显然，只证( 4 ) 由f o u r i e r 变换，知 g f = ( j 一如2 ) - 1 ， 从而， i i g + ，0 日= 1 1 ( i a z 2 ) 一1 ，i i h 。= l i ( 1 + f 2 ) ；( 14 - f 2 ) 一1 刃i = i i ，i h 。一。 引理证毕 假设u c 2 ( 【o ，司；h s ( r ) ) 是问题( 1 7 ) ，( 1 8 ) 的广义解，现将方程( 1 7 ) 改写成 4 如下形式： 根据( 1 1 0 ) ，可得 t 晰一钝咄“= n 札嚣+ f k 稍嘻+ 妒( 仳。) 。( 1 1 0 ) u n = g 木b t 正。+ p t 正删+ 妒( t b ) 。】 其中 ，”) ( z ) = 上珏( p ) ” 一y ) d y 为( z ) 和口( z ) 的卷积 ( 1 1 1 ) 式对t 积分两次，利用器( g + ，) = g + ，一，可知初值问题( 1 7 ) ，( 1 8 ) 与下列积分方程等价 u ( x ，t ) = t 1 0 ( 。) + 【( 。) + u l ( x ) 一卢( g o ) ( z ) 】t ，t + a ( t r ) 【( g t ) ( z ，r ) 一t ( z ，7 - ) 】c 打 + pf 【( g + ) ，r ) 一u ( z ，v ) d v + f ( t r ) 【g i p ( ) 。】( 墨r ) 口h ( 1 1 2 ) j 0j 0 定义1 1 对任意t 0 ，u o m h s ( r ) ，如果t c ( 【0 ，明；h 。( r ) ) 满足积分方 程( 1 1 2 ) ，则称( 霉，t ) 为积分方程( 1 1 2 ) 的连续解或初值问题( 1 7 ) ，( 1 8 ) 的广义 解如果t 2 ) ，并赋予范数 x ( 即2 踌m ，o i l - ，v u x ( t ) 易见，x ( t ) 是一b a n a c h 空间对于w x ( t ) 定义算子s 为 s w ( x ，功= u o ( x ) + f 崩( z ) + u l ( x ) 一z ( g t o ) ( z ) 】t “ + q j c o r ) 【( g t ) ( z ，r ) 一w ( x ，r ) 】打 + p r ( g + ) ( z ，7 - ) 一( $ ，丁) 】打+ 一丁) 【g + 妒( ) 。】( z ，r ) d r ( 2 1 ) 当8 ；时，由s o b o l e v 嵌入定理，知u e ( 【o ，卅；1 ，。o ( 兄) ) 且 i 阻( ，) f f 。，f f “。( ，t ) l t 。c 、l f “( ，t ) l i h ， 其中a 和以后的g ( = 2 ，3 ，) 为仅依赖于t 的常数由此可知，s 映x ( t ) 到x ( 对初始值u o ，u - h 5 ( r ) ，令m = l i 乱0 1 1 日j + 怯定义集合 尸( m ”= “f 甜x ( t ) ，j i “0 x 仃 2 m + 1 显然，对每一m , t 0 , p ( m , t ) 是x ( t ) 的非空有界闭凸子集下面证明s 在 p ( m ，t ) 中有唯一不动点 引理2 1 假定s ，u o ，“1 h 8 ( r ) 舻g 【卅1 ( r ) ，i p ( o ) = 0 ，则s 映p ( m ，t ) 到p ( m ，t ) 且存在相对于m 适当小的t ，使映射s ：p ( m ，t ) 一p ( m ，t ) 是严格 6 压缩的 证明设w p ( m ，t ) 由s o b o l e v 嵌入定理知，当s ；时， 日8 ( 兄) - ( r ) ， 于是 s u p1 1 w ( ，t ) l l 。，s u p0 ( ，t ) l l 。2 m + l ，vw p ( m ，t ) u s c s lu s l s l 由引理1 4 和引理1 2 ，有 l i g + w i l , , = l i 佛邗圩一：l | 仉7 1 1 日- ， i l a + 妒( 矸名) z 1 1 日，= 0 妒( 乞k i i x ，一= i i i p ( w ) 0 h - - sk 1 ( 2 m + 1 ) 0 w 么i i h 一- k 1 ( 2 m + 1 ) j | j i h 根据( 2 1 ) ，( 2 2 ) ，( 2 3 ) ，引理1 1 及m i n k o w s k i 不等式，得 ( 2 2 ) ( 2 3 ) i l s w i i l l 。i i h + 2 n n 。i i h + i i 1 0 h ，1 t + oo w 7 ( ，r ) l l h d t + 2 a r o 一刊l ( ，下) l l 俨d r + 硒( 2 m + 1 ) r 一下) l | 缈( ，丁) i t 伊d v ( 2 4 ) 由( 2 4 ) 推出 i l s w l l x ( 研m + ( 6 t i m + m + 2 f 1 ) t + ( n + k l ( 2 m + 1 ) ) ( 2 m + 1 ) p 若t 满足 t m i n 南，丽雨丽去丽 ， ( 2 s ) 则i i s 怕”2 m + 1 从而，若( 2 5 ) 成立，则s ：p ( m ，t ) 一p ( m ，t ) 现证明s 是严格压缩的令t 0 和肌，w 2 p ( m , t ) 是给定的，从( 2 1 ) 知 册1 一s w 2 。4 0 【g + ( 眦一) ( z ，_ r ) 一m ( z ，r ) 一( z ，r ) 1 ) 打 + nf ( t r ) 【g ( h ，1 一i ) 】( z ，r ) 一【i n ( 而r ) 一w 2 ( z ，f ) 】 打 j 0 + ( t 一丁) g + 【妒( w ，1 。b 一妒( w 么) 。】) ( z ，7 - ) d 7 ： ( 2 6 ) j u 7 由引理1 2 ，引理1 3 和引理1 4 ，推出 i i c ：i t 【妒( i 。k 一妒( w 么) 。】1 1 日 = l i i p ( 佴，l 。k l p ( w 7 k k 0 日一。 s0 妒( n ，l 。) 一妒( i i 么) i l h 一- k 2 ( 2 m + i ) 1 1 w l 。一w 7 玉0 j = r 一- k 2 ( 2 m + 1 ) i i w l i i l j = r ， ( 2 7 ) 利用引理1 1 ，引理1 4 和m i n k o w s k i 不等式，从( 2 6 ) 和( 2 7 ) 导出 i l s w l s w 2 l l x ( t ) 2 卢 i w x 一i i x ( t ) t + ( q + ；k 2 ( 2 m - i - 1 ) ) l l w , 一i i x ( 铲 若t 满足( 2 5 ) 和 t 胁帑1 乖面丽1 ) ， ( 2 8 ) 贝0i l s h ，1 一s w 2 l l x ( ns 1 1 w , 一h ，2 i l x ( 习 引理证毕 定理2 1 假设s 2 ，o ，“1 h 。( r ) ，妒g m l ( r ) ，妒( o ) = 0 ，则积分方 程( 1 1 2 ) 有唯一局部连续解，即初值问题( 1 7 ) ，( 1 8 ) 有唯一局部广义解 g ( 【o ，蜀) ；日s ( 冗) ) ，其中【o ，t o ) 是解存在的最大时间区间，此外，若 s u p ( 1 l u l l - + i l u t i i - 。) o , s 有唯一不动 点让p ( m ，t ) ，即是初值问题( 1 7 ) ，( 1 8 ) 的广义解 下面证明对每一亍 0 ，积分方程( 1 1 2 ) 属于x ( - ) 的解至多有一个事实 上，设“。，“。x ( t ) 是积分方程( 1 1 2 ) 的两个解，则 t ( z ，) 一l , 2 ( z ，) = 卢j c “g + ( 札，一“。) r ) 一阻l ( v ) 一u 2 ( ”) 】) 打 + o j c ( t - - t ) 【g + ( 珏- 一u 2 ) 】( z ，7 ) 一他t ( z ，r ) 一u 2 ( z ，r ) 】) 打 + ( t r ) g + 眙( 仙t 。b 一妒( u 知) 。】) ( 第，r ) 打 j 0 与证明s 为严格压缩的过程类似可得 1 l u l ( ，t ) 一 2 ( ，t ) l l h 一g ( 亍) fi l 仳1 ( ，丁) 一u 2 ( ，7 - ) l ij = r d t ， j 0 其中g ( _ ) 为依赖于亍的常数利用g r o n w a l l 不等式，由上式推出 0 札。( ，t ) 一u 2 ( ，t ) 1 1 月。= o ，vt 【o ，t o ) ， 即积分方程( 1 1 2 ) 至多有一解属于x ( _ ) 令【o t o ) 是积分方程( 1 1 2 ) 解u x ( t o ) 存在的最大时间区间，余下只要证 明，若( 2 9 ) 式成立，则t o = o o 假设( 2 9 ) 式成立，而t o 2 ) 是初值问题( 1 7 ) ，( 1 8 ) 的局部广义 解，则牡c 2 ( 【0 ，) ；h 5 (