（基础数学专业论文）几类中立型泛函微分方程的振动性研究.pdf

几类中立塑瑟函微分方程的振动性研究 摘要 本论文由四章组成，主要讨论了几类中立型泛函微分方程的振动性，通过广义p d c c a t i 变换、引入参数函数和采用积分平均技术，得到了一些新的般性的结果，其中绝大部 分结果改进或推广了现有的一些文献的结果 第一章介绍了本论文研究问题的背景及研究进展情况 第二章研究了一类具有分布时滞的一阶中立型泛函微分方程的振动性，建立了该类 方程所有解振动的几个充分条件，所得结论改进了现有文献的一些结果 身茳章讨论了类二阶中立型非线性阻尼泛函微分方程的振动性，获得了三个振动 准则，推广了现有文献的一些结果 第四章考虑类既具有分布时滞又具有阻尼项的偶数阶中立型泛函微分方程的振动 性，获得了三个振动定理，推广了现有文献的一些结果 关键词；中立型泛函微分方程；振动性；分布时滞；阻尼项 高校教师在职硕士学位论文 a b s t r a c t n i j 8t h e s i si 8c o m p o s e dq ff o u rc h a p t e r s i nt h i sa r t i e l e ，w em a i n l yd i s c u 够t h e 谳 h t i o n0 fs e v e r a lc l o b s e 80 fn e u t r mf 嘣i o n md 诹咖t i a le q u a t i o 璐，a n do b t 8 i n m en e w r e s u l t sf o rt h eo s c i l l a t i o no f8 u0 ft h e i r l u t i o 邶bm a k i n gu s e0 fg e n e r a l i z e dr i c c a t i t r a n s f o r m a t i o n ，i n t r o d u c i n gp a r 锄e t e rr u n i o na n du s i n gi n t e 争a ja v e r a g i n gt e c h n i q l l e o u rr e s u l t sp r e s e n t e di nt h i sp a p e re x t e n da n di m p r 州e8 嘞e1 m o w nr e 虬l l t 8i nt h eu t e r - a t l l r e i ni h a p t e r1 ，w em t r o d u c et h eb a c k g r o m dt h ep r o b l e m 衄dt h er e c e n td 铡e l o p m e n t o ft h er e s e a r c hi nt h i sf i e l d hc h a p t e r2 ，w es t u d yt h eo s c i l l a t i o nb e t t o ro fs o l u t i o n s0 f 斌a i n6 r i ；to r d e r n e u t r a lf l i n c t i o n a ld i f f e r e n t i a le q u a t i o 璐l ，i t hd i s t n b 删d e l a y s o m eg e n e r a ls u r l i e s t 啪d i t i o 珊f o rt h eo s c i l l a t i o n0 f l u t i o 珊o ft h ee q u a t i o n sa r ee 8 t a b l i 8 h e d 7 i h er e s u l t 8 o b t m n e di nt h i sc h a p t e ri m p r o v e 蛐eh o nr e s u l t si nt h el i t e r a t l l r e i nc h a p t e r3 w ec e s c u s st h eo s c i l l a t i o no fa 1 1s o l u t i o n s0 f ms e c o n do r d 盯n e i l t r m n o n l i n e a rf u n c t i o n a ld 氓e r e n t i me l q i l a t i o n 8w i t hd a m p i n gt e r m 7 i 协o s c i u a t o f yc r i t e r i a a r eo b t a i n e d 柚d8 咖ek n o nr e s u l 七8i nt h eh t e r a t u r e8 r ee x t e n d e d i nt h el a s tc h a p t e r w ec 0 吲d 日t h eo s c i l l a t i o nb e h a 聃o ro f8 0 l u t i o 珊o fac l a s s0 f e 啪一o r d e rn e u t r a lh n c t m n md j 匠e r 髓t i a le 【h l a t i o n sw i t hd i s t r i c t e dd e l 玛ra n d 妇m p i n g t e r m t h t c i u a t o r yt h e o r e m sa r ep r e s e n t e d ，a n d m el 【玎伽nr e s u l t si nt h eh t e r 栅e a g a l i z e d k e y w o r d s ：n e l l t r a lf u n c t i o n a ld i f f w e 删e q u a t i o n ；o s c i l l a t i o n ；d i s t f i b u t e dd e l a y ； d a m p m gt e r m i i 几类中立型泛函微分方程的振动性研究 湖南师范大学学位论文原创性声明 本人郑重声明：所呈交的学位论文，是本人在导师的指导下， 独立进行研究工作所取得的成果除文中已经注明引用的内容外， 本论文不含任何其他个人或集体已经发表或撰写过的作品成果对 本文的研究做出重要贡献的个人和集体，均已在文中以明确方式标 明本人完全意识到本声明的法律结果由本人承担 学位论文作者签名：饼，次季 功口6 年f 2 月2 2 - 日 湖南师范大学学位论文版权使用授权书 本学位论文作者完全了解学校有关保留、使用学位论文的规 定，同意学校保留并向国家有关部门或机构送交论文的复印件和 电子版，允许论文被查阅和借阅本人授权湖南师范大学可以将本 学位论文的全部或部分内容编入有关数据库进行检索，可以采用影 印、缩印或扫描等复制手段保存和汇编本学位论文 本学位论文属于 1 、保密口，在年解密后适用本授权书 2 、不保密口 ( 请在p j , 上相应方框内打“ ”) 作者签名：i 悔吠净， 日期：功口年f 2 月2 - z 日 导师签名：彬p 日期：卵万年f o 月 2 - 2 ，日 f 钟嗝， 几类中立塑瑟函微分方程的振动性研究 第一章绪论 l 瞳着现代科学技术和社会经济的发展，在自然科学与社会科学的许多学科中出现了 大量的时滞动力学系统问题，如核物理学、电路信号系统生态系统，化工循环系统、遗 传问题，流行病学，动植物循环系统社会科学方面主要是各种经济现象, e s i 婿的描述， 如商业销售问题、财富分布理论，运输调度问题、工业生产管理等等各种工程系统中 出现时滞动力学系统的现象更为普遍，特别是自动控制系统这些时滞动力学系统数量 矗r s - ) c ，形式较为规整，自变量通常表示时间1 1 】 时滞动力学系统的稳定性和定性理论在上述问题中有着非常重要的应用【l ，8 9 “泛 函微分方程的振动理论作为时滞动力学系统定性理论的一个分支，一直被许多研究者所 重视f 2 t ”_ 2 1 4 一，它从振动性方面深刻地揭示了时滞泛函微分方程与常微分方程的 本质性差异泛函微分方程振动理论区别于常微分方程振动理论的主要方面表现在，前 者揭示了微分方程中的偏差变元的出现引起解的振动性或非振动性 泛函微分方程的振动理论，在最近3 0 年中有了迅速的发展1 1 - 2 1 , 2 a - 4 m 从线性到 超( 次) 线性非线性，从一阶到高阶，从滞量的离散分布到连续分布，都有非常丰富 的成果主要表现在以下几个方面t ( 1 ) 开刨了中立型时滞泛函微分方程解的振动性 与非振动性的研究，并取得了大量的重要成果；( 2 ) 开创了对滞差分方程振动理论的 研究；( 3 ) 具有时滞变元的偏泛函微分方程的振动理论有了一定发展；( 4 ) 开刨了 脉冲泛函微分方程解的振动性的研究；( 5 ) 发展了随机泛函微分方程解的振动理论； ( 6 ) 时滞泛函微分方程振动理论在生态模型上的应用l 目；( 7 ) 开始了测度链上尤其 是时间尺度上的时滞微分方程的振动性研究1 1 0 , n , 1 2 自二十世纪七十年代以来，随着以中立型泛函微分方程为数学模型的应用课题的大 量涌现 如博弈论细胞中酶反应动力学等) ，人们对中立型泛函微分方程的研究工作越 来越重视，并取得了长足的进展其中时滞中立型方程在有界性、振动性、比较原理和 周期解的存在性等领域的研究相当活跃，取得了很好的研究成果1 1 - 9 1 由于中立型泛函微分方程的实际背景非常丰富，不同的实际问题所产生的方程的类 型多种多样，不同的实际问题的条件也各不相同，所以中立型泛函微分方程的振动性方 面还有许多有意义的研究工作可傲 1 高校教师在职硕士学位论文 本文的研究背景和主要工作如下： ( ) 具有分布时滞的中立型泛函微分方程的振动性 对于具有离散时滞的一阶中立型微分方程的振动性，已有许多结果例如g r o v e 、 k u l e n o v i c 和l a d a s 1 9 1 ，l a d a 8 和s f i c a s u ，王志成和庾建设【勰j 以及俞元洪 4 1 1 ，先后给 出了方程 睁( t ) 一p 茁0 一r ) 1 ，+ q x ( t 一口) = 0 ，t t o( 1 0 1 ) 和 陋( t ) 一p ( t ) z ( t r ) 】+ q ( t ) x ( t 一力= 0 ，t 如( 1 0 2 ) 的若干振动准则，下面的定理a 一定理c 是其中的一部分结果 定理a ( g r o v e 、k u l e n o v i c 和l a d a 8 的文【1 9 1 的定理2 ) 如果以下条件成立， ( 1 ) 烈) ，q ( t ) c ( t o ，+ o o ) ，【o ，+ o o ) ) ，r ，矿 0 ，当t t o 对，0 p ( t ) 1 ，0 0 ，当t t o 时，p ( t ) 三p 为常数； ( 2 ) 0 0 ； ( 2 ) 存在常数p l ，使得0 p ( t ) n 0 ，且满足 t - l i m , - i - o o j n f 。g ( 枷s 三e ，j t j 那么方程( 1 0 2 ) 的每一个解是振动的 2 几类中立垄坛函徽分方程的振动性研究 然而，对于具有分布时滞的一阶中立型微分方程的振动性的研究结果相对较少本 文在第二章研究比方程( 1 0 1 ) 和( 1 0 2 ) 更般的具有分布时滞的一阶中立型微分方程 r，口1 ， e b i 霉( t ) 一厶邢， ) 霉o r ( t ，) ) d 钾l + 正q ( t ，u 净o 一盯( u ) ) 砒= 0 ，t t o ( 1 0 3 ) l，uj，u 的振动性，建立了该类方程所有解振动的几个充分条件，其中推论2 2 2 说明定理2 2 3 的条件是”s h a r p ”条件将本文结论应用于方程( 1 0 1 ) 和( 1 0 2 ) ，所得结果改进了定理 a ( g r 叫e ，k u l e n o v i c 和l a d a s 的文f 19 】的定理2 ) 。定理b ( l a d a s 和s f i c a s 的文f 2 4 j 的定理7 ) 以及定理c ( 俞元洪的文【4 1 】的定理3 ) 的结论 ( 二= ) 二阶中立型非线性阻尼泛函微分方程的振动准则 s a h i n e r l 3 1 l 讨论了如下形式的二阶中立型非线性泛函微分方程的振动性t r ( t ) 妒忙( t ) ) k ( t ) + p o ) z p ( t ) ) 1 + q ( t ) ( 。( 口( t ) ) ) 一0 ，t t o ( 1 0 ，4 ) s 剧h i n e r 在他的文【3 1 】中，假设以下条件始终成立t ( a t ) p ( 0 ，g ( t ) ，r 0 ) c ( ，r ) ，i = t o ，+ o o ) ，0 p ( t ) 0 ； ( a 2 ) ，( $ ) ，妒( 。) c 1 ( r ，固，当$ 0 时茹，( 霉) 0 ，妒( z ) o ； ( a 3 ) 口( t ) c 1 ( f ，r ) ，当t 2 t o 时一( t ) o ，叮( 妨t , t 里矿( ) = + ； ( a 4 ) r ( ”g ( ，功，当t o 对7 - ( ) ，t 羔7 ( 力= + ； ( a 5 ) 瑶。南d t = + o o s a h i n e r l m 】给出了方程( 1 0 4 ) 的如下三个振动定理， 定理d ( s a h i n e r 的文1 3 1 】的定理2 1 ) 如果( a 1 ) 一( a 5 ) 和以下条件成立， ( n 1 ) 存在常数m 0 ，使得当伽 0 时，士，( 士“ ) m ，( ) ，( ) ； ( s 1 ) 存在常数k 0 ，l 0 ，使得当霉0 时，( z ) k ，妒( 霉) l q ； ( a 矗) 令d o = o ，5 ) 忙 8 t o ，d = 纯s ) l t s 如，存在函数抒( t 5 ) 、 h ( t ，s ) c ( d ，兄) ，使得当t2t o 时，h ( t ，t ) = 0 当( t ，s ) d o 时。h ( t ，s ) 0 ， 掣s0 胜续，一掣= h ( t ，8 ) 厕； ( a 7 ) 存在函数p ( t ) c 1 ( ，( 0 ，+ ) ) ，使得 t i m s 。u p ! 即痂m 眇，8 ) p ( 5 ) 口( 8 ) ，( 1 一p ( 盯( 8 ) ) ) 一志粤掣q：)1幽。+，4mkl 盯怕1 。l 一 3 高校教师在职硬士学位论文 其中q ( t ，s ) = h ( t ，s ) 一错 胃( t ，s ) ，那么方程( 1 0 4 ) 的每个解是振动的 定理e ( s a h i n e r 的文 3 1 】的定理2 2 ) 如果( a 1 ) 一( a 6 ) 、( n 1 ) 和以下条件成立t ( n 2 ) 当“0 时，u c ( u ) 0 ； ( s 2 ) 存在常数7 0 ，使得当z 0 时，铬1 ； ( a 8 ) 存在函数p ( t ) e 1 ( j ，( 0 ，+ o o ) ) ，使得 1 留等百云丽厶【日( 。，3 ) p ( 咖( 8 ) m p ( 4 ( s ) ) ) 一赤盟o - i 学郫卜= 惘 4 研( s ) ”，j 其中q ( t ，s ) = h ( t ，s ) 一错 日( t ，s ) ，那么方程( 1 0 4 ) 的每个篇是振动的 定理f ( s a h i n e r 的文【3 1 】的定理2 3 ) 如果( a 1 ) 一( a 6 ) 和以下条件成立 ( s 3 ) 存在常数n 0 、l 0 ，使得当z 0 时，牮n ，妒( z ) l 一1 ； ( a 9 ) 存在函数“力c 1 ( ，( 0 ，+ o o ) ) ，使得 1 粤等面蠢南厶【日( 删) p ( 8 ) g ( 3 ) ( 卜p ( 4 ( 8 ) ) ) 一击等学舛，s ) l 如= 慨 4 l ( 5 )”i 一 一 其中q ( t ，8 ) = h ( t ，s ) 一错 日( ，s ) ，那么方程( 1 0 4 ) 的每个解是振动的 本文在第三章研究比方程( 1 0 4 ) 更般的具有阻尼项的方程 此( f ) ) ) + 蚤h 如( ) ) 】，) 7 + 6 ( t ) 陋+ 圭i - ：- i 郇) 如) 】 r ( ) 妒o ( t ) ) 陋( t ) + a ( t ) z ( 几( t ) ) 】 + 6 ( t ) i z ( ) + 鼽( ) ( 元( ) ) i ；l ，lj + 口( t ) ，( z ( 口( f ) ) ) = 0 ，t t o ( 1 ，0 5 ) 的振动性，推广了上述的s a h i n e r i a l l 的三个定理的结论 ( 三) 既具有分布时滞又具有阻尼项的偶数阶中立型泛函微分方程的振动定理 最近，俞元洪和傅希林删研究了如下的具有分布时滞的二阶中立型微分方程 陋( t ) + c ( t ) z ( t 一力1 ，+ 广p ( t ，k b ( t ，9 】d 盯( f ) = 0 ，t t o( 1 o 6 ) j 4 的振动性，获得了以下两个振动准贝n 4 几类中立型泛函微分方程的振动性研究 定理g 例如果以下条件成立： ( h 1 ) c ( t ) c ( t o ，+ o o ) ，r ) ，0sc ( t ) sl ，r 0 ，g ( t ，f ) c ( t o ，+ o 。) i n ，6 】，冗) ， g ( ，f ) 。，g ( 。，f ) 分别关于。和f 是非减的，。! 堍l n f 叫mg ( t ，) = + o o ，盯( ) g 扛，6 1 ，仃g ) 是非减的。方程( 1 0 6 ) 中的积分是s t i e l t j e 8 积分； ( h 2 ) p ( t ，f ) g ( t o ，+ o o ) x 陋，6 】j 矿) ，j 矿= 【o ，+ o 。) ，对任何f 【0 6 l ，p ( t ，) 关于 t 在，+ o o ) 上不最终为零； ( i - 1 3 ) 瑶。启p ( 民) 1 一c l q ( s ， ) 】) 面( ) d 8 = + ， 那么方程( 1 0 6 ) 的每个解是振动的 定理h 1 3 9 1 如果( h 1 ) ( h 2 ) 和以下条件成立， ( 1 1 4 ) 孽，( t ，o ) = 差9 ( ，在p o ，+ o o ) 上存在且大于零，存在函数 “f ) g 1 ( t o ，+ o o ) ，( 0 ，+ o o ) ) ，使得 r 。阳z 6 如一出啊洲确一捌出= 慨 那么方程( 1 0 6 ) 的每个解是振动的 此后，王培光和师文荚研究了比方程( 1 0 6 ) 更一般的偶数阶方程 泰b ( ) + c ( 亡扭。一r ) j + 上f ( t ，$ 眵( t ，f ) 1 ) 曲( f ) = o ，t ；! 如 ( 1 0 7 ) 的振动性，获得了以下结果 定理i ( 王培光和师文英的文( 4 2 】的定理1 ) 如果( h 1 ) 和以下条件成立。 ( h 5 ) 存在函数p ( t ，) c ( t o ，+ o o ) x h q ，【o ，+ o o ) ) ，对任何荨【吐，6 j ，p ( t ，毒) 关于t 在，+ o o ) 上不最终为零，存在函数f ( 功c ( a ，r ) 和常数a 0 ，使得 ，( t ，：v ) s g a z p 0 ，) f ( x ) s g n x ，0 ，f ) t o ，+ ) 【口，6 】，卫r ， 一f ( 一z ) f ( $ ) 沁，z o ； ( h 6 ) j 露p ( s ， ) l c b ( 8 ，) 】) 如( f ) 如= + o o ， 那么方程( 1 0 7 ) 的每个解是振动的。 注1 定理i 是定理g 的推广 定理j ( 壬培光和师文英的文 4 2 】的定理2 ) 如果( h 1 ) 、( h 5 ) 和以下条件成立， 5 高校教师在职硬士学位论文 ( h 7 ) 存在函数l p ( d c 1 ( ，+ o o ) ，( 0 ，+ ) ) ，使得对任何常数m 0 ，有 ，十ipi 厶眇8 ) 上p ( s ，一e g ( s ，蛐打( f ) 一州( s ) i d s _ + o o ， 那么方程( 1 0 7 ) 的每个解是振动的 本文在第四章研究比方程( 1 0 7 ) 更般的具有阻尼项的偶数阶方程 a ( 。卜( 。_ 耋g o ) z ( t ( t ) ) n u ) + b ( t ) ( t ) + 砉q ( d ( t ( t ) ) 扣一q + ，( t ，已x g ( t ，f ) 】) d 口( f ) = 0 ，t t o( 1 0 8 ) 的振动性，建立了三个振动定理，推广了俞元洪和傅希林( 3 9 l 以及王培光和师文英的 上述定理g 一定理j 的结论，并给出了几个应用实例 本论文的刨新之处主要有以下三个方面t( 1 ) 对于具有分布时滞的泛函微分方程 ( 1 0 3 ) ，采取比g r o v e 、k u l e n o v i c 和l a d a s 的文【x 9 j ，l a d a s 和s f i c a s 的文阻l 以 及俞元洪的文【4 1 】中的方法更为有效的数学分析方法克服分布时滞给研究工作带来的 困难；( 2 ) 对于泛函微分方程( 1 0 5 ) 和( 1 0 8 ) ，因为具有阻尼项，所以不能直接采用 s a b i n e r 的文【3 1 】俞元洪和傅希林的文【3 9 】以及王培光和师文英的文 4 2 l 中的方法本 文通过采用适当的变量代换以及新的数学分析技巧，克服了阻尼项给研究工作带来的困 难；( 3 ) 将r i c c t i 变换、积分平均技术和引入参数函数等方法有机地结合在一起使用 关于泛函微分方程解的存在性和惟性问题，可参见h a l e 的文f 9 】 下面给出本论文的一些假定和定义 本论文假定所讨论的泛函锻分方程的解z ( t ) 在某区间，+ o o ) 上有定义，并且对 任何t o 屯，都有s u p i x ( t ) l ：t 之t o 0 如通常定义，若某泛函微分方程的某个解z ( ) 有任意大的零点，则称该解x ( t ) 是 振动的；否则，就称该解z ( ) 是非振动的 若某泛函符t f f ：y 程的所有解都是振动的，则称该方程是振动的 对于某泛函微分方程的某个解x ( t ) ，若存在a o k ，使得当t a o 时，有x ( t ) 0 ， 则称该解x ( t ) 为该泛函微分方程的个最终正解；若存在b o k 使得当t b o 时，有 z ( t ) t o ( 2 1 。) 的振动性，建立了该类方程所有解振动的几个充分条件。其中推论2 2 2 说明定理2 2 3 的 条件是”s h a r p 条件将本章结论应用于方程( 2 , 1 1 ) 和( 2 1 2 ) ，所得结论改进了g r o v e k u l e u o v i e 和l a d e s 的文【1 9 】的定理2 ，l a d a s 和s f i e a s 的文f 2 4 1 的定理7 以及俞元洪 的文【4 1 】的定理3 在本章的讨论中，始终假设以下条件成立， ， ( h 2 1 1 ) n 和b 是正的常数，p ( t ，删) c ( t o ，+ o 。) 【o ，a l ，j 矿) ，q ( t ，t i ) g ( ，+ c o ) x 【o ，6 】，舻) ，下( t t ，) c ( 【o ，卅，r + ) ，盯国) c ( 1 0 ，6 】，矿) ，舻= i o ，+ o o ) ，记勺= 躜r ( ) ， a 0 2 蹬参仃； ( h 2 1 2 ) j ；p ( t ，w ) d w 冬1 ，t t o ， 7 高校教师在职硕士学位论文 2 2 主要结果 本章的主要结果是以下四个定理及其推论，其证明将在本章第三节中给出 定理2 2 1 假设以下条件成立t ( h 2 2 1 ) 里i n f f t l q ( s ，u ) d u d s 0 ， ( h 2 2 2 ) 存在m t o ，使得 。：嬲，。( ； - + 盛j ( 4 p o 一小l 伽，叫唧。卜f 如叫a s ) - ， 则方程( 2 1 3 ) 的所有解振动 注2 2 1 由定理2 2 1 及不等式：对任意的z ，e 篁凹，立即可得以下的推论2 2 1 推论2 2 1 假设( h 2 2 1 ) 及以下条件成立s 圆i n f 【l + 趱f 巾一一( 咄”) 酬。【z 6 口( s ，“) 训d s p ； 则方程( 2 1 3 ) 的所有解振动 注2 2 2 考虑方程( 2 1 2 ) 当p ( t ) 兰p 为常数的情况，即 p ( t ) 一p z ( t t ) 】+ q ( t ) x c t 一口) = 0 ，t e t o ( 2 2 1 ) 在方程( 2 1 3 ) 中，取8 = b = 1 ，p ( t ，埘) 暑p ，r ( 埘) 三r ，q ( t ，) = 口( t ) ，口( t ) 兰口，则方程 ( 2 1 3 ) 变为方程( 2 2 1 ) ，将推论2 2 1 应用于方程( 2 2 1 ) ，得方程( 2 2 1 ) 所有解振动的 个充分条件是 0 兰p s l ，h l i m 。i n f 肛 ，g o ) d 8 i 南 ( 2 2 2 ) o 11 易见条件( 2 2 2 ) 改进了l a d a s 和s f i c a s 的文 2 4 】定理7 的如下条件； 0 ， 其中2 。如“m i o n s 。s j f ) + 盯 ) ( 2 ) 。! i n f j 兰。 信陋( 8 ，加) 詹g 扣一，) ，让) 训咖+ 詹g ( 8 ，”) 如 如 ； 则方程( 2 1 3 ) 的所有解振动 定理2 2 3 假设( h 2 2 3 ) 及以下条件成立； ( h 2 2 5 ) 印 o ，h l i r a + 。m f g q ( t ，u ) a u o ； ( h 2 2 6 ) 。占强谳 姊咐p ( 岛w ) e 扣扣咖+ 君以“) 扩“酬p 1 ， 则方程( 2 1 3 ) 的所有解振动 注2 2 3 对于方程( 2 1 3 ) 的以下特殊情形； 渤一( f o 。p o ( w ) d w ) x ( t r ) + ( f g o 。) 如) 雄一a ) = o ，t t 。， 2 2 3 ) 其中a 和b 是正的常数，加沁) c ( ( 0 ，口j ，j 矿) ，锄( ) c ( i o ，6 】，j p ) ，r 和仃均为正的常 数，由定理2 2 3 可得以下的推论2 2 2 推论2 2 2 若片册( t ，) d 埘1 ，盯詹q ；d 扣) 砒 0 ，刚方程( 2 2 3 ) 所有解振动的充分必 要条件是 胪f p 0 ( ) 如+ 矿f 卯。) 乱一a o ，a o 、 ( 2 2 4 ) 定理2 2 4 假设( h 2 2 1 ) 及以下条件成立， ( h 2 2 ”存在尬t o 和t o 【o ，6 】，使得当t m 2 ，t ，【0 ，叫，i t , 【o ，6 】时，有 口( t ，u o ) 0 ，q ( t ，u ) q ( t r ( ) ，t 1 0 ) q ( t ，v c ) q ( t r ( 叫) ，牡) ； 9 高校教师在职硕士学位论文 【h 2 2 8 ) 存在正的连续函效日( t ) ，便得 t 1 i r ai n f l ( s ) d s o ，熙i n f 【赢fq(tit 0 0htj o ，“) d u l o ； t 、 h + 。 ( h 2 2 9 ) 以下两条件之一成立： ( 1 ) 。甄i u f 赠【南f b q ( t ，t ) 唧丘小) a h ( s ) d s d u + c c 幻f t 篱赘黼哪，a 日c s ，删叫) - ( 2 ) 。骧赶 璐南 g q ( t ，u ) e x p 正刊a ( s ) d s d u + c ( 幻f 而z 6 - o r 【1 + f 邢一下( ”) 一矿( 蛾埘) a w l 唧删一州a 日c 训s 叫幽 ， 其中c ( t ) 2 哑嚣瞧啦p ( 一口( “) ，t ，) ， 则方程( 2 1 3 ) 的所有解振动 注2 2 4 在定理2 2 4 中，取h ( t ) 兰1 ，则条件( h 2 2 8 ) 变为条件( h 2 2 5 ) ，从而易 得以下推论2 ，2 3 ： 推论2 2 3 假设( h 2 2 ，5 ) ( h 2 2 7 ) 及以t 勇k i q 2 一成立： ( 1 ) 。当耐 麟b 譬g ( t t u ) e 州砷如+ c ( o q ( t ，t 0 ) 譬而= 南同8 ”叫 1 ， ( 2 ) h t i m i n fl i n f 。 f b oq ( t , u ) e 蛔扣砒 + c ( ) g o ，t l o ) j 管i 丽石币1 ，：万露【o ( t r ( 研) ，钍) 【1 + 1 # p ( t f ( 1 l ，) 一旷( t ) ，w ) d w e a p + 4 ( “”ld t id 加 1 ， 其中。( 。) 2o 。螂r a i n s 。如p ( 。一。( 1 ) ，加) ， 则方程( 2 1 3 ) 的所有解振动 注2 2 5 在方程( 2 1 3 ) 中，取d = b = 1 ，p ( t ， f i g ) = p ( t ) ，r ( t ，) il q ( t ，t ) = 口( 0 ，仃( 曲i 口，则方程( 2 1 3 ) 变为方程( 2 1 2 ) 将推论2 2 3 应用于方程( 2 1 2 ) ，则 1 0 几类中立型泛函微分方程的振动性研究 改进了g r o v e ，k u l e n o v i e 和l a d a s 的文f 1 9 】的定理2 洼2 2 6 在定理2 2 4 中，取h ( t ) = 口( t ) ，则可得关于方程( 2 1 2 ) 的以下推论2 2 ，4 ： 推论2 2 4 设p ( t ) c ( t o ，+ o 。) ，【o ，1 1 ) ，q ( t ) g ( ，+ o o ) ，( 0 ，+ o o ) ) ，五口 0 ， 。里i n f 丘，q ( s ) d s 0 ，且以下两条件之诚立 ( 1 ) t - 】i m * + o o i n f l a i n f 0 陕唧丘，蛔( s ) d s + p ( t 一一) 唧盛，抽( 8 ) 叫 1 ， ( 2 ) l i m i n fi l i n f o 呋【唧见。a q ( s ) d s + p o 一口) 【l + p ( t r 一，) 】j 0 ，蛔( s ) 叫 ) 1 ， 则方程( 2 1 2 ) 的所有解振动 注2 2 7 推论2 2 4 改进了俞元洪的文( 4 l 】的定理3 2 3 引理及主要结果的证明 引理2 3 1 嘲假设p ( s ) c ( i t , + o o ) ，( o ，+ o o ) ) ，r ( t ) g ( e + o o ) ，【0 ，+ o o ) ) ， 甚耐o r ( 。) ) 2 + o o ，。里i n f 见r p ( s ) d s 0 令l - 2 辫0 7 ( t ) ，并设口( 8 ) e ( t - i ，+ o 。) ，( 一o o ，0 】) ，且满足 口( t ) + 即) 唧卜( t ) 口( s ) d 8 1 0 ，z ( t 一口( ) ) 0 ，t t i ，t 【o ，6 】 从而由( 2 3 1 ) ( 2 1 3 ) 式及条件( h 2 1 1 ) 知 ( t ) = 一上q ( t ，“) 。( t 一矿( u ) ) 如0 ，。l 。 ( 2 3 2 3 ) 因此，。! 堍z ( 0 = l ( 有限或一o o ) 存在 若z ( t ) 有界，则设。l i r a + 。s u pz ( ) 2p ，由( 2 3 1 ) 式及条件( h 2 1 2 ) 知， 工p 一。8 u p z 。p ( t ，”) z ( 一r ( t t ，) ) 胁弘【1 一熙唧j ( 4 p ( t ，1 j ) 删o 由于z ( ) 单调不增，故最终有z ( t ) 0 若( t ) 无界，则存在点列 瓦 ，矗t l ，满足 ，魄已= + 。o ，z ( 瓦) 2t o 一彳o i n a 。x 死茹( 3 ) 由( 2 3 1 ) 式及条件( h 2 1 2 ) 知 z ( 写) = z ( 兄) 一f p ( 矗，埘) z ( 瓦一r ) ) d _ 埘z ( 矗) 【l 一0 4 p ( 矗，t ，) d 埘】o 由于z ( d 单调不增，故最终有z ( t ) 0 由条件( h 2 2 1 ) 及( 2 3 2 ) 式知，( t ) 不能最终为零，故最终有z ( t ) 0 引理2 3 2 证毕 定理2 2 1 的证明若z ( t ) 是方程( 2 1 3 ) 的最终正解，设2 ( ) 如( 2 3 1 ) 式所示，由 引理2 3 2 及条件( h 2 1 1 ) 知，存在如t l ，使得当t 2 t 2 ， i o ，o 】，t 【0 ，6 】时。有 e ( t ) 0 ，z ( t ) 0 ，一盯( ) 一j r ( 删) t o ，z 0 一仃( “) 一2 下( t i ，) ) 0 ( 2 3 3 ) 令 晔) 一器，t 犰 ( 2 3 4 ) 1 2 几类中立型惩函微分方程的振动性研究 姗 r ( t ) o ，t t 2 再取t 3 2 t 2 ，使t 2 t a 时，有t 一叮( 一r ( t l ，) t 2 成立, k 丽r 有 笺铲= 唧( s ) 氓笺产= e x p f t t ( ) r ( s 其中t t 3 ，钮【o ，o 】，“i o ，6 1 由( 2 3 4 ) ( 2 3 2 ) 式得 r ( f ) = 地驾铲业t 红 由( 2 3 1 ) 式得 r ( t ) 2 上q ( t ，t ) 等铲+ 逖型避籍螋卜如【z 0 ) 二( t ) j 坤叶。二叼 由( 2 3 1 ) ( 2 3 3 ) 和条件( h 2 1 1 ) 得 ( 2 3 6 ) 卫0 一盯( t ) 一r ( ) ) = z ( f 一盯( ) 一r ( 埘) ) + f 一盯( t ) 一下( 加) ，仰净( t - ，) 一2 r ( t t ，) z ( t 一口( ) 一r ( ) ) ，t t a 从而由( 2 3 6 ) 式、条件( h 2 1 1 ) 、z ( t ) 的单调性和( 2 3 5 ) 式得 喇胁u “与产+ 逖地学乎幽 砒 r 。，) 掣+ 二6 丑丛生二! 尘生雩2 ；生二! 竖生迦】d 乜 = z 6 酢，u ) 【1 + z 4 p 。一心) m 删唧州r ( 8 ) a s a u ，t 岛 ( 2 3 7 ) 由( 2 3 7 ) 式得 r o r ( 。) 睨口( ，) 酬唧j ( 一。7 ( 8 ) d s , t 岛 1 3 高校教师在职硕士学位论文 很琚亡瓦和杀件( h 2 - 2 1 j ，冉号f 理2 3 1 得 ，1 0 熙i n f 上一。7 ( 8 ) 幽 o ，r ( t ) a 君口( f ，t ) 如最终成立 由( 2 3 7 ) 式知，1 a ，故a 非空据a 的构造可知最终有 。r ( s ) d s - 。咖s ，“) d u d s 从而 。l i r a i n 正r ( s ) d s 遗蒜l i m 盟i n ff t t = 。o f b o 尘q ( s , u 一) d u l d s 由( 2 3 8 ) 及条件( h 2 2 1 ) 知上式右端为有限数，即集合a 有界设h = s u p a ，易知 知a 因此存在t 4 m a x t 3 ，m ，当t t 4 时，由( 2 3 7 ) 式得 r ( t ) 【l + 皑m 唧m ， 。 p 一口( “) ， ) 训陋p 。r ( 刚s 】f 叮( u ) 札 1 1 + 凄她z 4 邢一盯( ) 一) d w e x p f t ：。r 如，“) 如】d s f o b q ( t ，u ) 如 瞄祀训 氍 【1 + 热f p ( 一，( u ) 一) d w e x p t 。 a o f o b q ( s ，u ) 钏d s 从而 班 【l + 艘f p ( 一a ( u ) 一) d w e x p _ 。i a o o b q ( 舭) 训d s ) a 于是 戡 【1 + o + r 暖。型韭盟茅删叫咖 r 如。，笺萨如 + f 瞳6 止盟等等产与掣叫粤 2 二t ) 唧丘州r o ) d s d u + 以她协) r ( t - - 7 ( ) ) 唧止删r ( s ) d s d w ，。5 ( 2 舢) 下面分两种情形讨论， 情形1 设条件( h 2 ，2 4 ) 中的( 1 ) 式成立 由( 2 3 9 ) 式得 r o ) j ck ( t ，“) 唧上一，m r ( 5 ) 幽】幽，t 琼 ( 2 3 1 0 ) 令如= t a + r 0 ，得 r i t - ，-