（基础数学专业论文）darboux变换求三个相关方程的孤子解.pdf

摘要 本文主要利用达布变换和达布阵的基本理论，求解三个方程新的精确解并分别以 “= o ，”= 1 作为种子解，利用达布变换得到三个方程新的多孤子解，讨论了n = 1 ，n = 2 时的情况。并选择适当参数做出了精确解的图像 关键词；谱问题；孤立子；达布变换；达布阵；精确解 a b s t r a c t t h i sp a p e rs t u d i e sm a i n l yt h ed a r b o u xt r a n s f o r m a t i o n b a s e do nt h i sm e t h o d ，w eo b t a i n t h en e we x p l i c i ts o l u t i o n so ft h r e ee q u a t i o n s f r o mat r i v i a ls e e du = 0 ，v = l ，w eu s et h ed a r b o u x t r a n s f o r m a t i o nt og e n e r a t en e wm u l t i - s o l i t o ns o l u t i o n so ft h r e ee q u a t i o n s ，t h e nd i s c u s st h ef i r s t t w oc a s e s n = ia n d n = 2 ，s l l i t a b l y c h 0 0 6 i n g p a r a m e t e r s ，w e p l o t t h e f i g u r e s o f t h e e x p l i c i ts o l u t i o n s k e yw o r d s ：s p e c t r a lp r o b l e m ；s o l i t o n ；d a r b o u xt r a n s f o r m a t i o n ；d a r b o u xm a t r i x ； e x p l i c i ts o l u t i o n 一引言 随着科学的发展，人们发现在客观世界占统治地位的是非线性现象，在对非线性科 学的研究中提出了孤子的概念，一般来说，任何空间中传播的扰动，都称为波在传播中 不改变形状，大小和方向的波称为孤波两个孤波经过相互作用仍不改变形状，大小和方 向，成为孤立子( 简称孤波) 孤立波具有非常奇特的性质，它们在相互作用时保持稳定 的波形，这颇类似于粒子的性质，即它同时具有粒子和波的许多性质它反映了非线性科 学中一类较为稳定的现象早在1 8 3 4 年，英国科学家s o t t r u s s e l 就发现了孤子水波，孤 立子理论的兴起，对求解非线 生偏微分方程及非线性科学的研究带来了新的内容有着十分 重要的意义孤子理论已成为研究非线性方程的主要手段之一孤立子理论在流体力学、 等离子体物理，非线性光学、经典场论、量子场论、化学、通讯、生命科学等诸多学科都 有重要应用，是一门涉及多学科、多领域的研究领域研究手段和方法在数学上涉及有经 典分析和泛函分析、微分方程和动力系统、l i e 群、l i e 代数和无穷维代数，微分几何、 拓扑学，复分析，椭圆函数、代数几何及计算数学等诸多数学分支数十年来，孤立子理 论一直受到国际上数学界和物理学界的充分重视，研究工作十分活跃，每年都有大量的科 研论文出现于专业期刊以及相关方面的专著出版在大学数学物理方程中，主要讨论的是 线性偏微分方程( 多数是常系数的) 用变量分离法求解这些方程的精确解的时候，通常 要导出所谓的特征值问题( 也称谱问题) 十分有趣的是，通常描述孤子的方程，也与谱 问题有关在孤子理论中，通常将带时间变量t 及一维空间变量x 的孤子方程称为“1 + 1 维的方程”，它可从对空间x 与时间t 的联立谱问题中导出 设 圣。= u 圣， 西t = y 圣， 这里面是z 和t 的1 2 维向量函数，矾y 是n n 矩阵，其元素中包含有谱参数及以z ，t 为 自变量的m 维向量函数u ( z ，t ) 及各阶导数为了使上述两个方程同时有解，西必须满足 相容条件 垂z t = 垂缸 由此，得 阢一k + 【以v 】= 0 ，f 以v = u y y 矿 这个方程在微分几何中称为零曲率方程在孤立子理论中。已有一系列方法用来求孤立子 方程的精确解，如反散射方法【1 8 ，3 4 ，2 9 ，3 1 l ，b i d 【l u n d 变换【3 6 ，2 0 ，2 8 ，2 5 ，3 0 l ，达布变 换方法( d t ) l z ，2 1 ，2 8 ，1 0 ，9 ，2 3 j ，h i r o t a 双线性方法【1 9 1 ，p a i n e v d 分析方法f 2 2 j ，以及代数几 何方法【3 2 ，1 0 】，非线性化方法【2 3 】，齐次平衡法【3 3 ，2 6 】等其中，达布变换是一种自然 而美妙的方法，它从平凡解出发可以得到孤子方程的精确解这些方法的发现和应用，使 得大量非线性偏微分方程得以成功求解对非线性科学的发展和应用具有重要意义达布 变换方法是构造非线性方程显式解的十分有效的方法之一另外，我们可以直接作n 次 达布变换，当n 取不同值时，利用纯代数方法直接给出孤子方程的多孤子解达布阵方法 的优点是只须作一次完全可积的线性方程组的求解，然后就可只用代数运算来得到非线 性孤立子方程的新解它的关键是寻找一种保持相应的l a x 对不变的规范变换，在这方 面已发展很多技巧并用于求解多种方程如a k n s 方程族，d a v e y s t e w a r t s o n 方程，自对偶 y a n g - m i l l s 流，e i n s t e i n - m a x w e u 方程1 2 5 ，3 0 ，2 7 ，2 3 ，2 6 】等等达布阵方法起源于z a k h a r o v 和s h a b a t 的穿衣服方法【2 9 】后来m a t v e e v 和s m i e ，n e u g e b a u e r 和m e i n e l 分别发展并完 善了达布阵方法 在本文中我们考虑著名的k a d o m t s e v - p e t v i a s h v i l i 方程： 缸一6 p p x + m 一) 。+ 3 p v = 0 ( 1 1 ) 该方程出现在物理学的众多领域中，常用来描述二维小振幅弱色散波，如二维浅水波，未 磁化等离子体声波等 在【i l o us y 和h u x b p = - 2 u( 1 2 ) 我们可以得到两个相关的( 1 + 1 ) 维h b k 【2 ，7 ，1 2 】方程 嘶+ 4 ( + 护一轧+ 乩z = o ( 1 3 ) iv t + 4 ( v z z + 3 u 2 + 3 u v x + 3 v 2 b = 0 和( i + i ) 维b k 【2 ，5 ，6 ，8 ，2 0 】方程 嘶2 z 一2 ”口一2 ( 1 4 ) i 蜥= 一t k 一2 ( u k 这两个方程都是研究长波浅水波传播很好的模型 关于k a d o m t s e v p e t v i a s h v i l i ，b k 和h b k 方程我们已有很多方法求出其孤子解，如齐 2 次平衡法，h i r o t a 双线法，达布变换法，反散射法等但求出此三个方程新的精确解是物 理学中流体力学非常感兴趣的本文主要研究用d a r b o u x 变换法求出新的孤子解 在【2 f a ne n g u i 利用l a x 对，通过d a r b o u x 变换法求出k p 的孤子解关于达布变换 法文献中对b k 方程研究的比较多【2 ，5 ，6 】。而h b k 【7 】还比较少本文就构造了一个不 同于其他用d a r b o u x 法求b k 和h b k 文献中的d a r b o u x 阵，并求出三个方程的孤子解 我们考虑与2 2l a x 对相对应的d a r b o u x 变换 其中u 具有下列形式 和相应的辅谱问题 吒= u 垂 u ：f ， ( a 叫 1 圣”= 矸7 面，垂= y 圣 其中w 具有下列形式： = ( 一 a 2 一- a 一( u 。x u 2 、；a v 。a + + ；v 。x 。+ 一u v 。，) 其中v 具有下列形式； n n 砒n 1 2 ) ， n n = 一 a 3 一口a + ( 一2 + u 3 + 2 u v 一3 u u z ) n 1 2 = v a 2 + ( + “ ) a + 【( + u k + u ( + “钉) + 2 v 2 】 n 2 1 = 一a 2 一u a + ( u 。一2 v u 2 ) 下面考虑谱问题的达布变换首先引入谱问题的规范变换 西= t 壬 进而l a x 对转化为 圣。= u 圣， 3 ( 1 5 ) ( 1 6 ) ( 1 7 ) ( 1 8 ) 吼= 圣 圣t = v 圣 ( 1 9 ) ( 1 1 0 ) 其中t 由下式确定 b + t u = u l( 1 1 1 ) 毛+ t w = w 正( 1 1 2 ) 五十t 矿= y 2 j ( l 1 3 ) 谱问题的规范变换称为达布变换，若它将相应的谱问题转化为相同形式的谱问题，将矩阵 以彬y 中的位势“， 映射为新的位势面，o 关于这类由三个方程确定t 的问题，多是从空间变量x ( u ) 出发，通过验证空间变量 y ( w ) 和时间变量t ( v ) ，来求出t 的，进而求出方程的孤子解，本文没有直接将三个方程 放在一起考虑，而是将空间变量x 和时间变量t ，空问变量x 和空间变量y 分成两组谱问 题分别考虑，就是本文的h b k 和b k 方程，通过分别求解h b k 和b k 方程来确定t ， 并得到h b k ，b k 和k p 的孤子解 考虑当( u ，v ) 是方程( 1 3 ) 和( 1 4 ) 的解时，我们由( 1 2 ) 可以得到k p 的解 4 二h b k 方程的达布变换 我们考虑下列谱问题 其中u 具有下列形式： 和相应的辅谱问题 其中v 具有下列形式 吒= c ，圣，垂= ( ：) u ：一，一1 l1 一( a u ) 西t = v 垂 y ：f h 1 n 2 1 一1 1 ( 2 1 ) ( 2 2 ) 1 1 = 一；a 3 一v a + ( u x x 一2 t k + u 3 + 2 u v 一3 u u z ) n t 2 = u a 2 + ( t k + 缸廿) a + 【( + u v ) z + u ( v z + “钉) + 2 v 2 】 j 1 = 一a 2 一“入+ ( “$ 一2 v u 2 ) 相对应的h b k 方程 时4 ( u z x + u 3 - 3 u u z + 6 w k ( 2 _ 3 ) i 砚+ 4 ( 屿咄+ 3 u 2 + 3 u v x + 3 v 2 k = 0 其中u ，v 是位势，a 是常参数相容条件垂。产垂“产生了零曲率方程 巩一k + 明= 0 下面考虑谱问题( 2 1 ) 和( 2 2 ) 的达布变换首先引入谱问题( 2 1 ) 和( 2 2 ) 的规范变换 其中五由下式确定 圣= 乃西 5 ( 2 4 ) ( 2 5 ) 进而l a x 对( 2 1 ) 和( 2 2 ) 转化为 n t + 丑v = v 丑 垂= u 垂 垂t = v 垂 ( 2 6 ) ( 2 7 ) ( 2 8 ) 谱问题的规范变换称为达布变换，若它将相应的谱问题转化为相同形式的谱问题 假定 耻a a 印a b ) 偿。， 一1一1一l一l a = + a k a k ，b = b k ：a k , c = c a k , d = + d k a 。 k = ok = ok = ok = o 妒( ) = ( 妒1 ( ) ，妒2 ( ) ) t ， 复：乏二篡：= 蝥 a e + + a 乃j 。b = ：o 。, ， 摩n - 1 渊 乃= 涨毒渊 ( 2 1 0 ) ( 2 1 1 ) ( 2 1 2 ) 当常数和( 札，饥，k j ) 适当选择时，( 2 1 1 ) 的系数行列式非零氐，鼠，g ，d k ( 0 k s n 一1 ) 由线性系统( 2 1 1 ) 唯一确定，而d 在下文给定 矩阵( 2 9 ) 是 的2 n 次多项式且 d e f t l ( a j ) = a ( ) d ( 知) 一b ( b ) g ( 如) 另一方面，由( 2 1 1 ) 可知 a ( 知) = 一口b ( ) c ( ) = 一a d ( 知) 所以 2 d e r r l ( ) = ( a 一) j = l 这表明( 1 j 2 n ) 是d e t t l ( a ) 的根 命题1 ：设a 满足方程 q = ( 一1 + 1 ) ( 2 1 3 ) 由式子t 1 。+ 死u = 疗n 确定的矩阵疗与矩阵u 具有相同形式，即驴可以表示为 疗= ( 3 似_ 神一；( - 二彩) ， 下列变换 面= “一p ”( c n l + 1 ) 】z ， ( 2 1 4 ) o = ( b n 一1 + 口) ( ( 抽一1 + 1 ) ， 将原来的位势函数”和”映射为新位势面，口 证明：设町1 = ( d e t 乃) 一1 t i 且 c 阶( 然然) ， 仁坳 t i 表示乃的伴随矩阵，容易验证厶 ( 8 ，z = 1 ，2 ) 是a 的2 n + 1 或2 n 次多项式当 a = 0 = 1 ，2 ，2 n ) 时，利用( 2 1 ) 和( 2 1 2 ) 可以得到方程 a j 声= 1 一( 一u ) o + u 弓( 1sj 2 n ) ( 2 1 6 ) 利用上述关系通过直接计算，所有0 = 1 2 ，2 n ) 是厶l ( 8 ，z = 1 ，2 ) 的根，进而( 2 1 5 ) 可以改写成 p ( a ) 有以下形式 ( 孔口+ 噩c ，) 玎= ( d e t t l ) p ( a ) 跗，= ( 础扩咄篡趔) 其中磺( 七，j = l ，2 ，z = o ，1 ) 与a 无关，所以方程等价于 丑z + 正u = p ( a ) 噩 比较等式( 2 1 8 ) 中a + 1 , a 和a 一1 的系数，可以得到 p f ；= ；，硝? = 1 ，f 曼) = 一， 硝? = ( i n a ) 。一札，p 粤d 一1 = a 2 ( u b n 一1 + b n 一1 声一口a 一l b n - 2 ) 尸尝= 一( 1 n a ) 。一1 + 翰一2 一 u c n l + d 一l a 2 a 一1 ( 2 1 7 ) ( 2 1 8 ) 通, i t 计算，可以得到 础= 一知馊) _ 吨4 0 k j l 面 对比( 2 5 ) 和( 2 1 8 ) ，即得 驴= ( 瓤a _ 引一；二二动) ， 证毕 若妒( ) ，砂( ) 也同时满足( 2 2 ) ，采用与命题1 类似的方法，我们可证明在变换( 2 4 ) 和( 2 1 4 ) 共同作用下，由( 2 6 ) 式确定的矿与v 有相同的形式零曲率方程化为 玩一亿+ 【疗，矿】= 0 ， 同样可以导出h b k 方程，即 ：二麓量羞：翟羔。 命题2 ：设n 满足关于t 的一阶常微分方程， ( 1 n d ) t = 一2 ( t l 一2 t k + t 户十2 u v 一3 t 。) + 4 ( “一 t n ( c n 一1 + 1 ) k ) ( z h 一1 + v ) ( c n 一1 + 1 ) + 2 ( t l 一【l n ( c n 一1 + 1 1 z 。) + 2 ( u i l n ( c n 一1 + 1 ) 】$ ) 3 + 4 1 m c n 一1 ( b 一1 + ) + 4 ( 2 u b , v 一1 + b n 一1 ，z ) 一6 ( t 一p n ( ( k 一1 + 1 ) k ) ( “z p n ( 1 7 k 一1 + 1 ) j z z ) + 墅盘d 且竺尘巫堡生生业主监旦生吉竽当竿 生生垃生型土地圣划一4 ( b n 一1 + v ) ( o n 一1 + 1 ) k o 一】十i 由式子噩t + 孔v = 矿噩确定的矩阵矿与矩阵y 具有相同的形式，即矿可以表示为 矿n n 砒y 1 2 ) ， n n = 一；a 3 一o a + ( 面z z 一2 谣+ 面3 + 2 面。一3 面面z ) 1 2 = 面a 2 + ( + 面面) a + f ( + k + 豇( + 面面) + 2 云2 】 n 2 l = 一a 2 一面a + ( u x 一2 i 一面2 ) 在同一达布变换( 2 5 ) 和( 2 1 5 ) 作用下，原来的位势函数u 和”映射为新位势豇和口 证明。设巧1 = ( d e t t l ) 一1 对且 c 啊= ( ：然剐 眨删 易验证g s t ( s ，f _ 1 ，2 ) 是关于a 的2 n + 3 次或2 n + 2 次多项式， 利用( 2 2 ) 和( 2 1 2 ) 可以得到方程 q ，t = 4 ( 一碍一1 l k + 。一2 v 一牡2 ) 一8 【一1 j 3 一 沁+ j ( 。一2 + 护- - 2 u v 一3 ) 】町 一4 p 碍+ 池+ 口) + + k + u + u v ) + 2 v 2 1 砖， ( 1 j s2 n ) 通过上述关系，直接计算可以知道( 1 j 2 n ) 是吼z ( 8 ，f = 1 ，2 ) 的根，进而( 2 1 9 ) 可以 写成 q ( a ) 有以下形式 ，= r 裂麓瓣扩 9 、， 舱 口 2 + + n 船 入 口 ”2 + “妒 + 2妒谚 砷2 + d 护 p 挖g 其中q 。 ( o ( 、k ，j = l ，2 ，z = 0 ，1 ，2 ，3 ) 与a 无关 所以方程( 2 2 0 ) 等价于 噩 t + 噩u = q ( a ) t 1 比较( 2 2 1 ) 中a 郴，a + 2 和a + 1 的系数，可以得到 g ：= 一2 ，矗爹= g ；= 0 ，摆= 一4 ，蠢爹= 2 ， 口i i = 一4 0 ，矗= q i 爹= 4 0 ，q 5 ：= 一4 f i ，g = 4 ( 面0 - 4 - o = ) ( 2 2 1 ) 比较( 2 2 1 ) 中入和a _ 的系数，可以得到 q i = 4 ( v a 一1 一b 一2 + u b 一1 + b _ 一1 ，一如+ 矛a 一l + ( b n l + v ) ( u c n 一1 一c _ 一2 ) ) + 2 ( 面。g + 面3 + 2 豇面一3 面面。) 口2 y 0 2 ( 0 1 ) = 一4 ( c n 一3 + v c , v l + d 一2 + u d 一l 0 2 a 一2 一o z 2 t 2 a 一1 + 面翰一l u z + 2 v + u 2 ) 击q 拿= 4 v a n 一2 + 4 ( v z + 伽) a _ 一l + 4 i ( + “u k + “( 十伽) + 2 v 2 】+ 4 b n 一3 十4 v b n l + 4 0 b 一1 41 a - , 占o d n 一2 4 壶( 面o + i x ) d n 一1 建 = 一( 1 n a ) t + 4 v ( c n 一2 + d 一1 + ( 十u v ) c 一1 + o l 2 b n 一2 + a 2 面b n l o d n 一1 ) 一2 ( 地z 一2 t k + “3 + 2 u v 一3 t 正u 2 ) 另一方面，利用命题1 ，比较方程( 2 1 8 ) 中a n - 3 , a n - 2a o 的系数，有 b 一2 一赤面d 一1 一u b n 一1 一b 一l ，z + v a n 1 = 0 c n 一2 一( c n 一1 + 1 ) a j v 一1 一u c n 一1 + d n t = 0 a 一2 ，+ 2 b n 一2 + 由面( k 一2 = 0 d 一2 z d n 一3 一 c _ 一2 一( c n 一1 + 1 ) b n 一2 = 0 利用上述关系通过计算，可以得到 q = 4 ( 面口+ 磁) ，醴0 ) = 4 ( a 一2 0 一。2 ) ，口1 0 1 ) = 2 面。+ 2 f i a + 4 f i d 一瓶磁一4 ， q l o ) = 4 ( 2 。2 + 舰蟊+ 砚。+ 面2 。+ 4 如$ ) ，q 磐= 一2 2 f i a 一舰。+ 6 t i f f = + 4 对比( 2 6 ) 和( 2 2 1 ) ，即得 矿：。f 1 t l 。1 2 l 一l l i 1 = 一 a 3 一面a + ( 面。一2 十面3 + 2 面。一3 露面z ) n 1 2 = 雷a 2 + ( + 面面) a + 【( + 面面k + 面( + 丽) + 2 云2 】 2 l = 一a 2 一面a + ( 豇$ 一2 9 一铲) 证毕 根据命题1 和命题2 ，达布变换( 2 4 ) 和( 2 1 4 ) 将l a x 对( 2 1 ) 和( 2 2 ) 映为相同形式的 l a x 对( 2 7 ) 和( 2 8 ) ，并且两个l a x 对通过相容条件都可以得到相同形式的孤子方程( 2 3 ) 我们也称( 圣，u ) 一( 圣，面) 是孤子方程( 2 3 ) 的达布变换 综上所述，有下面定理成立 定理1 ：孤子方程( 2 3 ) 的一个解“= ( “，”) 在达布变换( 2 4 ) 和( 2 1 4 ) 作用下，映射为 另一个解面= ( 面，o ) ，其中b n _ 1 ，c r 一l 由线性系统( 2 1 1 ) 确定 h b k 方程达布变换精确解利用上面给定的达布变换我们可以得到孤子方程( 2 3 ) 一系列的精确解以平凡解u = o , v = 1 作为种子解，代入l a x 对( 2 1 ) 和( 2 2 ) 中，可以得 到( 2 1 ) 和( 2 2 ) 的基本解选取两个基本解为 m ，= ( 伽蒜僦白卜，= ( 勺砌嚣鼬白) ，仁z 。， 其中 白= 一c a x + 卢j t ) ，c j = 一、i 碍一1 ，岛= 一4 ( 碍+ 2 ) ， ( 1 j 2 n ) 根据等式( 2 1 2 ) 有 即= c j 箍+ a j ( 1 sj 2 ) ( 2 2 3 ) 由线性系统( 2 1 1 ) ，利用克莱姆法则求解，得 其中 a = a ，- 1 口1 a 多_ 1 0 2 a q 0 3 1 观a 2 a 2 n o 2 na 知a 茄1a 茄1 0 2 n 口_ 一1 = 1 0 2 na 2 na 2 n 0 2 na 知a 茄1 一a 知 1 2 丛 q 孚警 = i | 以 。鼬 o o 以 h 碍碍增镌豫 m 砚 知 肺 加 舡 知 吼 眈 以 1 i 1 1 ，23 a a 入 一 一 一 o o 以 123 a 一 一( 增镌醒 q 眈 加 砧 舡 炮 加 以 观 田 l l 1 & c n l = - 1 口1 a ，_ 1 t r 2 a r - 1 以 1 c r 2 a 2 na 2 n a 2 n 孙- - a 茹n a 2 na 茄1 a 2 n 从而利用达布变换( 2 4 ) 得到方程( 2 3 ) 的非平凡解， 面= t 一 i n ( c n 一1 + 1 ) k ， 口= ( b n 一1 - i - v ) c c n 一1 + 1 ) 我们考虑n = i 和n = 2 两种简单情形 ( 1 ) 当n = i 时，设a = a 1 ，a 2 ，根据已知条件和线形系统，可以得到 b o ：a 2 - a i ，c o ：口l 砚业 u 1 一u 2 u 2 一盯1 进而，利用达布变换，h b k 方程的一个解为 订( 1 j = 一【f n ( 一t 一。磊a 2 - a i + 1 ) k ，。【l l = 而a 2 - a i + 1 ) ( 盯一。； 三鲁+ 1 ) 参数适当选择时，可得到图像， t = 0 ( 2 2 5 ) - 2 1 5 一j 0 5 - - u o d 5 | | j f i 9 1 面 1 】，a 1 = 一4 ，a 2 = 4 ，r l = r 2 = 0 ，t = 0 1 3 叽 观 23 a a a 一 一 一 艟镌碡 以 观 田 加 抛 舳 舢 抛 加 以 眈 如 l l l t t = 0 0 1 、 一6 一 o 60 8 用一1 - i 0 f i 9 2 d 【1 1 ，a l = - 6 ，k = 7 ，t 1 = r 2 = 0 ，t = o 0 1 ( 2 ) 当n = 2 时，令a = 知0 = i ，2 ，3 ，4 ) ，根据已知条件和线形系统，可以得到 耻百a b i ，c i = 等 = 盯1 a 1盯l a l d 2 a 2d o a 2 以a 3 a 3 口4a 4 吼a 4 a c i2 a b l = g 1 一口1 a 0 - 2 一观a 2 o - 3 一碍 0 - 4 一c r 4 a ； 盯1 a 1 0 - 2 x 2 j b 以a 4 从而，根据达布变换可以得到h b k 的另一解，我们可以得到 缸【2 】= “一【z n ( c i - i - 1 ) k o 【2 】- ( b i + ) ( e l + 1 ) 1 4 研碹 一 一 舢 肥 叽 眈 碍增 一 一 舳 加 晚 以 三b k 方程的达布变换 我们考虑下列谱问题 其中u 具有下列形式 和相应的辅谱问题 其中w 具有下列形式 圣。= u 西，西= ( ：) u ：f ；o u ) 一” 1 1 一 ( a 一“) 屯= w 垂 r = ( 一；a 2 一- a 一( u 。x u 2 ) ；a v 。x + - i - ；v 。x 。+ 一u v 。，) ( 3 1 ) ( 3 2 ) 相对应的b k 方程 一u y = u x z - - 2 u u z - - ，。2 s ， 其中u ，v 是位势，a 是常参数相容条件西。= 圣，产生了零曲率方程 一4 - 瞰w 】= 0 下面考虑谱问题( 3 1 ) 和( 3 2 ) 的达布变换首先引入谱问题( 3 1 ) 和( 3 2 ) 的规范变换 其中乃由下式确定 进而l a x 对( 3 1 ) 和( 3 2 ) 转化为 西= 乃西 死。+ 噩u = 【，马， 乃，+ 乃w = w 马 中。= u 垂 1 5 ( 3 4 ) ( 3 5 ) ( 3 6 ) ( 3 7 ) 屯= w e 谱问题的规范变换称为达布变换，若它将相应的谱问题转化为相同形式的谱问题 假定 耻( a a 印a b ) 一1 n 一1 n l 一1 a = + a k a k , b = b k a k , c = q 以d = + d k a 。 k = 0k = 0k = 0k = 0 妒( ) = ( 妒1 ( ) ，忱( b ) ) t ， fa 妒l + b 妒2 一( a 妒l + b 妒2 ) ：o ， le 妒1 + d 妒2 一竹( e 仇+ d 仍) ：o ， fa + o j b = o ， 1e + 乃d ：o ， 瞎n - i 篇 ( 3 8 ) ( 3 9 ) ( 3 1 0 ) ( 3 1 1 ) 其中 。= 苏胄渊( 3 1 2 ， 当常数和( 丸，讥竹，k j ) 适当选择时，( 3 1 1 ) 的系数行列式非零也，取，o k ，d k ( 0 n 一1 ) 由线性系统( 3 1 1 ) 唯一确定，而n 在下文给定 矩阵( 3 9 ) 是a 的2 n 次多项式且 d e t t 2 ( ) = a ( ) d ( ) 一b ( ) g ( ) 1 6 另一方面，由( 3 1 1 ) 可知 a ( ) = 一一b ( ) c ( a j ) = 一a d ( a j ) 所以 d e t 噩( ) = 1 - i ( a 一如) ( 3 1 3 ) 这表明( 1 j 2 n ) 是d e f f 2 ( x ) 的根 命题3 ：设o t 满足方程 口= ( c n l + 1 ) 由式子t 2 。+ t 2 u = o t 2 确定的矩阵驴与矩阵u 具有相同形式，即驴可以表示为 驴= ( 知_ 引一点) ， 下列变换 面= “一p ”( c n 一1 + 1 ) 】z ， ( 3 1 4 ) i = ( b n i + 口) ( i 确一l + 1 ) ， 将原来的位势函数u 和”映射为新位势面，i 证明：设巧1 = ( d e f t 2 ) - 1 巧且 c 啦一阱燃；) ， 埘 写表示t 2 的伴随矩阵，容易验证f s l ( 8 ，z = 1 ，2 ) 是a 的2 n + 1 或2 n 次多项式当 a = x j 0 = 1 ，2 ，2 n ) 时，利用( 3 1 ) 和( 3 1 2 ) 可以得到方程 乃# = 1 一( 如一u ) 乃+ v 4 ，( 1 s j 2 n ) ( 3 1 6 ) 利用上述关系通过直接计算，所有u = 1 ，2 ，2 n ) 是厶l ( s ，z = 1 ，2 ) 的根，进而( 3 1 5 ) 可以改写成 ( 死，z + 乃u ) 墨= ( d e t t 2 ) p ( a ) ，( 3 1 7 ) p ( a ) 有以下形式 跗，= ( 硝_ 扩蛾篡趔) 其中础( ，j = l ，2 ，i = o ，1 ) 与a 无关，所以方程等价于 乃口+ 乃u = p ( a ) t 2 比较等式( 3 1 8 ) 中a + i , a 和a - 1 的系数，可以得到 硝= ，磺= 1 ，簏= 一 ， p 0 = ( i n s ) 。一 尸篮d 一1 = s 2 ( u b n l + b n 一1 ，。一v a n l b n 一2 ) ，掣= 一( 1 n n k 国一1 + g 一2 一 u c n 一1 + d l v 一1 一s 2 a v 1 ( 3 1 8 ) 对比( 3 5 ) 和( 3 1 8 ) ，即得 疗= ( 如_ 引一纛) i 证毕 若妒( ) ，砂( ) 也同时满足( 3 2 ) ，采用与命题3 类似的方法，我们可证明在变换( 3 4 ) 和( 3 1 4 ) 共同作用下，由( 3 6 ) 式确定的矿与矿有相同的形式零曲率方程化为 玩一眈+ 【u 一，w 一】_ 0 ， 同样可以导出b k 方程，即 i = 一2 f i f i x 2 1 ：一。一2 ( 面k 命题4 ：设a 满足关于y 的一阶常微分方程， ( 1 i l n ) 分= ( 轴一i ( b n 一1 + 口) 一 t b + 1 1 n ( c n 一1 + 1 ) 】嚣+ ( “一【l n ( c n 一1 + 1 ) k ) 2 + ；( t k u 2 ) ( c n 一1 + 1 ) ；+ b 一1 ( 一l + 1 ) 由式子t 2 ，。十t 2 w = 形易确定的矩阵形与矩阵w 具有相同的形式，即形可以表示为 形= r 二等铲) ；搽0 一a 一面 去a 2 + 专( 砚：一面2 ) 1 8 一“ 1 2 = 螋 一一 = 2拜 一“ 1 2 一 = 群 到得 以 可算r过 通 在同一达布变换( 3 5 ) 和( 3 1 5 ) 作用下，原来的位势函数u 和”映射为新位势面和口 证明t 设巧1 = ( 蹦乃) - 1 写且 c 乃，+ 死w ，写= ( ： 箬： 竺) 易验证9 8 t ( s ，z = 1 ，2 ) 是关于a 的2 n + 2 次或2 n + 1 次多项式， 利用( 3 2 ) 和( 3 1 2 ) 可以得到方程 q ，f = 一知一“+ ( 碍+ 一t 2 ) 乃一( 口 1 - v z + 删) 亏，( 1 sj 2 n ) ( 3 1 9 ) 通过上述关系，直接计算可以知道( 1 j 2 n ) 是g , t ( s ，z = 1 ，2 ) 的根，进而( 3 1 9 ) 可以 写成 q ( a ) 有以下形式 q ( a ) = ( 乃，p + 兄) 巧= ( d a t 2 ) q ( a ) 口i ；a 2 + q i j a + 口 o q 四a + q 凹 毋a + 嚣q 罢a 2 + 建a + 趔 其中q i ? ( k ，j = 1 ，2 ，l = o ，1 ) 与a 无关 所以方程( 3 2 0 ) 等价于 噩，f + 乃w = q ( a ) t 2 比较( 3 2 1 ) 中a + 2 和a + 1 的系数，可以得到 括= 一，趔= ， q j = 趔= 0 ，矗j = 一1 ，q 1 1 ) = 。 比较( 3 2 1 ) 中和_ 1 的系数，可以得到 口 ：= 鲁一；( “。一“2 ) 一b n 一，一丛 攫= 一c n - 2 1 + d 芦n - 一1 t u + a 一1 q 磐= a 2 ( v a 一1 + + “秽+ b n 一2 ) 一o d 一1 q 罢= 一生o t + ；( 一u 2 ) + v c n 一1 + o r 2 b n 一1 ( 3 2 0 ) ( 3 2 1 ) 另一方面，利用命题3 ，比较方程( 3 1 8 ) 中a 。v _ 1 的系数，有 b 一2 一。d 1 r n - 1 + v a r y 一1 = u b n 一1 + b k 一1 ，z c , v 一2 一a 2 a n 一1 + d 一l = 一n 一詈+ 型丕生2 幽 馥 = 面，q 弹= 一( 面。一面2 ) ， q 罂= + 丽，拶= 矾1 - 一铲) 对比( 3 6 ) 和( 3 2 1 ) ，即得 形= r 二等确；蒜= 。，) ， 一a 一面 吾a 2 + 吾( 面2 一面2 ) 证毕 根据命题3 和命题4 ，达布变换( 3 4 ) 和( 3 1 4 ) 将l a x 对( 3 1 ) 和( 3 2 ) 映为相同形式的 l a x 对( 3 7 ) 和( 3 8 ) ，并且两个l a x 对通过相容条件都可以得到相同形式的孤子方程( 3 3 ) 我们也称( 垂，”) 一( 毒，面) 是孤子方程( 3 3 ) 的达布变换 定理2 ：孤子方程( 3 3 ) 的一个解t = ( “，”) 在达布变换( 3 4 ) 和( 3 1 4 ) 作用下，映射为 另一个解面= ( 面，o ) ，其中c k 一1 b n1 由线性系统( 3 1 1 ) 确定 b k 方程达布变换精确解 利用上面给定的达布变换我们可以得到孤子方程( 3 3 ) 一 系列的精确解以平凡解t = 0 , v = 1 作为种子解，代入l a x 对( 3 1 ) 和( 3 2 ) 中，可以得到 ( 3 1 ) 和( 3 2 ) 的基本解选取两个基本解为 螂，= ( 删血蒜谳白) 洲栌( 删1 鼍咖h 白) ， z 矽 其中 白= 一勺( z a j v ) ，勺2 一、i 碍一1 ， ( 1 j s2 n ) 根据等式( 3 1 2 ) 有 a ，= c j 糍+ ；，( 1 s 脚)( 3 2 3 ) 由线性系统( 3 1 1 ) ，利用克莱姆法则求解，得 其中 = a ，_ 1 口l a ，- 1 0 2 a 多- 1 0 3 1 0 2 na 2 a 2 n 0 2 na 知a 茄1 磁1 0 2 n a b 一12 1 口2 a 2 ) 2 n u 2 na ；a 茄1 一a 知 2 1 ( 3 2 4 ) 孕警 = | j o o鼬西 以 o o 23 a a a 增镌堰 吼 眈 如 加 加 知 加 抛 舳 q 眈 以 1 1 l w 世碜 一 一 一 。 以 d 123 a a 入 增煺镌 以 眈 如 舢 知 知 抛 知 6 眈 1 1 l 1 i c 一l = a ，_ 1 口l a - 1 0 2 碍- 1 0 3 1 o 2 na 2 na 2 n f f 2 na 知一a 知a 2 na 茄1 0 2 n 从而利用达布变换( 3 4 ) 得到方程( 3 3 ) 的非平凡解 豇。一l f “( c n 一1 + 1 ) 】z ， f 3 2 5 1 o = ( b n l + t ，) ( c k l + 1 ) ， 我们考虑n = i 和n = 2 两种简单情形 ( 1 ) 当n = i 时，设a = a l ，a 2 ，根据已知条件和线形系统，可以得到 b o ：a 2 - a i ，c o ：口1 眈塑 进而，利用达布变换，b k 方程的一个解为， 面1 1 1 = 邮帕a 。邕+ 1 ) h 口 1 1 = 而a 2 - - a 1 + 1 ) ( 毗措+ 1 ) 参数适当选择时，可得到图像， y = 0 1 5八 l o 5 一、。j f 12 f 夕j f i 9 3 面【1 】，a 1 = - 4 ，a 2 = 4 ，r l = r 2 = 0 ，y = 0 矾 砚 以 123 a a a 一 一 一 墙遐碡 m 眈 加 弛 如 舢 舡 砧 叽 观 靠i y = 0 1 1 51一o 50 511 ! 、 羞 一、 一6 v 8 一1 0 1 2 - 1 4 f 9 4 o 【lj a 1 = - - 3 ，a 2 = 7 ，7 1 = r 2 = 0 ，= 0 i ( 2 ) 当n = 2 时，令a = 0 = 1 ，2 ，3 ，4 ) ，根据已知条件和线形系统，可以得到 b i = 百a b i ，a = 百a c i = 1a 1 盯1 入l 砚a 2 w 2 a 2 毋a 3u 3 a 3 m知u 4 a 4 a c , = 口l = o 1 一口l a i 0 2一砚蝎 0 3 一c r 3 碣 0 4 0 4 增 口la 1 一增 0 2a 2 一a ； 0 3a 3 一a ； 吼) t 4 一增 0 i a l 0 2 ) t 2 g 3 a 3 o 4 a 4 从而，根据达布变换可以得到b k 的另一解，我们可以得到 面f 2 】= u 一【h ( c i + 1 ) 】。 i 2 】( b t + 口) ( c i + 1 ) 四k p 方程的孤立子解 定理3 ：( ，”) 是( 1 + 1 ) 维h b k 方程和( i + i ) 维b k 方程的解，由命题1 , 2 ，3 ，4 及定理1 , 2 的推导可得，在t 的作用下，映射为另一个解面= ( 面，o ) ，则由p = 一2 f i 是( 2 + 1 ) 维 k a d o m t s e v - p e t v i a s h v i l i 方程的新解 ka a ，a 吉b 。) 他- ， a = + 如妒，b = b k a k , c = c k a k , d = + d k a ， 其中，n ，a k ，b k ，仉，d k ( o n 一1 ) 是x , y 和t 的函数 利用上面给定的达布变换我们可以得到孤子方程( 1 1 ) 一系列的精确解以平凡解“= o , v = 1 作为种子解，可以得到k p 方程的基本解选取两个基本解为 其中 m ，= k h 蒜砌白) 删垆( 删嚣n h f j 咖h 白) ，他z ， f j = - c a z 一+ 纵勺= 一v f 知- 一1 ，卢i = - 4 ( a 2 + 2 ) ，( 1 j 2 ) 根据等式有 。= 勺畿+ ；知，( 1 s j 。) 利用克莱姆法则求解，得 c n 一1 = 匀 ， ( 4 3 ) 其中 = 1 口1a 1a l 口1a i 1 o 2a 2a 2 a 2坨 1 0 3a 3a 3 增 1 f f 2 na 2 na 2 口2 na 知a 笳1a 茄1 0 2 n 吼 眈 的 一 一 一 l23 a a a i 一 一 一 23 a a a 一1 = a f _ 1 0 i a ，- 1 0 2 替_ 1 1 盯2 a 2 na 2 n 口2 na 2 一x f * 2 na 茄1 a 2 n 从而利用达布变换得到方程( 1 1 ) 的非平凡解 面= “一p n ( i ：k 一1 + 1 ) k ， 乒= 一2 面= - 2 u + 2 m ( c n 一1 十1 ) 】。 我们考虑n = i 和n = 2 两种简- 0 - 青形 ( 1 ) 当n