（基础数学专业论文）相场方程neumann问题解的渐近性行为.pdf

复旦大学硕士学位论文 摘要 相场方程是描述材料的相变( 即材料的状态变化) 的一种方式本文考虑相场方 程的n e u l t i i m t n 题的渐近性行为，证明当时间趋于无穷时，该问题的解将收敛到一 个稳态问题的解证明使用的主要工具是一个l o j a s i e w i c z s i m o n 型的不等式，它在本 文的第二章由两个引理给出第三章是渐近性的证明，由于第二章引理一得出本文 的相场方程问题是梯度系统的结论，我们只须证明对应的u 一极限集中只有一个稳 态点使用一个l o j a s i e w i c z s i m o n 型的不等式，及m a ，j e n d o u b i 的一个简化证明的 方法，我们得出上述结论 关键词：相场方程，渐近性，梯度系统，l o j a s i e w i c z s i m o n 不等式 m r ( 2 0 0 0 ) 主题分类3 5 8 4 0 ；3 5 k 2 0 中图法分类0 1 7 4 2 文献标识码a 1 本文已被s c l 期刊 c o m m u n i c a t i o n so np u r ea n da p p l i e da n a l y s i s 接收发表 复旦大学硕士学位论文 i i a b s t r a c t t h ep h a s e - f i e l de q u a t i o n si nq u e s t i o nw e r ep l 。o p o s e db yc a g i n a l pt od e s c r i b et h ep h a s e t r a n s i t i o nw i t hf i n i t et h i c k n e s so ft h e i n t e r f a c ei nam a t e r i a l w ec o n s i d e ri nt h i sp a p e r t h ea s y m p t o t i cb e h a v i o ro ft h ep h a s e f i e l de q u a t i o n sw i t hn e u m a n nb o u n d a r yc o n d i t i o n s w ep r o v et h a tt h es o l u t i o nt ot h i sp r o b l e mw i l lc o n v e r g et oas o l u t i o no fa ne q u i l i b r i u m p r o b l e ma st i m eg o e st oi n f i n i t y t h em a i ni n s t r u m e n ti no u rp r o o fi sal o j a s i e w i e z - s i m o n s t y l ei n e q u a l i t yw h i c hi sg i v e nb yt w ol e m m a si nc h a p t e r2 i nt h i sp a p e r 。c h a p t e r3i s c o n c e r n e dw i t ht h ep r o o fo ft h ea s y m p t o t i cb e h a v i o rs i n c ew es e ef r o mt h ef i r s tl e m m a i nc h a p t e r2t h a to u rp h a s e - f i e l d - e q u a t i o np r o b l e mi sag r a d i e n ts y s t e m ，w eo n l yh a v e t op r o v et h a tt h e r ei so n l yo n ee q u i l i b r i u mp o i n ti nt h ec o r r e s p o n d i n gu l i m i ts e t w e c a l ld e r i v et h er e s u l tb yu s i n gal o j a s i e w i c z - s i m o ni n e q u a l i t ya n das i m p l i r y i n gm e t h o d p r o p o s e db ym a j e n d o u b i k e y w o r d sp h a s e - f i e l de q u a t i o n s ，a s y m p t o t i cb e h a v i o r ，g r a d i e n ts y s t e m ，l o j a s i e w i c z - s i m o ni n e q u a l i t y 2 0 0 0m rs u b j e c tc l a s s i f i c a t i o n3 5 8 4 0 ；3 5 k 2 0 2 2 t h i s p a p e rh a sb e e n a c c e p t e d f o r p u b l i c a t i o n b y s c ip e r i o d i c a l o f c o m m u n i c a t i o n s o f p u r e a n d a p p l i e d a n m y s i s 第一章简介 本文讨论如下带有n e u m a n n 边界条件的相场方程初值问题的解的渐近性行为 n 妒t = 2 妒+ ；( 妒一妒3 ) 十2 u ， u l + 蛾= k a u ， 吼乩 妒l # o = 妒。 器j 。2 o ul = 0 = u 0 ( 。，t ) n ( 0 ，+ o 。)( 1 1 ) 其中n 是3 ) 中一个具有光滑边界r 的有界区域相应的稳态问题为： f 2 妒+ ( 妒一妒3 ) + 衙一南如妒出= o ，。n( 1 2 ) i 嚣i t = o ， v = 蠢一高上灿，z q 扭。， 此处及以后 m s z u 。血+ ；上伽如 c - 固 令睇= 妒h 2 ( q ) i 舞i r = o 由于问题( 1 1 ) 的全局解的存在唯一性在e l i i o t t 和z h e n g 3 】中得到了证明，则本文的主要结论可叙述如下： 定理1 1 设ncr n ( n 3 ) 是一个具有光滑边界r 的有界区域，( 仍n ) 碥磙 是问题“ 的解则存在( 妒，u ) 碥礤满足一纠- 一4 j j 而且，当时问趋于无穷 时，( u ) 在日2 ( n ) 日2 ( n ) 中强收敛于( 妒，) ，即 。羔罕k | i 妒一妒9 日z 20 ，。三罕k l l u 一”l l 蟊。20 ( l 5 ) 长期以来，对非线性耗散发展方程的渐近性质的研究吸引着众多数学家1 9 7 8 年m a t a n of 1 0 1 研究了一维非线性抛物方程初边值问题，证明了如果对任何时间变量 该问题的全局解有界，则当时间趋于无穷时，该问题的解收敛于一个稳态解也就是 说，该问题的u 一极限集中只包含一个点这方面的研究还可参考z e l e n y a kf 1 6 此后， 很多人尝试着把结果扩展到更高空间维数( 例如，【1 2 】及该文中引用的文章) 其中1 9 8 3 年s i m o n 1 3 】证明了如果方程中的非线性项关于未知函数u 是解析的，那么该问题的 复旦大学硕士学位论文 解收敛于一个稳态点他的证明依赖于有限维空间中的解析函数的l o j a s i e w i c z 不 等式的一般化说到相场方程，在最近的一篇论文 1 中，当时间趋于无穷时，d i r i c h l e t 问题的全局有界解的收敛性已经得到了证明 本文证明了当时间趋于无穷时，带有n e u m a n n 边界条件的相场方程的解趋于 一个稳态点要完成这个证明，首先我们要推导出一个l o j a s i e w i c z s i m o n 型的不 等式这个不等式的证明借鉴了s i m o n1 13 l 的方法然而，本文中的泛函m ( q ) 不同 于s i m o nf 1 3 1 的，这是因为在本文中，稳态方程( 1 2 ) 有一个非局部项其次，对相场方 程的n e u m a n n 问题来说，在d i r i c h l e t 问题中成立的性质u ( t ) 一0 ( t 一。) 并不成 立这样，主要证明中用到的l o j a s i e w i c z - s i m o n 不等式含有两个相关联的变量，而 在 1 】和 1 3 】中只有一个因此， 1 】中得至l j l o j a s i e w i c z - s i m o n 不等式的方法不能用来处 理本问题 为了解决这些数学上的困难，首先，我们证明( 1 2 ) 对应的l o j a s i e w i c z s i m o n 型不 等式；之后利用y 和e ( 定义见第二节) 的关系导出主要证明所需的双变量的l o j a s i e w i c z s i m o n 型不等式 本文是这样组织的：第二节给出本问题对应的l o j a s i e w i c z s i m o n 型不等式的证 明；第三节给出定理1 1 的证明 贯穿本文，记号表示l 2 ( n ) 中的范数，水表示索伯列夫空间h 3 中的范数( s 是 一个整数) 2 第二章几个引理 定义2 1 设h 是一个完备度量空间，s ( t ) 是定义在日上的非线性岛一算子半群连续 函数v ：日一r 称为s ( o 的l y a p u n o v 函 数，如果下面两个条件成立j 倒对任意。h ，y ( t ) z ) 关于弹调非增j 俐y ( z ) 是下有界的，即? 存在常数g ，使得对任何z 日，y ( x ) c 成立 由 3 】中的定理2 1 得，对给定初始数据( 啪( z ) ，“o ( z ) ) 璐璐，存在唯一全局 经典解( 妒，u ) 。该解定义了碥x 碥上的一个非线性岛一算子半群s ( t ) ： s ( t ) ：( 妒o ，i t 0 ) 一( 妒0 ) ，k t ) ) = s ( t ) ( 妒o u o ) 且品璐 由( 1 1 ) 我们有 未咐，删+ 上( 竽l v “h 耐) 虻。 ( 2 ，) 其中 呻) = 附，删= z ( 譬i v 卯+ j ( ；妒4 一扩) + 了2 u 2 ) d z ( 。2 ) 是问题( 1 1 ) 的一个l y a p u n o v 函数 定义2 2 9 i h 9 _ - - 个完备度量空间，s ( t ) 是定义在日上的非线性岛一算子半群，y ( 。) 是 它的l y a p u n o v f 函, 数那么s ( # ) ，更准确地说是( 日，s ( t ) ，v ) 被称为一个梯度系统，如果 下列条件被满足? 对任意z h ，存在t l 0 使得us ( 咖：在日中相对紧j 例如果对任意t 0 ，某点。日，矿( s ( ) z ) ) = y ( z ) 成立，则z 是半群s ( t ) 的一个固 定点 引理2 1 ( 碥，s ( o ，v ) 是一个梯度系统 证明：易见y ( t ) 是碥上定义的一个l y a p u n o v 区j 数。事实上，由( 2 1 ) 得，对任 意z ，y 碍，y ( s ( t ) ( 口) ) 关于t 单调非增af 1 3 y o u n g 不等式 妒2 i i 妒4 + 1 我们得到，对任意z ，e 碥，v ( x ，y ) c 对( 2 1 ) 关于t 积分得 附( 州呦+ o 和v u l 2 + a 恻1 2 d t = v ( 训 ( 2 3 ) 3 复旦大学硕士学位论文 由此可见，如果对任意t 0 ，某点( 妒o ，u o ) 碥丑帚有 y ( 妒( t ) ，“( t ) ) = y ( s 0 ) ( 妒o ，u o ) ) = y ( 咖，u o ) 则对所有t 0 ，q o 一v u = 0 又由方程( l 1 ) 口 得u t = 0 从而妒= 啪，u = u b ， ( 妒。o ) 是一个稳态解要证明( 碍占( t ) ，y ) 是一个梯度系统，只需证明存在1 o 使 得 u s ( t ) ( 妒o ，“o ) t ： t l 在碍碥中相对紧下面用稠密性证明来说明这一点 先设伽礤，【p o 碍，u o 碥，o 垛f h 1 q b 的结论，我们得到一个具 有更高正则性的整体解( 忱“) 使得 妒，让g ( 【o ，+ o 。) ；h 4 ( f 2 ) ) n c l ( o ，+ o o ) ；h 2 ( n ) ) n g 2 ( 【o ，+ o 。) ；三2 ( n ) ) 对( 1 1 ) 的第一个方程关于t 求导，再对结果乘以妒 在n 上积分，得 。i l 妒圳1 2 + 譬未l l v 妒川2 = ；上( 妒t 一。妒2 妒t ) i o t t d 。：+ 2 上u t 妒“d z 一c 1 , 磊1 酬1 2 + 弘圳n + ( 如酬2 + 扣圳2 ) 其中仍是一个常数：c i = i + 3 1 1 妒i i 护( 由于n 3 ，日2 ( n ) 一c ( n ) ，所以恻l l * 有意 义) 固定足够小的e 使得( c , 1 4 + 1 ) esn 2 ，则 弘圳2 + 譬翱v 洲_ c ( 1 l 妒d 1 2 删计) ( 2 4 ) 给( 2 4 ) 两边乘以t 再对它关于t 积分，考虑 未( i i v o , = t d l l v o d l 2 + i i v 【，o t l l 2 ( 2 5 ) 我们有 r r f l l v o d l 2 c r ( 1 l g ，t | | 2 + i i 毗1 1 2 ) d r + l i v 妒z l l 2d 下 j 0j 0 ，tr c t 0 ( i i 妒t | 2 + | | u t | | 2 ) d r + 0 | j v 妒t | | 2 8 rjj 由1 1 中定理2 1 证明过程得到 z i i 研1 1 2 d r _ 0 及口 ( 0 ，1 1 2 ) ，使得对所有的妒确，怕一妒1 1 日z a ，有 i e ( 妒) 一砌) 1 - 0 0 ，则 ( 钿拙捌= 上( 2 i v q t 2 一j l u 2 + 互3 幽2 ) 妇 + 高( 上珈) 2 + a 五粕z 2 i l v q i l 2 + ( a i 1 ) i l q l l 2 o l t q lj 2 6 螬2 出 砂 ，厶塑h 复旦大学硕士学位论文 ( l c q + a q ，q ) l i l c q + a q i l l l q l l ， 令g = m i n ( f 2 ，a 一；) ，我们有i l l p q + a g | | c ij q l l 再由椭圆方程的正则性，我们有 i i 三十g + a q | | c l l q i i h 。 因而l c q + a q 是可逆的于是问题( l ) ： 描 协。- ， 有n e d h 0 1 n 1 二则性结果：如果e r ( 如) = 0 ，贝l j v h 二2 ，问题( l ) 存在唯一解q 灯2 ； 否则，d i m ( k e r l 妒) 有限，问题( l ) 可解的充分必要条件是 ( k e r l m ) 1 j d k e r l 讪壬至l 2 中的标准正交基为( 妒，妒。) ，是五2 到耳e r 如上的投影定义碥 至i j l 2 的算子励下： c 口= 叮+ 口( 2 2 2 ) 则：碟一l 2 是1 1 到上的映射 再定义妒= 妒+ q 及m ：碍一l 2 如下： 讹) 一f 2 a c p _ 1 互1 妒3 一篱+ 南( 咄 ( 2 。3 ) zz l l1 3 n 用d m 表示m 的f r e c h e t 导数，由于 我们得到 套 d m ( 0 ) u = d u ( ”) | 。 一e 2 a v - 扩1 + 高z 他 = l c v d m ( 0 ) = l o ( g ) = m ( q ) + h q ( 2 2 4 ) ( 2 2 5 ) 7 复旦大学硕士学位论文 类似地可以算出d ( o ) ”= 岳( s u ) l 。；o = ，这表明d n ( o ) = 于是 w e ( o ) = d m ( 0 ) + d n ( o ) = 三 为了说明的解析性质，我们引用下面的定义( 参见 1 4 定义8 8 ，或 2 】) ： 定义2 3 设x ，y 是两个日n c 空间，u c x 是一个开集映射t ：u y 在z o u 是 解析的，如果对所有f o 存在r 0 和序列丑3 , ( x ，y ) 惭有将x 映入l ，中的对称， 有界，f 哉性的算子的集合j ，使得对所有。u ，i i x x o i l r ，丁满足下面两个条件? 恻z z o o 丁( z ) = 丑( z z o ) f 0 映射丁称为是解析的，如果它在每一点z o u 解析 记 m ) = ；( 妒v ) 十而2 m 一高上皿 由s o b o l e v 嵌入定理，n 3 时，h 2 ( n ) q 三”( n ) 我们可以引用下面m i r o n e s c u r a d u l e s c u 1 l 】中的引理： 引理2 3 映射 工( n ，r d ) ju 一，( 让) 三。( n ，r 4 ) 是解析的 用上面的引理可知算子在原点的邻域中是鳃析的。由非线性分析中的局部逆 算予定理( 参见 1 5 】1 7 2 页，推论4 3 7 ) k j j 田，存在碥空间中原点的邻域肌( o ) ，及工2 空 间中原点的邻域w 2 ( o ) ，且存在的逆映射 皿：w 2 ( o ) 一肌( o ) ， 使得 ( 皿( g ) ) = g ，v g 1 ( o ) ， ( 2 2 6 ) 皿( ( 口) ) = q ，均啊( o ) ( 2 2 7 ) 且其逆映射皿也是解析的此外，存在正常数c 使得 l i 皿( 9 1 ) 一中( 9 2 ) l i h ：c l l 9 1 一9 2 队的1 ，9 2 i ( o ) ， ( 2 , 2 8 ) l l 。v ( 口1 ) 一( 啦) j i c l l q l 一啦l j h 。，1 ，9 2 w ，1 ( o ) ( 2 2 9 ) 8 塞里盔堂塑堂焦迨塞 9 此后我们用c 在不同处表示不同的正常数 令 ”= ( 轧一，辄) r k ，q = 啦仰 j = t 当日足够小时，显然我们有 仍叻- w 2 ( o ) j = l 现定义r ：舻一r 如下： k r ( 口) = e ( 皿( 仍竹) + 币) = e ( 母( g ) + 妒) 易见1 1 ( _ ) 在舻中原点的某个邻域中解析 从( 2 2 6 ) 中可得在这个原点邻域中，下面关系成立 即，对q m ( o ) 对g ( 0 ) ， d n ( q ) d 皿( 9 ) = i d ( q ) c ( h 2 ，l 2 ) d g ( g ) e ( l 2 ，日2 ) ( 2 3 0 ) m - a - 直接的计算表明， 嚣一c 妻嘶竹刊。吣 协s ， 计算e 的n e c h e t 导数如下： 。鼬m = a ( p v p v v + 13 一j 1 舢) 离上池 + 高五曲互池 = 上( 誓却+ 矿13 一尹1 一丽2 m + 高二p a z ) ”她( z 。z ) 由于妒是稳态解，由( 2 3 1 ) ，( 2 3 2 ) 得n = o 是r ( 目) 的临界点因此，对所有j ：lsj k 复旦大学硕士学位论文 由( 2 3 1 ) ，( 2 3 2 ) ，( 2 , 2 3 ) ，( 2 2 s ) 和| j 叻| | = l 知 又 我们有 丽o fi 惮( 皿蚤k 仍刚i 。皿著k 仍酬k 聃日 g 惮( 皿( n w j ) ) 1 ，= 1 v r ( ) 1 cr l m ( 雪( h q ) ) 1 1 = c i m ( i ( i i q ) ) 一m ( q ) + m ( q ) l i c ( i i m ( q j ( r i q ) ) 一m ( q ) l l + i i m ( q ) l ) 由( 2 2 5 ) ，( 2 , 2 9 ) ，( 2 2 6 ) 得 l m ( q 1 ) 一m ( q 2 ) | i l i i i q l r i q 2 i + l x ( q 1 ) 一n ( q 2 ) l l l | 9 1 一口20 + c l q l q 2 1 h 2 ( c + 1 ) l l q z 一口2 1 1 圩= 0 ( q ) 一q i l 珂。= | i 皿( q ) 一皿( 0 ) ) l | h 。c l t i i q x ( q ) l l = c i i m ( q ) i 由以上三式得 v r isc l l m ( q ) l + c ( c + 1 ) i t f ( r f q ) 一g | j h ： 曼c l t m ( q ) l l + c 2 ( e 十1 ) l l m ( q ) l l c 7 i m ( q ) 1 1 ( 2 3 3 ) 另一方面，对t 0 ，1 】当g 矸，1 ( o ) ，q + t ( 田( i i q ) 一q ) 肌( o ) 对妒= 1 l f + q ， 1 0 复旦大学硕士学位论文 由( 2 3 2 ) 及前面不等式得 l e ( q v ) 一i ( 町) l = i e ( 妒) 一e ( 屯( n q ) + 廿) = l z l 磊d 毗”叫( 皿( 沪枷d j = f1 d e ( 叩。) _ g ) 出f o m a x 1h m ( q + ( 1 一t ) ( 皿( q ) 一q ) l l t l 皿( r l q ) 一q ) l l ( m ( g ) + m a o n o ( o ，1 2 ) 使 得 l v r ( q ) i i r ( q ) 一r ( o ) 1 1 8 ( 2 3 5 ) 如果需要的话，我们可以选一个更小的a ，使得当川a 时，g = 凳l 哪w 2 ( o ) 由r ( q ) 的定义有r ( o ) = e ( 妒) ，于是 v r ( v ) i i r ( n ) 一e ( 妒) j 1 9 ( 2 3 6 ) 由基本不等式旧+ 6 1 1 9 2 ( 1 n 1 1 一。+ 陋r 9 ) ，我们从( 2 3 3 ) ，( 2 3 6 ) 和( 2 3 4 ) 推出 o i i m ( q ) l i i v l l ( 口) l ；i e ( 妒) 一e ( 妒) 1 1 - 0 l e ( 妒) 一f ( q ) ) p j i 刀( 妒) 一e ( 妒) f 1 一p g 1 9 i i m ( 口) 8 2 ( 1 一们 ( 2 3 7 ) n n o 1 因此当g w j ( o ) 时， i i m ( q ) l i c l e ) 一e ( 妒) 1 一。 ( 2 3 8 ) 令是一个给定的充分小的正常数那么，如有必要，我们可以选一个更小的， 使当h ：口时， g i e ( 妒) 一e ( 妒) l 一。1 ( 2 3 9 ) 复旦大学硕士学位论文 从向 i i m ( q ) l l i e ( 妒) 一e ( 妒) 1 一p ( 2 4 0 ) 其中o p e 1 2 由m ( q ) 的定义，这就是所n n 结果( 2 2 0 ) ，本引理证完口 引理2 4 ( l o j a s i e w i c z s i m o n 型的不等式) 令( 咖，) 是n 印r j 4 ，的解则存在一个依 赖于，”) 的常数日( 0 ，1 2 ) ，使得对引理2 2 中的f 和所有满足下面两个条件的( 帆 ) h 奄xh 奄： 上( ：妒+ u ) 如= m ，( i i ) i i 妒一训h ：。刈u 刊b 如 下面不等式成立： 旷附，训川扑2 耕扩协卜俘酬卜( 2 a ) 证明：由引理2 2 可得下面不等式： 旧沪刚铲卅s 怦妒+ i 1 妒一j 1 妒3 十丽2 m 一南上吣” 由于( 忆“) 满足条件( i ) ： 丽2 m 一南上o d x = 高上州z 丽一丽厶丽厶“曲 于是 叫卅。s 炉妒+ 叫h 卜高z 叫 怦妒+ ；( 妒一矿) 地卜c - ( 2 - 4 2 ) 以上第二个不等式是1 南p o i n c a r 6 不等式得到的 记u n = 由如u d z ，则 m 叫妒，= ；( 一高c 五础) 2 + p a z ) = ；上i u u n 2 d z 再一次应用p 。i n c a 一不等式得 y ( 妒，u ) 一e ( 妒) 1 ，所以 y ( 妒，u ) 一e ( 妒) 1 一。茎ci i w f l 2 ( 1 一们曼c ji i w l l ( 2 ，4 3 ) 因为y ( 妒， ) = e ) ，联系( 2 4 2 ) 与( 2 4 3 ) ，并且再用基本不等式得 i 矿( 妒，u ) 一y ( 妒，v ) 1 1 一。 2 ( j v ( 妒，) 一e ( 妒) 1 1 8 + l e ( 妒) 一e ( 咖) 1 1 8 ) 2 i 2 妒+ ；( 妒一妒3 ) + 2 “+ g ”i i v 记岛= m a x ( 2 甄，g ”、去) ，前一不等式可写为 旷啪小卅岛( 压怦妒十拙卜厚酬1 ) 仁a a ， 选取较小的p ，就能得到f 2 ，4 1 ) 所要的形式口 引理2 5 设( 日，s ( t ) ，y ) 是一个梯度系统则对任意z 日，u ( z ) 是一个连通的紧的不 变集，并且它包含s ( t ) 的所有不动点 证明：见参考书 2 1 ，第六章口 第三章主要定理的证明 下面证明本文的主要定理，证明分为以下几个步骤 1 正如定理2 1 所证，问题( 1 1 ) 定义了一个梯度系统因此，由引理2 5 知，对任 何给定的初始数据( 妒o ，u o ) 碥磉，u 一极限集u ( 妒o ，u 0 ) 由稳态点组成因此至少 存在一点( 吵，口) u ( 妒o ，“o ) 和数列。一十o o 使得 妒( ，k ) 一妒i n 日2 ，u ( - ，t 。) 一u i n h 2 ( 3 1 ) 下面我们证明u ( 妒o ，n o ) 中只有一点( 妒，”) ，且( 1 5 ) 成立 2 ，对( 2 1 ) 关于积分得 若我们能证明 则由 + o o | | 忱1 1 2d r 十 ，0 4 - 0 0 1 1 v u l l 2 打 + o o j 0 ，悃 栅 j 0 ，佃陋 0 是出现在引理2 4 中的数字，我们有 磊d ( y ( 妒，t 上) 一y ( 妒，”) ) 9 = 日( y ( _ p ，u ) 一y ( 妒”) ) 。一1 面d ( y ( 妒，札) 一y ( 妒，勘) ) ( 3 1 0 ) 于是我们有 未( y ( 妒，札) 一y ( 妒， ) ) 。+ 秽( y ( 妒，) 一y ( 廿，u ) ) 8 1 - - 竽- i l w , 1 1 2 + i i 妒川刈2 妒+ ；( 妒一妒3 ) + 2 u i i ) = o ( 3 1 1 ) 如果存在充分大的r 0 ，使得对所有 t 有l k o 一训日。a ，一v i i 。曼一，则 由引理2 4 ， ( 脚h 训( 伽忡俘酬i ) u ( 3 1 2 ) 利用 2 a 2 + 2 b 2 ( a 2 + 6 2 ) 得 上式表明 新刚m 叫( 伽”+ 厚州j ) 姐 慨埘 | | 妒| | 工1 ( 丁，+ 。) ，i i u 。i | 日一- l i ( 丁，+ o 。) ( 3 1 4 ) 复旦大学硕士学位论文1 6 由步骤2 的讨论，证明完毕 4 现在我们利用m a j e n d o u b i 在【4 1 中提出的简化的证明，说明步骤3 所需的存 在t 的假设是成立的该证明基于下述观察：一定时间后，轨道将落入( 妒，”) 的一个 小邻域中，且一直驻留在此邻域中由于( 3 1 ) 真。y ( 妒( 如) ：u ( t 。) ) 一v ( 母，”) 因此，对 任意 0 ，e 口，存在整数使当n n 时， u ( ，t n ) 一”i i 。；，i i 妒( ，h ) 一妒lj h z ； e + ( 矿( 妒( 亡n ) ，“( h ) ) 一y ( 妒，”) ) 。； 其中将在后面确定对n n ，令 k = s u p t 亡n | | 1 4 ( ，8 ) 一u l l h z 以j l 妒( ，8 ) 一妒1 1 x 2 v s f 。，】) 如果存在整数n 0 n 使得_ n 0 ；十。，则对t t 。，由步骤3 中的讨论，有 ( 3 1 5 ) ( 3 1 6 ) l k l l l 1 ( 如。，+ 。) i l u t l i h t l 1 ( t 。，+ o 。) ，( 3 , 1 7 ) 证明完毕如若不然，对所有n n 有_ n 。 + o 。下面我们来证明这是不可能的 由引理2 4 所述能j l o j a s i e w i c z s i m o n 型不等式，对t ( t n , - n 】，我们有 一熹( 矿( ) 一矿( 咖) ) 8 = 叫y ( 刚) 一y ( 灿) ) 扣l _ 未y ( 舭) = p ( y ( 妒，u ) 一矿( 妒，u ) ) 8 1 ( 竽l l v u l l 2 + j i 妒t i i 川p 妒+ ；( 妒一妒3 ) + 2 u o ) 刈啪m 叫( 胁”+ 厚酬i ) 2 一( 协”+ 厚删i ) 所以 ，“i i 妒州d 7s ； ；( y ( 妒( 如) ，”( t 。) ) 一v ( 妒，”) ) 一 i i 妒t | | s ；1 三( y ( 妒( 如) ，”( t 。) ) 一v ( 妒， ) ) 8 j n ”u 考虑不等式( 3 8 ) 和( 3 1 8 ) 得到一个并列的不等式 r k 砘l 且一td r g ( y ( 妒( h ) ，珏( 。) ) 一y ( 母，v ) ) 8 ( 3 1 8 ) ( 3 1 9 ) 复旦大学硕士学位论文 1 7 盼= ；m “( 潭+ f 压，同，贝! j 由( 3 1 5 ) ，( 3 1 6 ) 得对所葡脯 r t n u ( i 。) 一w i i h t i i u t l l h zd r + l i u ( k ) 一训l h 一 d t “ g ( y ( 妒( h ) ，u ( k ) ) 一矿( 妒，口) ) 8 + | l u ( k ) 一u 0 h ： e ， r k 0 妒( k ) 一妒i isi i 妒c | | d r + 0 _ p ( k ) 一妒0 j t “ ；以( 嘴。，郇拼叫删刊胁 即，当n 一+ 。时 u ( - ，。) 一”，在h 一1 中；妒( 一砂，在铲中( 3 2 0 ) 由轨道的相对紧性，存在( 妒) ，“g 。) ) 的子列，仍记为妇( - t ；) ，u ( 。) ) ，使得 u ( - n ) 一u ，在碥中；妒( k ) 一妒，在碥中( 3 2 1 ) 从而，存在整数n ，n 使当n n 时 j 妒( k ) 一妒i i h 。 ； ( - n ) 一训1 日。 罢 上式与k 的定义矛盾定理证毕 ( 3 。2 2 ) 参考文献 【1 1s a i z i e o v i c i ，e f e i r e i s la n df i s s a r d r o c h ，l o n g t i m ec o n v e r g e n c e 吖s o l u t i o r , s o 口p h a s e f i e l ds y s t e m ，m a t h m e t h a p p l s e i ，2 4 ( 2 0 0 1 ) ，2 7 7 2 8 7 【2 j 2r a l p hc h i l l ，o nt h el o j a s i e w i c z - s i m o ng r a d i e n ti n e q u a l i t y , j o u r n a lo f f u n e a n a l ，2 0 1 ( 2 0 0 3 ) ， 5 7 2 - 6 0 1 3 jc me l l i o t ta n ds z h e n g ，g l o b a le x i s t e n c ea n ds t a b l e l yo fs o l u t i o n st ot h ep h a s e - f i e l de q u a 1 i o n s ，i n t e r n a t i o n a ls e r i e so fn u m e r i c a lm a t h e m a t i c s ，9 5 ( 1 9 9 0 ) ，4 6 - 5 8 降】e f e i r e i s l ，f i s s a r d - r o c ha n dh p e t z e l t o v a , l o n g - g m eb e h a v i o u ra n dc o n v e r f f e n c et o w a r d s e q u i l i b r i af o rc o n s e r v e dp h a s ef i e l dm o d e l , d i s c r e t ea n dc o n t i n u o u sd y n a m i c a ls y s t e m s ，1 0 l & 2 ( 2 0 0 4 ) ，2 3 0 - - 2 5 2 5 】d h e n r y , g e o m e t r i ct h e o r yo fs e m i l i n e a rp a r a b o l i ce q u a t i o n s ，l e c t u r e sn o t e si nm a t h e - m a l i c e ，v 0 1 8 4 0 ，s p r i n g e r ，b e r l i n ，1 9 8 1 6 】m a j e n d o u b i ，as i m p l eu n i f i e da p p r o a c ht os o m ec o n v e r g e n c et h e o r e m so f 上s i m o n ，j p a n c a n a l ，1 5 3 ( 1 9 9 8 ) ，1 8 7 - 2 0 2 f 7 】s l o j a s i e w i e z iu n ep r o p r i d t dt o p o l o g i q u ed e s5 。w e n s e m b l e sa n a l y t i q u e s7 9 e l s ，c o l l o q u ei n - t e r n a t i o n a u xd uc m r s # 1 1 7 ，l e se q u a t i o n s8 u xd e r i v d e sp a r i e l l e s ( 1 9 6 3 ) ，8 7 - 8 9 8 js l o j a s i e w i c z ，s u rl ag e o m e t r i es e m i - e ts o u $ 一a n a l y t i q u e ，a n n i n s t f o u r i e r ( g r e n o b l e ) ，4 3 ( 1 9 6 3 ) ，1 5 7 5 - 1 5 9 5 9 js l o j a s i e w i c z ，e r m e m b l es e m i - a n a l y t i c ，i h e s ，b u r e s - s u r - y v e t t e ，1 9 6 5 【1 0 1h m a t a n o ，c o n v e r g e n c e0 ，s o l u t i o n so ，o n e - d i m e n s i o n a ls e m i l i n e a rp a r a b o l i ce q u a t i o n s ，j m a t h k y o t ou n i v ，1 8 - 2 ( 1 9 7 8 ) ，2 2 1 - 2 2 7 1 1 】p m i r o n e s c ua n dv r a d u l e s c u ，n o n l i n e a rs t u r m l i o u v i l l et y p ep r o b l e m sw i t hdf i n i t en u m b e r o fs o l u t i o n s , m a t a r o m ，l a b o r a t o i r ed a n a l y s en u m e r i q u e ，u n i v e r s i t ep i e r r ee tm a r i ec u r i e ( p a r i sv 1 ) ，3 ( j u i l l e t1 9 9 3 ) ，5 4 - 6 7 【l2 | pp o l a e i k k p r y b a k o w s k i ，n o n c o n v e r g e n tb o u n d e dt r a j e c t o r i e si ns e m i l i n e a rh e a te q u a t i o n s ， j d i f f e r e n t i a le q u a t i o n s ，1 2 4 ( 1 0 0 s ) ，4 7 2 - 4 9 4 旺墨l ，s i m o n