江苏2017届高三数学一轮总复习第四章三角函数解三角形课时跟踪检测文.docx

第四章 三角函数、解三角形第一节 弧度制及任意角的三角函数1角的概念的推广(1)定义：角可以看成平面内一条射线绕着端点从一个位置旋转到另一个位置所成的图形(2)分类(3)终边相同的角：所有与角终边相同的角，连同角在内，可构成一个集合S|k360，kZ2弧度制的定义和公式(1)定义：把长度等于半径长的弧所对的圆心角叫做1弧度的角，弧度记作rad.(2)公式角的弧度数公式|(弧长用l表示)角度与弧度的换算1 rad；1 rad弧长公式弧长l|r扇形面积公式Slr|r23.任意角的三角函数三角函数正弦余弦正切定义设是一个任意角，它的终边与单位圆交于点P(x，y)，那么y叫做的正弦，记作sin x叫做的余弦，记作cos 叫做的正切，记作tan 各象限符号三角函数线有向线段MP为正弦线有向线段OM为余弦线有向线段AT为正切线小题体验1(教材习题改编)将表示成2k(kZ)的形式，则使|最小的值为_解析：(2)，.答案：2(教材习题改编)如图，用弧度表示顶点在原点，始边重合于x轴的非负半轴，终边落在阴影部分内的角的集合(不包括边界)为_解析：因为75，330，故集合为，即.答案：3(教材习题改编)若角同时满足sin 0且tan 0，则角的终边一定落在第_象限解析：由sin 0，可知的终边可能位于第三或第四象限，也可能与y轴的非正半轴重合由tan 0，可知的终边可能位于第二象限或第四象限，所以的终边只能位于第四象限答案：四4已知半径为120 mm的圆上，有一条弧的长是144 mm，则该弧所对的圆心角的弧度数为_答案：1.21注意易混概念的区别：象限角、锐角、小于90的角是概念不同的三类角第一类是象限角，第二、第三类是区间角2角度制与弧度制可利用180 rad进行互化，在同一个式子中，采用的度量制度必须一致，不可混用3已知三角函数值的符号确定角的终边位置不要遗漏终边在坐标轴上的情况4三角函数的定义中，当P(x，y)是单位圆上的点时有sin y，cos x，tan ，但若不是单位圆时，如圆的半径为r，则sin ，cos ，tan .小题纠偏1下列命题正确的是_小于90的角都是锐角；第一象限的角都是锐角；终边相同的角一定相等；95012是第二象限的角答案：2已知角的终边经过点P(，m)(m0)且sin m，则cos _，tan _.解析：由题意，得r，m.m0，m，故角是第二或第三象限角当m时，r2，点P的坐标为(，)，角是第二象限角，cos ，tan ；当m时，r2，点P的坐标为(，)，角是第三象限角，cos ，tan .答案：3若是第一象限角，则是第_象限角解析：是第一象限角，k360k36090，kZ，36036030，kZ.当k3n时，有n360n36030，kZ，为第一象限角当k3n1时，有n360120n360150，kZ，为第二象限角当k3n2时，有n360240n360270，kZ，为第三象限角综上可知，为第一、二、三象限角答案：一、二、三题组练透1给出下列四个命题：是第二象限角；是第三角限角；400是第四象限角；315是第一象限角其中正确的命题有_(填序号)解析：是第三象限角，故错误；，从而是第三象限角，故正确；40036040，从而正确；31536045，从而正确答案：2(易错题)若角是第二象限角，则是第_象限角解析：是第二象限角，2k2k，kZ，kk，kZ.当k为偶数时，是第一象限角；当k为奇数时，是第三象限角答案：一、三3若角与终边相同，则在0,2内终边与角终边相同的角是_解析：由题意，得2k(kZ)，(kZ)又0,2，所以k可取的所有值为0,1,2,3，故可取的所有值为，.答案：，4在7200范围内所有与45终边相同的角为_解析：所有与45有相同终边的角可表示为：45k360(kZ)，则令72045k3600，得765k36045，解得k0，则实数a的取值范围是_解析：cos 0，sin 0，角的终边落在第二象限或y轴的正半轴上2cos x成立的x的取值范围为_解析：如图所示，找出在(0,2)内，使sin xcos x的x值，sincos，sincos.根据三角函数线的变化规律标出满足题中条件的角x.答案：9已知角的终边在直线y3x上，求10sin 的值解：设终边上任一点为P(k，3k)，则r|k|.当k0时，rk，sin ，10sin 330；当k0时，rk，sin ，10sin 330.综上，10sin 0.10已知扇形AOB的周长为8.(1)若这个扇形的面积为3，求圆心角的大小；(2)求这个扇形的面积取得最大值时圆心角的大小和弦长AB.解：设扇形AOB的半径为r，弧长为l，圆心角为，(1)由题意可得解得或或6.(2)法一：2rl8，S扇lrl2r224，当且仅当2rl，即2时，扇形面积取得最大值4.圆心角2，弦长AB2sin 124sin 1.法二：2rl8，S扇lrr(82r)r(4r)(r2)244，当且仅当r2，即2时，扇形面积取得最大值4.弦长AB2sin 124sin 1.三上台阶，自主选做志在冲刺名校1若A是第三象限角，且sin ，则是第_象限角解析：因为A是第三象限角，所以2kA2k(kZ)，所以kk(kZ)，所以是第二、四象限角又因为sin ，所以sin 0，所以sin .答案：2(教材习题改编)已知tan 2，则_.解析：原式2.答案：23若sin cos ，则tan 的值是_解析：tan 2.答案：24(1)sin_；(2)tan_.答案：(1)(2)1利用诱导公式进行化简求值时，先利用公式化任意角的三角函数为锐角三角函数，其步骤：去负脱周化锐特别注意函数名称和符号的确定2在利用同角三角函数的平方关系时，若开方，要特别注意判断符号3注意求值与化简后的结果一般要尽可能有理化、整式化小题纠偏1已知为第四象限角，且 sin()，则tan _.解析：由 sin()，得 sin .因为在第四象限，所以 cos ，则 tan .答案：2若sin(3)，则sin _.答案：3已知cos()，且是第四象限角，计算：(1)sin(2)_；(2)(nZ)_.解析：因为cos()，所以cos ，cos .又因为是第四象限角，所以sin .(1)sin(2)sin2()sin()sin .(2)4.答案：(1)(2)4题组练透1sin 210cos 120的值为_解析：sin 210cos 120sin 30(cos 60).答案：2(2016淮安模拟)已知角终边上一点M的坐标为(，1)，则cos的值是_解析：由题可知，cos ，sin ，所以coscos sin 0.答案：03已知tan，则tan_.解析：tantantantan.答案：4(易错题)设f()，则f_.解析：f()，f.答案：谨记通法1利用诱导公式把任意角的三角函数转化为锐角三角函数的步骤也就是：“负化正，大化小，化到锐角就好了”2利用诱导公式化简三角函数的要求(1)化简过程是恒等变形；(2)结果要求项数尽可能少，次数尽可能低，结构尽可能简单，能求值的要求出值，如“题组练透”第4题典型母题已知是三角形的内角，且sin cos .求tan 的值解法一：联立方程由得cos sin ，将其代入，整理得25sin25sin 120.是三角形的内角，tan .法二：sin cos ，(sin cos )22，即12sin cos ，2sin cos ，(sin cos )212sin cos 1.sin cos 0且0，sin 0，cos 0，sin cos 0.sin cos .由得tan .类题通法同角三角函数基本关系式的应用技巧技巧解读适合题型切弦互化主要利用公式tan 化成正弦、余弦，或者利用公式tan 化成正切表达式中含有sin ，cos 与tan “1”的变换1sin2cos2cos2(1tan2)tan(sin cos )22sin cos 表达式中需要利用“1”转化和积转换利用(sin cos )212sin cos 的关系进行变形、转化表达式中含有sin cos 或sin cos 越变越明变式一保持母题条件不变，求：(1)；(2)sin22sin cos 的值解：由母题可知：tan .(1).(2)sin22sin cos .变式二若母题条件变为“5”， 求tan 的值解：法一：由5, 得5，即tan 2.法二：由5，得sin 3cos 15cos 5sin ，6sin 12cos ，即tan 2.变式三若母题中的条件和结论互换：已知是三角形的内角，且tan ， 求 sin cos 的值解：由tan ，得sin cos ，将其代入 sin2cos21，得cos21，cos2，易知cos 0，cos ， sin ，故 sin cos .破译玄机1三角形中求值问题，首先明确角的范围，才能求出角的值或三角函数值2三角形中常用的角的变形有：ABC,2A2B22C，等，于是可得sin(AB)sin C，cossin等 一抓基础，多练小题做到眼疾手快1若，sin ，则cos()_.解析：因为，sin ，所以cos ，即cos().答案：2已知sin()cos(2)，|，则_.解析：sin()cos(2)，sin cos ，tan .|，.答案：3已知sin，则cos_.解析：cossinsinsin.答案：4已知，sin ，则tan _.解析：，cos ，tan .答案：5如果sin(A)，那么cos的值是_解析：sin(A)，sin A.cossin A.答案：二保高考，全练题型做到高考达标1(2016南师附中检测)角的顶点在坐标原点，始边与x轴的非负半轴重合，终边经过点P(1,2)，则sin()的值是_解析：因为角的顶点在坐标原点，始边与x轴的非负半轴重合，终边经过点P(1,2)，所以sin ，sin()sin .答案：2若sin()2sin，则sin cos 的值等于_解析：由sin()2sin，可得sin 2cos ，则tan 2，sin cos .答案：3(2016苏北四市调研)_.解析：原式.答案：4已知f()，则f_.解析：f()cos ，fcoscoscos.答案：5已知sin cos ，且，则cos sin _.解析：，cos 0，sin 0且|cos |0.又(cos sin )212sin cos 12，cos sin .答案：6化简：_.解析：原式sin sin 0.答案：07sincostan_.解析：原式sincostan().答案：8(2016南通调研)已知cosa(|a|1)，则cossin_.解析：由题意知，coscoscosa.sinsincosa，cossin0.答案：09已知函数f(x)Asin，xR，且f(0)1.(1)求A的值；(2)若f()，是第二象限角，求cos .解：(1)由f(0)1，得Asin 1，A1，A.(2)由(1)得，f(x)sinsin xcos x.由f()，得sin cos ，sin cos ，即sin22，1cos2cos2cos ，cos2cos 0，解得cos 或cos .是第二象限角，cos 0时的情况3三角函数存在多个单调区间时易错用“”联结小题纠偏1函数f(x)sin在区间上的最小值为_解析：由已知x，得2x，所以sin，故函数f(x)sin在区间上的最小值为.答案：2函数ycos的单调减区间为_解析：由ycoscos得2k2x2k(kZ)，解得kxk(kZ)所以函数的单调减区间为(kZ)答案：(kZ)3函数ylg sin(cos x)的定义域为_解析：由sin(cos x)02kcos x2k(kZ)又1cos x1，0cos x1.故所求定义域为.答案：题组练透1函数y2sin(0x9)的最大值与最小值之和为_解析：0x9，x，sin.y，2，ymaxymin2答案：22(易错题)函数y的定义域为_解析：要使函数有意义，必须有即故函数的定义域为.答案：3函数ylg(sin 2x)的定义域为_解析：由得3x或0x0)在区间上单调递增，在区间上单调递减，则_.解析：f(x)sin x(0)过原点，当0x，即0x时，ysin x是增函数；当x，即x时，ysin x是减函数由f(x)sin x(0)在上单调递增，在上单调递减知，.答案：命题分析正、余弦函数的图象既是中心对称图形，又是轴对称图形正切函数的图象只是中心对称图形，应把三角函数的对称性与奇偶性结合，体会二者的统一常见的命题角度有：(1)三角函数的周期；(2)求三角函数的对称轴或对称中心；(3)三角函数对称性的应用题点全练角度一：三角函数的周期1函数ysin的最小正周期为_解析：T.答案：2(2016南京调研)若函数f(x)2tan的最小正周期T满足1T2，则自然数k的值为_解析：由题意知，12，即k2k.又kN，所以k2或k3.答案：2或3角度二：求三角函数的对称轴或对称中心3已知函数f(x)sin(0)的最小正周期为，则函数f(x)的对称轴为_解析：由题意得，2，所以f(x)sin.令2xk(kZ)，得x(kZ)即为函数f(x)的对称轴答案：x(kZ)4函数y3tan的对称中心是_解析：2x，kZ，所以x，kZ.答案：(kZ)角度三：三角函数对称性的应用5(2015南京四校联考)若函数ycos(N*)图象的一个对称中心是，则的最小值为_解析：k(kZ)6k2(kZ)min2.答案：26.设偶函数f(x)Asin(x)(A0，0,00)的图象相邻的两支截直线y所得线段长为，则f的值是_解析：由题意知，T，所以，所以4，所以f(x)tan 4x，所以f0.答案：04函数f(x)sin(2x)的单调增区间是_解析：由f(x)sin(2x)sin 2x，2k2x2k得kxk(kZ)答案：(kZ)5函数y32cos的最大值为_，此时x_.解析：函数y32cos的最大值为325，此时x2k，即x2k(kZ)答案：52k(kZ)二保高考，全练题型做到高考达标1函数ytan的图象与x轴交点的坐标是_.解析：由2xk(kZ)得，x(kZ)函数ytan的图象与x轴交点的坐标是，kZ.答案：，kZ2(2016苏锡常镇四市调研)设函数f(x)sin(x)cos(x)的最小正周期为，且满足f(x)f(x)，则函数f(x)的单调增区间为_解析：因为f(x)sin(x)cos(x)2sin的最小正周期为，且满足f(x)f(x)，所以2，所以f(x)2sin 2x，令2x(kZ)，解得函数f(x)的单调增区间为(kZ)答案：(kZ)3已知函数ytan x在内是减函数，则的取值范围是_解析：因为ytan x在内是减函数，所以0且，则10)的图象的相邻两条对称轴之间的距离为，且该函数图象关于点(x0,0)成中心对称，x0，则x0_.解析：由题意得，T，2.又2x0k(kZ)，x0(kZ)，而x0，所以x0.答案：5若函数f(x)sin(x)在区间上是单调减函数，且函数值从1减少到1，则f_.解析：由题意得函数f(x)的周期T2，所以2，此时f(x)sin(2x)，将点代入上式得sin1，所以，所以f(x)sin，于是fsincos.答案：6已知函数f(x)2sin(x)，对于任意x都有ff，则f的值为_解析：ff，x是函数f(x)2sin(x)的一条对称轴f2.答案：2或27(2015南通调研)已知f1(x)sincos x，f2(x)sin xsin(x)，若设f(x)f1(x)f2(x)，则f(x)的单调增区间是_解析：由题意知，f1(x)cos2x，f2(x)sin2x，f(x)sin2xcos2xcos 2x，令2x2k，2k(kZ)，即x(kZ)，故f(x)的单调增区间为(kZ)答案：(kZ)8已知x(0，关于x的方程2 sina有两个不同的实数解，则实数a的取值范围为_解析：令y12sin，x(0，y2a，作出y1的图象如图所示若2sina在(0，上有两个不同的实数解，则y1与y2应有两个不同的交点，所以a2.答案：(，2)9已知f(x)sin.(1)求函数f(x)图象的对称轴方程；(2)求f(x)的单调增区间；(3)当x时，求函数f(x)的最大值和最小值解：(1)f(x)sin，令2xk，kZ，则x，kZ.函数f(x)图象的对称轴方程是x，kZ.(2)令2k