（计算机应用技术专业论文）不适定问题的稳定化算法设计及应用.pdf

山东理工大学硕士论文摘要 摘要 反问题广泛存在于自然科学与1 ：程技术诸多领域之中反问题一个突出的特性就是 “不适定”性，所以反问题也称作不适定问题反问题的这一性质使得它的求解比正问题 困难的多因而，不适定问题的求解算法，成为广大数学工作者，自然科学工作者及工程 技术人员努力开拓的一个崭新的研究方向 随着计算方法与计算机技术的进步，不适定问题的算法研究进展迅速正则化方法、 脉冲谱方法、最佳摄动量方法以及非线性优化等算法获得广泛应用近年来，有许多学者 把遗传算法应用到数理方程反问题与不适定问题的求解中，并收到了很好的效果 本文基于最优化求解思路，对于不适定问题的稳定化算法设计及其实现进行了研究 主要做了以下工作： ( 1 ) 应用t t l d a o n o v 正则化算法，在算子的奇异系统已知情形下，将正则解近似表 为有限项之和，简化了编程设计，进而对于数值微分问题进行了数值实验，实现了较高 的计算精度； ( 2 ) 通过引进适当的正则化子，建立了一种改进的t f f , h o n o v 正则化算法，并对于 次数值微分及地质勘察中提出的一个第一类f r e d h o l m 积分方程进行了数值试验，结果 表明改进的t f l d l o n o v 算法有可能使正则解取得更高的精度与收敛阶； ( 3 ) 采用最佳摄动量算法对数据有扰动的抛物型偏微分方程的扩散系数识别反问题 进行了求解，并对该算法应用中正则参数与迭代次数及初始迭代点的选取进行了初步研 究；结果表明正则参数选取不当会增加迭代次数，降低解的收敛速度：初始迭代点选取 不当则可能造成解的不收敛或迭代次数的增加 ( 4 ) 根据基本的遗传算法思想，提出了一种新的遗传演化算法对于抛物型方程的 参数反演问题进行了数值试验，并应用该算法于一个区域地下水硫酸污染源强度的反演 问题中，所得计算结果与实际部门的估算值基本吻合 关键词：反问题与不适定问题；第一类算子方程；正则化方法；最佳摄动量方法 遗传算法；稳定化算法设计及实现 i l 山东理工大学硕士论文 英文摘要 a b s t r a c t t h e r ea r em a n yi n v e r s ep r o b l e m si nt h ef i e l d so fn a t u r a ls c i e n c ea n d e n g i n e e r i n g t e c h n o l o g y 1 1 1 一p o s e d n e s si sap r i m a r yc h a r a c t e r i s t i co fi n v e r s ep r o b l e m ss u c ht h a ti n v e r s e p r o b l e mi sa l s oc a l l e di l l p o s e dp r o b l e m d u et ot h ei l l p o s e d n e s so fi n v e r s ep r o b l e m s ，i ti sm o r e d i f f i c u l tt os o l v ea ni n v e r s ep r o b l e mt h a nad i r e c tp r o b l e m s o ，n u m e r i c a lm e t h o d so fs o l v i n g s u c h p r o b l e m s h a v eb e e nw i d e l yr e s e a r c h e db ym a n ym a t h e m a t i c a n s ，n a t u r a ls c i e n c e r e s e a r c h e r sa n de n g i n e e r s ，a n db e c o m ean e wf i e l di nn a t u r a ls c i e n c ea n d e n g i n e e r i n g t e c h n o l o g yw i t ht h ed e v e l o p m e n to fc o m p u t a t i o n a lm e t h o d sa n dc o m p u t o rt e c h n i q u e s t h e r ea r em a n yr e s e a r c h e so nn u m e r i c a la l g u r i t h m sf o ri n v e r s ea n di l l - p o s e dp r o b l e m ss o f a r e s p e c i a l l y , r e g u l a r i z a t i o nm e t h o d ，p s tm e t h o da n dn o n l i n e a ro p t i m i z a t i o nm e t h o dh a v e b e e ne x t e n s i v e l ys t u d i e da n du t i l i z e di ns o l v i n gi l l - p o s e dp r o b l e m s r e c e n t l y , g e n e t i ca l g o r i t h m i sa p p l i e dt os o l v es o m ea c t u a li n v e r s ep r o b l e m ss h o w i n gi t se f f e c t i v i t ya n dm a n e u v e r a b i l i t yi n s o l v i n g s u c hp r o b l e m s i nt h i sp a p e r , s e v e r a ls t a b l ea l g u f i t h m sb a s e do no p t i m a li d e a si ns o l v i n g i l l - p o s e dp r o b l e m s a r ei n v e s t i g a t e d t h em a i nw o r k sa r el i s t e di nt h ef o l l o w i n g ： ( 1 ) t t k h o n o vr e g u l a r i z a t i o nm e t h o di ss t u d i e da n da p p l i e dt oc o m p u t es t a b l es o l u t i o n so f t h ef i r s tk i n do fo p e r a t o re q u a t i o n si nt h ec a s eo fk n o w i n gs i n g u l a rs y s t e mo ft h eo p e r a t o r w i t h t h e h e l p o f m a t l a b s o f t w a r e ，p r o g r a m m i n g o f t h e a l g o r i t h m h e r e i ss i m p l i e d ，a n d n u m e r i c a l t e s t s f o rn u m e r i c a ld i f f e r e n t i a t i o np r o b l e m sa r ec a r r i e do u t ( 2 ) a m o d i f i e dt i k h o n o vr e g u l a r i z a t i o n i sc o n s t r u c t e db yu s i n gas u i t a b l er e g u l a r i z i n gf i l t e r w i t ht h i sm e t h o d ，t h er e g u l a r i z e ds o l u t i o n c o u l dh a v eh i g h e rp r e c i s i o n n u m e r i c a ls i m u l a t i o n sf o rn u m e r i c a ld i f f e r e n t i a t i o np r o b l e ma n da f r e d h o l mi n t e g r a le q u a t i o no ft h e f i r s tk i n da r i s i n gi ng e o l o g i c a lp r o s p e c t i n ga r ec a r r i e do u t s h o w i n gt h a tt h em o d i f i e dt i k h o n o vr e g u l a r i z a t i o na l g o r i t h mc a l lg e tb e t t e rp r e c i s i o na n d c o n v e r g e n c er a t e ( 3 ) t h e b e s tp e r t u r b a t i o nm e t h o di sa p p l i e dt os o l v ei n v e r s ep r o b l e m so f d e t e r m i n i n gc o e f f i c i e n t si np a r a b o l i cp d e i nt h ep r e s e n t a t i o no fn o i s ed a t a s o m er e l a t i o n so n t h eo p t i m a lr e g u l a r i z a t i o np a r a m e t e r , a n dt h ei n i t i a lv a l u eo fi t e r a t i o nw i t ht h ep r e c i s i o na n d c o n v e r g e n c er a t ea l e d i s c u s s e d ( 4 ) a n e w g e n e t i c a l g o r i t h m b a s e d o n t h e b a s i c g e n e t i c i d e a i s e s t a b l i s h e dw i t hw h i c ha ni n v e r s ec o e f f i c i e n tp r o b l e mi np a r a b o l i cp d ei ss o l v e d f i u t h e r m o r e ， t h i sm o d i f i e dg e n e t i ca l g o r i t h mi sa l s oa p p l i e dt os o l v ea na c t u a li n v e r s ep r o b l e mo fd e t e r m i n i n g s o u r c em a g n i t u d ei nr e g i o n a lg r o u n d w a t e rp o l l u t i o n k e yw o r d s ：i n v e r s ea n di l l - p o s e dp r o b l e m ；f i r s tk i n do fo p e r a t o re q u a t i o n ；r e g u l a r i z a t i o n m e t h o d ；b e s tp e r t u r b a t i o nm e t h o d ；g e n e t i ca l g o r i t h m ；s t a b l ea l g o r i t h md e s i g na n dr e a l i z a t i o n i l l 山东理工大学硕士论文 独创性声明 独创性声明 本人声明所呈交的论文是我个人在导师指导下进行的研究工作及取得的研究 成果尽我所知，除了文中特别加以标注和致谢的地方外，论文中不包含其他人已 经发表或撰写过的研究成果，也不包含为获得山东理工大学或其它教育机构的学位 或证书而使用过的材料与我一同工作的同志对本研究所做的任何贡献均已在论文 中作了明确的说明并表示了谢意 研究生签名 范u 、半 时间：2 一。1 5 年石月曰白 关于论文使用授权的说明 本人完全了解山东理工大学有关保留、使用学位论文的规定，即：学校有权保 留送交论文的复印件和磁盘，允许论文被查阅和借阅；学校可以用不同方式在不同 媒体上发表、传播学位论文的全部或部分内容，可以采用影印、缩印或扫描等复制 手段保存、汇编学位论文 ( 保密的学位论文在解密后应遵守此协议) 研究生签名：鬼小孕 导师签名：李帅i 江 时间：2 0 。6 年5 n ? 7 h 时间：订年 月力日 山东理工大学硕士论文弓i 言 引言 自2 0 世纪6 0 年代以来，在地球物理、生命科学、材料科学、模式识别、信号( 图 像) 处理、工业控制乃至经济决策等众多的科学技术领域中，都提出了“由效果、表现、 输出反求原因、原象、输入”的问题，统称数学物理反问题由于此类问题有着广泛而重 要的应用背景，其理论具有鲜明的新颖性与挑战性，因而吸引了国内外许多学者从事这 项研究迄今，它已发展成为在计算数学、应用数学和系统科学中具有交叉性的热门学科 1 1 反问题的概念 一般而言，对于相关的两个问题若其中一个问题的前提正好是或部分是另一个问题 的结论，则这两个问题是“互逆的”，通常由于历史原因，其中个问题研究得早一些， 发展得成熟些，就称为正问题；另一个发展得晚一些、慢一些，就称为反问题 反问题和正问题是相对应的，是既对立又统一的一对矛盾正问题的研究从内容上讲 起着由原因到结果、由本质到现象、由微观到宏观的作用，比较成熟到目前为止，在教 学和科研中占有主导地位，大都体现了一种对人类已积累的肯定知识的继承和应用发展 反问题则往往是由果求因、由表及里、由现象到本质，由现在重现过去它的研究发展多 是不成熟的，探索性、风险性较突出：而重大理论的诞生，重大的科学发现等往往是在 探讨和解决反问题时得出的因而，反问题的研究具有重大的科学创新意义 反问题广泛存在于自然科学和实际工程技术中的各个领域，具有广阔的应用前景， 在地质、化工、机械、航空、遥测、通讯、控制、气象等领域都有着广泛应用比如：1 ) 地震勘探是目前石油勘探的主要方法，其机理是由地面爆炸产生的震波向下传播并反射 到地面，通过分析被传感器接受到的震动数据来判断地下介质的分布状况；2 ) 无损探伤 主要是根据超声波遇到裂缝时反射的回波来判断故障；3 ) 热物理中的两相分界面的辨识 问题；4 ) 隧道工程中由实测位移反演介质参数及应力场；5 ) 在c t 技术中，通过接收 某种物理量如各种射线、波、粒子、电磁场等的返回信号，反演对象内部的三维透视等 等下面我们给出几个反问题的例子： 例1 1 物理学家s t e f a n 以简单的一维模型对夏天北极冰的融化过程进行了描述假 设在t ：0 时，算z f 的整个区域覆盖着一大块冰，冰块的左端由于受热开始融化，用x = s “1 表示时n t 水与冰的临界位置，因此在z = 0 和善一s ( f ) 之间的区域全部是水，而在z s ( t ) 之间的区域全部是冰，如图( 1 1 ) 所示： 山东理工大学硕士论文引言 图1 1s t e f a n 问题示意图 设u ( x ，t ) 是时刻f 在0 c x cs ( f ) 的温度，那么u ( x ，t ) 满足一维热传导方程 o u ( x , t ) ：0 2 u 丁( x , t ) ，d = ，t ) e r z ：o 0 ， 只要 p b 0 】，h 2 ) e d p ) ，似】，u ：， 便有 p f ( z l ，z 2 ) s ，( a z l = | 1 1 ，a z 2e u 2 ) 反之，若上述三个条件中，有一个或一个以上不能满足，则称该问题或方程是不适 定的现在大部分研究都集中在不满足解的稳定性条件引起的不适定问题上，我们这里讨 论的不适定性也主要指反问题的不稳定性下面剐 给出几个不适定问题的例子 例1 4 l a p l a c e 方程的初值问题1 9 该方程的唯一解是 她小掣+ 掣吨) r 【0 ，吨 u ( x ，0 ) = f ( x ) = 0 ，x e r ， “，o ，0 ) = g o ) = 三n s j n 埘，工r 4 山东理工大学硕上论文 引言 u ( x ，y ) = s i n n x s i n h ( n y ) ，x e r ，y 0 ， 虽然 s u p i f ( x ) i + i g ( x ) 1 ) = 二一o ，n 0 0 ， 但是对于一切y 0 ， 当h o o 时，有 s u p u o ，y ) ) ； s i n h ( n y ) 一， 这即是说，相对于g o ) 而言h o ，) ) 不稳定，求解h 如，) ，) 是不适定的 例1 5 考虑一个热传导问题 f u t ，t ) ；h 。o ，f ) ，g ，f ) ( 0 ，石) x ( 0 ，r ) ， u ( o ，f ) 一o , u ，f ) to ，f ( o ，r ) ， ( 1 2 1 ) i u ( x ，o ) = f ( x ) ，工( 0 ，硝) ( 1 ) 由正问题的求解我们知道：由初始温度f ( x ) 求“ ，t ) 是适定的，可用分离变量 法求解 ， ) 一“ ，0 ) ；z e s i n n x ， c 。去f s i n n x d s ， 啦咖荟靠f ( x ) s i n n x d x ) e ”飞m 舭 右端级数对任何连续函数f ( x ) 和f ，0 都收敛但是，假若要由温度场在t ，0 的测量信 息求初始的温度分布f ( x ) ，则是不适定的 ( 2 ) 逆时问题( b a c k w a r d h e a t p r o b l e m ) ：设u ( x ，t ) 已知，求， ) 满足式( 1 2 1 ) 中方程和边界条件的u ( x ，f ) 可写为： “= 印_ 2 t s i n m ，( 1 船2 ) c 。w 一7 知毗邛i n 砒 特别有 ，o ) = “( z ，o ) = 耄( 昙“o ，t ) s i n 眦如) e 1 r s i n 一 ( 1 2 3 ) o l 果u ( x ，丁) 是“0 ，o ) = ，0 ) 对应的温度场，则该公式给出了初值解的表达式，并且 易知解是唯一的但是对任意给定的“0 ，t ) 的测量值u 6 0 ，t ) ，即使误差6 很小，上述右 端级数也未必收敛，即解不连续依赖于输入数据 山东理工大学硕士论文 引言 问题( 2 ) 据式( 1 2 2 ) 可表示为一般的第一类积分方程 ( 缸) o ) = c t 0 ，t ) x ( s ) d s = y ( t ) ， j d 由y ( t ) e y 求工o ) x 的问题( 是无限维空问) ，即求解积分方程 知( 善酊n 掣e ”2 7 5 i n 船) ，( y ) 咖2 “。，r ) 其精确解已由式( 1 2 3 ) 给出当核函数女( s ，t ) 比较光滑时，k 是线性紧算子，k _ 1 一 定是无界的，从而该问题一定是不适定的 例1 6 第一类积分方程的数值解考虑 。x ( s ) a s 川) = 等舳川 ( 1 2 _ 4 ) 户。2 ) ，( f ) 2 昔舳“1 ( 1 | 2 4 ) 该方程的唯一精确解是工o ) ：e 对该问题求数值解时，取步长 一三，用复合梯形公式【1 0 】 邯灿一畦删彳1 如) + 幽( ， 近似左端积分项对不同的【噩间等分数h ，最后由代数方程组 哇柙) + 互1e 蚋+ 纱螂) ) 一y 小，n 求x ( 妒) 得近似值x j 下表表示数直接和真解在点f = j hi 燃：x ( j h ) - x 表1 1 数值解与真解误差比较 这显然是一个无意义的数值结果【儿1 ：随着左端积分项计算精度的不断提高，方程数 值解与真解的误差越来越大产生此现象的原因是：该问题本质上是第一类f r e d h o l e m 积 分方程的求解，它是一个不适定的问题 例1 7 由信号的离散谱求原信号 记周期为石的信号，( f ) 的离散谱( f o u r i e r 级数的系数) 为和。 ：d ，把信号表示为： f ( t ) = 罗口。c o s l l t ( 1 2 5 ) 篇 正问题是由已知信号，o ) ，求谱值扣。 二： 山东理t _ 人学硕士论文引言 a n = r ，( f ) c o s h t d t ，n ；1 , 2 ， ( 1 2 6 ) 这是一个数值积分问题，是适定的而反问题则是由扣。 二求信号，p ) 它是不适定的 事实上，设已知谱值的扰动数据为： i i n6 一啡2 ( n ：一口 ) 2 。2 旦6 。o ( 1 _ 2 - 8 ) 即谱值的扰动量可以任意小，但是对相应的时域信号 ，( f ) ；三n c o s n f ，6 ( f ) - 三n ：c o s 小， 其误差为 ，( f ) 一m 嘻半 ( 1 2 9 ) 在连续函数空间，l ，一，6i i 。可任意大( 取f = 0 ) ，即在连续函数空间上求原信号时， 反问题是不稳定的然而，如果在2 空间中求原信号，由p a r s e v a i 等式知，在s 一0 时， i l l - 川i = r | ，( f ) _ ，w 拈；| | ；三羹砉一。 此时反问题是稳定的 上面四个不同的具体例子有一个共同的特点：当应用经典的方法去求解问题时，或 者是给定的输入数据不一定能保证解的存在性或唯一性；或者是输入数据的微小变化会 3 1 起相应解的巨大变化，而且这种变化已经使得用通常的方法求得的对应解变得毫无意 义这种现象产生的原因是问题的不适定性不适定性本质上是由于信息( 输入数据、待求 的解) 不足( 或者过定) 造成的恢复问题的适定性尤其是稳定性的方法有添加信息、改 变拓扑度量等实际应用时，经常采用的是前者，因为度量方式在给定的问题中是难以随 便改变的通常是对待求的解作某些假定( 或者说，在一个较小的集合上求解) 以得到解 的条件稳定性 1 3 反问题研究现状 自2 0 世纪5 0 年代以来，人们逐渐发现，存在大量的具有实际背景的应用数学问题 不满足h a d a m a r d 的适定性条件特别是近几十年来，在控制与识别、遥感、资源勘探、 航空航天、核反应堆、大气测量、海洋工程、生物医学等自然科学和工程技术领域，都 提出了大量的数学物理反问题，极大地推动了反问题理论与方法的研究与发展，计算机、 )72 l( 2 l 鲁 n 一n + l 时o 1 - 当 山东理工大学硕士论文引言 仿真技术及计算方法的飞速发展，传感器与测量技术的飞速进步也促进了反问题的发展 与应用，特别是在反问题应用于医学领域，取得了c t 技术的突破，并获得诺贝尔奖以 后，更在科学界掀起了反问题的研究热潮 我国在此领域起步较晚，2 0 世纪8 0 年代初在著名学者冯康教授的大力倡导及大量实 际问题的推动下，许多数学和科技工作者投身于该领域的研究值得注意的是，1 9 9 9 年3 月在北京召开的第1 1 3 次“香山科学会议”以“反问题”作为主题进行了跨学科的全国 性学术探讨与会的科学家来自数学、化工、能源、物理、材料、航天等领域，并从各自 的领域出发对反问题的理论与方法及其应用进行了热烈讨论，并达成共识“作为实现科 学创新重要途径的反问题研究对当今中国非常重要” 在实际应用的推动下，不适定问题的理论与求解方法的研究取得了丰硕的成果，并 提出了多种求解方法，理论上主要研究反问题解得存在性、唯一性与稳定性，研究方法 主要有t 1 1 2 j 与不动点方法i 廿1 4 j ，紧致性方法，积分恒等式方法f 1 日以及微局部分析法 1 7 1 等：从数值方法上说，有化为积分方程直接求解法【肼9 1 ，正则化方法 2 0 - 2 “，脉冲谱方 法与广义脉冲谱方法以及最佳摄动量7 y 法j 6 等等 关于反问题研究的数值方法，我们主要关心正则化方法正则化是处理第一类算子方 程的主要方法因为这类方程( 如第一类f r e d h o l e m 积分方程) 往往是不适定的正如前面 所述，反问题大都是具有病态性，特别是在具体问题中，由于所测数据的扰动误差，使 得我们必须采取稳定化的计算策略一般来说，正则化分为迭代正则化和t i k h o n o v 正则化 迭代正则化可在多部迭代后，使正则解获得较高的收敛阶正则化的构造思想源于稳定化 泛函的引入考虑算子方程k x = y ，求下述极小问题 m i n i i k x y i i r + t y g o ) ) 其中m g ) 是稳定化泛函，a 是正则参数，如取m ( x ) = 4 x0 2 或肛l | 2 + 0 z ，f f 2 等等，可以 获得相应的正则化策略另外，应用正则化子也可以构造具有较高收敛阶的正则化方法 其中主要思路是借助紧算子的奇异系统，构造正则化子进而建立正则化方法注意到大多 数具体问题中，k 的紧性是满足的，因而这一方法并不失其一般性主要的问题是线性的 要求；而关于非线性( 算予方程) 的正则化研究是现时病态问题与反问题研究的一个热 点 1 4 本文所做的工作 论文的工作主要有以下几个方面： ( 1 ) 对病态问题及其i e 贝f l 化的基本理论进行了研究； ( 2 ) 对已知奇异系统的第一类算子方程，采用基于奇异值分解的t t k h o n v o 正则化 方法求其数值解，获得了具有较高精度的i e n 解 山东理工大学硕士论文引言 ( 3 ) 对奇异系统未知的第一类算子方程采用离散正则化的方法进行了数值求解；通 过引进新的正则化子，得到了新的正则化方法，并与通常的t m h o n o v 正则化方法进行了 比较 ( 4 ) 应用最佳摄动量算法对观测数据有扰动的抛物型偏微分方程参数反演反问题进 行了求解 ( 5 ) 改进基本遗传算法及进化策略，结合最佳摄动量的思想，提出了一种新的遗传 演化算法并应用该算法进行了系数、源项反问题的数值模拟结果表明解的精度较高， 迭代次数较少，对该类问题的求解比较有效最后把该算法应用到对流弥散方程源项反演 的实际问题中，计算结果与实际情况基本吻合 山东理工大学硕士论文正则化算法及其实现 i i 2 正则化算法及其实现 这章我们将从正则化的一般理论入手，介绍处理病态问题的一般思想，进而对正 则化的构造方法进行探讨，并且讨论t l l d a o n o v 正则化及其实现方法同时我们给出了基于 奇异值系统的t d d a o n o v 正则化算例最后基于正则化的一般性理论，我们提出了一种新的 正则化子，构造了一种新的正则化方法，并且给出了数值算例，通过数值试验表明该算 法有更高精度，更高的收敛率 2 1 一般正则化理论 设k 是由h i l b e r t 间z 到砌b c n 空间y 的一个紧的线性算子，n s g x ；y 6 y 求解 工6 x 的问题是不适定的彳艮多反问题都可以化为这类算子方程的求解问题正则化理论求 解这类问题的基本思想是对解加上先验的条件，以恢复问题的适定性，尤其是稳定性 假定k ：并一y 是紧线性算予，对精确的右端数据，方程 k x = y ( 2 1 1 ) 存在唯一解x 这意味着k ：x k ( x ) 是一对应的在什么情况下能保证 k ：x k ( x 1 是一一对应的( 这意味着对任意的y 6 y ，k x ；y 都有唯一解) ，或者说， 如何选取y 使得k ( x ) 一y ，这是反问题研究中的另一个重要的理论问题，即解的存在唯 一性我们这里讨论不适定问题主要解的不稳定性 设有误差的右端数据y 6 满足 0 y 6 - y i i s 6 ，6 0 ( 2 1 2 ) 如何由y 6 求x 的近似值工67 一般说来，它不能由对应的方程 k x 6 = y 6 ( 2 1 3 ) 直接来求，因为： ( 1 ) 当y 6 隹k 0 ) 时，该方程无解； ( 2 ) 即使y 5 鼢0 ) ，由于k 。是无界的，当6 0 时，不能保证由式( 2 1 3 ) 得到 的解x 6 。x 为了使y6 圣k ) 也能用合适的方法构造近似解x 6 ，并保证x 6n y 6 的连续依赖性， 必须构造k 一1 ：图寥) 一z 的有界近似算子r ：l ，一z 定义2 1 1 一族有界线性算子r 。：y x ，a ) o n 为是式( 2 1 1 ) 的正则化解算子， 如果它满足： 烛& k x = x ( 2 1 4 ) 1 0 山东理工大学硕士论文 正则化算注及其实现 对所有的x z 成立，口称为正则化参数 对这样的定义，下面几点是容易理解的： ( 1 ) 对任一固定的a ，0 ，r 。是有界的； ( 2 ) 在x 上，a 一0 时r k 逐点收敛于单位算子，； ( 3 ) 该定义等价于r 。y k 。y 对一切的y k ( x ) 成立； ( 4 ) 如果k 是一般的紧算子，一样可定义连续的正则化算子玩：y x ，a ，0 去 逼近不连续算子k 但心未必是线性的，此时r 的有界性要求应改为r 。y 对任意 y e y 的连续性 引理2 1 1 嘲设d i m x = c o ，k ：z y 是紧算子，月。是k 。1 的正则化算子，则： ( 1 ) r 。关于a 不是一致有界的，即有序列恤。卜o 使得j 一。时8 r i l o 。 ( 2 ) a 一0 时0 凡一川i 一0 不成立 据正则化算子的定义，对右端的精确数据k x = y ，正则化解也x 当口一0 时当然收 敛于精确解x 考虑右端数据不精确的情况 令) ，= 鼢) 是右端的精确数据，而) ，6 】，是满足( 2 1 2 ) 式的误差数据定义 r ”= r 。y 6 是精确解x 的近似值由估计 0 2 4 一x i i 0 ( 2 2 1 ) 定理2 2 1 在条件( 2 2 a ) 一( 2 2 _ b ) 下，如果v r 0 ，x 。是x 中的紧集，则极小 化问题( 2 2 1 ) 至少存在一个解见，且它是方程鼠。y 的一个正则化族 如果k 是线性的，x 。是凸集，且m 是强凸泛函，则极小化问题( 2 2 1 ) 唯一可解 从而得到通常易于理解的单值正则化对此，看下面的例子： 例2 2 设x ，】，均为1 - i i l l x ：r t 空间，取x o e x 并令m c 力_ l i 善一x o 瞻，则极小化问题 ( 2 2 1 ) 具有唯一解r 。，它确定了方程k xey 的一种正则化当取x o = 0 时，一般称为 t i k h o n o v 正则化，且称； x 。= r 。y = ( 甜+ k k ) 一1 k _ ) ，6 ( 2 2 2 ) 为1 酗o n o v 正则解，其中 y 6 为方程k x = y 的右端扰动数据，满足条件( 2 1 2 ) t i k h o n o v 正则化是求解病态问题的著名方法，对此方法已有许多研究 2 4 , 2 6 - 3 0 1 后面的 章节里面我们将详细介绍这一方法 2 2 2 正则化子方法 在病态问题求解中，奇异值分解方法无论在理论上，还是在数值计算上都是非常有 用的为此，首先回顾紧线性算子的奇异值系统理论 根据线性泛函的知识，若k 是h i l b e r t 空间x l ，内的紧线性算予，则k k 是正的 自伴算子闰而，存在一个完备正交系缸，) cx ，及其对应的非负特征值 ： 如 a j + l 苫0 满足k k x ；- x ，令p ；历，y j = i i r x 川；1k x ，可知 k + y ；p x ，k x ，；x s y ， ( 2 2 3 ) 其中x j 称为k 的奇异值易见， y ， c y 也是标准正交的协，y j , p ， m , v 秘j k 的个奇 异系统应用奇异系统，理论上可以完全解决方程( 2 1 1 ) 的解的存在性问题 引理2 2 i t 2 3 1 ( p i c a r d ) 方程( 2 1 1 ) 有解的一个充分必要条件是 肛j 2 y ，) r1 2 c o 。 ( 2 2 4 ) 且解的表达式为： x 一( 1 ) 饥y 弦 ( 2 2 5 ) “、j 】|