线性代数第六章二次型试题及答案.doc

第六章 二次型一、基本概念n个变量的二次型是它们的二次齐次多项式函数,一般形式为 f(x1,x2,xn)= a11x12+2a12x1x2+2a13x1x3+2a1nx1xn+ a22x22+2a23x1x3+2a1nx1xn+ +annxn2 =.它可以用矩阵乘积的形式写出:构造对称矩阵A记，则f(x1,x2,xn)= X TAX称对称阵A为二次型的矩阵, 称对称阵A的秩为二次型的秩.注意:一个二次型的矩阵A必须是对称矩阵且满足，此时二次型的矩阵是唯一的，即二次型和它的矩阵A（A为对称阵）是一一对应的，因此，也把二次型称为对称阵A的二次型。实二次型 如果二次型的系数都是实数,并且变量x1,x2,xn的变化范围也限定为实数,则称为实二次型.大纲的要求限于实二次型.标准二次型 只含平方项的二次型，即形如称为二次型的标准型。规范二次型 形如的二次型，即平方项的系数只1，-1，0，称为二次型的规范型。二、可逆线性变量替换和矩阵的合同关系对二次型f(x1,x2,xn)引进新的变量y1,y2,yn,并且把x1,x2,xn表示为它们的齐一次线性函数代入f(x1,x2,xn)得到y1,y2,yn的二次型g(y1,y2,yn). 把上述过程称为对二次型f(x1,x2,xn)作了线性变量替换,如果其中的系数矩阵 c11 c12 c1n C= c21 c22 c2n cn1 cn2 cnn 是可逆矩阵,则称为可逆线性变量替换.下面讲的都是可逆线性变量替换.变换式可用矩阵乘积写出:记，则，从而。由知，两个n阶对称矩阵A与B合同且r(A)=r(B)定理1：二次型经可逆线性变换后，变成新的二次型，它的矩阵且定理2：两个二次型可以用可逆线性变量替换互相转化的充分必要条件为它们的矩阵合同.三、正交变换化二次型为标准型定理3：对实二次型，其中，总有正交变换，使其中 ，为f的矩阵A的特征值。因为Q是正交矩阵，则，即经过二次型变换，二次型矩阵不仅合同而且相似。将二次型用正交变换化为标准形的一般步骤为：（1）写出二次型的矩阵A（2）求出A的全部相异特征值，对每一个特征值求出其线性无关的特征向量，并利用施密特正交化方法将其正交单位化，将上面两两正交的单位向量作为列向量，排成一个n阶方阵Q，则Q为正交阵且为对角阵。（3）作正交变换，即可将二次型化为只含平方项的标准型四、配方法(略,见例).五、惯性定理和惯性指数定理4：若二次型经过可逆线性变换化为标准形，则标准型中所含平方项的个数等于二次型的秩。定理5：一个二次型所化得的标准二次型虽然不是唯一的,但是它们的平方项的系数中,正的个数和负的个数是确定的,把这两个数分别称为原二次型的正惯性指数和负惯性指数，这个定理称为惯性定理一个二次型所化得的规范二次型在形式上是唯一的,称为其规范形，其中的自然数p,q就是原二次型的正,负惯性指数。性质1：两个二次型可以用可逆线性变量替换互相转化的充分必要条件为它们的正,负惯性指数都相等.(即两个实对称矩阵合同的充分必要条件为它们的正,负惯性指数都相等.)性质2：由正交变换法看出, 实对称矩阵A的正(负)惯性指数就是它的正(负)特征值的个数.六、正定二次型和正定矩阵定义1：如果当x1,x2,xn不全为0时,有f(x1,x2,xn)0，称二次型f(x1,x2,xn)称为正定二次型如果实对称矩阵A所决定的二次型正定,则称A为正定矩阵, 于是A为正定矩阵也就是满足性质:当X0时,一定有X TAX0，且A一定是是对称矩阵。二次型的正定性是在可逆线性变量替换中保持不变的. 即实对称矩阵的正定性在合同变换时保持不变.(2)性质与判断实对称矩阵A正定合同于单位矩阵. 即存在可逆矩阵使，或者存在可逆矩阵，使得对任意可逆矩阵C，正定（即合同的矩阵，有相同的正定性）。A的正惯性指数等于其阶数n.A的特征值都是正数.A的顺序主子式全大于0.顺序主子式:一个n阶矩阵有n个顺序主子式,第r个(或称r阶)顺序主子式即A的左上角的r阶矩阵Ar的行列式|Ar|.判断正定性的常用方法: 顺序主子式法,特征值法,定义法.A不可逆Ax=0有非零解0是A的特征值A的列（行）向量组线性相关是阶可逆矩阵：（是非奇异矩阵）；（是满秩矩阵）的行（列）向量组线性无关；齐次方程组只有零解；，总有唯一解；与等价；可表示成若干个初等矩阵的乘积；的特征值全不为0；是正定矩阵；可由1，2,，n惟一线性表示=x1a1+x22+xnnAx=有惟一解x=(x1,x2,xn)T, A=(1, 2, n)r(A)=r(A)=n|A|0Ax=0只有零解=0不是A的特征值AB=0A(b1,b2, bs)=0, B=( b1, b2, bs)Abj=0, j=1,2,sb1,b2,bs均为Ax=0的解(r(A)+r(B)n)若bj0且A为n阶方阵时，bj为对应特征值j=0的特征向量A的列向量组线性相关，B的行向量组线性相关。AB=CA(b1, b2, br)=(C1, C2, Cr)Abj=Cj,j=1,2,rbj为Ax=Cj的解.C1, C2, Cr可由A的列向量组1, 2, s线性表示.r(C)=r(AB)r(A)或r(B)C的行向量组可由B的行向量组线性表示。例 题一、概念型题1.写出二次型的矩阵 2题答案：2.二次型的矩阵是_。3.矩阵对应的二次型是_。答案：.4.已知二次型经正交变换x=Py可化成标准型，则a =解： 5.已知二次型的秩为2，（2，1，2）T是A的特征向量，那么经正交变换后二次型的标准型是解：二次型对应的矩阵A为： 因为（2，1，2）T是A的特征向量，所以，二、化二次型为标准型1.用配方法将下列二次型化为标准形，并判断正、负惯性指数的个数，然后写出其规范形。（1）解：先集中含有x1的项，凑成一个完全平方，再集中含有x2的项，凑成完全平方= 设，标准型：，正惯性指数：，负惯性指数： 规范性：(2) f(x1,x2,x3)= x12+2x22+2x1x2-2x1x3+2x2x3.解：f(x1,x2,x3)= （x12+2x1x2-2x1x3）+2x22+2x2x3=设 ，标准型：正惯性指数：，负惯性指数：，规范性： (3) f(x1,x2,x3)= -2x1x2+2x1x3+2x2x3.解：像这种不含平方项的二次型，应先做线性变换： ， 设： ， 标准型：，规范性：2.设二次型f(x1,x2,x3)=X TAX=ax12+2x22-2x32+2bx1x3,(b0)，其中A的特征值之和为1, 特征值之积为-12.(1) 求a,b.(2) 用正交变换化f(x1,x2,x3)为标准型。 解：二次型的矩阵：，因为，（2） 因为它们已经两两正交，所以只需要单位化。 3.已知二次型f(x1,x2,x3)=(1-a)x12+(1-a)x22+2x32+2(1+a)x1x2的秩为2.(1)求a.(2)求作正交变换X=QY,把f(x1,x2,x3)化为标准形.(3)求方程f(x1,x2,x3)=0的解. 解：本题综合考查了特征值、特征向量、化二次型为标准型以及方程组求解等多个知识点，特别是第三部分比较新颖。 二次型的矩阵A为：， 得a=0这里， 可求出其特征值为解 ，得特征向量为：解 ，得特征向量为：由于已经正交，直接将，单位化，得：令，即为所求的正交变换矩阵，由x=Qy，可化原二次型为标准形：=（III） 由=0，得（k为任意常数）.从而所求解为：x=Qy=，其中c为任意常数。4. 设二次型（）求二次型的矩阵的所有特征值；（）若二次型的规范形为，求的值。） 若规范形为，说明有两个特征值为正，一个为0。则若，则 ， ，不符题意若 ，即，则，符合若 ，即，则 ，不符题意综上所述，故5. 已知向量是二次型的矩阵A的特征向量，求正交变换化该二次型为标准型。解:，又因为是A的特征向量，设所对应的特征值为，有。即，即。 ，则。计算A的特征多项式，则A的特征值为，其基础解系为。因为已经正交，所以只需要把它们单位化。令，则P为正交矩阵，作正交变换，得=。6.解： ，因为3个向量已经正交，只需要将其单位化三、关于正定的判断1.判断3元二次型的正定性解：，用顺序主子式判断大于0，所以是正定的。2.当_时, 实二次型是正定的.解： , , 所以 且 , 所以, 当 时, 二次型是正定的.3.设n阶实对称矩阵A特征值分别为1, 2, , n, 则当t _时, 是正定的.解：的特征值为. 若是正定的, 则4.设A是3阶实对称矩阵，满足，并且r(A)=2.(1) 求A的特征值.（2）当实数k满足什么条件时正定?解： 因为所以特征值为0，-2，-2 (2) 的特征值为1,1-2k,5. 已知上述二次型正定，则a的取值为 解：当不全为0时，二次型正定。 ， 若同时全为0，即齐次线性方程组只有0解，此时 即时，三个平方项不全为0，二次型正定。6.解：由已知可得，对于任意的，有，其中等号仅当以下等式同时为0时成立，此方程组仅有0解的充要条件是其系数行列式不为0，7.已知A是n阶可逆矩阵，证明是对称、正定矩阵。证明：，所以是对称矩阵。若正定，则=，所以与合同合同矩阵有相同的正负惯性指数，所以是正定矩阵。（2）因为A是可逆矩阵，所以，当时，只有0解。所以，所以正定。8.设A为m阶实对称矩阵且正定，B为实矩阵，为B的转置矩阵，试证：为正定矩阵的充分必要条件是。证明：必要性，设为正定矩阵，对任意的实n维列向量，即只有0解，充分性，为实对称矩阵，所以只有0解，对任意，又因为A为正对称矩阵，所以，所以为正定矩阵。9.设A为实矩阵，E为n阶单位矩阵，已知矩阵，试证：当时，矩阵B为正定矩阵。证明：，所以A为n阶实对称矩阵对于任意的实n维向量x，当时，当时，任意的，有，所以B为正定矩阵。矩阵的合同、相似、等价都有自反性，对称性，传递性。矩阵与等价记作：经过有限次初等变换化为，即A与B是同型矩阵存在可逆矩阵P与Q，使得A与B合同 ，记为AB存在n阶可逆阵P使得，即A与B都是方阵与的正、负惯性指数相等. 合同的矩阵一定等价，但等价的矩阵不一定合同矩阵A与B相似，记作AB，存在n阶可逆矩阵P, 使P-1AP=B，即A与B都是方阵相似的矩阵一定等价，但等价的矩阵不一定相似。相似的实对称矩阵一定合同，但合同的对称矩阵不一定相似。因为实对称矩阵的正(负)惯性指数就是它的正(负)特征值的个数，相似的矩阵有相同的特征值，所以相似的实对称矩阵有相同的正,负惯性指数，所以相似的实对称矩阵一定合同。对任意实对称矩阵A都存在正交矩阵P，使，即任意实对称矩阵都和对角阵即相似又合同。若矩阵不是实对称矩阵，相似的矩阵不一定合同，合同的矩阵也不一定相似。相似的矩阵一定有相等的特征值，但是特征值相等的矩阵不一定等价。特征值相同的实对称矩阵A和B一定相似，因为实对称矩阵都能相似对角化，特征值相同的实对称矩阵相似于同一个对角阵，根据相似的传递性，A和B一定相似。特征值相同的普通矩阵A和B可能相似，也可能不相似。 若A和B都能相似对角化，一定相似。若一个能对角化，一个不能对角化，一定不相似。若都不能对角化，可能相似，也可能相似。 例题：已知矩阵A和B，判断能否相似， A和B有相同的特征值，A能对角化，B不能对角化，所以A和B不相似。 A和B有相同的特征值，都不能相似对角化，但是A和B相似。1.设，B=，判断A与B是否等价、相似、合同。2. 1 1 1 1 4 0 0 0 A= 1 1 1 1 , B= 0 0 0 0 , 1 1 1 1 0 0 0 0 1 1 1 1 0 0 0 0判断A与B是否等价、相似、合同。解：根据指示点，两个实对称矩阵若相似，则必合同，又r(A)=1，其特征值为，显然A、B为实对称矩阵，且AB，于是