2019-2020学年高中数学人教A版必修4学案：2.2.2 向量减法运算及其几何意义 含解析.doc

教学资料范本2019-2020学年高中数学人教A版必修4学案：2.2.2 向量减法运算及其几何意义 含解析编 辑：_时 间：_第2课时向量减法运算及其几何意义1.相反向量与a长度相等，方向相反的向量，叫作a的相反向量，记作a.(1)零向量的相反向量仍是零向量，即00.(2)任一向量与其相反向量的和是零向量，即a(a)0.(3)如果a，b是互为相反的向量，则ab，ba，ab0.2向量的减法(1)定义：aba(b)，即减去一个向量相当于加上这个向量的相反向量(2)几何意义：已知a，b，在平面内任取一点O，作a，b，则ab，即ab可以表示为从向量b的终点指向向量a的终点的向量1.准确理解向量减法的几何意义(1)向量减法是向量加法的逆运算设，则，如图，设 ， .由向量加法的三角形法则可知 ， .(2)对于两个共起点的向量，它们的差就是连接这两个向量的终点，方向指向被减的向量(3)以向量，为邻边作平行四边形ABCD，则两条对角线的向量为， ， .2若，是不共线向量，|与|的几何意义比较，如图所示，设，.根据向量加法的平行四边形法则和向量减法的三角形法则，有，.因为四边形OACB是平行四边形，所以|，|分别是以OA，OB为邻边的平行四边形的两条对角线的长小试身手1判断下列命题是否正确. (正确的打“”，错误的打“”)(1)两向量首尾相连，和向量由第一个向量的始点指向第二个向量的终点()(2)向量ab当它们起点重合时可以看作从向量b的终点指向向量a的终点的向量()(3)向量加法的运算律同样适用于向量的减法运算()答案：(1)(2)(3)2非零向量m与n是相反向量，下列不正确的是()AmnBmnC|m|n| D方向相反解析：零向量m与n是相反向量，则有mn，|m|n|.答案：A3在三角形ABC中，a，b，则()Aab BbaCab Dab解析：ab.答案：D4._.解析：.答案：类型一已知向量作差向量例1如图，已知向量a，b，c不共线，求作向量abc.【解析】方法一如图，在平面内任取一点O，作a，b，c，连接BC，则bc.过点A作AD綊BC，连接OD，则bc，所以abc.方法二如图，在平面内任取一点O，作a，b，连接OB，则ab，再作c，连接CB，则abc.方法三如图，在平面内任取一点O，作a，b，连接OB，则ab，再作c，连接OC，则abc.方法归纳求作两个向量的差向量的两种思路(1)可以转化为向量的加法来进行，如ab，可以先作b，然后作a(b)即可(2)可以直接用向量减法的三角形法则，即把两向量的起点重合，则差向量为连接两个向量的终点，指向被减向量的终点的向量跟踪训练1如图，已知向量a，b，c，求作向量abc.解析：如图所示，以A为起点分别作向量和，使a，b.连接CB，得向量ab，再以C为起点作向量，使c，连接DB，得向量(ab)c.则向量即为所求作的向量abc.先作，再作.类型二向量的减法运算例2化简()()【解析】方法一(统一成加法)()()0.方法二(利用)()()()0.方法三(利用)设O是平面内任意一点，则()()()()()()0.方法归纳1向量减法运算的常用方法2向量加减法化简的两种形式(1)首尾相连且为和(2)起点相同且为差解题时要注意观察是否有这两种形式，同时注意逆向应用跟踪训练2在四边形ABCD中，_.解析：().答案：结合图形利用减法运算法则求类型三利用已知向量表示未知向量例3如图所示，四边形ACDE是平行四边形，B是该平行四边形外一点，且a，b，c，试用向量a，b，c表示向量，.【解析】因为四边形ACDE是平行四边形，所以c，ba，故bac.由平行四边形的性质可知 ，由向量的减法可知： ，由向量的加法可知 .方法归纳利用已知向量表示其他向量的思路解决这类问题时，要根据图形的几何性质，正确运用向量加法、减法和共线(相等)向量，要注意向量的方向及运算式中向量之间的关系当运用三角形法则时，要注意两个向量首尾顺次相接，当两个向量共起点时，可以考虑用减法常用结论：任意一个非零向量一定可以表示为两个不共线向量的和(差)，即以及(M，N均是同一平面内的任意点)跟踪训练3本例中的条件“点B是该平行四边形外一点”若换为“点B是该平行四边形内一点”，其他条件不变，其结论又如何呢？解析：如图，因为四边形ACDE是平行四边形，所以c，ba，bac.第一步：观察各向量的位置第二步：寻找(或作)相应的平行四边形或三角形第三步：运用法则找关系第四步：化简结果基础巩固(25分钟，60分)一、选择题(每小题5分，共25分)1下列运算中正确的是()A. B.C. D.0解析：根据向量减法的几何意义，知，所以C正确，A错误；B显然错误；对于D，应该等于0，而不是0.答案：C2下列四式中不能化简为的是()A.() B()()C. D.解析：D中，不能化简为，其余选项皆可答案：D3在ABC中，D是BC边上的一点，则等于()A. B.C. D.解析：在ABC中，D是BC边上一点，则由两个向量的减法的几何意义可得.答案：C4如图，在四边形ABCD中，设a，b，c，则()AabcBb(ac)CabcDbac解析：abc.答案：A5给出下列各式：；.对这些式子进行化简，则其化简结果为0的式子的个数是()A4 B3C2 D1解析：0；()0；0；0.答案：A二、填空题(每小题5分，共15分)6._.解析：.答案：7若a，b为相反向量，且|a|1，|b|1，则|ab|_，|ab|_.解析：若a，b为相反向量，则ab0，所以|ab|0，又ab，所以|a|b|1，因为a与b共线同向，所以|ab|2.答案：028设点M是线段BC的中点，点A在直线BC外，且|4，|，则|_.解析：以AB，AC为邻边作平行四边形ACDB，由向量加减法几何意义可知，|，平行四边形ABCD为矩形，|，又|4，M是线段BC的中点，|2.答案：2三、解答题(每小题10分，共20分)9如图，已知向量a，b，c，求作向量abc.解析：在平面内任取一点O，作向量a，b，则向量ab，再作向量c，则向量abc.10化简下列各式：(1)()()；(2).解析：(1)方法一原式()().方法二原式()0.(2)方法一原式.方法二原式().能力提升(20分钟，40分)11平面内有三点A，B，C，设m，n，若|m|n|，则有()AA，B，C三点必在同一直线上BABC必为等腰三角形且ABC为顶角CABC必为直角三角形且ABC90DABC必为等腰直角三角形解析：如图，作，则ABCD为平行四边形，从而m，n.因为|m|n|，所以|.所以四边形ABCD是矩形，所以ABC为直角三角形，且ABC90.答案：C12给出下列命题：若，则；若，则；若，则；若，则.其中正确命题的序号为_解析：因为，所以，正确；，所以，正确；因为，所以，正确；，所以，正确答案：13.如图，解答下列各题：(1)用a，d，e表示；(2)用b，c表示；(3)用a，b，e表示；(4)用d，c表示.解析：由题意知，a，b