（电路与系统专业论文）基于小波变换的图像去噪与压缩算法的研究[电路与系统专业优秀论文].pdf

摘要 多媒体通信是近几年迅速发展起来的一门新兴的综合技术，其 中的图象处理技术可以大幅度提高图象信号的传输速度和传输质 量，是多媒体通信中非常重要的技术之一。 小波分析是国际上新兴的一个前沿研究领域，小波理论因其时 频域局部化特性而成为一种有效的分析工具，以小波分析为工具进 行数字图像处理则是小波研究与应用的热点之一。本文在简述了小 波的基本理论知识后，对基于小波变换的图象去噪和图象压缩的算 法作了较深入的研究。 图像噪声的存在严重影响了图像的处理效果，图像去噪有利于 图像的后续处理。本文对小波图像去噪方法进行了研究和分析，在 总结了以往的阈值去噪经验基础上提出了一种新的阈值估计方法， 改进阈值在b a y e s s h r i n k 阈值上增加了一个修正因子卢，使该闽值 更有效的利用了小波系数的空间相关性，在高频带使用较大的阈值 去噪，在低频带使用较小的阈值去噪，从而使该阈值在去噪时更有 效的区分信号与噪声，使去噪重构图像的信噪比p s n r 比 b a y e s s h r i n k 阈值高，获得较好的去噪效果：并针对硬阈值函数和 软阈值函数的缺点，提出了收缩阂值函数改进方案，该阂值函数能 获得比硬阂值函数和软阈值函数更好的去噪效果。 图像的压缩有利于图像的传输和储存，本文对静止图像的压缩 方法进行了较深入的研究，分析了e z w 和s p i h t 算法的优缺点，在 s p i h t 算法的基础上提出了一种改进的算法，该算法采用了更简单 的集合分割与排序策略，对最低频子带采用单独d p c m 编码等措施在 一定程度上克服了s p i h t 图像编码算法的不足，提高了编码速度， 减少了内存的消耗，提高了图象复原的质量。并分析了噪声对图像 零树编码的影响，针对带有噪声的图像提出了一种多闽值编码方法， 该方法将小波阂值去噪和编码相结合，能在编码的同时去除噪声， 仿真实验结果表明该算法比e z w 的编码效果好，能有效的去除噪声。 关键词：小波变换，图像去噪，阂值，图像编码，嵌入式零树编码 i l m u l t i m e d i ac o m m u n i c a t i o ni san e ws y n t h e t i c a l t e c h l l o l o g y ，w h i c h i s r a p i d l yd e v e l o p i n gr e n c e n t l y i m a g ep r o c e s s i l l g i sa n i m p o r t a n t t e c h n i q u ei i lm u l t i m e d i ac o 衄u n i c a t i o nb e c a u s e0 fi t ss t r o n ga b i l i t yo f r e d u d n gt h eb i t r a t e s o fi m a g es i g n a l sa n di i n p r o v i l l gm eq u a l i t yo f i m a g ec o m m u n i c a t i o n w h v e l e t 狮a l y s i si san o v e lr e s e a r c hf i e l di nt h ew o r l d i th a sa p e r f e c tp e r f o 脚a n c e o nb o t hl o c a lt i m ea n df r e q u e n c yd o m a 虹s oi ti sa n e 虢c t i v ea n a l y t i c a lt 0 0 1 d 追i t a li i n a g ep m c e s s i n gb yt h ea i do fw a v e l e t a n a l y s i si so n eo ft h eh o ti s s u e so fw a v e l e tr e s e a r c ha n d 印p l i c a t i o n a f t e rab r i e fd e s c r i p t i o no ft l l e b a s i ct h e o r yo fw a v e l e t ，t h i sp 叩e rm a k e s ad e 印r e s e a r e ho ni m a g ed e n o i s i n ga n dc o n l p r e s s i o n t h ee x i s t e n c eo fi m a g en o i s e 瓣v e r e l ya 彘c t st h ee 骶c to fi m a g e p r o c e s s i n g ， s oi m a g ed e n o i s i n gi sb e n e f i d a lt os u b s e q u e n ti m a g e p r o c e s s i i l g t b ep a p e rr e s e a r c h sa n da n a l y s i s e s t h em e t h o do fi m a g e d e n o i s i n gu s i n gw a v e l e tt r a l l s f 缸m an e wm e t h o df o rt h r e s h o l 面唱 e s t i m a t i o ni sp r e s e n t e di nm i sp 叩e i t h en e wt h r e s h o l d i n gt h a t i n c r e a s e sav a r i a b l eo nt h eb a s i so fb a y e s s h r i n kc a ne 骶c t i v e l yu s et h e r e l a t i o no fw a v e l e tc o e i c i e n t sa n dg e th i 9 1 1 蹬n rc o m p a r i n gt o b a y e s s h r i l l l 【a i li m p r o v e ds h r i i l l 【f i l n c t i o no nt h eb a s i so fs o f c s h r i n l 【 f i l n c t i o na i l dh a r ds h r i n kf u n c t i o ni sp r e s e n t e di i lt h i sp a p e r i tg e t sb e t t e r d e n o i s i l l ge f f e c t i i i i m a g ec o m p r e s s i o nb e n e f i t s t ot h et r a n s i n i s s i o na n ds t o r a g eo f i m a g e ad e e pr e s e a r e ho ni m a g ed e n o i s i i l ga n dc o m p r e s s i o nu s i n g w a v e l e tt r a l l s f o n ni sp r e s e n t e di nt h i sp a p e lt h i sp 印e ra n a l y s i s e st h e m e r i t sa n d 丑a w so ft h ee z wa n ds p i h la ni 埘l p r o v e da l g o r i t h mi s p r e s e n t e do nt h eb a s i so fs p i i _ r r i tr e i s e st h es p i h t ss o r t i n gs t r a t e g y ， e n h a n c e st h ec o d es p e e d ，i n d u c e st h em e m o r ya n di m p r o v e st h e r e c o v e r yi m a g eq u a l i t y n l i sp a p e fp r e s e n t s ac o d ea l g o r i t h mu s i n g m a i l yt h r e s h o l df o ri m a g ew i t hn o i s e c o m p a r i n gt oe z wa l g o r i t h m ，t h e n e wa l g o r i t h mh a sb e t t e re f b c to nd e n o i s i n ga n dc o m p r c s s i o n k e y w o r d ：w a v e l e tt r a n s f o m ，i m a g ed e n o i s i n g ，t h r e s h o l d ，i m a g ec o d e ， e m b e d d e dz e r o t r e ew a v e l e t i v 基于小波变换的图像去噪和压缩算法研究 1 1 小波分析理论 1 1 1 小波分析的发展 第一章绪论 小波分析是近年来国际上掀起新潮的一个前沿研究领域，是继 f o l l r i e r 分析的一个突破性进展，它给信号处理领域带来了崭新的思 想，提供了强有力的工具，在科技界引起了广泛的关注和高度的重 视。探讨小波的新理论、新方法以及新应用成为当前一个非常活跃 和富有挑战性的研究领域。 小波的起源可以追溯到本世纪初。1 9 1 0 年，h a a r 最早提出了规 范正交小波基的思想，构造了紧支撑的正交函数系一h a a r 函数系。 1 9 4 6 年，g a b o r 提出了加窗f o l l r i c r 变换( g a b o r ：变换) 理论【1 1 ，使得 对信号的表示具有时频局部化性质，1 9 8 1 年，m o r k t 仔细研究了 g a b o r 变换方法，对f o u r i e r 变换和加窗f 0 u r i e r 变换的异同、特点 及函数构造作了创造性的研究，首次提出了“小波分析”的概念， 并建立了以他的名字命名的m o n e t 小波。1 9 8 6 年，m a a t 和m e v e r 提出了多分辨分析的理论框架【2 】，为正交小波基的构造提供了一般 的途径，多分辨分析的思想是小波的核心，至此，小波分析才真正 形成为一门学科。1 9 8 8 年，d a u b e c h i e s 给出了具有紧支集和任意 有限正则度的小波函数的一般构造方法【3 1 ，该小波得到了非常广泛 的应用。1 9 8 9 年，随着小波理论的进一步发展，m a l l a t 提出了实现 第l 丽 同等学力硕士学位论文 小波变换的快速算法一m a l l a t 塔式算法【4 1 ，为小波应用铺平了道路。 1 9 9 0 年，崔锦泰和王建中构造出了基于样条函数的正交小波函数， 并讨论了具有最好局部化性质的多尺度分析生成函数及相应的小波 函数。同年，砌c k e t h a u s e r 和c o i 缸a n 等人提出了小波包【5 】的概念， 并将m a l l a t 算法进一步深化，得到了小波包算法。使得小波变换的 分析性质有了很大的改善。1 9 9 4 年，g 0 0 d m k a n 等人在t 元多分辨 分析基础上建立了多重小波的基本理论框架【6 】，进一步丰富了小波 理论。 1 1 2 小波分析的特点 小波分析来源于对f o u r i e r 分析的改进，它利用小波基取代传统 的三角函数基，从而对函数进行分析与研究，由于小波基是由一个 小波函数经过平移和伸缩得到的，因此具有简单、灵活、性质好的 特性。与f 0 u d e r 分析相比，它是信号的时间一尺度( 时间，频率) 分 析方法，具有多分辨分析的特点，在时、频两域都具有表征信号局 部特征的能力，它能够在低频部分得到较高的频率分辨率和较低的 时间分辨率，在高频部分则正好相反，得到的是较高的时间率和较 低的频率分辨率。也就是说，小波分析方法，是一种窗口大小( 即窗 口面积) 固定，但其形状可以改变( 即时间、频率窗都可以改变) 的时、 频局部分析方法( 如图1 1 所示) ，这使得小波变换具有对信号的自适 应性，小波分析的这些特征弥补了f o u r i e r 分析的不足，解决了 f o i l r i e r 变换不能解决的许多困难问题。 第2 页 基于小波变换的图像去噪和压缩算法研究 对于不同频率的波形： 频 窒 小卅 t ，2 c ，3 图豳豳 翻 缓 蕊 f 0 l l i i c r 变换时、频图 频 塞 间 小波变换时、频图时间 图卜1f 0 u r i e r 、小波变换的时、频分析 1 2 小波图像去噪和编码的研究动态 随着小波理论的日臻完善，它的应用领域也越来越广泛，目前 小波分析在图像去噪、图像编码领域内取得了大量的研究成果。 在图像去噪领域中，应用小波进行去噪，获得了非常好的效果。 小波去噪的方法大概可以分为三大类： 1 ) 基于小波变换模极大值原理的，最初由m a l l a t 提出m ，即根 据信号和噪声在小波变换各尺度上的不同传播特性，剔除由噪声产 生的模极大值点，保留信号所对应的模极大值点，然后利用所余模 极大值点重构小波系数，进而恢复信号。该方法去噪性能非常稳定， 对噪声的依赖陛较小，无需知道噪声的方差，并且对低信噪比的信 第3 面 同等学力硕士学位论文 号去噪时更能体现其优越性。然而在去噪过程中存在一个由模极大 值重构小波系数的问题，从而使得计算量大大增加，且去噪效果也 并不十分满意。 2 ) 基于小波系数尺度之间的相关性的，是对含噪信号作小波变 换之后，计算相邻尺度间小波系数的相关性【8 ，根据相关性的大小 区别小波系数的类型，从而进行取舍，然后直接重构信号。该方法 取得了很好的去噪效果，实现思想也较简单，但计算量较大，需要 进行迭代，并且用到了闺值去噪的一些思想，还需估计噪声方差。 3 ) d o n o h o 提出的阈值萎缩法【9 1 ，该方法认为信号对应的小波 系数包含有信号的重要信息，其幅值较大，但数目较少，而噪声对 应的小波系数是一致分布的，个数较多，但幅值小。基于这一思想， d o n o h o 等人提出小波阈值去噪方法【1 0 1 1 】，即在众多小波系数中， 把绝对值较小的系数置为零，而让绝对值较大的系数保留或萎缩， 得到估计小波系数，然后利用估计小波系数直接进行信号重构，即 可达到去噪的目的。该方法实现最简单，计算量最小，应用最广泛， 但其阈值的选取比较困难，阈值选取是否恰当直接影响着去噪效果， 而且闽值的选取还依赖于噪声的方差，因此需要事先估计噪声方差。 图像编码，即图像压缩，就是在保证一定重构质量的前提下， 通过去除图像中的各种冗余，以尽量少的比特数来表征图像信息。 压缩的目的就在于减少数据存储空间、提高传输速率。基于小波变 换的图像编码方法，充分考虑了信息接收者的主观特性、图像信息 的具体含义和重要程度，以消除图像内容冗余为目的，在压缩比和 基于小波变换的图像去噪和压缩算法研究 编码质量方面均优于传统的d c t 变换编码，是目前一个较为活跃的 研究领域。 基于小波变换的图像编码方法基本上有以下三类： 1 ) 标量量化编码【1 2 1 ，该方法是对信号逐个进行的量化，它是一 种简单实用的数据压缩技术，其中最简单的均匀量化器由于对信号 的适应性以及实现的简单性，仍是当前最常用的量化技术。m a l l a t 提出多分辨率信号分析并将小波变换引入图像处理时，用的是标量 量化进行压缩编码。蒋良成【1 3 】讨论了广义高斯分布信源在低比特率 下熵编码均匀量化性能非常接近最佳熵约束标量量化器的性能。结 合熵编码的标量量化的优点是算法简单，实现容易，且具有较好的 压缩性能，但是在相同保真程度时，压缩比不如矢量量化和零树量 化。 2 1 矢量量化编码【体1 6 1 ，该方法利用相邻图象数据间的高度相关 性，将输入图象数据序列分组，每一组m 个数据构成一个n 维矢量， 一起进行编码，即一次量化多个点。根据香农率失真理论，对于无 记忆信源，矢量量化编码总是优于标量量化编码。最初的针对小波 变换域的矢量量化研究是在各个子带内分别构造矢量和生成码书， 如果能够利用小波变换系数在尺度之间和空间之间的相关性，将大 大提高小波变换编码的压缩比和压缩效率。矢量量化编码具有压缩 能力强的特点，但是码书设计复杂度较高，编码速度较慢。目前除 了理论上进行最佳矢量量化及最佳设计算法的研究外，主要的研究 集中在如何降低指数式上升的存储与计算复杂度，以便把矢量量化 第5 丽 同等学力硕士学位论文 编码推向实用并作出硬件产品。 3 1 小波系数的零树量化编码【1 再捌，该方法是不断扫描变换后的 图像，以四种符号表示小波系数，同时量化门限逐级递减，实现对 小波系数的逐级逼近。1 9 9 2 年，a s i j e w i s 和g k n o w l e s 最先明确 提出了图像小波变换域零树的概念。几乎与此同时，j m ，s h a 口i r o 【1 8 】 提出了他的嵌入零树小波唧：e m b e d d e dz e r o t r e ew a v e l e t ) 编码方 法，编码性能有了很大的提高。此后，零树方法受到越来越多的重 视，涌现出了一批基于零树的改进算法，其中1 9 9 6 年a s a i d 和 w _ a p e a t l m a n 提出的多级树集合分裂( s p i h t s e tp a r t i t i o n i n gi n h i e r a r c h i c a lt r e e ) 算法改进最明显、影响较大【1 9 1 。e z w 和s p i h t 算法的核心是零树数据结构。e z w 和s p 珥盯编码的优点在于算法 结构简单，不需要进行任何训练，也不需要对图象有任何的了解， 以较低的信噪比可取得较高的压缩率，编码效果可以在达到任意指 定的比特率或目标失真度时终止，解码也可以在比特流中的任意点 终止，从而可任意控制压缩比。 1 3 本文的研究思路和工作安排 1 3 1 本文的研究思路 原 图1 2 本文的研究框架 传输 基于小波变换的图像去噪和压缩算法研究 本文对一幅数码相机所拍摄的数字图像进行小波去噪和编码的 算法研究，研究了图像的正交小波分解和重构的算法，在m 衄a b 上实现该图像的小波分解和重构，由于数码相机所拍摄的图像是彩 色图像，而m a = a b 不能直接处理彩色图像，因此本文首先将图 像转换为灰度图像，再进行图像的小波变换，本文主要研究灰度图 像的去噪和编码的算法。 在图像去噪中，本文主要讨论了高斯白噪声的去噪问题，对基 于小波变换的图像去噪算法进行了较为系统的研究，并对小波阈值 去噪算法中的闽值和阈值函数进行了改进，对实验结果进行了分析， 证明改进的方法是有效的。 本文对图像编码算法的原理进行了研究，分析比较了嵌入式零 树编码算法e z w 和s p i h t 的优缺点，同时提出了一个基于s p 珊t 编码的改进算法并进行了实验，验证了改进算法的有效性和合理性； 并对带有高斯噪声的图像提出了一种多阈值编码算法，并将该算法 与e z w 算法进行了比较，实验证明该算法能较好的去噪和压缩。 1 3 2 本文的工作安排 本文的具体工作安排如下： 第一章是绪论部分，主要介绍了小波分析及本文研究工作的背 景和意义，并简要介绍了全文的主要内容，对全文的各章节做了总 体安排。 第二章是数字图像与小波理论部分，介绍了数字图像的数据结 构与存储格式，叙述小波分析的基本理论，介绍了多分辨分析的。 第7 丽 同等学力硕士学位论文 般框架，给出了小波变换的快速分解与重构算法，研究了二维图像 的分解与重构算法。 第三章是图像去噪部分，比较系统地讨论了利用小波变换进行 信号去噪的三类方法，即基于小波变换模极大值原理的去噪方法、 基于小波变换尺度相关性的去噪方法以及小波阈值去噪方法。在原 有去噪算法的基础上作了改进，并进行了实验分析。 第四章是图像压缩部分，介绍了图像编码的基本原理及常用的方 法，详细的研究了零树量化编码算法的原理及实现，针对该算法的 不足提出了一些改进方法，与s p i h t 算法进行了实验比较，实验结 果表明改进方法能取得更好的压缩效果。 第五章是带噪图像的编码部分，介绍了噪声对零树编码算法的 影响，介绍了多扫描阈值编码的原理，提出了针对噪声图像的多阈 值编码方法，与e z w 算法进行了实验比较，取得了较好效果。 基于小波变换的图像去噪和压缩算法研究 第二章数字图像与小波理论 2 1 图像数据结构与图像文件 2 1 1 图像数学模型 图像是当光辐射能量照在物体上，经过反射或透射，或由发光 物体本身发出的光能量，在人的视觉器官中所重现出的物体的视觉 信息。图像的亮度一般可用多变量函数来表示： ，一，0 ，y ，z ，a ，f ) 其中，x ，y ，z 为空间坐标，a 为光的波长，f 为时间，当z = o 时表示二维图 像，当f ；o 时表示静态图像。 人眼所感知的图像为模拟图像，即图像信息在空间位置和每一 个位置上光的强度变化都是连续的，这样连续模拟函数表示的图像 无法用计算机进行处理，也无法在数字系统中传输和存储，必须将 代表图像的连续的模拟信号转变为离散的数字信号，即将图像数字 化。图像数字化过程包括两个过程：第一步取样，是图像在空间位 置上的离散过程，每个取样点被称为像素点；第二步量化，是对每 个取样点亮度值的离散化过程，即用有限个数值来代替无限多的连 续灰度值。每个取样点的量化值代表着该点物理量的强度，被称为 灰度。 二维的图像的取样是分别在水平方向和垂直方向进行，例如， 一幅m x 的图像，是将2 幅连续图像在垂直反向取样得到m 行， 第9 页 同等学力硕士学位论文 可以在空间域用m 行的连续波形表示；在水平方向取样得到n 列， 即将每一行的连续信号取样得到n 个取样点。 一幅数字图像，可以看成由无数很小的像素点组成，每个像素的 大小意味着在这一点上反射光强亮度的大小或者是图像灰度级的亮 度。二维数字图像可用一个m x 矩阵表示： ，0 ，) ，) = ，( o ，0 )，( 0 ，1 ) ，( 0 ，一1 ) ，“0 )， 1 ) ，g 一1 ) ，0 f 一1 0 f ( m 一1 ，1 ) ，( m 一1 ，一1 ) 该矩阵表示一幅数字图像，实际上是一个数字阵列，图像的处理即 对此数字阵列的处理。 2 1 2 图像数据结构与存储 计算机处理的数字图像存储格式主要有矢量图形和位图图像两 大类。矢量图形，简称图形，指一组绘图指令绘制的各种图形，生 成的图像是由直线、圆、弧线组成，通常用于线条绘图。其优点主 要是可对图中的每个部分分别控制，对每个部分的压缩、放大、旋 转和扭曲都不会破坏画面。常用的矢量图格式有：w m f 、d r w 、c d r 、 e p s 、d 、砌、f l c 、c g m 等。 位图图像又称为点阵图像，简称图像。图像由一组计算机内存 位组成，这些位定义了图像中每个象素点的亮度和颜色。通常使用 位图格式存储的图像都比较细致，层次和色彩也比较丰富和真实。 位图图像显示快，但是所需要的磁盘空间比矢量图形大。常用位图 格式有b m p 、p c x 、g i f 、n f 等。 第1 0 页 基于小波变换的图像去噪和压缩算法研究 位图适用于具有复杂颜色、灰度等级或者形状变化的图像，如 照片、绘画或者数字化的视频图像。丽n d o w s 操作系统中把b m p 图 像作为其图像标准格式，并内含支持b m p 图像的a p i 函数，使得 b m p 图像也广泛为各种应用软件所支持。 b m p 图像文件格式包括了三个部分：位图文件头、位图信息和 像素数据。位图信息又由位图信息头和调色板数据组成，位图文件 头、位图信息头为固定长度，分别为1 4 、4 0 字节，常把这两部分合 称为b m p 文件头；调色板数据的多少与图像所用的色彩位数有关， 它的字节数是色彩数的4 倍，真彩色图像的b m p 文件中没有调色 板数据，每个调色板单元的前3 字节分别表示彩色的蓝、绿、红分 量；像素数据存储在最后面，对于用到调色板的位图，图像数据就 是该像素值在调色板中的索引值。数据存放以行为单位，每行字节 数需为四的倍数，不足部分填零补齐。b m p 文件格式参见图2 1 ， 表2 1 。 位图文件头( 1 4 字节) 位 位图信息头 图 ( 4 0 字节) 信 息 调色板数据( 8 ，6 4 或1 0 2 4 字节) 真彩 色图像无调色板 像素数据 图2 1b m p 图像文件结构 同等学力硕士学位论文 表2 1b m p 头文件结构 名称涵义数据类型 字节数 1 e 【2 】 文件类型标识c h a r2 s i z e文件总长度 l o n g 4 r e s e e d l保留i n t2 r e s e n r e d l保留i n t2 图像数据 o 助i t s 1 0 曲g 4 开始的位置 h e a ds i z e文件头长度 l o n g 4 图像水平 i m a g c w i d t l l1 0 n g 4 方向尺寸 图像竖直 h a g el e n g t h1 0 n g 4 方向尺寸 p l a n e s位平面数i n t2 b i t c o u n t每个象素占b i t 数 ， i n t2 p r 髂s i 衄 压缩方法代碗可 l 衄g 4 s i z e i l n a g e图像数据数l o g 4 x p d s p e 肋e t e r 竖直方向分辨率 l o n g 4 y p e l s p e r m e t c r水平方向分辨率 1 0 n g 4 c l n l s e d 使用颜色数目 l o n g 4 c l r i m p o n a t 重要颜色数目 l 叩g 4 以2 5 6 + 2 5 6 的真彩色图像i 卫n a b m p 为例，如图2 2 所示。该 b m p 图像文件内容包括两部分，一部分为头文件，共5 4 个字节， 内容为0 x 4 2 4 d o 0 0 3 0 0 3 6 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 3 6 0 0 0 0 0 0 2 8 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 1 0 0 1 8 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 6 0 0 0 0 0 0 0 6 0 0 0 0 0 0 0 1 8 0 0 0 0 0 0 0 0 。 第二部分为图像数据，因该图像为真彩色图像，不需要调色板， 图像数据就是实际像素的r 、g 、b 值，一个像素需要三个字节来表 基于小波变换的图像去噪和压缩算法研究 示。图像数据内容为：2 2 、3 0 、2 5 、2 7 、3 1 、2 3 、2 7 、7 2 、1 5 3 、1 8 8 、 1 9 0 、1 9 0 、1 8 9 、1 8 6 、1 7 2 、1 2 2 、8 3 、9 6 、1 0 8 、1 3 1 8 6 、8 6 、 9 2 、1 2 3 、1 4 5 、4 8 、1 1 4 。 图像数据在存储器中采用一维数据结构存储，存储器中的存储 单元与图像像素存在一一对应的关系，图像数据在存储器中以行号 为序连续存放，同一行内则以像素的列号为序自左至右连续存放。 b m p 文件中图像像素数据从最底下一行开始存入文件，行内仍为自 左至右存放，即从文件中最先读出的是图像最后一行的左边第一个 像素，最后得到的是第一行的最后一个像素。在i 玉n a b m p 文件中 所读第一个图像数据2 0 、3 0 、2 5 即为该图像最后一行的左边第一个 像素值，1 4 5 、4 8 、1 1 4 为图像第一行的右边第一个像素值。 图2 2 原始图像u 狲a b m p 一幅m 的图象可以用m 行的空间域( 时域) 波形表示，一 个时域的波形在频域中是由无数频谱线组成，低频信号的幅值高， 高频信号的幅值低，因为噪声信号多在高频段，幅值较低，因而可 以设定一个门限值，将低于该门限的信号去除，从而可以基本上将 第1 3 面 同等学力硕士学位论文 噪声信号去除，达到去噪效果。在频率域中，低频信息描述了图象 的整体信息，而高频信息描述了图象的局部细节。由此可知，将幅 值在一个较小的范围内的大部分高频信息去除掉，从而实现图象的 压缩。 2 2 小波理论慨述【2 4 、冽 2 2 1 小波的数学描述 小波就是“一小段波”，称满足以下条件的妒o ) 为小波母函数。 ( 1 ) e 妒o ) 出；o ( 2 ) 正i 妒 ) 1 2 出= 1 其中条件( 1 ) 是小波容许条件，可以看出小波在频域有界，是小 波必须具备的最低条件；条件( 2 ) 是小波的归一化条件，表示小波具 有单位能量。 定义2 1 ：小波函数定义如下： 妒。 _ | 口r 1 ，2 妒三与，4 ，6 r ，口，o ( 2 1 ) 可见，小波函数饥。( 石) 是一个小波母函数妒0 ) 通过平移和伸缩而产生 的一个函数族。常数n 和6 分别称为伸缩参数和平移参数，小波函 数识。o ) 的包络随口而变化，若伸缩参数。，l ，则妒。( 力相当于将妒( 砷 拉伸；而nc 1 则相当于将1 ；f ( x ) 缩小，平移参数6 使1 】f i ( x ) 在时域滑动。 2 2 2 连续小波变换 定义2 2 ：在定义2 1 的基础上，函数，o ) 在r 职) 上的连续小波 变换定义如下： 基于小波变换的图像去噪和压缩算法研究 阿) 扣r ”正，o 即乞 写成内积的形式为： t 脚矿水l - l “正，o 渺弓 其逆变换为： ( 2 2 ) ( 2 3 ) m ；扛“一。孵) 学 ( 2 - 4 ) 其中q ；正铧出 不难发现，小波变换实际是将函数，o ) 同一个活动的带通滤波 器进行滤波。区别于窗口傅立叶变换的是，时间局部区域和频率局 部区域不再是固定不变的，而是随参数a ，b 变化而变，根据矗，6 的 不同，可以得到小波变换下不同时、频宽度的信息，从而实现对信 号，o ) 的局部化分析。 2 2 3 离散小波变换 在实际应用中，尤其是在数字信号处理领域里，为了实际计算 的需要，常常要使用离散形式的小波变换，也就是将函数，0 ) 的积 分形式展开为级数和的形式。下面我们给出离散小波形式和离散小 波变换。 离散小波是通过把小波函数吼。中的参数a ，b 离散化得到的， 参数a ，b 的离散形式为： 口= 口：，6 = 胜k n ：，j 】 z ( 2 - 5 ) 定义2 3 ：若妒( z ) 是满足( 2 二1 ) 式的小波母函数，并可以用下式表 同等学力硕士学位论文 不： 妒，( x ) 爿i 一胆妒0 i x 一七) ，七z ( 2 - 6 ) 称妒，。0 ) 为离散小波。 特别地，当口0 = 2 且= 1 时，就可以得到二进小波： 妒 ) = 2 一雎妒( 2 7 z 一七) ， j ，七z( 2 - 7 ) 二进小波是满足可容性条件的小波，它具有很多优良特性，是 离散小波中最常用的一种形式。 函数，o ) 的离散小波变换，即在小波基上将其展开为小波级数 和的形式。 定义2 4 ：函数，0 ) p 僻) 的离散小波变换形式为： 哪朋2 ，毳胁矿 2 割 信号重构公式为： ，。) - ，薹妒- 。) ( 2 - 9 ) 其中一t ，妒雎，j ，七z 为离散小波变换系数。 2 2 4 正交小波 对众多的小波我们可以根据不同的分类标准对其进行分类，根 据框架理论可以把妒，。 ) 分为正交小波，半正交小波和非正交小波。 框架是对规范正交基的推广，下面给出小波框架的定义。 定义2 5 ：满足下述条件的离散小波称为框架 爿懈) 忙善i ，似2 口懈) 2 ( 2 1 0 ) 其中，o c 4 蔓丑c m ，o ) r 僻) 。 把a ，b 称为框架边界，在式( 2 1 0 ) 中，当a = b 时称妒，。( x ) 为紧 第1 6 页 基于小波变换的图像去噪和压缩算法研究 框架，特别是当a _ b = 1 时构成一组正交基。 正交小波和正交小波基在小波、小波分析理论中占有非常重要 的地位，下面给出正交小波和正交小波基的概念。 定义2 6 ：设小波母函数妒o ) r 俾) 若函数族 仰，o ) i ，七z ) r 僻) 满足以下条件： = 6 ( ，卅) 6 ，h ) ， 七，肌，n z( 2 1 1 ) 则称妒( x ) 构成r 俾) 的正交小波。 定义2 7 ：小波母函数妒o ) p 俾) 满足( 2 1 1 ) 式，若函数族 缈j j o ) lj ，七z 构成r ( r ) 的一组正交基，则称该函数族为口僻) 的正 交小波基。 2 2 5 多分辨率分析 多分辨率分析提供了一种信号的多分辨率分解。其主要思想是 将r 僻) 分解为一串具有不同分辨率的子空间序列，该子空间序列的 极限就是口僻) ，然后将口c r ) 中的，o ) 描述为具有一系列近似函数的 逼近极限，其中每一个近似函数都是，o ) 在不同分辨率子空间上的 投影。通过这些投影可以分析和研究，o ) 在不同分辨率子空间上的 性态和特征，小波的大部分应用都是基于信号的多分辨率表示。 我们称r ( r ) 中的一系列闭子空间形i ，z 构成驴僻) 的一个多 分辨分析( m r a ) ，如果满足以下条件： 1 ) 单调性：k 。 j z 2 ) 逼近性：u _ = o ) ；u 巧= r ( r ) ，e zj e = 3 ) 平移不变性：妒( 2 x ) 巧一妒( 2 m 工一j | ) 。 同等学力硕士学位论文 4 ) 伸缩性：厂o ) _ 一，( 缸) 。，z 5 ) m e s z 基存在性：存在妒( x ) k 使得静 一七) l 七z ) 构成子空间 的r i e s z 基。 满足以上条件的函数妒( x ) 称为尺度函数，由妒( x ) 经伸缩、平移 得到的子空间族形lj z ) 称为由妒( x ) 生成的口僻) 的一个多分辨分 析。 由条件5 ) 知，可通过r i e s z 基的规范正交化构造出中的规范 正交基，因而也就可以构造出所有彤ij z ，中的规范正交基，但是 形lj z ) 不是r 俾) 的正交分解，所以不能从妒( x ) 得到l 2 僻) 的规范正 交基，故要通过正交补的方法，从形l ，z ) 构造出r ( 只) 的正交子空 间 i ，z ( 即小波子空间) ，使p ( r ) 得到正交分解： r 僻) ；o 形 ( 2 1 2 ) 并满足嵋。一o 称为屹在巧+ ，中的正交补。 设中的基函数为妒( 力，由它生成的妒j 一2 叫2 妒( 2 。x 一七) 构成 的规范正交基，则缈 ij ，七z ，构成r ( r ) 的标准正交基。 小波函数妒( 石) 可由尺度函数妒( z ) 构造。尺度函数妒( 石) 的构造如 下： 由多分辨分析的单调性和伸缩性知妒 2 ) k ，ck 即妒( x 2 ) 故妒 2 ) 可以用k 子空间的基函数展开，令展开公式为： 甲( x 2 ) = 压荟懈) 妒( x 一七) 可等价为：伊( x ) 一压差 啦砌( 缸“) ( 2 - 1 3 ) 基于小波变换的图像去噪和压缩算法研究 定义滤波器：h ( m ) 一耋芎争叫d 滤波器与 ) 的离散f 0 u r i e r 变换等价。则对式( 2 - 1 3 ) 两边作 f 。u r i e r 变换得：庐( m ) 一日9 庐嗤) 。 妒( ) 是妒( x ) 的f o u r i e r 变换。 作变量代换+ = 詈后，有嗤) - 日呼呼) 依次类推下去，有庐( 甜) 一斑日哆* ( 0 ) 令妒( 0 ) ；j 二庐( f 矽；o 则有妒( ) 2 日9 这表明，尺度函数妒( x ) 的频谱驴和) 完全由滤波器日( ) 所决定。 h ( ) 满足下列两个性质，被称为共轭滤波器： 1 ) 1 日( 0 ) = 1 i ，_ l o ) = d 咭) ( 2 _ 1 4 ) 2 ) i h ( ) f + 1 日( + 巧) p 一1( 2 - 1 5 ) 由上可知，由滤波器日( 珊) ，求出尺度函数妒( x ) 的f o u f i c r 变换形 式庐) ，再通过反变换可求得尺度函数妒( x ) 。 下面给出子空间k 的规范正交基的概念。 定义2 8 设k r 僻) ；妒( 一玎) r 啤) ；张。0 ) = 7 2 妒( 工一n ) 如 果妒( 一n ) 是正交的，即满足： c 妒( 一n ) ，妒( 一，) ，一6 0 ，z )( 2 - 1 6 ) 则称仲( 一n ) i 玎z 构成k 的一组规范正交基。 定理2 9 ：彤i ，z 是z 2 的一个多分辨分析，妒( z ) 是由m r a 产生的一个尺度函数，日) 是相应的共扼滤波器，令函数 ；f ，( x ) 的 f o l l r i e r 变换为： 同等学力硕士学位论文 妒( ) = g ( 9 ( 2 - 1 7 ) 其中g 9i 兰日嗤+ 万) 令妒肚o ) = 2 叫2 妒( 2 7 工一七) ，则 妒 ( x ) l 女z ) 是的规范正交基， 缈肚( 圳j ，七z 构成r 僻) 的规范正交基，其中巧+ 。= _ o 。 由定理2 9 可知，根据尺度函数妒( x ) ，可求出函数妒( 石) ，从而可 得形的规范正交基。 上面我们介绍了一维情况下的多分辨分析，在数字图像处理中要 用到二维多分辨分析，我们可以把它推广到二维或更高维空间中去。 推广到二维空间中常用的方法是张量积的形式。 2 2 6m a l l a t 算法 m a l l a t 的塔式分解算法在小波理论中占有重要地位，在这一算 法中m a l l a t 给出了函数的分解、重构公式，使得小波分析理论得到 进一步的发展。下面我们来看m a l l a t 分解的基本思想并给出一些重 要公式。 首先定义一个子空间序列 lj z 使得为巧的正交补，即有： _ + ，= _ o 其中上_ ( 2 1 8 ) 这样就可以将r 进行如下分解( 图2 4 ) ： r 限弋弋w 1 弋m 弋弋 “ w j + 1 w jw j 一1 “ 图2 5 空间分解图 由以上的塔式分解能够看出，对于任意的函数， ) r 僻) ，都可 基于小波变换的图像去噪和压缩算法研究 以用， ) 在巧上的投影o ) 来逼近。随着下标j 的增大， ) 就越 来越接近， ) ，即有，o ) = l i m ，f ) 从图2 5 我们还能看出，子空 卜二 间包含了由子空间逼近子空间+ 。的“细节”信息，函数族 彬l ，z 可以由一个小波函数妒( 砷通过伸缩、平移得到， 即：= 桫 0 ) = 2 训2 妒( 2 z 一七) ij ，七z ) 。这就是说，对任意的函数 ， ) r ( r ) 都可由妒( x ) 近似，再由( 2 - 1 7 ) 式便可以把妒o ) 和伊( x ) 联系 起来了，根据上一节的内容妒( x ) 可被唯一确定。 由妒0 ) k ，并设函数簇： 西( 2 x 一忍) l 玎z ) 构成子空间k 的 规范正交基，妒( z ) 可以用k 的基元素表示出来： 妒。) 2 荟五。) 妒( h 一月) ； o ) f 2 ( z )( 2 _ 1 9 ) 妒( x ) 5 薹( 一1 ) 2 9 0 ) 妒( 扭一n ) ；g o ) 7 2 ( z ) ( 2 - 2 0 ) 其中，f 2 ( z ) 表示平方可和序列，我们称上式为双尺度方程。 在塔式分解中，由妒( 功经过伸缩、平移得到的子空间序列 i ，z 具有以下性质： 1 ) ，o ) 一，( 及) + 。 2 ) w ：上矸；h 后，且n ，七z 3 ) r 僻) 一 l ，j z 基于这一理论基础上，能够实现对函数，0 ) 的小波分解与重构。 m a l l a t 设计出了类似于快速傅立叶变换的m a l l a t 算法，并构造了一 组带通滤波器，这样函数，0 ) 就可以看作一维信号，对它的分解与 重构就可以通过低通滤波器 o ) 和高通滤波器g o ) 来实现。 设，o ) 在子空间巧和的投影系数分别为c 肚和d 肼即： 同等学力硕士学位论文 = 。肚 ，z 一d ， j ，七z ( 2 - 2 1 ) ( 2 - 2 2 ) 分 解关系式为： c 肚5 砸一放) c + 1 ， ( 2 - 2 3 ) d 雎。薹孙一驰) c ，“一 ( 2 _ 2 4 ) 其中q ，t 和d j ，x 分别为j 尺度空间的剩余系数和小波系数，它们 分别是信号在尺度j + 1 空间的剩余系数q + - 与共轭滤波器组( 霄，舀) 进 行卷积并进行2 ：1 的下采样( 抽取) 所得结果，则式( 2 2 3 ) 、式 ( 2 - 2 4 ) 可由图2 - 6 表示，这个由q + 1 计算q ，k 、d j ，k 的算法称为m a l l a t 分解算法，将c i ，。近一步分解下去，可得到任意尺度空间上的分解， 分解过程如图2 7 所示。 图2 - 6 小波分解过程 q 1 弋三弋：弋二