（电路与系统专业论文）基于DCT的实值离散Gabor变换的快速并行算法[电路与系统专业优秀论文].pdf

摘要基于d c t 的实值离散g a b o r 变换的快速并行算法摘要1 9 4 6 年，d e n n i sg a b o r 将f o u r i e r 变换的变换核即复指数函数，与一类可时移的窗函数乘积，构造了一新的可时移和频移的变换核( 即基函数) ，从而提出了基于f o u r i e r 变换的复值g a b o r 变换。虽然在g a b o r 展开被提出之后的较长时间里大家均认为g a b o r 展开是有用的，但由于g a b o r 展开系数计算的困难，其应用一直受到限制。为了简化g a b o r 变换的计算，我们曾提出了一种基于d c t 的实值离散g a b o r交换( r d g t ) 方法，这种方法类似于传统的复值离散g a b o r 变换( c d g t ) 的分析理论体系，而且仅涉及实值计算，并可采用快速的离散余弦变换( d c t ) 算法和快速的离散余弦逆变换( i d c t ) 算法来加速变换，从而达到大大减小离散g a b o r 变换系数计算量的目的，因此在实际应用中，实值离散g a b o r 变换更方便于软件和硬件的实现。本文首先简单回顾了g a b o r 变换理论的发展，然后提出了基于d c t 的实值离散g a b o r 变换的并行快速算法为了有效地和快速地计算实值离散g a b o r 变换，提出了在l 临界抽样条件下和在过抽样条件下，一维实值离散g a b o r 变换系数求解的块时间递归算法以及由变换系数重建原信号的块时间递归算法，研究了两算法使用并行格型结构的实现方法。由于该算法的计算复杂性分摊于各并行处理单元，因而计算速度大幅度提高。而且，计算复杂性分析与比较也说明了基于d c t 的实值离散g a b o r 变换块时间递归算法的并行格型结构在计算时间方面所具有的高速和高效性能。最后，本文给出了一个基于d c t 的实值离散g a b o r 变换的应用，利用基于d c t 的实值离散g a b o r 变换对核磁共振自由感应衰减信号进行处理，从而达到增强核磁共振自由感应衰减信号的目的。关键词：基于d c t 的实值离散g a b o r 变换：并行格型结构；块时间递归算法；信号增强算法基于d c t 的实值离散g a b o r 变换的快速并行算法a b s t r a c ti n1 9 4 6 ，g a b o rc o n s t r u c t e dt i m e - a n df r e q u e n c y - s h i f t a b l et r a n s f o r mk e r n e l( n a m e db a s i sf u n c t i o n s ) b ym u l t i p l y i n gt h et r a n s f o r mk e r n e lo ff o u r i e rt r a n s f o r m( n a m e dc o m p l e xe x p o n e n t i a lf u n c t i o n s ) 诵t has e to f t i m e s h i r a b l ew i n d o wf u n c t i o n s ，t h e nh ep r e s e n t e dt h ee o m p l e x - v a l u e dg a b o rt r a n s f o r mb a s e do nf o u r i e rt r a n s f o r m a l t h o u g hm a n yp e o p l et h o u g h tt h eg a b o re x p a n s i o nw a su s e f u l ，t h ea p p l i c a t i o n sw e r er e s t r a i n e df o ral o n gt i m eb c c a n s eo f t h ed i f f i c u l t i e si nt h ec a l c u l a t i o no f t h et r a n s f o r mc o e 伍c i e n t s i no r d e rt or e d u c et h ec o m p u t a t i o n a lc o m p l e x i t y , w eh a v ep r e s e n t e dt h er e a l - v a l u e dd i s c r e t eg a b o rt r a n s f o r m ( r d g t ) b a s e do nd c ti no u rp r e v i o u sw o r k t h i sa p p r o a c hi ss i m i l a rt ot h et r a d i t i o n a lc o m p l e x - v a l u e dd i s c r e t eg a b o rt r a n s f o r m( c d g t ) b e s i d e s ，i to n l yi n v o l v e sr e a lo p e r a t i o n sa n dc a nu t i l i z ef a s td c ta n di d c ta l g o r i t h m sf o rf a s tc o m p u t a t i o n a sar e s u l t ，t h ec o m p u t a t i o n a lc o m p l e x i t yo ft h eg a b o rt r a n s f o r mi ss i g n i f i c a n t l yr e d u c e d s oi np r a c t i c a la p p l i c a t i o n ，t h er e a l - v a l u e dd i s c r e t eg a b o rt r a n s f o r mi sm o r ee a s i l yi m p l e m e n t e di nb o t hs o f t w a r ea n dh a r d w a r e i nt h i sp a p e r , f i r s t l y , t h ed e v e l o p m e n to ft h eg a b o rt r a n s f o r mt h e o r yi sb r i e f l yr e v i e w e d ；t h e nt h ef a s tp a r a l l e la l g o r i t h m sf o rr e a l - v a l u e dd i s c r e t eg a b o rt r a n s f o r m sb a s e do nd c tw i l lb ep r e s e n t e d i no r d e rt oc o m p u t et h er e a l - v a l u e dd i s c r e t eg a b o rt r a n s f o r me f f e c t i v e l ya n df a s t ，b l o c kt i m e - r e e u r s i v ea l g o r i t h m sf o rt h ee f f i c i e n ta n df a s tc o m p u t a t i o no ft h e1 - dr d g tc o e f f i c i e n t sa n df o rt h ef a s tr e c o n s t r u c t i o no ft h eo r i g i n a l s i g n a lf r o mt h er d g tc o e f f i c i e n t sw i l lb ed e v e l o p e di nb o t hc r i t i c a ls a m p l i n gc a s ca n do v e r - s a m p l i n ge a s e ，a n dt h e nu n i f i e dp a r a l l e ll a t t i c es t r u c t u r e sf o rt h ei m p l e m e n t a t i o no ft h ea l g o r i t h m sw i l lb es t u d i e d b e c a u s et h ec o m p u t a t i o n a lc o m p l e x i t yo ft h i sa l g o r i t h mi sa l l o c a t e dt op a r a l l e lc e l l s ，s ot h ec o m p u t a t i o ns p e e dw i l lb eg r e a t l yi n c r e a s e d m o r e o v e r , t h ec o m p u t a t i o n a lc o m p l e x i t yc o m p a r e dw i t l lo t h e ra l g o r i t h m si sa l s op r o v e dt h a tt h ep a r a l l e la l g o r i t h mi sf a s ta n de f f e c t i v e f i n a l l y ,a na p p l i c a t i o no ft h er e a l v a l u e dd i s c r i ：t eo a b o rt r a n s f o r m sb a s e do l id c tw i l lb ep r e s e n t e d , n en o i s e dn m rf i ds i g n a lc a nb ee n h a n c e db yt h ed c t - b a s e dr e a l - v m u e dd i s c r e t eg a b o rt r a n s f o r m k e yw o r d s ：r e a l - v a l u e dd i s c r e t eg a b o rt r a n s f o r m sb a s e do nd c t p a r a l l e ll a t t i c es t r u c t u r e s ；b l o c kt i m er e e u r s i v ea l g o r i t h m s ；s i g n a le n h a n c e m e n ta l g o r i t h m s 独创性声明本人声明所呈交的学位论文是本人在导师指导下进行的研究工作及取得的研究成果。据我所知，除了文中特别加以标注和致谢的地方外，论文中不包含其他人已经发表或撰写过的研究成果，也不包含为获得芸f 殳( 事或其他教育机构的学位或证书而使用过的材料。与我一同工作的同志对本研究所做的任何贡献均已在论文中作了明确的说明并表示谢意。糊黼鲐尹妯莠7 ：己鳓期：切| 7 年g 月沙日学位论文版权使用授权书本学位论文作者完全了解寝徼彭有关保留、使用学位论文的规定，有权保留并向国家有关部门或机构送交论文的复印件和磁盘，允许论文被查阅和借阅。本人授权勿 鼓大泸以将学位论文的全部或部分内容编入有关数据库进行检索，可以采用影印、缩印或扫描等复制手段保存、汇编学位论文。( 保密的学位论文在解密后适用本授权书)学位论文作者鼢弛蓑瓦导师始i 1 訇存签字日期：如口7 年6 月咱签字日期：呻年6 月 日学位论支作者善、l k 去向：工作单位通讯地址电话邮编第一章绪论第一章绪论1 1 国内外研究现状及分析1 8 2 2 年，法国工程师傅里叶( f o u r i e r ) 指出，一个“任意”的周期函数都可以分解为无穷多个不同频率正弦信号的和，这即是傅里叶级数。求解傅里叶系数的过程就是傅里叶变换。传统f o u r i e r 变换以及与之相关的实值变换如h a r t l e y 变换、余弦变换和正弦变换是分析和处理平稳信号的最常用和最主要的方法，在电学、声学、光学、机械学、信号与图像处理、机器视觉、通讯和自动控制等领域有着广泛的应用翻。然而，由于f o u r i e r 变换是在整体上将信号分解为不同的频率分量，因此它实际上是一种全局的变换，无时间局部信息，无法表述信号的时频局域性( 即无法描述信号的频率分量是如何随时间变化的) ，而这一点恰恰是非平稳信号如语音、生物医学信号等最根本和最关键的性质。为了有效地分析和处理非平稳信号，早在1 9 4 6 年，英国物理学家d e n n i sg a b o 一3 】( 于1 9 7 1 年因发明全息照相获得了诺贝尔奖) 就提出在信号分析和处理中使用时间和频率两个变量对信号进行描述的方法。在文献【3 】中他将f o u r i e r 变换的变换核即复指数函数，与可时移的g a u s s 窗函数乘积，构造了一新的可时移和频移的变换核( 即基函数) ，从而提出了在联合时频域中将信号展开成一组g a u s s 基本函数形式。这一展开形式被后人称为g a b o r 展开，而求解展开系数的式子被称为g a b o r 变换。虽然在g a b o r 展开被提出之后的较长时间里大家均认为g a b o r 展开是有用的，但由于g a b o r 展开系数计算的困难，其应用一直受到限制。在g a b o r 展开式中基函数不构成正交基，因而不能用通常的内积规则来计算展开系数。这样，就存在如何计算g a b o r 展开系数问题( 即g 曲o r 变换问题) ，g a b o r 当时只给出了一种近似的迭代计算方法。随着计算机技术的发展，在实际应用中，人们逐步认识到需要将g a b o r 展开与变换离散化来解决这一问题。直到近十几年离散g a b o r 展开与变换提出后，计算g a b o r 荽开系数方法才有所突破。近十几年来一些学者在g a b o r 展开与变换的离散化与有限化方面做了许多工作，内容颇为丰富。g a b o r展开与变换的研究方法形式多种多样，主要有以b a s t i a a n s 4 1 、w e x l e r 【5 1 和q i a l l【 1 等人为代表的双正交分析法，m o r r i s 8 1 等人为代表的框架理论、d a u g m a n 嘲基于d c t 的实值离教g a b o r 变换的快速并行算法等人提出的神经网络方法、t e u n e r t l 0 1 和i b r a h i m 1 1 1 等人提出的自适应学习算法以及l u 【l 司等人提出的并行格型结构实现块时间递归g a b o r 变换算法。为了克服g a b o r 展开中基函数带宽固定的缺点，q i a n1 1 3 】还提出了自适应g a b o r - 表示方法。为更好地理解语音信号，p o t t e r 等人【1 4 】在1 9 4 7 年也提出了一种实用的时频分析方法短时f o u r i e r 变换。尽管g a b o r 展开与短时f o u r i e r 变换在上世纪四十年代几乎是同时被提出的，但二者之间关系很长时间不为人所知，直到上世纪八十年代初期才搞清楚短时f o u r i e r 变换实际上就是g a b o r 变换。但正如文献 7 所指出的那样，短时f o u r i e r 变换虽然也有离散形式，但其并不是从展开与内积的角度来研究的，有些重要方面，如过抽样与信号精确重建之间的关系不明确，特别是对偶窗函数的计算求和式是无界的，从而不便于数值计算实施。综观上述g a b o r 展开与变换的研究历史，我们注意到传统的g a b o r 展开与变换是复值形式的，是在复值f o u r i e r 变换基础上通过引入能够时移和频移的一系列基函数而产生的，对实值g a b o r 展开与变换的研究几乎空白。尽管g a b o r 在1 9 4 6年文献 3 】中也提出了在连续余弦变换基础上引入实值g a b o r 展开，1 9 9 5 年文献【1 5 】又将其离散化，但对这种基于离散余弦变换的实值g a b o r 展开的研究很不充分，例如，其完备性条件如何等问题没有得到解决。基于离散余弦变换的实值g a b o r 展开的研究文献也是寥寥无几。因此半个世纪的对g a b o r 展开与变换的研究和应用实际上是以基于f o u r i e r 变换的复值g a b o r 展开与变换为主导地位的。1 2 本文研究内容众所周知，g a b o r 将f o u r i e r 变换的变换核即复指数函数，与一类可时移的窗函数乘积，构造了一新的可时移和频移的变换核( 即基函数) ，从而提出了基于f o u r i e r 变换的复值g a b o r 变换。然而，由于g a b o r 基本函数彼此之间互不正交，g a b o r 变换的计算复杂性很高，实时应用受到很大限制。为了简化g a b o r 变换的计算，我们在文献 1 6 1 中提出了一种基于d c t 的实值离散g a b o r 变换( r d g t ) 方法，这种方法类似于传统的复值离散g a b o r 变换( c d g t ) 的分析法理论体系，并可采用快速的离散余弦变换( d c t ) 算法和快速的离散余弦逆变换( i d c t ) 算法来加速变换，从而达到大大减小复值离散g a b o r变换系数计算量的目的，因此在实际应用中，实值离散g a b o r 变换更方便于软件2第一章绪论和硬件的实现。文献【1 6 】研究了基于d c t 的实值离散g a b o r 变换的串行快速算法，在串行快速算法中要解决的关键问题是，如何通过矩阵变换，并利用快速的d c t 和i d c t ，使得求解实值离散g a b o r 时频变换系数以及由变换系数重建原信号问题的计算复杂性最小，从而有效地提高算法的速度。本文主要研究基于d c t 的实值离散g a b o r 变换的并行快速算法。论证了一维r d g t 系数求解算法和由变换系数重建原信号算法，不论是在i 临界抽样条件下还是在过抽样条件下，都同样具有块时间递归特性，并提出了相应的块时间递归算法及其并行格型结构实现方法，并通过计算复杂性分析与比较来说明r d g t块时间递归算法的并行格型结构在计算时间方面所具有的高速和高效性能。另外，本文给出了一个基于d c t 的实值离散g a b o r 变换的应用，即利用基于d c t 的实值离散g a b o r 变换对核磁共振自由感应衰减信号进行处理，从而达到增强核磁共振自由感应衰减信号的目的。1 3 课题的研究意义复值离散g a b o r 变换已取得了不少成功的应用成果，但问题是其计算复杂性较高，特别是在实时处理要求下，这一问题更加突出。而基于d c t 的实值离散g a b o r 时频变换比复值离散g a b o r 变换在计算、实现方面简单，并可利用快速d c t加速变换；同时，实值离散g a b o r 时频变换不仅能很好地表示信号的时变信息，在频域方面还保留了对应的d c t 的特性，例如，基于d c t 的实值离散g a b o r变换不仅保留了d c t 的高效数据压缩特性，而且由于具有时频局域性还可以克服使用d c t 压缩数据产生的块效应，等等。利用实值离散g a b o r 时频变换的这些优点和特点，将其推广应用到信号和图像分析处理( 如s a r 图像压缩、数字水印生成、数字滤波器组设计) 等方面，必将有效地提高非平稳信号与图像的分析、处理速度和效率。g a b o r 变换是重要的时频分析方法之一，研究其快速算法是当前时频分析法中亟待解决的课题之一，若快速算法不解决，许多应用，特别是在线处理就无从谈起。为了快速地和有效地计算r d g t ，本文主要研究基于d c t 的一维r d g t的块时间递归特性和算法及其并行格型结构快速实现的方法。并行格型结构实现3基于d c t 的实值离散g a b o r 变换的快速并行算法块时间递归离散g a b o r 变换算法最初由文 1 7 1 提出。由于其计算复杂性分摊于各并行处理单元，因而计算速度大幅度提高，但文 1 7 1 作者的研究仅局限于l 临界抽样条件下一维离散g a b o r 变换系数的求解，没有解决离散g a b o r 逆变换并行算法问题，也没有解决过抽样条件下离散g a b o r 变换和逆变换并行算法问题。我们的研究表明，不论是在临界抽样条件下还是在过抽样条件下，实值离散g a b o r变换式及逆变换式都同样具有块时间递归特性，因此块时间递归算法的并行格型结构实现方法，不仅可以应用于一维r d g t 系数求解算法，而且可以应用于由变换系数重建原数据算法( 即实值离散g a b o r 逆变换算法) 的实现；适用条件既包括临界抽样条件又包括过抽样条件。计算复杂性分析与比较也说明了基于d c t 的r d g t 块时间递归算法的并行格型结构在计算时间方面所具有的高速和高效性能。这种方法由于仅涉及实数运算，并可借助于快速d c t 和i d c t 变换算法，从而使r d g t 的并行格型结构实现比c d g t 要简单得多。相信通过对实值离散g a b o r 时频变换的深入研究，不断地丰富和完善g a b o r时频分析理论，使g a b o r 展开与变换成为信号与图像处理、通讯、机器视觉、模式识别和自动控制等领域更具吸引力的工具。毕业论文的课题研究是在国家自然科学基金项目( n o 6 0 5 7 2 1 2 8 ) 、安徽省人才开发资金( n o 2 0 0 5 2 0 2 9 ) 以及安徽大学人才队伍建设项目基金的资助下完成的。1 4 论文内容安排第一章绪论，简单讨论了g a b o r 变换的产生背景及其发展历史，介绍了本文的研究内容及其研究意义。第二章g a b o r 基本理论的回顾，回顾了传统复值g a b o r 变换的理论方法，分别介绍了一维和二维复值离散g a b o r 变换基本理论和快速算法，并且简单介绍了实值g a b o r 变换理论的建立和发展。第三章基于d c t 的实值离散g a b o r 变换块时间递归算法及其并行格型结构实现方法，本章提出了在临界抽样条件下和在过抽样条件下，一维实值离散g a b o r 变换系数求解的块时间递归算法以及由变换系数重建原信号的块时间递4第一章绪论归算法，研究了两算法使用并行格型结构的实现方法，并讨论和比较了算法的计算复杂性和优越性。第四章基于过抽样的实值g a b o r 变换的核磁共振自由感应衰减信号增强算法，本章给出了一个基于d c t 的实值离散g a b o r 变换的应用，即利用基于d c t的实值离散g a b o r 变换对核磁共振自由感应衰减信号进行处理，从而达到增强核磁共振自由感应衰减信号的目的。第五章总结与展望，本章给出了全文总结，并提出了一些以后继续研究的问题。5基于d c t 的实值离散g a b o r 变换的快速并行算法第二章g a b o r 变换基本理论的回顾2 1 概述g a b o r 展开是一种同时用时间和频率表示一个时间函数的方法，而求解g a b o r 展开系数的公式被称为g a b o r 变换【期。g a b o r 变换和g a b o r 展开己被公认为是通信和信号处理中信号与图像表示的最好的方法之一。然而，由于g a b o r基本函数彼此之间互不正交，g a b o r 展开与变换的计算复杂性很高，实时应用受到很大限制。近十几年来一些学者在g a b o r 展开与变换的离散化与有限化方面做了许多工作，内容颇为丰富。g a b o r 展开与变换的研究方法形式多种多样，主要有以b a s t i a a n s 暇w e x l e r 【5 1 和q i a l l o - 7 等人为代表的双正交分析法，m o r r i s 【8 1 等人为代表的框架理论、d a u g m a n 9 1 等人提出的神经网络方法、r l l i l 一1 哪和i b r a h i m 3 等人提出的自适应学习算法以及l u t l 2 】等人提出的并行格型结构实现块时间递归g a b o r 变换算法。为了克服g a b o r 展开中基函数带宽固定的缺点，q i a n 【 3 】还提出了自适应g a b o r 表示方法。本章从连续g a b o r 展开和变换的定义出发，以双正交分析法为主，回顾了g a b o r 展开和变换的基本理论。2 2 复值g a b o r 变换基本理论的回顾2 2 1 连续复值g a b o r 展开和变换连续时间信号叫力的连续g a b o r 展开【3 1 定义为：z ( f ) = c ( m ，n ) h m 。( ，)( 2 1 )辨式中k ( f ) = o m t ) e x p o n o t ) ，m ，n - - 0 ，a ：l ，士2 ，( 2 2 )称为g a b o r 基本函数，其中j = 仃。c ( m ， ) 称为g a b o r 展开或变换系数。通常设窗函数h ( 0 受能量归一化约束，即二i h ( t ) 1 2 d t = 1( 2 3 )在连续g a b o r 展开中，若已选定了窗函数h ( 0 ，时移和频率参量r 与囝拘选6第二章g a b o r 变换基本理论的回顾择则决定了连续g a b o r 展开的完备性、唯一性和数值稳定性。连续g a b o r 展开完备性的必要条件是t o = 2 7 【，其中t o = 2 n 条件称为临界抽样条件，可使展开系数c ( 巩月) 求解唯一和数值稳定，但这种选择约束性强、自由度差；而t o 2 z c 条件，是不完备的，c ( m ，n ) 失去稳定。由于g a b o r 基本函数k 。( 0 不是正交的，计算c ( m ，栉) 比较困难，可采用辅助窗函数( 又称为双正交分析窗函数) ，( 力来计算的方法舢，即c ( m ，h ) = x ( f ) 矗，。( t ) d t( 2 4 )上式定义为连续g a b o r 变换，因此，连续g a b o r 展开为连续g a b o r 变换的逆变换。上式中。( f ) = r ( t m t ) e x l “j n ( 2f )( 2 5 )将( 2 4 ) 式代m 2 1 ) 式，就得到下列完备性关系：k 。( f ) ，二。( f f ) = j o 一，)( 2 6 )mn这里氓o 表示d i r a c 艿函数。上述完备性关系可表示成如下双正交条件：警，_ 一m t o ) e x p ( 曲m = 跏) 砌)上式中t o 与骗为而= 警，= 等下面来证明( 2 7 ) 式的双正交条件。由( 2 6 ) 式得e h ( t m t ) y ( f 一m t ) y , e x p j n f 2 ( t - t ) 】= 万o t )对下列复指数函数序列应用泊松( p o i s s o n ) 求和公式【1 8 】，e x p j n t 2 ( t - t ) 】- r o 8 ( t t - n t o )于是，( 2 9 ) 式可表示成：( 2 7 )( 2 8 )( 2 9 )( 2 1 0 )r o e a e t - n t o ) h ( t m t ) r o m t n t o ) = 8 ( t t )( 2 1 1 )b朋再利用泊松求和公式可知下式成立：。e x p j m 眦- f f ) m ；艿( t - t - m l ) 2 鼍j ( t - t - m t ) m( 2 1 2 )戒mu7基于d c t 的实值离散g a b o r 变换的快速并行算法上式可用于证明下式成立：h ( t m t ) r ( 卜m t n r o )”( 2 1 3 )= 鲁e x p ( j m 0 0 f ) e 即协( t - n r o ) e x p ( 一j m o o t ) d r 将( 2 1 3 ) 式代a ( 2 1 1 ) 式得；一，叫焉哪( j m 墙f ) 警硝研( f t n t o ) e x p ( 一j m o o 。酣( 2 “)胁“、-。1。，= 8 ( t 一，1欲使上式成立，必须警巴圳) r ( t - n r o ) e x p ( 咖o o t ) d t 蛳( m 胁)，( 2 1 5 )将变量m 和n 位置调换后，此式就是( 2 7 ) 式的双正交条件。对于某些窗函数h ( o ，如高斯( g a u s s ) 、单边与双边指数窗函数，双正交窗函数y ( 力可由( 2 1 5 ) 式求得解析式，而对一般窗函数h ( o ，双正交窗函数r ( 0 贝u 难于求得解析式，需借助数值方法求解。同样，连续g a b o r 展开和变换也必须经采样与求和截断有限化( 即离散化) ，才能用数值方法求解。2 2 2 由连续g a b o r 变换到离散g a b o r 变换n 9 1选取正整数m 和厨使得u = t m = r o m并定义x u ( t ) ；x ( f + k u )k幻( f ) = h ( t + 舰，)( 2 1 6 )( 2 1 7 )( 2 1 8 )显然x v ( t ) 和h u ( t ) 都是周期为u 的连续周期函数。将( 2 1 ) 式代入( 2 1 7 ) 式得x v ( t ) = x ( t + k u )= c ( m ，n ) h ( t + k u - r o t ) e x p j n o ( t + k u ) ：k mn c ( m ，) h ( t + k u - m t ) e x l j n o t )( 2 1 9 )= ，一) 、mnk= c ( m ，n ) h v ( t - m t ) e x p ( j n o t )令m = p + s m ；p = o ，1 ，j l 扛1 ；j = 一8 + 8 ，贝u8第二章g a b o r 变换基本理论的回顾x u ( t ) = c ( p + s m ，) h v t - ( p + s m ) t e x p ( j n t 2 t )，口p = om - 1 ，、= l c ( p + s m ，n ) i t p t e x p ( j n o t )( 2 2 0 )p = 0 ，m l= c ( p ，h ) h u t p t e x p ( j n ( 2 1 )月p = o上式中( p ，n ) = c ( p + s m ，)( 2 2 1 )再选取正整数和霄使得v = o n = 编( 2 。2 2 )现以矿为抽样角频率对x v ( t ) 和幻( f ) 进行采样，显然，由n o = 2 ，r t 关系，在y = 岛抽样情况下，其时间抽样间隔应由r 降为r 。这样，连续函数x v ( t )幻( f ) 离散化后在一个周期u 内的抽样数为工= u ( r n ) = m t ( t n ) = m n = m t o ( t o n ) = m n即工= 廊= 廊( 2 2 3 )记x l ( k ) = x u ( k t k r )( 2 2 4 )吃( j | ) = b ( k r k 9( 2 2 5 )显然，这里札( ) 和k ( ) 分别为x v ( t ) 和h u ( t ) 离散后的周期信号，离散周期为。将( 2 2 0 ) 式代入( 2 2 4 ) 式，并利用( 2 2 5 ) 式，得x l ( k ) = x o ( k t n )：m - in ) hp 。, v ) e x p ( j 2 n n k n )= ，( 一7“p = 0令珂：+ ，地q - - - - 0 ，1 ， 乙1 ；r = - 8 一+ 8 ，贝肘一i _ 一v、x t ( k ) = l ( p ，q + r n ) l h l ( 女一p z v ) e x p ( j 2 a n k n )，。o - 。o l ( 2 2 7 )m ln - t、= ，( p ，q ) h l ( k - 口丽) e x p ( j 2 n c q n )p = oq = o上式中_ ( p g ) = c ( p + s m ，q + r n )( 2 2 8 )式( 2 2 7 ) 就是周期( 或有限长经周期拓展的) 时间序列的离散g a b o r 展开，序列9兰量里旦堕窒堕壅墼鱼苎坚壅垫塑堡里茎堡簦鲨一周期为l 。而离散g a b o r 展开系数o 。( p ，口) 已变为以p 、q 为变量周期分别为m 、n 的二维周期函数。下面再来推导离散g a b e x 变换公式。将( 2 4 ) 式代入( 2 2 8 ) 式得，( j ，l ，n ) = c ( m + s m ，n + r n )rj= z z ，( f ) y 。【f - ( m + s m ) t e x p - j ( ”+ r l v 3 f a t d trj= x ( f ) 芗州m 十谢) ， e x p ( 一j 砌莩酬一棚灿，= m 莩，+ ( t - - m t - - 埘r ) “p ( 一j 一力f ) 专莩一玎= 专莩“玎，甭莩，【( 玎而一m ，一s m t e x p ( 一j ，以r ，7 奶5 专等缸r t i n 手，砸厢) ( p 祈卜d 例唧h 拥“聊上式推导中利用了下列泊松公式军e x p ( 一j 励归；莩驯6 )定义r v ( t ) = r ( t + s u )r l ( 。) 。专，u ( k r )并设r = k + d l ；k - = o ，l ，l - l ；d 一- 8 + 8 ，则( j ，l ，n ) ：篁j 旺( | | ) 虻( | | 一m n ) e x p ( 一j 2 7 m k n )此式即为离散o a b o r 变换公式。同理，式( 2 7 ) 双正交条件也可离散化为芝翩姒“积蚓一j 撅厕d r = 去嗣k = o。一而= 0 。1 ，。j 盯一l ；万卸，1 ，一1，2 2 3 离散g a b o r 变换( d g t )( 2 2 9 )( 2 3 0 )( 2 3 2 )本节将分别讨论临界抽样下和过抽样下以及有限长和无限长序列的离散g a b o r 展开和变换。在连续g a b o r 展开和变换中加 2 冗条件为过抽样条件，在1 0第二章g a b o r 变换基本理论的回顾上节中已推导出对应于离散g a b o r 展开和变换的过抽样条件为l = m n 一= j 孤：而在连续g a b o r 展开和变换中t o = 2 u 条件为临界抽样条件，由( 2 8 ) 式、( 2 1 6 ) 式和( 2 2 3 ) 式不难推导出对应于离散g a b o r 展开和变换的临界抽样条件为l = m n 或m 一= m 、帮= n ；过抽样条件为l = 瓣= 廊、l m n 或砑 三条件。为了简便表示，下面讨论中将忽略( 2 2 7 ) 式、( 2 3 1 ) 式和( 2 3 2 ) 式中( m ，一) 的下标 ，以及x l ( k ) 、h l ( t ) 、r l ( k ) 的下标。2 2 4 临界抽样下离散g a b o r 变换设删为一有限长或经周期拓展的时间序列，周期为三。在临界抽样即l = m n或露= m 、= n 条件下，o h ( 2 2 7 ) 式和( 2 3 1 ) 式知，其离散o a b o r 展开和变换分别为m i n - 1一x ( t ) = e c ( m ，一厩。( 的( 2 3 3 )m = on = o一lc ( m ，n ) = z ( 女) 露。( 女) ( 2 3 4 )k = o上两式中蔬。( | i ) = i ( | j 一m n ) w 腑。( _ j ) = 歹( j | 一m n ) w ”。w = e x p 0 2 7 t n其中石( t ) 和，( t ) 分别是综合窗 ( 的、分析窗八的的周期延伸，即i ( 女) = y h ( k + i l ) = i ( t + 工)f( 2 3 5 )( 2 3 6 )( 2 3 7 )尹( | ) = ，( 七+ i l ) = 尹僻+ d( 2 3 9 )f由( 2 3 3 ) 式和( 2 3 4 ) 知，为了精确地描述离散周期信号，需要有l = m x n 个g a b o r 展开系数。应注意的是，对一预先设定的厶由于满足l = m x n 的任何分解都是容许的，因此离散g a b o r 展开式( 2 3 3 ) 一般不是唯一的。由( 2 3 2 ) 式知，苁t ) 满足下列离散双正交条件：镀石( 七十巩) 矿一时】尹。( | | ) = 篁 i ( 膏+ t ) 矿腑】双七) = j ( 脚) 烈h )k = ok = 00 m m 一1 ，0 n s n 一1，( 2 4 0 )一墨主里翌竺壅堡塑墼唑壅垫塑堡望茎堡兰堡或表示成矩阵形式h 0 , 2y( 2 4 1 )式中y2 l ，0 0 ，0 ) 1( 2 4 2 )y 。 尹( o ) ，尹( 1 ) ，尹( 一1 ) 1 = ，( o ) ，r ( 0 ，r ( l 一1 ) ) 7 ( 2 4 3 )两矢量长度均为厶日是一l x l 阶矩阵，结构为h =其中日( ”是n x n 阶矩阵：日( 0 )日( 1 )h m 一日f ) ：h 0 )日2 )矿( 0 )( o o )日j l f i 日( 0 】h t m 一2 )形( o )w ( n l lw o )( 2 4 4 )x d i a g h + ( f + r ) 】( 2 4 5 )式中形= e x p ( j 2 f n ) ，j = = t ；d i a 甄石( w + 叫为一具有元素i ( + ，) 的对角矩阵，r = 0 ，1 ，n 一1 。h 是一分块h a n k e l 矩阵，在合适选择肘和的条件下可保证日是可逆的，此时可求出y ( 女) 为，= 日一1 v( 2 4 6 )2 2 5 过抽样下离散g a b o r 变换在过抽样，即上= 厢v = 朋、 扣v 或面 工条件下，由( 2 2 7 ) 式和( 2 3 1 ) 2 式知，其离散g a b o r 展开和变换分别为m - 1 n - 1z ( 七) = c ( 一蜿。 )( 2 4 7 )m = 0n = 0l - 1c ( m ，n ) = x x ( k ) f 。( t )( 2 4 8 )k = 0上两式中k ，。( | i ) = ( 一m ) 形“( 2 4 9 )帅7 第二章g a b o r 变换基本理论的副顾名，。( t ) = ，( 女一m ) 矿破( 2 5 0 )其中( 女) 和，( ) 分别是综合窗 、分析窗“妁的周期延伸，符合( 2 3 8 ) 式和( 2 3 9 )式。由( 2 3 2 ) 式知，( t ) 满足下列离散双正交条件：銎矿(mn)w1触)=击跏川(2sdk= 0v h0 s m j 西一1 0 打丽一1上式中w = e x p ( j 2 ，r 厕，j = i 。( 2 5 1 ) 式也可表示成矩阵形式日72 ，( 2 5 2 )式中y = 删，0 ，0 ，o ) 7( 2 5 3 )，= ，( o ) ，( 1 ) ，( 工一1 ) 72 y ( o ) ，y ( 1 ) ，( 一1 ) ) 1 ( 2 5 4 ) ，矢量长度为露而，矢量长度为工，日是一( 丽甭) 地的实矩阵，结构为矾莉+ n ，t ) = ( k + m n ) w 础( 2 5 5 )其中0 s m 厨一1 ，0 h 甭一1 ，0 k 工一1 。此时，变成了由式( 2 5 2 ) 描述的线性方程组的解。在过抽样条件下，即面丙 ( 定义过抽样率为 刀1 4 = m 厨= ) ，( 2 5 2 ) 式中y 的解为多解。若对解施加所期望的约束条件，则可使解唯一。通常取其广义逆解，即拖= h t ( h ht ) 一y( 2 5 6 )它对应于最小能量，即| 拖0 2 ：菇为最小范数的附加约束条件。例如，已知g a u s s 综合窗( 图2 1 所示) ：撇m s z ) - 0 出唧f z 竿竽1其长度l = 6 4 ，利用( 2 5 6 ) 式可求出对应的4 种分析窗，：( 1 ) m = 8 ，n = 8 ，临界抽样，图2 - 2 ( a ) 所示；( 2 ) m = 4 ，n = 1 6 ，临界抽样，图2 2 ( b ) 所示；( 3 ) m = 1 6 ，n = 8 ，过抽样，图2 - 2 ( c ) 所示；( 4 ) m = 1 6 ，n = 1 6 ，过抽样，图2 - 2 所示( d ) 。基于d c t 的实值离散g a b o r 变换的快速并行算法图2 1g a u s s 综合窗，l = 6 4 ( f i g 2 - 1g a u s ss y n t h e s i sw i n d o w , l = 6 4 )图2 - 2 ( a )窜x图2 - 2 ( b )图2 - 2 ( c )图2 - 2 ( d )图2 - 2 与图2 1 所示g a u s s 综合窗对应的分析窗：( a ) l = 6 4 ，m = 8 ，= 8 ；( b ) l = 6 4 ，m = 4 ，n = 1 6 ；( c ) l = 6 4 ，m = 1 6 ，n = 8 ；( d ) l = 6 4 ，m = 1 6 ，n = 1 6 。( f i g 2 - 2 t h e c o r r e s p o n d i n ga n a l y s i sw i n d o w ：( a ) l = 6 4 ，m = 8 ，_ 8 ；( b ) l = 6 4 ，m = 4 ，n = 1 6 ；( c ) l 2 6 4 ，m = 1 6 ，n = 8 ；( d ) l = 6 4 ，m = 1 6 ，n = 1 6 )2 2 62 - d 离散复值g a b o r 变换及其快速算法啪3一维离散g a b o r 变换方法可以推广应用n - - - 维离散g a b o r 变换。设一图像渺) ，x = 0 ，1 ，弘1 ，y 一0 ，1 ，卜1 被分成k x l 个维数为嬲k 的不重叠的格子( 1 a t t i c e ) ，使得释k m 和y = r ( 临界