（基础数学专业论文）一类四阶泛函微分方程解的全局渐近稳定性.pdf

附件 学位论文原创性声明 本人所提交的学位论文一类四阶泛函微分方程解的全局渐近稳定性，是在导 师的指导下，独立进行研究工作所取得的原创性成果除文中已经注明引用的内容外， 本论文不包含任何其他个人或集体已经发表或撰写过的研究成果对本文的研究做出 重要贡献的个人和集体，均已在文中标明 本声明的法律后果由本人承担 论文作者( 签名) ： 印年弓月弓日 ， 氐 学位论文原创性确认书 学生j 搋所提交的学位论文* 一类四阶泛函微分方程解的全局渐近稳定性* 是在本人的指导下，由其独立进行研究工作所取得的原创性成果除文中已经注明 用的内容外，该论文不包含任何其他个人或集体已经发表或撰写过的研究成果 指导教师( 签名) ： 乃o 07 年嘲多日 积杯豳 河北师范大学申请硕士学位论文 3 一类四阶泛函微分方程解的全局渐近稳定性 一。中文摘要 在本文中，我们将考虑一类四阶泛函微分方程 $ ( 4 + ，( 叠( ) ) z ( 3 ( ) + g ( 苗p r ) ) + ( 童聒一r ) ) - 4 - a 4 x ( t ) 4 - 尻z 0 一r ) = 0( 1 1 ) 的零解的全局渐近稳定性问题 其中瓤，风，r 是常数且r 0 ，符号“- ，钆”，“( 3 ) ”和“( 4 ) ”表示对t 的导数和高阶导数，式中函数 g ，h 是所依赖变量的连续可微函数且保证其 解的存在唯一性 方程( 1 1 ) 的等价系统为： ( = 掣( t ) 9 ( t ) = z ( t ) 未( t ) = ( t ) ( 3 1 ) 曲( t ) = 叫( t ) ，( z ( 亡) ) 一9 ( z ( t ) ) 一九憎( t ) ) 一口4 z ( t ) + 尻，y ( t + e ) d e + l g ( z g + 口) ) t j 0 + o ) d o + 卫( y p + p ) k 0 + 口) d 目 其中0 4 = a 4 十尻 我们的主要结果如下： 定理若除了对f , g ，h 的基本假定外，存在正常数口1 ，0 2 ，a a ，玩m ，n 使得下列 条件成立： 何对一切f 0 ，有 熊) 吼 。，h f f ) 一锄 o 显对一切。z ( a l a 2 一危) ) 0 3 一a l a 4 f ( z ) j 河北师范大学申请硕士学位论文 4 俐h ( o ) = 0 ，对一切7 7 且对一切f 0 o i o 对一切z 0 0 锄s ( 口) s m o 剑一掣妯 笺 专 d l 口 ：r 心鹰删如 箍 a v ) g ( o ) = 0 ，* 寸- - c ar ， 且对一切f 0 ， 0 o - 2 9 向) s n 。譬一a z s s 8 。o a _ 3 i 其中 如 o ，掣 o 河北师范大学申请硬士学位论文 6 ( i oh ( o ) = o , f o r a n y7 7 a n d f o r a n y 0 ( a l a a 一 ( f ) ) 0 3 一a l a d ( z ) 6 0 0 3 ( q ) m 0 一一掣矗 掣 0 1 0 o i i ) f o ，a n y z 0 ， 暂删武_ ，( 枢歇杀 例9 ( o ) = o , f o r a n yr l ， 0 眈g ( 町) n 。譬- o a 如 警 ( 筹也) 口1 0 4 4 a 2 ( a l a 4 + 幻)( 箍一屯) ) ( 3 2 ) l e td l = + 击，如= + 嚣，p = m a x 尻，旭) ，d = 掰 1 ，d l ，如) ，p = m i n a 。( e e 。) ， 雌，击) 8 d 下 0 为常数； 魏( 口) = z o + 口) ，p 卜一0 】我i f i t 际- 3 程( 2 1 ) 为d 上的滞后型泛函微分方程 定义1 对任意给定的盯r ，曲e 则称z ( 盯，f ) 是仁砂过( o ，咖) 的 解，若存在a 0 ，使得在p f ，口+ a 】上满足方程r 2 且z ，( 盯，妒，) = 假定，为全连续的算子，且满足足够的光滑条件以保证解的存在唯一 性奉爻所考恩的方程( i i 可观为( 2 i ) 的精锐 假设对于所有的t r 假定，( t ，0 ) = 0 定义2 方程亿刀的零解是稳定的，若对任意的口r 和 0 存在 6 = j ( ，盯) 使得当咖b ( o ，时，对所有的t c r 有砘( 盯，) 8 ( 0 ，e ) 定义3 方程口砂的零解是渐近稳定的，若其零解稳定，并且存在b o = 6 d ( 矿) o 使得当b ( o ，b ) 时，墨恐z ( 以妒) ( t ) = 0 定义4 方程仁d 的零解是一致稳定的，若似 的零解稳定且定义2 中 的6 = 6 ( e ) ，即5 只依赖于e ，而不依赖于口 定义s 方程仁砂的零解是一致渐近稳定的，若口砂的零解一致稳定且 存在b o 0 使得对所有的i i 0 ，存在如研) ，当b ( o ，6 。) 时，对所有的 口r 及t 矿+ 南( 玎) ，有鼠( 一) b ( o ，7 1 ) 定义6 方程口 的零解是全局吸引的，且对于任意的k 妒) ，都有 且m 茹( 口，) ( t ) = 0 定义7 方程仁 的零解是全局渐近稳定的，若r 2 印的零解是稳定的和 河北师范大学申请硕士学位论文 1 0 全局吸引的 设函数y ：日舒一j k 是一连续函数，z ( t ，) 是方程口过( t ，咖) 的 解，定义 吨) = 耍薪【y ( h h ，坼 ( t t 妒) ) 一y ( t ，毋) 1 下面给出本文所要用到的一些引理 引理1 1 1 - 3 1 设，：rxc 一扁变r g 的有界子集为舻的有界子集， t l ，t 2 ，w ：凰r + 是连续非减函数，当。 0 时，札l ( s ) o ，也( s ) o j 且 i t l ( o ) = 坳( o ) = 0 j 如果存在连续函数v ：r + r + 凰满足： u l c i x l ) y ，2 ) u 2 c l z l ) ，f r + ，z r 一砂当y o + p ，妒( ) ) v ( t ，( o ) ) ，p 一r ，o 】时有 v ( t ( o ) ) - w ( t ( o ) 1 )( 2 2 ) 则口 的零解是一致稳定的 引理2 p - 3 1 设引理j 中所有条件满足，再设s 0 时w ( s ) 0 若存在一个连 续非减函数p ( s ) ，对s 0 有p ( s ) 占使但矽加强为： 当y o + 口，妒( f ) ) 0 时w c s ) o ，在集合e = 扣 形：w ( 1 2 1 ) = 0 ) 中不合零解以外的正半轨若存在一个连续非减函数p ( s ) ， 对s 0 有p ( s ) s j 使仁z j 加强为： 河北师范大学申请硕士学位论文 当v c t + 口妒( 口) ) 。，警铅 。 且对一切，五 ( a l a , 1 一 ( f ) ) 弼。1 6 q ，( z ) d 阳 ( o ) = o j 对一切f 7 ， 0 0 , 3 硝( 叩) m ， 且对一切f 0 ， 。一警妯 蔫； 趣北师范大学申请硕士学位论文 1 3 ( i i o 对一切2 0 ， 新他肛他m 箍 列g ( o ) = q 对一切”， 且对一切f 0 其中 0 a 2 g ( r j ) s n 。挚- a 2 _ 如 警 s 。 e = 础 詈，砥a s + 。) 、。2 a 确4 6 一以) ，砺面a l 再a 4 面 ，2 j 。、1 l 丽刊2 ， m 令d l = e + 百1 ，如= 5 + 嚣，口= m “ 反，m ，) ，d = m a x 1 ，d l ，如) ， p = m i n 。3 ( s 一勖) ， 。- s ，击) 有 ( 3 2 ) f l d r n( 3 3 ) 则系统p 刀的零解为一致渐近稳定和全局渐近稳定 为证明上述定理，我们构造l y a p u n o v 函数v = v ( x ，五w ) 如下 定义 = 警矿+ a 2 d ”2 a 4 d l y 2 + i d l w 2 + 呐+ 城。z 广vr o + d l z h ( y ) + 岛暑，枷+ z w + ( f ) d + f ，( ) 必 j o j 0 + ( d l g ( f ) 一如f ) 武+ 如，( f ) ( 3 4 ) ，( 。) ：。熊) 武 j o ( 3 5 ) 河北师范大学申请硕士学位论文 1 4 鼬) ：j 学州。( 3 6 ) 【( o ) ，= 0 为论述方便，首先推证一些不等式 由( 3 3 ) 及条件( i ) ，对切9 0 ，z 0 有 d l - 而1 e ( 3 7 ) 和 如一器s ( 3 8 ) 对一切g ，z 有 d 2 刊1 ) 一d 2 f ( z ) 去一啦 ( 3 9 ) 由条件( i ) 有 ( ) 0 ，u 2 ( s ) q 且u l ( 0 ) = 砌( o ) = 0 ，使得： u l ( 1 0 ，y ，z ，w ) 1 ) y ( 霉，g ，z ，) “2 ( i 扛，口，z ，t ，) i ) ( 3 1 1 ) 证明注意到( 3 2 ) 中的选取范围，通过与【6 】类似分析，易知：v ( o 0 0o ) = o 且存在常数玩= d ( 0 1 ，o ：2 ，a 3 ，a 4 ，j ，5 1 , 如，e ) 0 = 1 ，2 ，3 ，4 ) ，使得 y ，z ， t o ) d s ( x 2 + y 2 - i - z 2 - i - 2 ) ( 3 1 2 ) 其中d 5 = m i n d 1 ，d 2 ，d 3 ，d 4 ) ， 由条件( i v ) 有 2 ( d 。g 嬉) 一如f ) 必业生掣垫户 ( d l g 嬉) 一如f ) 必型与等羔户 j 0 。 煎! ! 塑型丕堂旦匿堡主堂垡丝塞 ! ! 因而 m 舭 ) s 等“ a 2 d 2 二2a 4 d l l y 2 - i d l ( a 2 + 2 6 3 ) - d 2 2 2 + 秒d l + a 4 1 z y + a 4 d 1 x z l + d l z h ( y ) + d u l y w i + z 训l + h 馐) d + f ，诺) d f + d 2 ，( ) 由( 3 1 0 ) 及基本不等式2 l a b i n 2 + b 2 我们有 s 警铲+ t l a 2 d 2 - a 4 d t l y 2 + 丝警丝严+ i d l 埘。 + a 4z 2 抒) + 等( 冉z 2 ) + 下a l a 2 d l t r v 2 + z 2 ) + 鲁( n 呐 + ；( z 2 + w 2 ) + 警n 瓦o 2 a 3 + 警( n 硝 合并同类项，可知存在d e 0 使得 取 则显然有 且 y ( x ，y ，z ，) d 6 ( + 暑2 + 户+ w 2 )( 3 1 3 ) t l ( i p ，z ，w ) i ) = d s ( z 2 + y 2 + z 2 + ”2 ) 抛( 1 0 ，玑。，w ) 1 ) = d e ( z 2 + 旷+ 户+ 2 ) 】( 0 ) = 也( 0 ) = 0 ，u l ( s ) 0 ，u z ( s ) 0 ，0 0 ) u l ( 1 ( x ，玑z ，w ) 1 ) y ( z ，z ，埘) t 2 ( 1 0 ，y ，z ，伽) i )( 3 1 4 ) 引理4 得证 引理5 若定理的条件成立，则存在连续非减函数p ( 8 ) 和函数啊，且当 s 0 时p ( s ) s ，w ( 8 ) 0 使得当v ( t + 0 ，( 口) ) 1 使得b d l - q 1 我们作函数 p ( s ) = 办 一塑a e ! 堕蕉盔堂皇煎塑主堂垡堡塞 ! ! 则 进一步假定 p ( v ) = 口2 v 拉0 + 口) l q a l x ( t ) l ，l 掣0 + 8 ) i g a l 萝( t ) i ， ( 3 1 ” i z + 口) q a i z c t ) l ，i 叫0 + e ) l q a l w ( t ) l f 3 1 8 ) 其中口【- r o 】，以= 雁 由a 的定义，并注意到a o ，坳( s ) 0 ，i l l , u 2 连续非减，由引 理4 ，引理1 的条件( i ) 满足取p ( s ) = q 2 s ，w ( z ，玑z ，w ) = d t ( y 2 + z 2 + 伽2 ) ，由 引理5 ，当 y 0 + f ，( 目) ) p ( v ( t ，咖( o ) ) ) ，口【一r ，0 】 一一 塑j ! 堕堇丕堂生重堡主堂垡迨塞 三q 时 v ( t ，咖( 0 ) ) 一w ( 1 妒( o ) i ) 显然w 连续非减，当s 0 时( s ) o ，若( 。( t ) ，f ( t ) ，z ( ) ，似( t ) ) ：0 ，可得 口( t ) = z ( t ) = w ( t ) = 0 由方程组( 3 1 ) 必有z ( t ) = o ，所以在集合e = ( f ( z ，而t j ) l ：o ) ) 中不含零解 以外的正半轨 又当i ( 。，g ，z ，叫) l 0 0 时，有 珏l ( i 知，y ，z ，w ) t ) = 口5 ( + y 2 + z 2 + 掣2 ) 斗0 0 因此引理3 的所有条件都满足，于是( 3 1 ) 的零解是一致渐近稳定和全局渐 近稳定的 定理得证 河北师范大学申请硬士学位论文2 1 参考文献 【1 j k h a l e 。t h e o r yo ff u n c t i o n a ld i f f e r e n t i a le q u a t i o n s ，s p r i n g e r - v e r l a g ，n e wy o r k , i n c 1 9 9 7 【2 】李森林，温立志，泛函微分方程，湖南教育出版社，1 9 9 1 【3 j 郑祖麻。泛函微分方程理论，安徽教育出版社，1 9 9 4 f 4 】b s r 丑曲蛐，n ea p p l i c a t i o no fl y a p u n o v sm e t h o dt op r o b l e m si nt h es t a b i l i t yo f s y s t e mw i t hd a l a ya u t o m a t i o na n dr e m o t ec o n t r o l , 2 1 ( 1 9 6 0 ) 5 j o c e z e i l o ，o nb o u n d e d n e s sa n dt h es t a b i l i t yo fs o l u t i o n so fs o m ed i f f e r e n t i a l e q u a t i o n so f t h ef o u r t ho r d e r , m a t h a n a l a p p l ，5 ( 1 9 6 2 ) 【6 】a b o u