（基础数学专业论文）有限群的半覆盖远离子群对有限群结构的影响.pdf

摘要 在有限群的研究中有许多正规子群概念的推广，这些推广在有限群的研究中 扮演着非常重要的角色 最近，樊恽，郭秀云和岑嘉评引入了子群的半( p ) 覆盖远离性质的概念，并 利用这个概念给出了关于有限群的可解性，超可解性等结构的刻画我们在此也 应用这一概念。并借助了h u p p e r t 的关于从f r a t t i n i 子群到f i t t i n g 子群的主因 子可刻画有限群超可解的思想研究了有限p 超可解群的性质，进一步推广了一些 已知的相关结果如，设p 为有限群g 的阶的索因子且g 是p 可解群，p 是g 的f i t t i n gp - 子群b ( g ) 的s u l o p - 子群，若p 是循环群或p 的每个极大子群 在g 中是半p 覆盖远离的，那么g 是p 超可解的 另外我们也研究了有限群g 的s u i o w 子群的。2 - 极大子群。的半) 覆盖 远离性质对有限群的结构的影响，事实证明这些子群的半缸) 覆盖远离性质也能 有效地刻画有限群的性质和结构如设p 为有限群g 的s y l o wp - 子群，索数p 为整除g 的阶的素因子且满足( 1 g l ，矿一1 ) = l ，若p 的每个正规2 - 极大：- y - 群在 g 中具有半p 覆盖远离性质，那么g 是p 幂零的 最后我们又对有限群g 的某些极小子群的半( p ) 覆盖远离性质进行了研究。 通过对素数p 进行限制也进一步得到了关于有限群结构的结论如：设p 为有限 群g 的阶的素因子且满足( i c l ，p 一1 ) = l ，若g 的每个阶冬p 脚的循环p 子群 都在g 中具有半p 覆盖远离性质，则g 是p 幂零的 关键词，有限群，半覆盖远离，半p 覆盖远离，2 - 极大子群，超可解群，p 幂零群 a b s t r a c t t h e r ea r em a n yg e n e r a l i z a t i o n sa b o u tn o r m a ls u b g r o u p si nt h er e s e a r c ho ff i n i t e g r o u p s t h e s eg e n e r a l i z a t i o n sa r ep l a y i n gi m p o r t a n tr o l e si nt h es t u d y i n go ff i n i t e g r o u p s r e s e n t l y , y f a n 、x i u y u ng u o a n dk p s h u mg a v et h ec o n c e p t 8o ft h es e m i 缸) c o v e r - a v o i d i n gp r o p e r t i e so fs u b g r o u p s ，a n dt h e yd e p i c t e dt h es o l v a b i l i t ya n d e n - p e r s o l v a b i l i t yo ff i n i t eg r o u p i nt h i sp a p e r ，w em a i n l ys t u d yt h ep - s u p e r s o l v a b i l i t y o ff i n i t eg r o u pb yu s i n gt h e s ec o n c e p t sa n dak i n do ft h o u g h to fh u p p e r ta b o u t t h ec h i e ff a c t o r sf r o mf r a t t i n is u b g r o u pt of i t t i n gs u b g r o u pt od e p i c tt h es u p e r - s o l v a b i l i t y , a n dt h e ng e n e r a l i z es o m ek n o w nr e s u l t s f o re x a m p l e ，l e tpb eap r i m e n u m b e ro ft h eo r d e ro ff i n i t eg r o u pga n dp8s y l o ws u b g r o u po f 耳( g ) ( w h e r e 昂( g ) i st h ef i t t i n gp - s u b g r o u po fg ) ，t h e ng i sp - s u p e r s o l v a b l ei fpi sc y c l i co r e v e r ym a x i m a ls u b g r o u po fp i ss e m ip - c o v e r - a v o i d i n gi ng o nt h eo t h e rh a n d ，w es t u d yt h ei n f l u e n c e so ft h es e m i 缸) c o v e r - a v o i d i n gp r o p - e r t i 鹤o f 。2 - m a x i m a l 。s u b g r o u p so fs y l o ws u b g r o u po i lt h es t u c t u r eo ff i n i t eg r o u p g w eh a v ei d e n t i f i e dt h es e m i ( p - ) c o v e r - a v o i d i n gp r o p e r t i e so ft h e s es u b g r o u p sa r e a l s og o o df o rd e p i c t i n gt h ep r o p e r t i e sa n dt h es t u c t u r e so f 丘n i t eg r o u p s f o r a m p l e l e tp b eas y l o wp - s u b g r o u po ff i n i t eg r o u pga n dpap r i m en u m b e ro f i g is u c ht h a t ( i g i ，矿一1 ) = 1 ，t h e ng i sp - n i l p o t e n ti fe v e l tn o r m a l2 - m a x i m a l s u b g r o u po f 尸i ss e m ip - c o v e r - a v o i d i n gi ng f i n a l l y , w es t u d yt h es e m i 缸) c o v e r - a v o i d i n gp r o p e r t i e so fm i n i m a ls u b g r o u p s o ff i n i t eg r o u pga n do b t a i ns o m ef u r t h e rc o n c l u s i o n st h r o u g hc o n 血l i n gt h ep r i m e n u m b e rp f o re x a m p l e ，l e tpb eap r i m en u m b e ro ft h eo r d e ro ff i n i t eg r o u p gs u c ht h a t ( i g i ，p 一1 ) = 1 ，i fe v e r yc y c l i cp s u b g r o u po fo r d e r p 脚i ss e m i p - c o v e r - a v o i d i n gi ng ，t h e ng i sp n i l p o t e n t k e y w o r d s ：f i n i t eg r o u p ，s e m ic o v e r - a v o i d a n c e ，s e m i p c o v e r - a v o i d a n c e ，2 - m a x i m a l s u b g r o u p s ，s u p e r s o l v a b l eg r o u p s ，p - n i l p o t e n tg r o u p s i i 原创性声明 本人声明一所呈交的论文是本人在导师指导下进行的研究工作除了文中特别 加以标注和致谢的地方外，论文中不包含其他人已发表或撰写过的研究成果参与 同一工作的其他同志对本研究所做的任何贡献均已在论文中作了明确的说明并表示 了谢意 签名一土翻j 葡日期友矽7 了2 甲 本论文使用授权说明 本人完全了解上海大学有关保留、使用学位论文的规定，l i p , 学校有权保留论 文及送交论文复印件，允许论文被查阅和借阅；学校可以公布论文的全部或部分内 容 ( 保密的论文在解密后应遵守此规定) 签礁删j 蹶狮删 2 0 0 7 年上海大学硕士学位论文 1 第一章引言 二十世纪八十年代，有限单群分类定理完成之后。人们把更多的注意力放在 有限群的可解性、超可解性、幂零性等性质的研究上，出现了许多非常活跃的研 究课题 利用子群的某种性质来刻划有限群的结构是有限群论中非常活跃的研究课题 之一。由于极大子群，2 - 极大子群，以及s y l o w 子群的极大子群等在有限群的子 群中占有特殊重要的地位，这就引导人们利用这些子群的性质或者它们与有限群 本身之间的关系来研究有限群的结构我们回想如下的主要事实， 定理1 1 【4 1 ，定理i v 2 7 】有限群g 是幂零群当且仅当g 的每个桩大子群 是g 的正规予群 h u p p e r t 在关于有限群g 的超可饵性方面有非常著名的定理t 定理1 2 4 2 ，定理i x 1 1 2 】有限群g 是超可解的充要条件是g 的每个极 大子群的指数是素数 关于有限可解群人们也证明了， 定理1 3 4 2 】如果有限群g 是可解的，则对g 的任意极大子群m 都有 i g ：m i 是一个素数的幂 一个自然的问题是上述定理的逆定理是否成立，回答是否定的，如 例1 4 ，设g 为线性群p s i , 偿砂。容易知道g 的每一桩大子群在g 中有 素数幂指数，实际上，由i g i = 1 6 8 ，而g 的极大子群的阶只有2 4 和2 1 两种可 能，所以g 的极大子群的指数分别为7 和8 = 2 3 ，但g = p s l ( 2 ，7 ) 为单拜 这表明用指数来刻画有限群的可解性不能取得满意的结果为了能够找到比 。指数”更恰当的一种概念来刻画有限可解群，1 9 5 9 年，d e s k i n s 利用主因子的 阶定义了极大子群的正规指数。设m 是有限群g 的极大子群，如果存在g 的一 个主因子h k 使得k m 且h 菇m ，则日的阶称为m 在g 中的正规指 数，记为q ( g ：m ) ，并且证明了 2 0 0 7 年上海大学硕士学位论文 2 定理1 5 【5 】有限群g 是可解的当且仅当g 的每个极大子群具有素数幂的 正规指数 我们看到用定理1 5 来描述有限群的可解性与定理i i 已经非常类似了然 而，正规指数的定义仅仅局限于极大子群。对一般的子群不能定义为此，1 9 9 6 年，王燕鸣在文献1 3 8 】中定义了子群的d 正规性t 有限群g 的子群日在g 中 称为是d 正规的，如果g 中存在正规子群使得g = 日且日n 里g 显 然正规子群一定是g 一正规的，但反之不成立，即g 一正规子群不一定是正规子 群，如，令g = a 4 ，取日为g 的勖f 3 - 子群即可所以g 一正规性确实是 正规性的推广利用g 一正规性人们对有限群的结构又有了深入的研究： 定理1 6 3 8 】有限群g 是可解的充要条件是g 的每一个极大子群都是c 正规的 接着人们又提出了比d 正规概念更广瑟的概念，即几乎正规t 有限群g 的 子群日在g 中称为是几乎正规的，如果g 中存在正规子群使得日旦g 且 日n 粤g 易知g 一正规子群必是几乎正规的，但反之不然然而s y l o w 子群的 几乎正规性会迫使该群的p 一长至多为2 ，所以对于有限群的s y l o w 子群来说， 这个定义也不足以很好地描述群的可解性 另方面，1 9 6 2 年，g a s c h f i t z 在文献【8 】中介绍了有限可解群的子群的某一 特殊的共轭类，这些子群具有覆盖远离性质，即它们不但远离可解群g 的补主因 子，而且还覆盖剩下的主因子u p , 有限群g 的一个子群日称为在g 中是覆盖 远离的。如果对g 的任意主群列1 = g 0 g l g o = g ，使得对任意的 l = 1 ，s ，有 日g = h q l 或日n q = h n q l 注意到，如果有限群g 是可解的且m 是其一极大子群，则对g 的每一个主 因子u g 有m 覆盖h k 或远离u g ，而且g 的每个正规子群必覆盖或远离 g 的每一个主因子，所以显然该定义也是正规性质的一个推广此后，有些学者 继续研究了这种性质( 如【1 0 ，【叫) ，他们希望找到有限可解群的其他某种子群具 有覆盖远离性质，很自然我们就要问能否通过有限群的覆盖远离性质来刻画有限 群的结构呢? 回答是肯定的，而且有 2 0 0 7 年上海大学硕士学位论文 3 定理1 7 【n ，定理3 1 】有限拜g 是可解的充要条件是g 的每个极大子拜 在g 中都是覆盖远离的 1 9 9 3 年。e z q u e r f o 在文献用中在假设。有限群g 的某些s y l o w 子群的极 大子群具有覆盖远离性质的前提下给出了关于有限群g 的p 超可解性和超可 解性的描述 近来，郭秀云和岑嘉评利用子群的覆盖远离性质对有限- - f 解群和有限p 可解 群的特征进行了刻画他们证得了t 定理1 8 【1 1 ，定理3 4 】如果有限拜g 的每个2 - 极大子群在g 中具有覆盖 远离性质，则g 是可解的 虽然几乎正规和覆盖与远离性都可以非常有效的刻画有限群的可解性和超可 解性等，但是这两者之间却没有一个必然的联系，于是人们就希望寻找一个更一 般的概念不久前，樊恽郭秀云和岑嘉评在文献【9 】【1 2 】中给出了一个比这两 个概念更广泛的概念，郎半( p ) 覆盖远离性质一有限群g 的一个子群日称为在 g 中是半( p ) 覆盖远离的，如果存在g 的主序列1 = g o g 1 g 。= 1 使得每一主因子g j 一, a j u = l 2 ，s ) 为素敷幂阶的初等交换群。更l f 称g 为可 解群 定义2 1 2 4 2 ，定义1 6 ，p 5 6 】如果有限群g 存在一个主群列 g = g o g 1 g = l 使得每一主因子q 一1 岛0 = 1 ，2 ，s ) 为素数阶的循环群，则称g 为超可解群 定义2 。1 3 4 1 ，定义。2 1 】如果有限群g 有一个中心序列，| p 一个正规 序列， g g o g 1 g = 1 满足g + l q 0 = 0 ，1 ，2 ，s ) 含于g q 的中心，则称g 为幂零群 定义2 1 4 1 4 t ，定义i i i 6 4 1 如果有限群g 的每一真子群都为幂零群，而 g 本身不是幂零群，则称g 为极小非幂零群 定义2 1 5 1 4 1 ，定义i i 5 3 】设g 是一个有限群，p 为g 的阶的素因子， 如果g 有一个正规p 补，则称g 为p 一幂零群 定义2 1 6 1 4 1 ，定义i i i 6 4 1 如果有限群g 的每一真子群都为p 一幂零群， 而g 本身不是p 幂零群。则称g 为极小非p 幂零群 注意到，如果m 是有限群g 的正规因子。g 的子群日覆盖m n 即表 示h m = 日，日远离m n 即表示日n m = h n n ；m 是有限群g 的 p 主因子即表示p m ，i 定义2 1 7 1 1 2 ，定义2 2 l 称有限群g 的子群日在g 中有覆盖远离性质， 如果对g 的任一主因子m ，日或覆盖m 或远离m 定义2 1 s 1 2 ，定义2 2 】有限群g 的子群h 称为在g 中半覆盖远离，如 粟存在g 的一主群列。 1 = g o s g l s g = g 2 0 0 z 年上海大学硕士学位论文 7 使得对任t = 0 ，1 ，5 ，有日或覆盖g i + l g 或远离q + 1 g 定义2 1 9 1 9 ，定义2 】有限群g 的子群日称为在g 中半p 一覆盖远离，如 果存在g 的一主群列。 l = g o s g l s s g o = g 使得对任p 一主因子g + l q ，有日或覆盖q + l q 或远离g + 1 g i 定义2 1 1 0 设日是有限群g 的一个子群如果存在g 的极大子拜m 使 得日是m 的极大子群，则称日是g 的2 极大子群 定义2 1 - 1 1 设，是一个群类，如果满足下列条件，就叫做一个群系 ( 1 ) 如果g ，。h 璺g ，那么c n ，； ( 2 ) 设m 璺g 。粤g ，如果g m 和c n 都属于，那么g ( m n n ) e ， 定义2 1 1 2 一个群系，是饱和的，如果o l 垂( o ) ，。那么g ， 定义2 1 1 3 我们称群x 与y 无关，如果x 的任一子群的同态像都不与y 同构 2 0 0 7 年上海大学硕士学位论文 8 2 2 基本引理 本节我们将给出一些在本文中起重要作用的基本事实。用引理的形式给出， 其中有些事实本身也具有独立的意义 引理2 2 1 1 9 ，l e m m a2 】设何是有限群g 的半p 一覆盖远离子群，是g 的一个正规子群，则h n n 是g i n 的半p 一覆盖远离子群，如果下列条件之一成 立i i l ) n h ； 俐g c d ( s ，i n i ) = 1 ，其中g c d ( - ，一) 表示最大公因子口 类似于上个引理我们也有 引理2 2 2 设为有限群g 的一个正规子群，日是g 的半覆盖远离子群， 则h n n 是g 的半覆盖远离子群，如果下列条件之一成立t ( 1 ) n 冬ht 俐g o d ( h i i n i ) = 1 ，其中g c d ( - ，一) 表示最大公因子口 引理2 2 3 4 2 】有限群g 是p 一超可解群的充要条件是g i 西( c ) 是p 一超可 解群口 引理2 2 4设m 和为有限群g 的两个正规子群，如果n m 且 n s 垂( g ) ，则m n 是p 一幂零群的充要条件是m 是p 幂零群 证明：显然我们只需证明引理的。必要”部分 因为m n 是p 幂零的，所以可令k n 为m n 的个正规h a l l 矿子群 设p s y 知( ) ，则由k n 是p ，子群知p s y 如( ) ，又因为n 垂( g ) 且由f r a t t i n i 定理( 4 1 】，推论i v 3 8 ) 知垂( g ) 是幂零的，所以也是幂零的 所以又由( 4 1 】，定理2 7 ) 知pg n ，而p 又是的h a l l 子群，所以p 是的特征子群，所以再由璺即得p g k 由s c h u r - z a s s e n h a u s 定理知，k 中存在p 的补，而且这些补都在耳中 共轭所以，由f r a t t i n i 推论知存在 g = n c ( y ) k n a ( v ) v p = j v g ( p = j v 0 ( y ) 2 0 0 7 年上海大学硕士学位论文 9 得v 璺g ，当然更有v 璺m 又由等式 l m ：v l _ l m ：k i i k ：v l 知i m ：v i 是p 数，所以有( i m ：v l ，i v l ) = 1 因此y 是m 中的正规p 补，从而 m 是p 幂零证毕l 口 引理2 2 s 4 1 ，定理i x 1 a 0 设g 为p 一可解群则g 是p 一超可解群当且 仅当对g 的每个极大子群m ，i g ：m i = p 或为，数口 引理2 2 6 设g 为p 可解群则g 是p 超可解群的充要条件是g 归( g ) 是p 一超可解群 证明显然我们只需要证明充分部分 由g 归( g ) 是p 超可解群及引理2 2 5 知对其每个极大子群u l 垂( c ) 有 g 7 圣( q ：u l 圣c c ) i = p 或为，数，而由垂( g ) 的定义知m 也是群g 的任一极大子群，所以由等式 i g ：m l = i c 垂( c ) ：u 垂c c ) l 知l g ：m i ；p 或为矿数，再一次由引理2 2 ，5 即得g 是p 超可解群口 引理2 2 7 设g 为p 一可解群饭若g 有一序列t 1 s s 圣( g ) = k o 甄髓= e p ( g ) s s g 使得甄甩一l ( 1 i ss ) 是p 阶循环群或群，其中( g ) 是g 的f i t t i n g p 子群，则g 是p 一起可解群 证明t 我们对l g i 进行归纳 若西( g ) 1 ，考虑商群c i 垂( g ) 因为昂( g ) 是p 幂零的，所以下面我们不妨设s ( g ) 昂( g ) 由( 【3 l 】定理9 3 3 ) 知 f p c c ) = a c g c k , i k , 一1 ) 其中噩匠一1 是p - 因子 若g , i g , 一是p 阶循环群，则c l c d k k 一1 ) 是p 一1 阶循环群所以 g ，c c ( g d g t 一1 ) 从而g b ( g ) 是可换的，而可换群的极小正规子群是初等可换r 群，其中r 是 个素数，从而题设中g 的主序列的介于g 和b ( g ) 之间的主因子要么是p 群 ，要么是，群，进而由p 超可解群的定义显然就得到g 是p 超可解的口 引理2 2 8 【2 0 ，引理2 6 】设非单位元群是有限群g 的可解正规子群，若 g 的每个舍于的桩，卜正规子群不合于圣( g ) ，那么的f i t t i n g 子群f ( ) 是 g 的含于的枉小正规子群的直积口 引理2 , 2 9 1 1 2 ，引理2 5 】设日是有限群g 的子群，如果日在g 中半扫一) 覆盖或远离。那么对任意hsk ，其中k 是g 的子群，日在中半一) 覆 盖或远离口 2 0 0 7 年上海大学硕士学位论文 1 1 引理2 2 1 0 1 1 1 ，引理1 1 设日是有限群g 的子拜。令 1 m g 是g 的一个正规序列，如果日覆盖( 或远离) m i v 。则日覆盖( 或远离) 盯 和所在正规序列的介于m 与之间的任一个商因子口 引理2 2 1 1设g 是有限群，p 是整除有限群g 的阶的素因子且满足 ( f g | 矿一1 ) = 1 ，若矿不整除i g i ，那么g 是p 一幂零的 证明，设p 是g 的s y l o w p - 子群，则i p i 矿且p 是可换的 已知 i a u t ( p ) i i p ( p 1 ) 2 + 1 ) 由题设( i g i ，矿一1 ) = 1 即知i a u t ( p ) i l p ，且 g ( p ) c g ( p ) sa u t ( p ) 所以 i n c ( p ) c c ( p ) h p 而又p 是可换的，所以p s c 台( p ) ，所以又有 pti n c ( p ) c c ( p ) l 综上即知i n o ( p ) c o ( p ) i = 1 ，从而n c ( p ) = c 台( p ) ，再由b u r n s i d e 定理知群 g 是p - 幂零的口 引理2 2 1 2 设g 是有限群，p 是整除g 的阶的素因子且满足( i g l ，p 2 1 ) = 1 ，若g 有正规子群使得g n 是p 一幂零的且矿不整除i i ，那么g 是p 一 摹零的， 证明，因为a n 是p 幂零的，所以设m n 是c l v 的正规p 补，由p 3 不 整除i i 即知矿不整除i m i ，从而由引理2 2 1 1 知m 是p 幂零的设k 是m 的正规p 补，显然k 璺g ，考虑商群g k 由g k 皇c v m n 知a k 是 p 群，即有( i o i k i ，1 9 1 ) = 1 ，从而知即为群g 的正规p 补，故群g 是严幂 零的证毕! 口 2 0 0 7 年上海大学硕士学位论文 引理2 2 1 3 设g 是有限群。p 是整除g 的阶的素因子且满足( i v l ，矿一1 ) = 1 ，p 是g 的s y t o w p 一子群。若p 有一个乒极大子群p l 使得尸l 在g 中半p 覆盖远离，则g 是p 可解的 证明：由p 可解群的定义知要证明此定理我们只需证明群g 有一个主序列 l = g o g l g n = g 使得其每个p - 主因子都是p 群 因为只在g 中半p 覆盖远离，所以存在群g 的个主序列 1 = g o g l g k g i + 1 g m = g 使得p 1 覆盖或远离其每一个p 主因子，不妨设瓯+ 1 q 是其任意一个p 主因 子，则p l 覆盖或远离g k + i g k 如果p l 覆盖g k + , g k ，则 p l g k + 1 = p l g k 。 即 g k f g k2c k + , g k 从而g i + l 瓯是p 群 如果r 远离g k + , o k ，则 只n g k + l = 只n 即 p l c c k n g + 1 g = 1 从而由r 是p 的2 - 极大子群知f 瓯+ , c l ，s p 2 ，进而由引理2 2 8 知g + , c k 是p 幂零的，又因为瓯+ l 吼是群e c k 的特征子群，所以g k + l c k 的正规p 补 是群c c k 的正规子群，而g , i g k 是群c c k 的极小正规子群，因而g k + , i g k 的正规p 补是单位元，从而瓯+ 1 仉是p 群至此我们已经证得群g 存在一个 主序列 1 = g o g l 瓯 g l 瓯= g 2 0 0 7 年上海大学硕士学位论文1 3 使得其每个i o _ 主因子都是p 群最后由p - 可解群的定义我们得到群g 是p - 可解 的i 1 引理2 2 1 4 设p 为有限群g 的s 2 l o w ，一子群。如果n g ( p ) 是尹一幂零的 且有i p i 矿，那么g 是p 一幂零的 证明：由i p i 矿知p 是可换的因为n a ( p ) 是p 幂零的，所以 b ( p ) 存在 正规p 补，又因为p 也是群n c ( p ) 的勖l o w p - 子群，所以n c ( 尸) = p h ， 从而h s g b ( p ) ，进而有n g ( p ) = c c ( p ) ，故由b u r n s i d e 定理即知群g 是p 幂零的口 引理2 2 1 5 1 4 1 ，定理i i 2 4 ( f r a t t i n i 论断) 设g 是一个有限群，n 粤g ， p s v ( ) 。则g = n c ( p ) n 口 引理2 2 1 6 设p 为有限群g 的循环s y l o w p 一子群，如果( i c l ，p 一1 ) = 1 ， 则g 是p 一幂零的口 引理2 2 1 7 设p 是有限群g 的阶的最小素因子，尸是g 的勖l o wp 一子 群若尸是循环群或p 的每个极大子群在g 具有半p 一覆盖远离性质，那么g 是p 一幂零的 证明t 只霜在【1 2 】定理3 2 的假设中将。半覆盖远离”替换为。半p 覆盖远 离”。用相似的方法即可得到该引理口 引理2 2 1 8 1 1 1 ，引理3 1 2 1 设p 是有限群g 的阶的最一1 、素因子，若g 是 a 一无关的且矿t f g i ，剐g 是p 幂零的口 引理2 2 1 9 1 2 4 ，定理5 4 】设g 是一个内p - 幂零群，则g 为内幂零群口 引理2 2 2 0 1 2 4 ，定理5 2 】设g 是一个内幂零群，则 ( 1 ) 对i g f 的某个素因子p 而言。g 有一个正规的s y t o wp 子群尸，且 c l p 竺q ，其中q 为g 的非正规循环s y l o wq 一子群，且p q ； ( 2 ) p 垂( p ) 是g i 垂( p ) 的极小正规子群； ( 3 ) 如果p 非交换且p 2 ，则唧p = p ； ( 4 ) 如果p 非交换且p = 2 ，则e x p p = 4 ； ( 5 ) 如果p 交换，则e z p p = p r 1 2 0 0 7 年上海大学硕士学位论文 1 4 引理2 2 2 1 1 4 1 ，定理i i 5 5 】设p 是有限群g 的阶的最小素因子，p 勋0 ( g ) 若p 循环，则g 有正规p 一补口 引理2 2 2 2 1 4 1 ，定理i i 5 4 ( b u r n s i d e ) 设g 是有限拜。p 勖知( g ) ，若 n c ( p ) = c b ( p ) ，则g 是p - 幂零的n 引理2 2 2 3 【4 1 ，定理2 7 】设g 是有限群，p 是g 的p 一子群，但不是 s ! l o w p 一子群，则p 1 由( 1 ) 有 b c g ) = p ，又由 乃( g 归( g ) ) = 昂( g ) 归( g ) 知昂( g ) 归( g ) 是循环的或昂( g 胂( g ) ) 的任意极大子群尸1 卢( g ) 在e l e c t ) 中 是半p - 覆盖远离的，所以g 归( g ) 满足定理的假设条件，进而由g 的极小性知 c l 垂( c ) 是p - 超可解的，从而g 是p 超可解的，矛盾 步骤( 3 ) 最终矛盾 设为群g 的一个极小正规子群，则由g 是p 可解的知是p 群且 n 昂( g ) = q ( g ) = p 若n = 昂( g ) ，则乃( g ) 是g 的唯一极小正规子群如果n = 尸是非循环 的，则由假设知尸l 覆盖或远离n i l ( 其中p l 是p 的极大子群) ，然而只p 1 ， 所以 p 1 = p 1 n n = 1 i n l = 1 进而i p l = p ，矛盾，故n = p 是循环的且g 有下列主序列。 i = 垂( g ) 乃( g ) ；p - g 使得昂( g ) i 圣c g ) 是p 阶循环群，所以由引理2 2 5 知g 是p 超可解的 下面我们假设n 1 ) 使得 b c v ) = 1x 2 l 2 0 0 7 年上海大学硕士学位论文 1 7 成立 接下来我们要证明m 0 = 1 ，s ) 是p 阶循环群事实上。令r l 为l 的极 大子群，则 p l = r 1 n 2 n o 是昂( g ) = p 的一个极大子群，由题设知p l 在g 中半p 覆盖远离 令 m = 2 n o 则由引理2 2 1 知p 1 m 在g m 中半p 覆盖远离，所以存在c m 的主序列， 1 = g o m g t m g 2 m g l m = a i m 使得1 1 m 覆盖或远离其每个p 主因子易知p l 覆盖或远离g 的下列主群列的 每个p 主因子z 1 2 2 n 3 n 2 n 3 n o = m = g o g 1 b ( g ) n g d 一1 p 1 = 马( g 一1 n 昂( g ) ) 日( g ) n g 一1 璺g b ( g ) n q 一1 = g o = m g 一1 np 1 = m p l = m ，r l = 1 故1 是p 阶循环群 类似于上面的推理我们得到胍a = 1 ，8 ) 都是p 阶循环群令 k = l x 脯，扣1 ，s 则下列序列是群g 的一个主群列 1 = 垂( g ) = k o 甄 飓 兀= 昂( g ) s g 又因为 i k k 一1 l = p ，t = 1 ，s 所以由引理2 2 7 知g 是p 超可解的，最终矛盾口 2 0 0 7 年上海大学硕士学位论文 1 9 推论3 1 2 设日是有限群g 的p - 可解的正规子群使得g i h 是p 一超可解 的，若b ( 日) 的勖l o wp 子群是循环的或昂( 日) 的勖l o wp 子群的每个极大子 群在g 中半p 覆盖远离，其中昂( h ) 是目的f i t t i n gp - 子群，那么g 是p 一超 可解的 证明，设g 为极小阶反例 若0 ( 日) 1 ，那么由o 分( 日) 是日的特征子群而日是群g 的正规子群知 d p ，( 日) 是群g 的正规子群，所以下面我们可以考虑商群g q ，( 日) 和定理3 1 1 中一样，我们可得到a l o p , ( h ) 满足题设中的条件，由群g 的极小性就有a o f ( z ) 是p 超可解的，从而g 是p 超可解的，矛盾因此下面我们假设0 分( 日) = 1 类似于定理3 1 1 讨论，我们也可得到垂( g ) n 日= 1 ，所以由引理2 2 8 即知 f ( 昂( 胃) ) = s n ( ) = o n ( ) 是g 的含于胃中的极小正规子群的直积令 昂( 日) = l n o 其中胍“= 1 ，s ) 是g 的含于日中的极小正规子群，同定理3 1 1 可得到 i v , ( = 1 ，5 ) 都是p 阶循环群所以我们可假设 昂( 日) = ( 1 ) ( o a ) ( o , a ) 其中仇) “= 1 ，订是群g 的p 阶正规子群 最后我们可得到群g 是p 超可解的事实上，由 g ( 冶( ( 啦) ) sj 4 t t ( ( 以) ) 知g c b ( 他) ) ( i = 1 ，5 ) 是循环的，从而是p 超可解的，进而a ( n t = 1 c b ( 他) ) ) 是p 超可解的又由c o ( 乃( 日) ) = n 名l c 台( 他) ) 即知g c b ( 昂( 日) ) 是p 超可解 的由g h 及a l e g ( b ( 日) ) 都p 超可解得 a l e s ( 昂( 日) ) = g i ( h n c b ( 昂( 日) ) ) 是p - 超可解的 2 0 0 7 年上海大学硕士学位论文 注意到 昂( 日) = ( a 1 ) x ( o , 2 ) x ( a m ) 是可换的即得 昂( h ) c 0 ( 昂( 日) ) 另一方面胃是p 可解的，由( 【3 l 】，定理9 3 1 ) 知 ( 1 日( 乃( 日) ) = c k ( 0 _ ( 日) ) o _ ( 日) = 昂( 日) 所以有 昂( 日) = c k ( 耳( 日) ) 从而g 乃( h ) 是p 超可解的既然我们证明了 昂( 日) = ( n 1 ) ( o 2 ) x x “) 是g 的循环正规子群的直积，也就得到群g 是p 超可解的，矛盾本定理证明 完成口 下面是本小节最主要的结果，它把一般的结论推广到了群系中 定理3 1 3 设，是包含超可解群系“的饱和群系。h 是有限群g 的可解 正规子群使得g i h ，若对f ( 日) 的阶的任一素因子p ，f ( 日) 的s y l o w p 一 子群是循环的或其每个极大子群在g 中半覆盖远离，其中f ( h ) 是日的f i t t i n g 子群，那么g ， 证明，假设定理不真且g 为极小阶反倒下面分两种情况来证明此定理 情形1 圣( g ) n h l ； 设f l l v ( c ) n hj 且r s y ：r ( g ) ，则由r 是垂( g ) n 日的特征子群及圣( g ) n 日粤g 知rgg 且( c r ) ( h r ) 岂c h ，显然有rsf ( h ) 以及f ( h r ) = f ( h ) r 若f ( h ) 的勖f o 伽p - 子群是循环的。当然f ( h p 1 ) 的s y l o wp 子群也是循 环的，接下来假设f ( h p 1 ) 的s y l o w p - 子群是非循环的，令吖兄是f ( h ) i r 的 s y l o w p - 子群的个极大子群，则若p = r ，那么r 是f ( h ) 的s y l o w p - 子群的个 2 0 0 7 年上海大学硕士学位论文 2 1 极大子群且由引理2 2 2 知吖r 在c r 中半覆盖远离i 若p r ，则t = r 尸l ， 其中p l 是f ( h ) 的勋l o w p - 子群的极大子群。由定理的假设知p l 在g 中具有覆 盖远离性质且再由引理2 2 2 即知吖r = r 1 1 r 在g r 中具有覆盖远离性质 故g r 与h r 满足定理的假设条件，再由g 的极小性知c r ，。而 c v ( g ) 岂( v r ) ( 圣( c ) r ) ， 且，是饱和群系，从而g ，矛盾 情形2 一垂( g ) n h = 1 设p 为f ( h ) 的s y l o w p - 子群，则p 璺g 且进一步我们可以得到。 ( 2 1 ) p = l 2 肌 其中i 是群g 的所有极小正规子群且i m i = p 事实上。由引理2 2 6 和巾( g ) n h = 1 有 p = l 2 m 其中m 群g 的所有极小正规子群，下面我们只需证明肌是p 阶循环群 若p 是循环的，则显然( 2 1 ) 是正确的，下设p 非循环且令r l 为l 的极大 子群，那么有 、 p 1 = r 1 n 2 肌 是p 的极大子群，由假设r 在g 中半覆盖远离再令 m = n 2 m 则由引理2 2 2 知p d m 在g m 中半覆盖远离，所以存在g m 的主序列 1 = g o m g 1 m g 2 m g s m = g m 使得p 1 m 覆盖或远离其每个主因子 易知p l 覆盖或远离g 的下列主群列的每一主因子， 1 2 n 2 n 3 n 2 n 3 l = m = g 0 g l 尸n g 1 只= 只( q 一1 n 尸) 且p ng t 一1 璺g ，故p n g 一1 = c o = m 及q 一1 np l = m ，所以尸l = m 。从而 r 1 = 1 ，到此我们证明了l 是p 阶循环群类似于上述证明亦得l v , ( i = 1 ，s ) 都是p 阶循环群( 2 1 ) 已被证明 下面再证( 2 2 ) g i f ( h ) ，； 由( 2 1 ) 知 f ( 日) = ( 0 , 1 ) ( a , z ) ( a n ) 其中仇) 0 = 1 ，1 ) 是群g 的素数阶循环群由 g c b ( ( 啦) ) 焉a 让( ( 啦) ) 知 g c 台( 他) ) 是循环的且因此a c c ( ( 以1 ) “，i = 1 ，t l 从而 g ( n 銎l c a ( 眩) ) ) “ 又由 c g ( f ( h ) ) = n 警l ( 珞( ( 啦) ) 2 0 0 7 年上海大学硕士学位论文 o c o ( f ( h ) ) “， 既然g h 和g c o ( f ( 日) ) 都含于，我