（载运工具运用工程专业论文）基于数学规划求解的拓扑优化方法及其应用研究.pdf

摘要 本文主要研究了基于数学规划求解的结构拓扑优化方法，给出了涉及频率约束以及频 率和位移约束的结构拓扑优化方法实现算法和程序，并完成了大量数值仿真计算。 基于i c m ( 独立、连续、映射) 方法和渐进结构优化方法的思路，本文提出了一种变位 移约束限的结构拓扑优化方法。在优化迭代循环的每一轮子循环迭代求解开始时，以渐进的 方式形成和引进当前一轮迭代循环的新的约束限。另外建立了单元删除和增添阈值和几轮 迭代循环的单元删除策略。结合拉格朗日乘子法，改进了子循环迭代中连续拓扑变量的求 解方法，并建立了一套有效结构信息到结构最大设计域信息的映射转换方法，形成了一种新 的连续体结构的拓扑优化方法。而后，提出了基于数学规划的仅考虑频率约束以及考虑位 移和频率约束的重量最小的拓扑优化方法。 对上述方法进行了编程及大量典型结构的仿真计算，并完成了车架等构件模拟设计。 算例结果表明了本文提出的方法是正确和有效的，并显示本文方法具有较好的工程应用前 景。 关键词：拓扑优化，位移约束，频率约束，连续体结构，i 伽方法 a bs t r a c t t h i sp a p e rm a i n l ym a k e sr e s e a r c h e so ns t r u c t u r a lt o p o l o g yo p t i m i z a t i o nm e t h o dd e a l i n g w i t hm a t h e m a t i c a lp r o g r a m m i n gs o l v i n g ，g i v e st h ea l g o r i t h ma n dp m g r a m so ft h es t r u c t u r a l 蛐b g yo p t i m i z a t i o nm e t h o de o m i d e r i n gf r e q u e n c yc o n s t r a i n t sa n de o m i d e r i n gd i s p l a c e m e n t a n d f r e q u e n c yc o n s t r a i n t s a n da l o to f n u m e r i c a ls i m u l a t i o n sa l ec o m p l e t e d b a s e d0 1 1t h ei d e a so f t h ei c mm e t h o da n dt h ee v o l u t i o n a r ys m l c t u r a lo p t i m i z a t i o nm e t h o d , f a , t , t h i sp a p e rp r o p o s e san e ws t r u c t t a a lt o p o l o g i c a lo p t i m i z a t i o nm e t h o dc o n s i d e r i n go n l y d i s p l a c e m e mc o n s t r a i n t s a tt h ei n i t i a li t e r a t i o ns t e po f e a c ho p t i m i z a t i o ni t e r a t i o ns u b - l o o p , i n o r d e rt oc o n t r o lt h ec h a n g eq u a n t i t yo ft o p o l o g i c a ld e s i g nv a r i a b l e s , n e 、 ，c o n s t r a j 缄l i m i t sa r e f o r m e da n di n t r o d u c e di n t ot h eo p t m a i z a t i o nm o d e l m o r e o v e r , t h ee l e m e n td e l e t i o na n da d d i n g c r i t e r i o na n das e to fs t r u c t u r a lo p t i m i z a t i o ns t r a t e g i e sa r eg i v e n i m o r p o r a t i n gt h el a g r a n g e m u l t i p l i e rm e t h o d , as e to fs o l v i n gm e t h o df o rc o n t i n u o u st o p o l o g i c a lv a r i a b l e so fs u b - l o o p i t e r a t i o n si si m p r o v e a , a n dan e wc o n t i n u u ms t r u c t u r a lt o p o i ! o g i g a lo p t i m i z a t i o nm e t h o d c o n s i d e r i n go n l yd i s p l a c e m e n tc o n s t r a i n t si sp r o p o s e d t h e n , t h i sp a p e rh a sm a d er e s e a r c h e so n t h e 飘嚣惑赶a lt o p o l o g i c a lo p t i m i z a t i o np r o b l e mw i t ht h eo b j e c t i v ef u n c t i o nb e i n gt h es m l e t l a a l w e i g h ta n dj u s tc o n s i d e r i n gf r e q u e n c yc o n s w a i n t s , a n dc o n s i d e r i n gd i s p l a c e m e n ta n df r e q u e n c y e o n g t t a i l l 红b a s e do nm a t h e m a t i c a lp r o n g s o l v i n g f o rt h em e n t i o n e d - a b o v ep r o p o s e dm e t h o d st h e i rp r o c e d u r e sa r ei m p l e m e n t e 吐a n dal o to f t y p i c a ls t r u c t t n a ld e s i g ne x a m p l e sa r eg i v e n , a n ds i m u l a t i o nd e s i g n so f a t r u c kf r a m es t r u c t u r ea n d o t h e rc o m p o n e n t sa r ec o m p l e t e d r e s u l t so b t a i n e ds h o wt h a tt h ep r o p o s e dm e t h o d si nt h i st h e s i s a r ec o r r e c ta n de t t i c i e 咄a n da r eo f g o o de n g i n e e r i n ga p p l i c a t i o nv a l u e k e y w o r d s ：t o p o l o g yo p t i m i z a t i o n , d i s p l a c e m e n tc o n s t r a i n t , f r e q u e n c y c o n s t r a i n t , c o n t i n u u ms t r u c t u r e ，i c mm e t h o d l l 长沙理工大学 学位论文原刨性声明 本人郑重声明：所呈交的论文是本人在导师的指导下独立进行研究所取得的研究 成果。除了文中特别加以标注学l 用的蠹容分，本论文不包含任簿其他个人或集体已经 发表或撰写的成果作品。对本文的研究做出重要贡献的个人和集体，均已在文中以明 确方式标明。本人完全意识到本声踞的法律后果由本人承担。 律者繇名p 蛔 日期2 诉岁月7 冒 学位论文版权使用授权书 本学位论文作者完全了解学校有关保留、使用学位论文的规定，同意学校保留并 离国家有关部门或机构送交论文的复印件和电子版，允许论文被查阅和借阕。本人授 权长沙理工大学可以将本学位论文的全部或部分内容编入有关数据库进行检索，可以 采用影印、缩印或扫描等复制手段保存和汇编本学位论文。 本学位论文属于 量、保密口，在年解密后适用本授权书。 2 、不保密翻。 ( 请在以上相应方框内打“) 作者签名：茹予蝴 剥醛氢撂；碑 日期2 瞻荔年罗月7 e t 匿嬲：炒簪y - , e l 夕露 1 1 工程背景 第一章绪论 随着科学技术的不断发展和进步，工程结构向大与柔的方向发展，机械结构向刚、柔 兼备的方向发展，且越来越复杂。这种复杂结构极易受到外界载荷环境，特别是动载荷的 影响，而造成结构破坏或系统性能下降甚至失效，直接威胁工程结构的安全。对于柔性机 械结构，通常都有静力强度和振动性能指标要求。因此，研究结构系统的静、动力学性能， 特别是开展结构的静、动力学优化设计有着非常重要的意义。而结构优化设计已从低层次 的尺寸、形状优化发展到高层次的拓扑优化。结构拓扑优化能最大潜力协调结构资源代价 和结构静、动力学性能之间的关系，以达到以最小的代价获得最佳的结构静、动力学性能。 因此，系统深入的开展结构拓扑优化设计的研究，有着重大的应用价值。 1 2 结构拓扑优化的国内外发展概况 结构优化设计是1 9 6 0 年代初发展起来的一门新兴学科，它将数学中的最优化理论与 工程设计相结合，使人们在解决工程设计问题时，可以从无数设计方案中找到最优或者是 尽可能完善的设计方案，从而大大提高了工程设计效率和设计质量。结构优化的目的在于 以最少的材料，最低的造价和最简单的工艺实现结构性能( 包括结构的刚度、强度、重量、 频率等等) 最优。结构优化设计大体上可分为三大阶段：首先，是建立数学模型，把一个 工程结构的设计问题转变为一个数学问题，确定目标函数；其次，是选择一个合理有效的 计算方法；最后，是基于该计算方法及相关计算机软件，完成结构优化设计计算。结构优 化设计可以根据设计变量类型的不同划分为3 个层次【l j ：优化结构元件的参数，称为参 数优化或尺寸优化：优化结构的形状，称为形状优化：优化结构的拓扑结构，称为拓扑优 化。对于桁架结构的典型尺寸优化问题是寻找各杆件的最佳截面积，使其某些物理量最小 化( 或最大化) ，如：平均柔度、峰值应力、变形、重量等，同时其设计变量和状态变量满 足各种约束条件。尺寸优化的设计变量是杆件的截面积，状态变量为结构的变形( 或应力 等) 。尺寸优化的主要特点是结构模型的设计域是已知的，并且在整个优化过程中保持不变。 而形状优化是寻找模型的最佳设计域的形状。拓扑优化主要探讨结构构件的相互联接方式， 结构内有无孔洞、孔洞的位置、数量等拓扑形式，使结构能在满足有关平衡、应力、位移 等约束条件下，将外载荷传递到支座，同时使结构的某种性态指标达到最优。结构拓扑优 化能在工程结构设计的初始阶段为设计者提供一个概念设计，使结构在布局上采用最优方 案，所以与截面优化和形状优化相比，拓扑优化更具有应用价值和经济效益，也易被工程 技术人员所接受。拓扑优化已经成为研究热点。目前，结构拓扑优化一般可分为两种优化 类型：离散结构拓扑优化和连续体结构拓扑优化。在骨架类结构拓扑优化中，目前的研究 成果主要集中在桁架结构拓扑优化方面，对于框架类结构拓扑优化的研究相对较少。 随着工程结构的功能增强，工程结构( 如桥梁、建筑结构、汽车结构、机械结构等) 变得越来越复杂。目前，工程结构的大型化、复杂化以及高度柔性化，使结构的工作环境 日益复杂，结构静、动强度问题普遍存在。有关统计表明，在众多结构发生的重大事故中， 主要与其强度有关。如何解决材料利用率( 提高经济效率) 与结构强度之间的关系，是当 前迫切需要解决的问题，这就使得运用结构优化手段研究工程结构安全与经济性问题成为 必要。 r， m i c h e l l 在1 9 0 4 年对桁架结构拓扑优化进行了研究1 2 j ，他用解析方法研究了一个荷载 作用下应力约束的结构，得到重量最轻的最优桁架所应满足的条件，后来称为m i c h e l l 准 则，并把满足m i c h e l l 准则的桁架称为m i c h e l l 桁架。这是结构拓扑优化设计理论研究 的里程碑。m i c h e l l 理论在近几十年得到了重要发展。c o x 证明了m i c h e l l 桁架也是最小 r 1， 柔顺度设计【3 j ；g a l l a 曲e r 【4 j 证明了m i c h e l l 桁架具有最小的体积胭4 度比，或最小的柔顺 度与体积的乘积。s a v e 和p r a g e r1 5 j 已说明m i c h e l l 桁架的柔顺度不可能大于采用相同量 材料的任何其他桁架的柔顺度。h e g e m i n e r 等将m i c h e l l 准则推广到了刚度、动力参数优 化以及非线性弹性等情况 6 1 ；周克民等采用有限元方法计算出了m i c h e l l 桁架 7 1 。这些 研究对于整个结构优化学科的发展都有深刻的意义。后来随着对桁架结构的深入研究，国 内、外学者相继提出了结合最速下降法与分枝定界法的混合算法、结构拓扑优化的两相法、 两阶段法、优化准则类推法以及内力作为设计变量的非线性规划法使求解桁架结构拓扑优 化的能力有很大提高。而对于多工况拓扑优化问题，段宝岩、谭中富与孙焕纯等人l s 9 l 提出 采用内力作为设计变量构造了非线性规划来求解。应该指出，在采用基于截面积为拓扑变 量的，且涉及应力性能要求的结构优化模型时，由于将拓扑优化实际上转化为尺寸优化来处 理，会出现所谓奇异最优解现象。为获得奇异最优解，程耿东等提出了桁架拓扑优化问题 的e 一放松模型及算法u 引。 “ 近年来，人们还提出了一些不依赖于具体问题的直接搜索方法，如进化算法，遗传算 法( g e n e t i ca l g o r i t h m ，g a ) ，模拟退火算法，神经元网络法，极大熵原理法，以及基于 基因遗传算法和梯度方法的混合方法l l 卜搭j 等，这些方法使拓扑优化取得了瞩目的进展。虽 然这些方法搜索全局最佳解有一定的优势，但由于计算量大，而无法在大型结构中 应用。例如，基因遗传算法涉及到大量群体的结构响应特性计算、结构拓扑变量的编 码和解码操作以及复杂的基因复制、交叉和变异处理等等1 1 5 j 。目前，连续体结构拓 扑优化较成熟的方法主要有均匀化方法( h o m o g e n i z a t i o nm e t h o d ) 、变密度方法、渐 进结构优化法( 简称e s o 法) 和基于i c m 方法的结构拓扑优化。均匀化方法或变密度 方法( 含带有惩罚的匀质材料法( 简称s i m p 法) ) 等【i 州巧的主要特点是将拓扑变量取 为单元几何尺寸或材料物理参数等连续变量( 如单元厚度、微结构孔洞尺寸、材料弹 性模量和密度等) ，并通过单元几何尺寸或材料物理参数等取下限值，实现结构拓扑 变更。基于微结构思想的均匀化方法是最典型的拓扑优化方法，该法用具有正方形 和矩形孔的微元表示微结构。微元可以有不同的孔洞尺寸和方向，采用优化准则方 2 法优化结构材料的孔隙率来获得最佳拓扑构型 2 0 - 2 3 1 。现已成功地应用均匀纯法解决 了包括复合材料结构和多约束的许多类型的结构拓扑优化问题1 2 4 - 3 1 1 。然而，该方法 常常产生带有一些无限小孔的材料结构，使得结构不可制造，再者，数值的不稳定 性使得设计对载荷的变化j # 常敏感1 2 0 , 3 2 , 3 3 1 。 变厚度法的基本思想是以基结构中单元厚度为拓扑设计变量，通过删除厚度为尺 寸下限的单元实现结构拓扑的变更。交厚度法用予魄较篱单的平面结构( 如膜、板和 壳等) ，该方法避免了均匀化方法构造微结构的麻烦，但推广到三维问题有一定的难 度。采用变厚度法的代表性工作有：t e n e k 和h a g i w a r a 对薄壳结构的研究f 3 n ，程耿 东和张东旭对平面膜结构进行的研究斟1 ，程耿东和王健对平面弹性体结构进行的研 究【3 ”，周克民和胡云昌等1 3 6 , 3 7 用变厚度单元法对连续体结构进行的拓扑优化，随后 又将此方法与拓扑分析相结合耠0 1 。 结构拓扑优化的变密度法，主要采用以材料密度为拓扑设计变量，直接定义一个 经验公式来表达密度与弹性模量闻缎定静函数关系1 3 9 1 ，这样结构的拓扑优化离题就 被转换为材料的最优分布问题。1 9 9 9 年b e n d s e e 和s i g m u n d 证实了该方法物理意 义的存在性l 剃。交密度法主要代表性的工作有：m l e j n e k 建立的变密度模型1 4 n ，y a n g 对于车身拓扑优化的应用 4 2 1 ，王健和程耿东解决了应力约束下平面弹性结构的拓扑 优化闯题1 4 3 1 ；袁振等人研究了基于杂交元和变密度法的连续体结构拓扑优化问题 f 翊。其数值的不稳定性和计算的复杂性是该方法在结构优化应用中的主要困难 1 2 2 3 1 , 3 2 1 。 1 9 9 3 年谢忆民等提出了一种渐进结构优化法( e v o l u t i o n a r ys t r u c t u r a l o p t i m i z a t i o n ，简称e s o 法) 4 5 - 4 8 j ，e s o 方法克服了与传统技术相关联的大部分问 题，提供了结构优化豹一种薪豹途径。e s o 是基于这样一个篱单的准则，郄从结构中 慢慢删除低效材料，使剩余材料的结构进化到一个最佳结构。该方法采用固定的有 限元网格，对存在的材料单元，将其材料数编号为菲零，丽对不存在的材料单元， 将其材料数编号为零。基于这种零和菲零模式，实现结构拓扑优化。然而，e s o 法仅 允许删除单元，但无法恢复迭代过程中错误地删除的单元，影响了该方法总体最优 的可信性及其应用推广。为了改进和完善传统的e s o 方法，q u e r i n 4 9 , 5 0 j 提出了基于 应力、在高应力单元周围增加单元和删除低应力单元的双向渐进方法。李芳等l m j 用 虚拟层合单元对e s o 方法进行了改进，荣觅华等对此法熊磅究及疲用现状进行了介 绍，并基于e s o 方法，提出了连续体拓扑优化方法【5 2 , 5 3 j 。e s c h e n a u e r 5 4 j 提出的泡 泡法( b u b b l em e t h o d ) 实际上是连续体形状优化中边界变分法的推广，同时考虑了拓 扑形式，它在设计域中不断插入新的孔洞，并由形状优化来获得孔洞的最优形状和 孔洞的边界形式，通过一些特征函数来决定已知形状的孔洞在结构中的位置。水平 集方法( l e v e ls e tm e t h o d ) s s j 中，优化闷题通过一个嵌入到高维尺度函数( 水平集 函数) 中的隐式移动边界( i m b ) 来表示， 法具有较好的灵活性。此外，j o g 和 该模型在描述复杂结构的拓扑及边界变化方 h a b e r 5 6 , 5 7 提出了“等周方法；f l e u r y 翻 b e c k e r l 5 8 提瘵的基于离散拓扑变量的对偶闯题解法；r o z v a n y 和z h o u 5 9 的s i m p 方法：m a u t e 和r a m m 6 0 j 的自适应网格法；郭旭、赵康【6 l j 提出的种利用拓扑描述函 数作为拓扑设计变量求解连续体结构拓卦优化闯题的方法等等，都有一定的参考价 值。 采用物理参数或几何参数的形式来描述拓扑变量，都会存在网格依赖性。通常的 解决方案是抑制中间参量，但仍会引起数值计算不稳定性问题。如出现的形状象围 棋盘一样的棋盘效应；因为初始结构的不同，计算同一个拓扑优化问题，得到的最 优拓扑构形也不相同。1 9 8 8 年，s i g m u u d 等对这些普遍存在的数值闻题进行了综述 1 6 2 6 列。一些学者采用了不同技术和方法进行分析研究，如高阶单元法、过滤法、杂 交单元法等一些方法 6 4 - 6 9 l 。 在分析了上述各种连续体结构拓扑优化方法的特点之后，隋允康等于1 9 9 6 年提 出了i b m ( i n d e p e n d e n t ，c o n t i n u o u s ，m a p p i n g ) 方法 7 0 - 7 5 j ，i b m 方法意为独立连续映 射的方法，以一种独立于单元具体物理参数的变量来表征单元的“有与“无 ，将 拓扑变量从依附于面积、厚度等尺寸优化层次变量中抽象出来，为模型的建立带来 了方便，同时为了求解简捷，构造了过滤函数和磨光函数，把本质上是0 - 1 离散变 量的独立拓扑变量映射为区间 0 ，1 上的连续变量，在按连续变量求解之后再把拓 扑变量反演成离散变量，也就是说通通映射反演完成拓扑变量“离教一连续一离散 的变化过程。i b m 方法的本质思想在于两点：一是独立连续的拓扑变量，二是映射反演过 程。i b m 方法吸取了变厚度法和变密度法不再构造微结构的优点，圈时，定义了连续 的拓扑变量，从而可以吸纳数学规划中卓有成效的连续光滑的解法。i b m 方法以结构 重量为目标，推广到了应力、位移和频率等约束下的连续体结构拓扑优化问题。另外，i b m 方法引入对偶规划方法大大减少了设计变量的数目，提高了优化的效率。i b m 方法不同于 均匀化方法和渐进结构优化方法，它具有简洁性、会理性，同时物理上有明确的解释。然两 该方法还存在鞠标函数的振荡现象。究其原因，在i b m 方法的优化迭代循环的每一轮子循 环迭代求解中，无论设计变量变化多大，结构的位移等特性量和其导数都用该轮循环迭代开 始时的结构特性量和其导数近似得到，这种处理可能造成较大的计算误差。如果优化模型 中仅涉及某一种类型的约束( 如位移约束) ，这种计算误差会更大。且i b m 方法的迭代优化过 程中，被删除的大量材料单元仍以较奎的刚度和质量存在予结构中，易辱l 起结构总嚣l 度矩阵 病态以及结构出现虚假的局部模态，结构分析的规模始终保持为最大设计域的规模，其分析 计算鬟大。而且该方法仅对简单二、三维结构进行了应用。对复杂结构和大规模有限 单元模型的工程结构的拓扑优化设计问题仍需进一步开展研究工作。 综上所述，结构拓扑优化方法具有较大的发展前景和重要的工程应用价值，但有 待进一步发展。因此，进一步研究结构拓扑优化方法，既有理论意义，又有实际工 程应用价值。 4 。3 本文的王作 为了进一步发展结构优化方法和开展结构优化设计应用研究，本文主要进行了以下几 方面的工作： ( 1 ) 研究了位移约束下连续体结构拓扑优化方法，针对仅位移约束和重量最小的结构拓 羚优健闻题，基于王蕊( 独立、连续、映射) 方法和渐进结构优化方法的思路，提出了一种 变位移约束限的结构拓扑优化方法。通过短梁结构，柱和牛腿构件组成的组合结构和 m i c h e l l 型结构的拓扑优化设计算例验证了提出方法的有效性与正确性。 ( 2 ) 研究了频率约束下连续体结构拓扑优化方法，针对仪频率约束和重量最小的结构拓 扑优化问题，基于i c m ( 独立、连续、映射) 方法和渐进结构优化方法的思路，提出了一种 变频率约束限的结构拓扑优化方法，同时进行了平面短梁和空间短梁的拓扑优化设计对该 方法进行验证。然而考虑到结构的某阶频率不具有与结构的位移相同的变化特点，故对该 方法进行了改进，建立了更加有效的序雾l 近似拓扑优化模型，同时采用空闻短梁的拓挣优 化设计算例验证了改进方法的合理性和有效性。 ( 3 ) 研究了基予静力和频率联合优化的拓扑饶讫方法。透过典型结构，轴承支座结梅和 汽车车架结构的拓扑优化设计算例验证了该方法的有效性与正确性。 5 第二章位移约束下连续体结构拓扑优化方法 2 1 引言 隋允康等于1 9 9 6 年提出了i c m ( i n d e p e n d e n t ，c o n t i n u o u s ，m a p p i n g ) 方法，i c m 方法意为独立连续映射的方法，“独立刀及“连续是指将拓扑变量从依附于截面、厚度等 低层次变量中抽象出来，使之成为独立的层次；用 0 ，1 之间的连续变量代替o 、l 离散变 量，从而避免了离散优化问题求解的困难。“映射 是指通过映射及反演的过程，使独立连 续的拓扑变量逼近离散拓扑变量，用磨光函数对拓扑变量进行磨光映射，再用过滤函数对 拓扑变量进行过滤映射，通过映射反演完成拓扑变量“离散连续离散”的变化过程。 i c m 方法的本质思想在于两点：一是独立连续的拓扑变量，二是映射反演过程。i c m 方法吸 取了变厚度法和变密度法不再构造微结构的优点，同时，定义了连续的拓扑变量，从而可 以吸纳数学规划中卓有成效的连续光滑的解法。i c m 方法以结构重量为目标，推广到了应 力、位移和频率等约束下的连续体结构拓扑优化问题。另外，i c m 方法引入对偶规划方法 大大减少了设计变量的数目，提高了优化的效率。i c m 方法不同于均匀化方法和渐进结构 优化方法，它具有简洁性、合理性，同时物理上有明确的解释。 然而该方法还存在目标函数的振荡现象。究其原因，在i c m 方法的优化迭代循环的每 一轮子循环迭代求解中，无论设计变量变化多大，结构的位移等特性量和其导数都用该轮循 环迭代开始时的结构特性量和其导数近似得到，这种处理可能造成较大的计算误差。如果 优化模型中仅涉及某一种类型的约束( 如位移约束) ，这种计算误差会更大。且i c m 方法的迭 代优化过程中，被删除的大量材料单元仍以较小的刚度和质量存在于结构中，易引起结构总 刚度矩阵病态以及结构出现虚假的局部模态，结构分析的规模始终保持为最大设计域的规 模，其分析计算量大。 。 在实际的工程应用中，人们对结构的要求往往不止是满足强度条件，通常还会要求结构 满足一定的刚度条件，即限制某些结点的位移在一定的许用范围内，保证结构位移变形不 超过规定的限值，这就是优化问题中的位移约束问题。 本章针对仅位移约束和重量最小的结构拓扑优化问题，基于i c m ( 独立、连续、，映射) 方 法和渐进结构优化方法的思路，提出了一种变位移约束限的结构拓扑优化方法。在优化迭 代循环的每一轮子循环迭代求解开始时，为了控制拓扑设计变量的变化量，依据结构位移量 和其约束限，以渐进的方式形成和引进当前一轮迭代循环的新的位移约束限。另外，完全将 删除的单元从结构中去掉，建立了单元删除和增添阈值和几轮迭代循环的单元删除策略。 为了确保优化迭代中结构非奇异和方法具有增添单元的功能，在结构孔洞和边界周围引入 了一层人工材料单元。结合拉格朗日乘子法，改进了子循环迭代中连续拓扑变量的求解方 法，并建立了一套有效结构信息到结构最大设计域信息的映射转换方法，形成了一种新的连 6 续体绻构的拓扑优诧方法。最后完成了几个仿真算例。 2 2 单元拓扑变量与过滤函数 2 2 1 单元拓扑变量 类似于i c m ( i n d e p e n d e n t ，c o n t i n u o u s ，强印p i n g ) 方法【7 l o 蓟，设置第f 号单元的拓扑 变量t f 。当拓扑变量t i 。0 时，表示该单元不存在：当拓扑变量t f = 1 时，表示该单元存在； 当拓扑变量o t i l 时，表示该单元从有到无的过渡状态：这种i c w 方法的拓扑变量将结 构拓扑优化变成为一个独立层次，而且还可以借鉴具有光滑性的有效的优化算法。 2 。2 。2 过滤函数 。 连续体结构拓扑优化通过某些予域化为空洞或恢复，实现了 有”与 无 的转化。描 述拓扑变量从舻有牡到玎无够的判断，也就需要提供一个过滤丞数，国) ，透过过滤丞数 对拓扑变量t ，进行过滤，用来揭示相应的单元或子域对0 与l 靠近的程度。在i c m 方法中， 过滤函数不仅可以对拓扑变量进行过滤翻筛选，完成对拓扑变量由连续模型向离散模 型的回归，用于每次迭代之后或最后迭代之后的舻l 处理上。而且在建模时，起到了一 种对相应的单元或子域有关几何量或物理量的识别作用。这里设定一定条件，当满足该条 件时，采用过滤函数进行连续模型向离散模型的回归处理，即本章采用凡轮循环迭代后 进行一次连续模型向离散模型的回归处理。这种处理既避免了渐进结构优化方法中的误删 除单元和i c m 法的缺点，又链继承这两种方法的优点。 用过滤函数y w ( t f ) 、f k ( 白) 识别单元重量和单元刚度，单元性质参数识别采用如下公 式一 w i = 厶辑) 罅，晖f 】= 磊媲) 【砭】 ( 2 1 ) 其中，【k 】分别表示拓扑变量为t i 簦j 状态对应的单元重量和单元刚度矩阵：w o ，【蕊】 分别表示单元固有重量和单元固有的刚度矩阵。一般情况下，采用指数形式的过滤函数 f w ( t f ) = ( 岛) ， a ( t j ) = ( 屯) 铱 ( 2 2 ) 其中掰w ，吼鸯常数，对于不同类型的结构，可以根据谚，【足；】之闻的关系来确定，也可 以透过数僮实验来确定最佳数值【7 3 , 7 4 1 。这里取，寻2 ，= 5 。 。 7 2 3 约束点位移显式表示式及带有变位移约束限的优化模型处理和求 解方法 2 3 1 约束点位移显式表示式 在有限兀分析中，结构静特性平衡方程可表不成下式 【捌函 = p ( 2 3 ) 式中【k 】是总刚度矩阵，函 是节点位移矢量，而p ) 是节点载荷矢量。 考虑1 ( t i ) 鲰作为变量变化时，仅第f 号单元的刚度矩阵变化，则其刚度矩阵的导数 可表示为 、 a k a ( 1 ( t i ) a k ) = - k j 】( f f ) 2 ( 2 4 ) 式中【忌】是，j = 1 时扩维了的第f 号单元的刚度矩阵。假设变化第f 号单元不影响载荷矢 r e e ，从方程( 2 3 ) 和( 2 4 ) 得位移的偏导数 o u o ( 1 ( t i ) ) = “) 2 哝 k 】- 1 【嗣】铷 ( 2 5 ) 为了找到的偏导数，引进一个单位载荷矢量p _ ，) 。在该矢量中只有第j 个分量等 于1 ，而其他分量为零。用p _ ，f 前乘方程( 2 5 ) ，得 c g u j a o ( t ，) ) ：( f f ) 2 p _ ，产【足】_ 1 昂】函 ： 以) 2 p 甜厂【嗣】函 ：瓴) 2 鲰p 甜， r 【k 6 】舀t ( 2 6 ) 式中p “ 是由单位载荷p _ ，j 引起的位移，0 f j 和p “，j 分别是仅仅与第f 号单元所有自由 度相应的函 和p 甜 中元素构成的单元位移矢量。故在单元级能计算方程( 2 6 ) 的右端 项o 一般将结构分为可设计和不设计部件，设可设计的单元数为q ，其单元编号可设为 玎g ( g = 1 , 2 ，q ) 。不设计的单元数为p ，其单元编号可设为f p ( p = 1 , 2 ，尸) ，不可设计部 分的= l ( p = 1 ，2 ，尸) 值在迭代计算中不变。 从而叶在砖一- - - o ) 鲰( g = l ，2 ，q ) 处的一阶近似展开式可表示为 8 垆争争，划x o ( x q - x 0 冲o + 争强p 镑矿霹， = 卜0 黔她o q = lr 垮q = l 妇氍学c 2 ：7 a ) v 儿， 参考文献 7 3 的玎罗表示式，并利用式( 2 7 a ) 可得 驴弘p = l f 函地，锹心q = l 坩妇舷学 泣7 b ， k，v ， 当p = 0 时，式( 2 7 ) 完全同子文献 7 3 】中的位移表达式，从而表明文献 7 3 的表达式 是位移关于变量l 稚) 鲰( g = l ，2 ，囝的一阶近似。如果只考虑位移约束，基于i c m 的 1 、 拓扑优化方法的序列近似化模型中必须对可设计拓扑设计变量气。国= 1 , 2 ，圆进行控 制，以使得式( 2 7 b ) 在拓扑变量变化范围内近似成立，确保优化求解与原问题求解等效。 2 3 2 带有变位移约束限的优化模型化处理和求解方法 一般考虑位移要求的重量最小结构的拓扑优化问题可表示为 式中拶，为位移掰，的约束限，j 为位移约束个数。对于式( 2 。8 ) 表瑟的优化模型，在采 用最大设计区域为初始结构的最初的一些优化迭代步，式( 2 8 ：! 的位移约束条件为非 有效约束，相对而言，式( 2 8 ) 的优化解可能远离初始设计点。此时如果采用式( 2 7 ) 的线性近似表示式，进行文献 7 3 所述的一轮迭代，使得式( 2 8 ) 的优化解可信度大 大降低。文献 7 2 采用k _ s 核函数对模型( 2 8 ) 进行了处理，求解方法变得较复杂，另 外还存在尽标丞数振荡现象。为了解决此问题，使褥式( 2 。? ) 的线性近似表示式在一 轮迭代中近似成立，借鉴渐进结构优化方法思想，本文以位移约束限渐进的方式将模型 ( 2 8 ) 转化为下列交位移约束限的系列模型进行求解。 9 国 然 乃国 ，b l ；v i 巩锄 矿肛vl生 嗣k一 骞 珐 施：形2 擎) 鳓秽= 罢。) 噱+ 主。( o 严律0 s 六l u j l = 二p 如歹+ 曼c 譬歹簿奄) 锨彰u = l ，六z = l ，2 ，)，( 2 9 ) ，1 ( 9 2 1 ，2 ，q ) 其中 c q j = j 龆勺吩p ；( ，0 ，) 2 a k $ i g n ( u j ) ，a p j - - 舻f 融弦。盼s i g n ( u a 彰为引进的位移约束的变化的序列上限值，可表为 矧， ：。： 。 ( 2 1 0 ) 蚓 式中p 为位移约束限变化因子，其在0 0 4 - 4 ) 0 8 间取值。 彰( ，= l ，2 ，d 在一轮优 化迭代中不变，且在一个大的循环步( 即褶邻两次删除单元的迭代步之闻的所有轮优化迭 代步统称为一个大的循环迭代步) 中，如果迭代的轮数露f 小于或等于露c ，则 u 1 ( j = l ，2 ，力不变。如果迭代的轮数t l t 大于刀c ，则彰( j = 1 ，2 ，) 按式( 2 1 0 ) 变化，群多 为变化u ；时当前结构第j 个约束方向位移。刀c 为常数，其在4 - - 5 间取值。 通过式( 2 9 ) 和式( 2 。1 0 ) 的处理，式( 2 ? ) 的表示式对模型( 2 。9 ) 的所有迭代 解都能近似成立，从而能确保式( 2 9 ) 求解的有效性。这里的处理在一定程度上模拟了渐 进结构优化方法的特点，同时又雏吸收i c m 方法在一轮优化迭代中有效和合理求解的优 点。 w 中常数项可去掉，式( 2 9 ) 可改写为 晌：w 勺。 旺争彬v 嗽彰一圭锄( 川， ( 2 1 1 ) k k l ( g2 | ，9 l o 疆 x 够叫 一 一 哆陟 防叫 露对1 蔽 缸 毽 m + f | 9歹o+， 掰 拓 r；，、【 = t， u 类似予文献 7 3 】，令= 1 ( t ) 鲰 ( 窖= l 2 一，9 ，式( 2 9 ) 的求解转纯为式( 2 1 2 ) 的求解 r a i n ：墨( ) 2 十a q 囊( ) 2 十 q = l 1 q，p 娃警q j x q 如：一￥p j l 墨 其中6 譬= 。5 幽+ l 扣毒瑾铅尸wm a x 即嚣) 】 q = l ，2 ，q 半= 搿w ，x q = l 静之) 嚷 ( 2 1 2 ) ，= 吨 + 2 k 瑾钯尸qm 蚋釉， q - - i ，2 ，q 为j 处理优化结构的棋盘格l l 蕊趣，这里采用类似于文献 7 3 的方法对式( 2 1 2 ) 中非人 工材料单元所对应的岛、嘞和进行修正，并将修正后的c g 、嘞和代入式( 2 1 2 ) 中。 类似于文献 7 3 】，采用对偶理论将模型( 2 1 2 ) 的规划阀题转化为如下的对偶规划简题 求解 一 ? ：型 ( 2 1 3 ) 1s j 九0 一 其中( ”= m 。s 坼i n 龋( l 同( x 2 , l ) q ) ，三( x ，九) 。善露+ 呜为) + j - it ( 艺q = i j 一勺) q3q 式中，d q 歹= c q ，7 孽弘m 。a x w d ，c g ，勺= 叫一差；如歹y 和m 2 a x 、q q 力 对式( 2 1 3 ) 中的目标函数用二阶泰勒展式近似，由对偶理论，计算目标函数对设计变 量的一、二阶敏度( 由于( g = 1 ，2 ，q ) ，九是迭代近似求得，故在式( 2 1 4 ) 中保留了第二 项，在式( 2 1 5 ) 中保留了第二项，第三项和第四项，与文献 ? 3 】中式( 1 3 ) 和式( 1 4 ) 不同) 得 a 驴( x ) l 汹= ( 曼畋歹一勺) + 翼l ( 2 + a q x o x ：叻) ( 2 1 4 ) 哟c 琐哆) | 扣。= 知，筹+ 墨2 瓦百o x ；+ 璺q = d q 七筹 + 璺( 2 十) p2 x q 0 2 j 0 2 詹) ( 2 1 5 + ( 2 屹虻十) p z ) ( 2 1 5 ) a = l 。 由k t 条件有 ， l o = 毛 o l , ( x , ) a x q = 2 b ，x ：+ + 乃噍= = 0l i ( 2 1 6 ) 户1 【o= 1 令l = 矧1 x ： i ( g = 1 ，2 ，q ) 为主动变量集，将x ：= 工：( 九) 代入上式中第二种情况 得恒等式2 x ：+ 口g + 乃j 量0 ，两边对五求导得 即 2 a x ；o a k + 七= o o x ：o a k = 七( 2 b q ) 且有 a 2 ( a a , a , b ) = o 另外，对式( 2 1 6 ) 中第一种和第三种情况有 所以 o x ：a & = o 坝圳叻l 瑚= ( 孕，) - 非y 口( 2 b q x ；心脾) a 2 ( 九) ( a 见j o a kl 瑚一g 邑，d q 七( 2 b q ) 取( 九) 的二阶近似并略去常数项得如下二次规划模型 i m i i l ：三九r d 九+ h r 九 k 九兰。 其中 ( 2 1 7 ) ( 2 1 8 a ) ( 2 1 8 b ) ( 2 1 8 c ) ( 2 1 9 a ) ( 2 1 9 b ) ( 2 2 0 ) g j - - g _ l qd q j x ：+ p g 毛2 “+ 坟“2 b q ) ， ( 2 2 1 ) d 批2 二n d q j d q k 。m q j 解此二次规划，求