（基础数学专业论文）limit+cycle+problems+for+some+kinds+of+planar+polynomial+systems.pdf

学位论文独创性声明 本人郑重声明： l 、坚持以“求实、创新”的科学精神从事研究工作。 2 、本论文是我个人在导师指导下进行的研究工作和取得的研究成果。 3 、本论文中除引文外，所有实验、数据和有关材料均是真实的。 4 、本论文中除引文和致谢的内容外，不包含其他人或其它机构已经发表 或撰写过的研究成果。 5 、其他同志对本研究所做的贡献均已在论文中作了声明并表示了谢意。 学位论文使用授权声明 本人完全了解南京师范大学有关保留、使用学位论文的规定，学校有权保 留学位论文并向国家主管部门或其指定机构送交论文的电子版和纸质版；有权 将学位论文用于非赢利目的的少量复制并允许论文进入学校图书馆被查阅；有 权将学位论文的内容编入有关数据库进行检索；有权将学位论文的标题和摘要 汇编出版。保密的学位论文在解密后适用本规定。 作者签名：丝 日期： 垒! 兰z 缘萝 摘要 在这篇博士论文中我们研究了两类平面定常系统二次系统和三次系统 的极限环问题，特别是系统地研究了叶分类下的类二次系统当m = 0 时极限环 问题，本文分为四章。 第一章为引言，引述了多项式系统定性理论中围绕极限环问题研究的一些基 本概念与方法，旋转向量场理论的主要结论及后面要用到的一些引理。 第二章讨论了两类非l i 6 n a r d 型的三次系统，在绝大多数情况下都证明了相 应系统最多只有一个极限环，另外发现其中第二类系统当不出现三次项时，对应 的二次系统会出现中心，这一例子不能包含在 9 、 1 7 和 4 9 等重要文献中二 次系统具有中心的充要条件之中，也就说明其不完备，必须加一组条件。 第三章则研究了一般形式的三次l i 6 n a r d 系统，当它具有一个非鞍点和两个 鞍点时的定性性态。分析了此系统极限环不存在、存在性、惟一性等条件，掂出其 极限环的变化过程及极限环分支罔。 在第四章中我们对m = 0 时的类二次系统的极限环问题作了系统的研究， 首先证明其极限环是集中分布的，因此不失一般性可限于讨论此系统围绕原点的 极限环问题，把系统写成 i = 一y + 断+ i x 2 + n y 2 ， l l j ，= x ( 1 + 一b y ) ，o 0 内，在此半平面内系统( 1 ) 关于参 数6 构成广义旋转向量场。当6 = 0 时系统不存在极限环，且当。( 2 f 1 ) o ( 0 ) 时0 为不稳定( 稳定) 的一阶细焦点；当o ( 2 z 1 ) = 0 时0 为中心，故可限于 1 讨论f ：1 的情况。首先证明当6 ( 2 一1 ) 0 时不存在极限环，而当6 变为乩( 2 f 二 一1 ) 0 时，由h o p f 分支在0 外产生一个极限环，随i 占i 增大而单调扩大。0 外 极限环的个数取决于外围形成怎样的分界线环：如果最终形成通过l + o z y = 0 上的一个鞍点的同宿环，则在这些情况( 依赖于系数o ，f ，2 ) 下我们均证明了极限 环的惟一性。也就是说，存在适当的岛，使当6 在0 与氏之间时，系统恰有个极限 1 环，对此外的6 值，则系统无环；如果外围形成通过鞍点( 0 ，三) ( 当n 0 时) 的 n 同宿环，它与h o p f 分支从0 所产生的极限环具有相反的稳定性，则0 外将出现两 个极限环的情况；0 外也可能形成通过两个无穷远鞍点的无界异宿环的情况。在后 面这两种情况下，我们分析了极限环从一个到两个的演变过程( 依赖于不同的参 数值范围) ，也给出了相应的分支图与拓扑结构罔，如果能排除突然跳出半稳定环 而分裂的情况( 在i 占i 增大的过程中，这是另一个很困难的问题) ，则系统( 1 ) 的 极限环问题就彻底解决了。 a b s t r a c t i nt h i st h e s i s ，w ei n v e s t i g a t et h el i m i tc y c l ep r o b l e mi n t ot w om a i nt o p i c so f8 0 l n e p l a n a ra u t o l l o n l o u sq u a d r a t i cs y s t e m sa n dc u b i cs y s t e m s t h em a j o rp a r to ft h i s t h e s i si sd e v o t e dt ot h es t u d yo ft y p ei i iq u a d r a t i cs y s t e m sw i t hm=0i ny e s c l a s s i f i c a t i o n s t h et h e s i sb e g i n sw i t hc h a p t e r1a sm li n t r o d u c t i o n ，w ep r o v i d ear e v i e wo fs o m e c o n c e p t si l lq u m i t a t , l y et h e o r yo fp o l y n o m i a ld i f l e r e n t i a ls y s t e m w e l la 8t h et h e o r y o fl i m i tc y c l e s ，a n ds o m el e n n n a l st ob eu s el a t e ra r ec o n c l u d e d c h a p t e r2d e n sw i t ht i l es t u d yo ft w ot y p e so fn o nl i d n a r dc u b i cs y s t e m s w e p r o o ft i l eu n i q u e n e s so fl i m i tc y c l ei nm o s tc a s e sf o rt h es e c o n ds y s t e m w ef i n da l l e x a m p l et os h o wt h a tt h ec e n t e rc o n d i t i o n so fq u a d r a t i cs y s t e m sg i v e ni nf 9 ，1 17 【4 9 】a r en o tc o m p l e t e t h em a i nc o n t r i b u t i o no fc h a p t e r3i st os t u d yag e n e r a lc u b i cl i d n a r ds y s t e m w i t ho n ea n t i s a d d l em i dt w os a d d l e s ，w ed i s c u s st h ei l o n e x i s t a n c e ，e x i s t e n c ea a d u n i q u e n e s so fl i m i tc y c l e sf o rt i l es y s t e m i nc h a p t e r4w es t u d ys y s t e m a t i c a l l yt i l el i m i tc y c l ep r o b l e mf o rt y p e1 1 1q u a d r a t i c s y s t e mo fy e l sc l a s s i f i c a t i o n sw i t hm = 0 f i r s t , w ep r o v et h a tt i l el i n f i tc y c l ei sc e n t e r d i s t r i b u t e do n l ya r o u n do n ef o c u s t t i e nw i t h o u tl o s so fg e n e r a l i t y ，w ec a l ld i s c u s s t h el i m i tc y c l e sa r o u n dc r i t i c a lp o i n t0t i l es y s t e mt ob ec o n s i d e r e dc a l lb et a k e n i n t i l e f o r n l 。 竺= 一+ d z + f 。2 + n2 dt + 6 z + 2 。+ n y d 出y = 。( 1 + n 。一) i ti se a s yt os e et h a tt h es y s t e mh a sn ol i m i tc y c l ea s6 = 0a n di tf o r m sag e n e r a l i z e d r o t a t e dv e c t o rf e l dw i t hr e s p e c tt op a r a m e t e rji nt h ep a r t1 + n z y 0 f o rw h i c h t h el i m i tc y c l em ya p p e a ra r o u n d0 s i n c et h e r ei sa tm o s to u el i m i tc y c l em a y c r e a t e df r o m0 b yt h eh o p fb i f u r c a t i o n ，t h en u m b e ro fl i m i tc y c l e sd e p e n d so nt h e d i f f e r e n ts i t u a t i o n so fs e p a r a t r i xc y c l et ob ef o r m e da r o u n d0i fi t i sah o m o c l i n i c c y c l ep a s s i n gt h r o u g ht h es a d d l es 1o r l1 + o z y = 0a n di nt i l er i g h th a l fp l a n e w h i c hh a st i l es a r r l es t a b i l i t yw i t ht i l el i m i tc y c l ec r e a t e db yt h eh o p fb i f u r c a t i o n t h e nw ep r o v et h el i m i tc y c l ei sa tm o s to n eh ls u c hc a s e s ，w h i c ha r ed e c i d e db y s e c t i o nc o n d i t i o n s0 1 1t h ep a r a m e t e r s1 n ai fi ti sah o m o c l i n i cc y c l ep a s s i n g 1 t h r o u g ht h es s d d l ea - ( 0 ，二) ( 0 ) ，w h i c hl l a st h ed i f f e r e n ts t a b i l i t yw i t ht h el i m i t c y c l ec r e a t e db yh o p fb i f u r c a t i o l i lt l l e ui ta p p e a r st h et w ol i m i tc y c l e sc a s e ( a l s o d e c i d e db ys o u l ec o n d i t i o n so nf a n d 1 f o rt h ec a s et h a tt h es e p a r a t r i xc y c l e i sah e t e r o c l i n i cc y c l ep a s s i n gt h r o u g ht w os a d d l e sa ti n f i n i t y , t h e ni t a p p e a r sa l s o t w ol i n f i tc y c l e sc a s ef o rt h et w ol a t e rc a s - s o i l yd i s c u s s i o ns h o w st h a tt i l en u m b e r o fl i m i tc y c l e sw i l la p p e a rt h ep r o c e s sc h e m g i n gf r o mo n et ot w od e p e l l d i n go nt h e d i f f e r e n tv a l u e so ft ， a n daf o rs u c hc a s e st h ed i f f e r e n tt o p o l o g i c a ls t r u c t u r e s r e l a t e dt ot i l eh m i tc y c l e sa r o u n d0a r ea l s og i v e n c h a p t e r1 i n t r o d u c t i o n i n t h i sc h a p t e r ，w ear e v i e wt ot h eq u a l i t a t i v et h e o r yo fn o n l i n e a rd i f f e r e n t i a l e q u a t i o n sa n dd i s c u s ss o n i ct o o l st h a ta r ef r e q u e n t l yu s e di nt h i st h e s i s i l lt h eq u a l i t a t i v et h e o r yo fd i f f e r e n t i a le q u a t i o n s ，l i m i tc y c l ep r o b l e mi sa ni n t e r - e s t i n ga n dd i f f i c u l tp a r t ，w t f i c hw a sf i r s td i s c u s s e db yp o i n c a r e h es h o w e dt h a ti f t i l et w o - d i m e n s i o n a la u t o l l o n l o u ss y s t e m s 未= p ( x ，y ) ，9 = 0 ( z ，y ) h a saw e a kf o c u s ( i e ac r i t i c a lp o i n tw h i c hi sac e n t e rf o rt h ec o r r e s p o n d i n gv a r i a t i o ne q u a t i o n ) ，t h e n l i m i tc y c l e sc a l lb em a d et oa p p e a ri nt i l en e i g h b o r h o o db yv a r y i n gs l i g h t l yt i l er i g h t h a n ds i d e s ，s e e 【7 】t h e u ，i l lt i l e a u i o u sl i s to f2 3m a t h e n m t i c a lp r o b l e m ss t a t e di l l 1 9 0 0 ，i l lt i l ei n t e r n a t i o n a lc o n g r e s so fm a t h e m a t i c si l lp a r i s ，h i b b e r ta s k e di nt h e s e c o n dp e r to f1 6 t hp r o b l e n lf o r8 1 1u p p e rb o u n df o rt i l en u n l l o e ro fl i m i tc y c l e sf o r t h ee q u a t i o n 窆= 制 ， 如r ( z ，) 、 ( r ，a r ep o l y n o m i a l so fr e a lv a r i a b l e sg ，yw i t hr e a lc o e f f i c i e n t sa n dd e g r e en o t h i g h e rt h a nn ) a n dt h e i rr e l a t i v ep o s i t i o n s d u r i n gt h el a s tt w od e c a d e st h el i m i t c y c l ep r o b l e mh a sa l s oa t t r a c t e dt i ma t t e n t i o no fm a n yp u r ea n d 印p l i e dm a t h e - m a t i c i a n si l lt i l ew e s t e r nw o r l d r e c e n t l y i th a sb e e np r o v e da c t u r e l yt h a t ，g i v e na p a r t i c u l a rc h o i c eo fc o e f f i c i e n t sf o ras y s t e mo ff o r m ( 11 ) 1t h en u m b e ro fl i n f i tc y - d e si sf i n i t e ，t h i sr e s u l ti sk n o w na sd u l a c st h e o r e m ( s e e 3 0 】) ：a l s ot h e r ea r em a a w a r t i c l e si nt h i sd i r e c t i o n ，s e ef o re x a m p l e s a l ， 5 】1 【1 9 】，f 2 1 h o w e v e r ，i ti su n k n o w n w h e t h e ro rn o t t h e r ee x i s t s8 nu p p e r b o u n df o rt i l en u m b e ro fl i m i tc y c l e si ns y s t a m ( 11 ) i l lt e r m so fme v e nf o rq u a d r a t i cs y s t e m ( i ep o l y n o m i a ls y s t e m sw i t h q u a d r a t i cn o n l i n e a r i t i e s ) t h i sr e m a i n sa l lo p e nq u e s t i o n s o m ec h i n e s e sa r ed o i n gh a r dw o r k si nt i l et h e o r yo fl i m i tc y c l e s p r o f y e y a n q i a n ，w h oi saf a m o u sm a t h e m a t i c i a ng a v et i l er e s e a r c h e r sab e a u t i f u lw o r ki n t i l et h e o r yo fl i m i tc y c l e s ，s p e c i a l l yf o rt i l eb o o k so ft h e o r yo fl i m i tc y c l e sa n d q u a l i t a t i v et h e o r yo fp o l y n o m i a ld i f f e r e n t i a ls y s t e m s i nt h ef i r s to n eh ec o v e r e d a r o u n d3 0 0a r t i c l e si l lt i l et h e o r yo fl i m i tc y c l e s ，a j l dh ec l a s s i f i e dt h eq u a d r a t i c s y s t e mt ot h r e et y p e s ( i nw h i c ht h e l i m i tc y c l e sm a ye x i s t ) ，a sk n o w nt i l ef a m u sy e s 3 c l a s s i f i c a t i o n s ja n da l s oh eh a sp u b l i s h e dn l a u ya r t i c l e sf o rt h es t u d 3 7o fq u a d r a t i c s y s t e m ss e ef o re x a a n p l e 【4 4 l 4 5 ， 4 6 ，【4 r i nt h ef o l l o w i n g ，w ew i l ld i s c u s sa b o u t d u l a cf u n c t i o na a l dr o t a t e dv e c t o rf i e l d s t h a ta r ef r e q u e n t l 、7u s e di nt h i st h e s i s l e tt i l es 3 r s t e mt ob ec o n s i d e r e db e d 3 d f 由 d = p ( x ，) = q ( o ，弘) ( 1 2 ) l e m m a1 1i ft h e r ee x i s t sac o u t i n u o u s l yd i f f e r e n t i a b l ef u n c t i o nb ( x ，g ) i n 萋- p m 毗 ( 1 3 ) 塞= m 毗 ( i i ) 塞= ( p 等一。面0 p ) ( p 2 + o0 r ( o ) f o r 。兄a 1 1 d t h ee q u a u t y 4 ( m ) f 0 ，涫_ 士o 。蹦o = _ 土，w h e r e0 = 口r c 泐 呈 i nt h ef o l l o w i n gl e l l l m aw es u m m a r i z es e i n ei m p o r t a n tp r o p e r t i e so fl i m i tc y c l e s i j lag e n e r a l i z e dl o t a l e dv e e r o l - f i e l d s 、s e ep e l k of 3 1 】 l e m m a1 2l e ts y s t e m ( 1 3 】b eag e n e r a l i z e dr o t a t e dv e c t o rf i e l d s t h e n ： ( 1 ) s t a b l ea n du n s t a b l el i m i tc y c l e so fs y s t e i a ( 1 3 ) e x p m l do rc o n t r a c ti n o l i o t o n r e a l l ya sn v a i 。i e si nf i x e ds e n s e ； ( 2 ) w h e nnv a r i e si nas u i t a b l es c i l s cas e m i s t a b l el i m i tc y c l et r a l l s 0 h l l 8i n t oa t l e a s to n es t a b l el i m i tc y c l ea n da tl e a s t , o r l eu n s t a b l el i m i tc y c l e i fni sv a r i e dl i lt h e o p p o s i t ew a ya m dt h es e m i s t a b l el i m i tc y c l ed i s a p p e a r s ； ( 3 ) c l o s e do r b i t so fd i s t i n c tv e c t o rf i e l d so fs y s t e m ( 1 3 ) d ol l o ti n t e r s e c t ； ( 4 ) s u p p o s ef 0i sas a d d l el o o po fs y s t e m ( 1 3 ) f o rn = n o ，p a s s i n gt h r o u g ha s a d l i l e i fa t , n d r y ( rq ) 。：。 0 ) t h e nw h e nnv a r i e si nas u i t a b l ew a yau n i q u es t a b l e ( u n s t a b l e ) l i m i tc y c l ew i l lb e g 啦l e i a t e dc l o s e dt or o ，a n dw h e no v a r i e si nt h eo p p o s i t ew a y , f 0d i s a p p e a r sa n d t l m r ed o e sr i o te x i s tal i m i tc y c l ei ni t sn e i g h b o r h o o d ； ( 5 ) w h e nni l l e r c l s e s ，t h ef o u rs e p a r a t r i c e s 【) fas a d d l en a l lr o t a t ea r o u l l dni n t h es & l l l ed i r e c t i o n ； ( 6 ) l e tl ( a ) b eal i m i tc y c l eo fs y s t e m ( 1 3 ) 1 t 1sb et h er e g i o nc o v e r e dt ) yl ( n ) 躺。v a r i e si nr ，t h e nt h e , i n n e r ( o u t e r ) b o u n d a r yo fsc o n s i s t so fe i t h e ras i n g u l a r p o i n t as e p a r a t r i xc y c l e ( b o u n d e do ru n b o u n d e d ) b e l o w w cw i l ld i s c u s st , h eq u a d r a t i cs y s t e mi nw h i c hl i m i tc y c l e s ( 、a ne x i s t t h e n e x tt w ol e m r n a , sf r o m 1 7 l ，f o rt h ef i r s to n es o , o , a l s o 35 l e m m a1 。3c o n s i d e rt h ep o l y n o m i a ls y s t e n l ： 丽d 2 ：= 一可+ 加，v ) + + 跏( z ，p ) ， 鲁= z + ，卅+ q m ( 砌) ， w h e r e p i ( z ：) = n 玎一，矿，q l ( x ，) = b i j x “矿 j = o i = 0 t h e nt h e r ee x i s t saf o r m a lp o w e rs e r i e sf q a 2 0 ，b e m 】f 【z ，】， f = 去( z 2 + y 2 ) + f ( z y ) + f ( 。， ) 4 - 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( 1 + 蕊+ 0 c 舻+ c x a ， w h e r ef ( a ：) = 一( 2 ta d x 2 + a ：3 ) ，( z ) = 一( 2 c 十2 a d x + 3 2 3 ) g ( z ) = ( 1 + c 2 ) 。+ 口c 咖2 + 3a n dd ：三 v 口 f ( x ) h a st h r e ez e r op o i n t so ，p 1 ，阮w h e r e p l ：一挈- 8 c + a d o ，8 c ob y q l = 一1 - 一6 c + a d 。 a n df o r9 ( z ) t h e i ea r et h r e ez e r op o i n t s ：0 ，7l ，nw i t h n ：一堙至霉型妯垆避“2 d 2 至_ 4 c - 乒l ( 1 + 塑 。 t h e o r e m2 3a sr ot h e r ei s8 tm o s to n el i m i tc y c l ef o r s y s t e m ( 2 2 ) p r o o fc o n s i d m s y s t e m ( 29 ) ：t h ee q u i v a l e n ti b r mo fs y s t e m ( 2 2 ) ，f o rw h i c h i ft h el i m i tc y c l ee x i s t 8 ，w h i c t lm u s t , b cs u r r o u n d k g0 ( t i mo n l yc r i t i c a lp o i n tw i t h i n d e x + 1 ) a a dm u s tb cl o c a t e di nt , h cs t r i pr 1 z t 2 ，一。 + o 。i f f 一l ， t h o uw ug e t2 c 2 一十la n d - 8 c 4 c 一1 ( 1 + r 2 ) t h u sp l r la n dp 2 r 2 b yu s i n gy ( ：# ，) = + g ( z ) ，w h m eg ( 叫= ，n9 ( 叫如， t h 蚍l ，w pl l a w ，尝；= 一9 ( z ) ，( m ) i ) ，z ( r 1 ，r 2 ) a i i c 1t h e l l i j 诗1 l t ) l i m i tr y c l e h t x l c e u f i t , m l l yl l l ：c d st oc o l l s i d e rt h e ( 、a “：o f 一1 r i j l e m m a2 3i 2 4 f o rt i ml i 6 n u r d 哪甜i l ( 2 4 ) ，s u p p o s et h a tt h ef o l l o w i n g c o n d i t i o n sl m i d ： ( 1 ) f ( z ) ，9 ( z ) a n d ，( 。) h a v ez e r op o i n t sp l ，0 ，p 2 ；，。1