（理论物理专业论文）非线性微分方程·量子蒙特卡罗及应用.pdf

摘要 这篇论文由两部分组成，第一部分是非线性微分方程，第二部分是计算机模拟 中的量子m o n t ec a r l o 方法 寻找非线性微分方程的精确解在物理和数学巾一直是非常重要的，许多方法因 此而提出。本论文试图讨论其中的一些方法，这些方法基于这样的观点，非线性方 程的解可以表示成函数的多项式形式，这些函数可以是椭圆函数，双曲函数，也可 以是其它函数。多项式的最高次数根据齐次平衡原则确定。 首先介绍齐次平衡方法。通过此方法不仅可以得到方程的精确解，而且有可能 得到方程的线性变换。作者利用此方法得到了( 2 + 1 ) 维的k a d o m s t e v - p e t v i a s h v i l i 方程的双线陛变换。接下来介绍了f 一展开法，又l i t l 做椭圆函数展开法。其优点之一 是整个步骤完成后同时可以得到很多精确解。作者对这种方法给出了两种推广并将 推广的方法应运于具体的非线性微分方程。最后介绍了其它的方法，包括t e n h - 方 法，s e c h 一方法，及推广的t e n h - 方法。以上是论文第一部分的内容。 论文的第二部分涉及统计物理和凝聚态物理中的数值模拟。在计算机模拟中， 传统的m o n t ec a r l o 算法在对配分函数进行抽样时，对位形空间实行的是局部的更 新，这在临界点导致所谓的临界睫化现象，直接影响了系统物理量的计算。为克服 这一缺点人们提出了非局部的更新方案，集团算法就是其中的一个例子。作者在这 里介缁的量子m o n t ec a r l o 方法可以说是集团算法的一个变种，它最初由s a n d v i k 提出，后又经过很多人的不断完善逐渐成熟。 要包括以下内容，配分函数的随机 级数展开，有向圈更新方案，有向圈方程等。其中有向圈更新方案包括对角更新， 非对角更新，圈图的构造等，有向圈方程涉及如何解此方程而使算法的效率较高。 论文的最后，作者应用这里介绍的量予m o n t ec a r l o 算法，计算了一些模型，包括 h e i s e n b e r g 无序模型，带有外场的h e i s e n b e r g 无序模型，b o s o nh u b b a r d 模型等， 并且给出了模拟的结果 a b s tr a c t t h et h e s i si sc o m p o s e do ft h en o n l i n e a rp a r t i a ld i f f e r e n t i a le q u a t i o na n dt h eq u a n t u r nm o n t ec a r l om e t h o d s e a r c h i n gf o re x a c ts o l u t i o n so fn m f l i n e a rd i f f e r e n t i a le q u a t i o n si si m p o r t a n ti n p h y s i c sa n dm a t h e m a t i c s s om a n ym e t h o d sh a v eb e e np r o p o s e d t h i st h e s i sg i v e s s o m em e t h o d sw h i c hb a 8 e do nt h ep o i n to fv i e wt h a tt h es o l u t i o n so fn o n l i n e a rp a r - t i a ld i f f e r e n t i a le q u a t i o n sc a nb ee x p r e s s e da sp o l y n o m i a l so fs o m ef u n c t i o n sf o rt h e i r v a r i o u sd e r i v a t i v e s ) s u c ha st h ee l l i p t i cf u n c t i o n st h eo r d e ro ft h ep o l y r n o m i a l si s d e t e r m i n e db yt h eh o m o g e n e o u sb a l a n c ep r i n c i p l e f i r s t l y ，h o m o g e n e o u sb a l a n c em e t h o d ( h b m ) i si n t r o d u c e d b yu s i n gh b m ，t h e a u t h o rg e tt h eb a c k l u n dt r a n s f o r m a t i o no ft h ep o t e n t i a lk a d o m s t e v p e t v i a s h v i l ie q u a - t i o ni n ( 2 + 1 ) 一d i m e n s i o n s t h e nf e x p a n s i o nm e t h o di sp r e s e n t e d m e a n w h i l e ，t h e a u t h o rp u tf o r w a r dt w ok i n d so fg e n e r a l i z a t i o no ft h i sm e t h o d ，b yw h i c ht h ee x a c t s o l u t i o n so fn o n l i n e a rd i f f e r e n t i a le q u a t i o n sc a nb eo b t a i n e d f i n a l l yo t h e rm e t h o d s s u c ha st e n h - m e t h o d ，s e c h m e t h o da n de t ca x ea l s oi n t r o d u c e d a b o v ei st h ec o n t e n t s o ft h ef i r s tp a r to ft h et h e s i s t h es e c o n dp a r to ft h i st h e s i sc o n c e r n st h en u m e r i c a ls i m u l a t i o ni ns t a t i s t i cp h y s i c s o rc o n d e n s e dm a t t e rp h y s i t s i nc l a s s i c a ls i m u l a t i o n s ，c o n v e n t i o n a lm o n t ec a r l oa l g o - r i t h m ss a m p l et h ep a r t i t i o nf u n c t i o nb ym a k i n gl o c a lc o n f i g u r a t i o n a lu p d a t e s ，w h i c h b r i n g ss l o w i n gd o w ns i m u l a t i o n sn e a rp h a s et r a n s i t i o n st oo v e r c o m et h i sd i s a d v a n t a g el e a d st oa p p e a r a n c eo fn o d l o c a lu p d a t es c h e m e ss u c ha 8c l u s t e ra l g o r i t h m s t h e q u a n t u mm o n t ec a r l ot h a tt h ea u t h o rw i l li n t r o d u c ei nt h et h e s i sc o n s i s t so ft h eg e n e r a l i z a t i o no ft h e s en o n l o c a lu p d a t es c h e m e s ，w h i c hi sc a l l e dd i r e c t e dl o o pu p d a t e a n do ft h es t o c h a s t i cs e r i e se x p a n s i o no ft h ep a r t i t i o nf u n c t i o n a n o t h e rk e yp r o b l e m c o n c e r n i n gh o wt os o l v et h ed i r e c t e dl o o pe q u a t i o n sp r o p e r l y ，w h i c hm a k et h ea l g o r i t h mm o r ee f f e c t i v e ，i sa l s od i s c u s s e di nt h e e n do ft h et h e s i s ，t h ea u t h o ra p p l i e st h e q u a n t u mm o n t ec a r l oa l g o r i t h mt os o n i cm o d e l si n c l u d i n gs p i ns y s t e mw i t hd i s o r d e r e d b o n d sa n db o s o nh u b b a r dm o d e l ，a n dg i v e st h er e s u l t so fs i m u l a t i o n so ft h e s em o d e l s 原创性声明 y 7 3 1 5 3 本人郑重声叫：本人所旱交的学位沦文，是在导师的指导下独立进行研究所取 得的成果。学位论文中凡引用他人已经发表或未发表的成果、数据、观点等，均已 明确注明出处。除义中已经注明引用的内容外，1 i 包含任何其他个人或集体已经发 表或撰写过的科研成果。对本文的研究成果做出重要贡献的个人和集体，均已在文 中以明确方式标明。本声明的法律责任由本人承担。 论文作者签名：z 芝f 兰 h 期 d j 5 6 关于学位论文使用授权的声明 本人拒导师指导下所完成的论文及相关的职务作品，知识产权归属兰州大学。 本人完全了解兰州大学有关保存、使用学位论文的规定，同意学校保存或向瞬家有 父部门或机构送交沦文的纸质版和电子版，允许论文被查阅和借阅；本人授权兰州 大学可以将本学位论文的全部或部分内容编入有关数据库进行榆索，可以采用任何 复制手段保存和汇编本学位论文。本人离校后发表、使用学位论文或与该论文直接 相天的学术论文或成果b 、j ，第一署名单位仍然为兰州大学。 保密论文在解密后应遵守此姚定。 论文作苔箍名：醴芏兰导师签名 【j 期：一墨! ! ! ：i ：墨 尥数 第一部分 非线性微分方程 第一章 引言 1 1 论文的动机和目的 孤波在自然界中是非常酱遍的。我们可以在流体、等离子体、弹性介质、电路、光 纤、化学反应、生物遗传学等等中发现它们。人们从这些领域中导出了许多描述包 括孤波在内的非线性现象的非线性微分方程。寻找非线性微分方程的精确解对于了 解这些领域的非线性现象是很重要的。 一般说来，线性方程和非线性方程之间有着本质差别。一个线性方程的任何两 个解可以加在一起构成一个新解；这就是线性叠加原理。实质上这是用来解决任何 线性问题的系统方法的关键。例如f o u r i e r 变换方法和l a p l a c e 变换方法都与解能 够叠加有关。与此相反，一个非线性方程的两个解4 i 能线性相加在一起构成另一个 解。由此，对求解典型的非线性微分方程1 i 存在一般的分析方法或许就不会感到奇 怪了。 近年来，人们提出了各种专门的方法用来解非线性方程。散射反演理论1 ，2 ，3 ，4 1 最初用米求解k o r t e w e g - d ev r i e s 方程初值问题获得了成功，后来人们把它扩展去解 其它非线性方程的初值问题就形成了l a x 理论。b a c k l u n d 变换1 5 ，6 ，7 ，8 1 是建立一 个非线性偏微分方程的解与另一个已知的线性偏微分方程解之问的关系或者是建立 同一个非线性偏微分方程两个不同解之间的联系。h i r o t a 双线性变换方法【9 ，1 0 ，1 1 是求解非线性方程多孤子解的一个直接方法，尽管解的形式往往通过“猜”的 方式来获得。其它方法，包括截断p a i n l e v e 展开方法f 1 2 ，1 3 ，1 4 1 、s i n e - c o s i n e 方法 【1 5 ，1 6 ，1 7 】、双曲正切函数方法【1 8 ，1 9 】、齐次平衡方法f 2 0 ，2 1 ，2 2 ，2 3 ，2 4 l 、改进的 齐次平衡方法1 2 5 l 、f 一展开法【2 6 ，2 7 ，2 8 ，2 9 ，3 0 】等等，它们的最大特点是首先假设出 2 第一章弓i 言 非线性方程的解的形式，然后冉想办法确定其系数以得到精确解。 从孤子理论可以知道许多非线性偏微分方程的解可以表示成某些函数及其各种导 数的多项式形式，比如表示成椭圆函数或者是椭圆函数的退化函数等的多项式形式 【3 1 】所以在求解非线性偏微分方程的解时，可以根据齐次平衡原则首先设出函数 ( 或其各种导数) 的多项式的彤式，如果求得了此多项式的系数，那末非线性偏微 分方程的精确解也就求得了。 随着一些计算机软件如m a t h e m a t i c a ，m a p p l e 等的出现，基于如上观点的算法显 得口益重要了。本论文讨论的一些方法，充分体现了这一观点。可以看出这些方法 在求解非线性方程的解时步骤固定，操作简单，不仅实用而且效率较高。 1 2 论文的组织 论文的这一部分组织如下： 第2 章介绍了齐次下衡法的概念。运用这种方法得到了复合k d v b u r g e r s 方程的精 确解【2 1 】，还得到了变化的b o u s s i n e s q 方程的线性变换【3 2 l 和( 2 + 1 ) 维的p o t e n t i a l k a d o m s t e v - p e t v i a 。s h v i l i ( p k p ) 方程f 3 3 1 的双线性变换。 第3 章，介绍了f 一展，r 法及其解非线性偏微分方程的基本步骤。而且还给出了f 一展开 法的两个推广，并日运用这两个推广求解了( 2 + 1 ) 维的经典b o u s s i n e s q 方程f 3 4 及 ( 3 + 1 ) 维的k p 方程34 1 在第4 章，介绍了t e c h - 方法，s e c h - 方法和扩展的t e c h - 方法。并将这些方法运用于 经典的b o u s s i n e s q 方程3 5 l 和变种k d v 方程f 3 5 1 一3 一 第二章 齐次平衡法 齐次平衡法2 0 ，2 l ，2 2 ，2 3 ，2 4 1 已经成为寻找非线性偏微分方程解的一个基本方法。 人们将它应用于许多方程，不仅得到了方程的精确解而且有时还能得到非线性偏微 分方程的线性变换。其【 】的齐次平衡原则，电即最高阶导数项和最高阶非线性项部分 平衡的原则，将贯穿论文第一部分的始终。 这一章组织如一r 。存第2 1 节，介绍齐次、f 衡法的基本概念；第2 2 节给出了齐 次平衡法在解复合k d v b u r g e r s 方程的应用；在第2 3 节，利用齐次平衡法导出了变 化的b o u s s i n e s q ( v b q ) 方程的b a c k l u n d 变换也即线性变换；第2 4 节给出( 2 + 1 ) 维 p o t e n t i a lk a d o m s t e x l p e t v i a s h v i l i ( p k p ) 方程的双线性变换。 2 1 基本步骤 现住来锻述齐次平衡法的概念和解微分方程的基本步骤。假设给定两个变量的偏微 分方程如下： g ( “，u t m t t“幽“鼢1 正f f ，- - ) 0 ， ( 2 1 ) 这里g 一般是它的白变量的多项式函数，脚标表示偏导数。函数w = ”( z ，) 叫做式 ( 21 ) 的拟解，如果存在一个单变量的函数f f ( w ) 使得此函数的适当线性组合 1 ，( t u ) ，( 叫) 。，( 叫) t ，( 叫) ，( ) ，( 叫) 。t ，- - ，( 22 ) 是，j - 程( 2 1 ) 的解我们的目的是找到，( ”) 、拟解t u = w ( z ，t ) 及其函数( 22 ) 的适 当线性组合，以得到方程( 2 1 ) 的精确解。获得非线性偏微分方程的解的过程分为以 下四步。 4 第二章齐次平衡眭 步骤1 在( 22 ) 中选择某种适当的线性组合，组成多项式作为非线性方程的解， 殴为下式2 1 1 a ”+ “f ( w 、 “21 面西f + ，( w ) 的所有阶数低于( + n ) 各个偏导数项 = ，m “2 jf 嵋1 ? + t u ( z ，t ) 的所有阶数低于( m + 扎) 各个偏导数项，( 2 3 ) 这里整数m ( 0 ) ，n ( 0 ) ，单变元函数= ( w ) 以及函数叫= w ( x ，t ) 都是待定 的。确定m 和n 的值涉及到非线性方程( 2 1 ) 的最高阶导数项和最高阶非线性项， 用一个例子来说明如何求，”和n 假设在力程( 2 1 ) 中最山d t i e 线性项为“。、最高 阶偏导数项为“，那么就自下式成就 u u z = ，( ”+ ”，。”1 ：m + l 2 “ + w ( z t ) 的所有低于2 ( m + n ) 十1 阶的各种 偏导数的项 ( 2 4 ) u m = ，( ”。+ “+ 1 ) 1 ：2 + 3t ? + 1 u ( z ，t ) 的所有低于m + n + 3 阶的各种偏导数的项( 2 5 ) 为了定卅m 和t z 的值，要求在【24 ) 和( 2 5 ) 中w ( x ，t ) 的最高偏导数的阶数相等( 也 就是说方程中的非线性项和牦敝项部分地平衡，即齐次平衡原则) ，这导致 2 1 2 + 3 ， ( 2 6 ) 2 n = n 、7 它的非负整数解是 f ”。= 2 1 n = 0 ， 因此得到如”i - 的线型组合， = 。+ a 。+ b = f l l t u ：+ w ，。+ a 坞+ b ( 2 7 ) 步骤2 将上一步所得到的线型组合代八方程( 2 1 ) 中，结果得到一个表达式在表 达式中找m 所有的w ( x t ) 的最高阶导数项，合并后令其系数为零( 至此完成了力程 ( 21 ) 中的最高阶非线性项和最高阶导数项的部分平衡) ，我们得到了一个f ( w ) 的普 通偏微分方程，然后解这个方程。存大多数情况下方程的解是对数函数。 5 2 2 复合k d v - b u r g e r s 方程 步骤3 利用卜面所获得的微分方程及解，可以将步骤2 中所得的表达式进行适 当的改造，也即将式中包含f ( w ) 的各阶导数的非线性项替换成，( ) 的更高阶导数 项。然后搜集所有，( w ) 的问阶导数项，令其前面的系数为零。这样就得到了一个有 关w ( x ，t ) 的方程组，方程组的左边是w ( x ，t ) 及其各阶导数的k 次齐次函数，这里k 来源于，“山于方程组的齐次性质，可以设想w ( x ，t ) 具有指数函数的形式，只是 在指数函数中包含一些需要确定的常数。现在将指数函数代入方程组中，得到一个 有关这些常数的非线性代数方程组，解这个代数方程组，就可以得到w ( x ，t ) 及其步 骤1 中所指的线性组合的系数。 步骤4 将步骤2 和步骤3 巾得到的y ( w ) 和w ( x ，t ) 以及系数代入步骤l 中的线 性组合，进行一些计算后，方程f 2 1 ) 的精确解也就得到了。 下。订给出具体应用的例子。 2 2 复合k d v b u r g e r s 方程 首先写出复合k d v b u r g c r s 【2 1 】 u r _ p u u z + q u 2 “z + r u x 一s u m = 0( 2 8 ) 这里p ，q ，r 和s 是一些常数。容易看出方程的最高阶非线性项和最高阶导数项分别 是q u 2 “。和一将这两项进行齐次平衡后，按照上一节可假设方程( 2 8 ) 的解具 有如下彤武 = o l ( ) + b = a f 7 训。+ b ，( 2 9 ) 其中函数f 和函数w = w ( x ，t ) 以及常数a 和b 是需要确定的。从( 2 9 ) 可以得到 u t p “札。 ( t ，7 y 2 r l u t 一n ，t r ， p a 2 0 f 1 4 3 。+ f t 2 w 。w + b f “2 t + b f f l u m q a 3 ( ，心f ”叫。4 + f , 3 1 1 ) 2 w 。+ 2 b f f “毫+ 2 h i 心w x ? u ；。 + 6 2 ，”+ 6 ”fw 。) ， r n l p 3 。+ 3 户u ，：。+ | ；1 i ) 一， 0 4 f ( 4 ) 叫：+ 6 f ( 3 ) w ：w x 。 + 4 f h w w 。+ 3 f “w 2 。+ f w x z 。0 6 一 ( 2 1 0 ) ( 2 1 1 ) ( 2 1 2 ) ( 2 1 3 ) ( 2 1 4 ) w w 眦 第二章齐次平衡法 s 产) 一q a 2 f 7 2 ，”= 0 ( 2 1 5 ) ，= 土：和叫， ( 2 1 7 ) f ，7 ，”2 千去、警， ，o =篙，( 3 ， ( 21 8 ) 【严= 千：污， 地+ 础“。+ 。“。+ m 一s “= c ( 一千等v 警千们2 。 雩以 _ 3 s 碱砷+ ( a w a w t - f - ( 3 r a = f m 、警 干z a 。2 6 警) w ，。+ ( p a 2 b + q 执2 ) f( r 千g 后q a b v 荨一) 驴3 3 s 砭w 一= o ， “k 吩+ ( 3 r 干( p + 2 q 0 6 ) 、警) 圳z “k z + n 6 ( 2 2 0 ) i+ q a 2 沪) ：一4 s w ，z u 。一3 s ：z = 0 ， 2 3v b q 方程的线性变换 其中c 和d 是需要确定的常数，吼是任意给定的常数。 将式( 22 1 ) 代八瓦( 22 0 j 中，找们口j 以芨现如果似疋a ，b ，c 利d 满足- f 回的条 件，那么式( 2 2 1 ) 就会满足式( 2 2 0 ) f( r 干2 店千q n 6 居) c 3 _ 3 s c 2 ：o ， ( = d + 啪均蝣譬二鬈一 江2 2 ， 【c d + ( p a b + q a 2 b 2 ) c 2 + r c a s c 4 = 0 解代数方程组( 2 2 2 ) 可以得到 fa 0 ， 6 = 任意常数，( 2 2 3 ) 1c = c ， 。叫 【d = ：d 千， k 碧二堑谶缘+ 仁。a ， 既然我们找到了f ( w ) 和w ( x ，t ) 的具体形式，那么通过把式( 21 7 ) 和式( 2 2 1 ) 代入 式( 2 9 ) 并考虑到式( 22 3 ) 和式( 2 2 4 ) 及利用卜 列等式 煮=h(三一11 e x p ( o 222 ， +1 、。7 。 我们就得到r 办稃( 2 8 ) 的一对精确解。 u ( 叫) = 土等警( t a n h ( 扣+ 1 ) 这里 0 一c ；z + d t + 0 0 ，靠一任意常数 2 3v b q 方程的线性变换 般晓来，找到非线性偏微分方程的个精确解是很困难的，但是如果能找到方程 的b a c k l u n d 变换，那么对于解非线性微分方程就会带米根人的方便。前面已经指 出，b a c k h m d 变换建立，非线性方程的一个解与另一个解之问的芙系，或者建立了 与另一个已知的线性微分方程的解之间的关系。 这一节应用齐次平衡法找到v b q 方程的b a c k l u n d 变换。它将v b q 方程跟一个线 性微分方程联系起来，h 求得线性方程的解，v b q 方程的解就市即得到。 8一一 第二章齐状平毪i 法 首先给出v b q 方程 u + ( u v ) 。十一t k 。z = 0 ， 仇+ u 。十u u 。= 0 按照齐次平衡法的思想，( 22 5 ) 和( 22 6 ) 的解可分别设定如下 u = f ( m ( 叫) + 0 = g ( n ) ( ) + ( 22 5 ) ( 22 6 ) 对 。和( u v ) 。进行部分甲衡、对“。和v v x 进行部分平衡导致m = 2 、n = 1 这 样就有 f ：三搿fw x 篇+ 北w 札 ( 2 z ，) lt j 一9 7 。+ m 卜“ 将式( 2 2 7 ) 代入式( 2 2 5 ) 和( 2 2 6 ) q ，町以得到 ( ，”g ”+ ，删g + g 4 ) 叫：+ ( 4 f ”g ：训。+ f g ” 。2 叫。+ 6 9 川叫：叫船 f w t 叫。2 十，川 o 叫。3 ) + ( 2 f ”叫。叫，t 十f w 。叫。+ ，” o 。圳： + 3 f ”u o 硼。t 。+ g u o w ：+ g ”迂。+ 4 9 ”w 。t u m + ，7 9 7 w x w z 。 + ，7 9 。2 。) + ( f w ，。f + ，7 v o 。训，。+ f v o w 口+ 9 7 札。训。 - - 9 7 u o 。+ 9 ) = 0 ( 2 2 8 ) ( ，w + g g ”) 叫：+ ( 3 f ”w w+ j 2 w w+ g u w 。十g ” o t ) + ( 9 7 w 。f + g l i o w 。+ 9 7 v o 。+ ，7 f j 册= 0 ( 2 2 9 ) 在式( 2 2 8 ) 中令w ：前的系数为零、在式( 2 _ 2 9 ) 中令t u ：前的系数为零，可以得到下 列普通微分方程组 f9 ( 4 + ，9 7 十，”g ”= 0 ， 1 ，“+ g f l ”= 0 ， 它的解 f = g = 2 i n m( 2 3 0 ) 因此下式成立 f 篷9 f i | g ： = gf g 高2 fi 二2 2 9 | i 。 嬉弛 1 。= = ”= 一” “ 考虑到( 23 t ) ，方程( 2 2 8 ) 和( 2 2 9 ) 就化成像这样的一些项的和，这些项带有 八，”、，”7 ，令这些项前面的系数为零就有 ：( f + o z + w 。z ) = 0 ， 9 2 4 高阶非线性微分矗捌的线性变换 ( + w 。) + w + ) + “，t ( ? f j z + v o i o z z + u o w 。+ w ) = 0 ， t u ? ( “n + o “k + t u 。z ) = 0 ， 旦o x ( “h + t 帕w 。+ 。) = o 、u ，” 容易看出如果下面的方程组成立，那么上面的式r 就自动满足 w t + u o w t + t z = 0 ， 1 u t + 蛳叫z + u o w z + 叫= 0 ( 2 3 2 ) ( 2 3 3 ) 从式( 2 2 7 ) 和式( 2 3 0 ) ，我们得到了变化的b o u s s i n e s q 方程( 2 2 5 ) 和( 2 2 6 ) 的 b a c k l u n d 变换 ：三2 。船面o zl n w 慨+ u o ( 2 。a ， 其中满足( 2 3 2 ) 和( 23 3 ) 如果我们取( 2 2 5 ) 和( 22 6 ) 的初始解“o 一= 0 ，那么( 2 3 2 ) 一( 2 3 4 ) 分别化作 毗+ w 。= 0 ，( 2 3 5 ) b 7 3 三。2 黜礤i n w 仁s e ， 卜式说明( 2 3 6 ) 是变化的b o u s s i n e s q 方程的线性变换。特别地，如果取( 2 , 3 5 ) 的如 下形式的解 ? j = 1 + e x p ( c ( x d ) ) ， 那么从( 2 1 9 ) 可以得到力程( 2 2 5 ) 和( 22 6 ) 的孤波解 ，n = 譬s e c l - 2 ；( z c t ) ， l = r ( 1 t a n h ( ；( x d ) ) ) 2 4 高阶非线性微分方程的线性变换 人们找到了许多f 1 1 ) 一维非线性方程的的线性变换。佃是对于高维的非线性微分方 程，比如( 2 + d 一维的非线性微分方程，情况就不同了，寻找它们的线性变换要困难 得多。 一1 0 一 第二章齐次平衡法 利用齐次平衡法，我们找到了( 2 + 1 ) 一维的p o t e n t i a lk a d o m s t e v - p e t v i a s h v i l i 方程 的线性变换即b a c k l u n d 变换 给出( 2 + 1 ) 一维的p o t e n t i a lk a d o m s t e v p e t v i a s h v i l i 方程如下 u 。+ 互3 “。“。：+ i 1 一。+ 五3 “9 = = o ， ( 2 3 7 ) u z + 互札z 札z r + 五钍珊z + 五札9 = u ， 【2 37 ) 其叶lu = u ( z ，y ，t ) 将最高阶非线性项i u ，“。，和最高阶导数项 “。进行部分平衡 后，可以假设方程f 2 3 7 ) 有下列形式的解 u ( w ) = ，( ) t 如+ a ，( 23 8 ) 这里 = w ( x ，y ，) ，f ( w ) 足待确定的函数，a 是任意常数。将式( 2 3 8 ) 代a ( 2 3 7 ) ， 我们有 i ，( 3 ) t 嵋她+ i ，7 7 叫w 。+ ，( 3 ) t 吨：+ ；| 厂”，3 叫! + 嚣茏2 1 筠“蒯3 # 翟鼍五。咒3 娑tj 筘i r - 9 1 1 2 ”3 w xf yw x wf f ：。 十j jw 。+ ； 3 。+ i ，4 叫：训。+ ；一”。训：。 z 4 5 ，f ( 3 ) 2 十，t 。+ ；，”畦叫+ ；，( 3 1 州：叫 十( ；，呓+ 2 ，”) 叫。一+ ；，”叫。叫。；，刎蚶，二0 扣+ 扎 因此有下面的式子 l 严+ 2 f “= 0 、 j ，+ ，”+ ，( 3 ) = 0 ， 懈：舅怛t 。0 1 ， 将式( 2 4 2 ) 、( 24 0 ) 代入( 2 3 9 ) 并且整理f 、厂和f 静的系数 零，我们导出了纰关于w ( x ，y ，t ) 的偏微分方程 3 了叫z ，心+ z 刊+ i 1 叫z f t 船= 0 ， i ”z g + ”z “+ 百”z z ，一。o ， ；训，。叫。+ 2 叫。t u 州+ ；“勺州。，+ 训t 叫。 ；地。+ 5 w x i 虬。= o j 地z 。z 十i 4 ”z 训22 ” ；弼叫，+ 毗2 一；畈2 。+ 2 地。= o 一1 1 ( 2 3 9 ) ( 2 4 0 ) ( 2 4 1 ) ( 24 2 ) 然后令这些系数为 ( 2 4 3 ) ( 2 4 4 ) ( 2 4 5 ) 2 4 离阶1 女性微分方程的线性变换 如果取 w y27 u 这是线性偏微分方程，那么式( 2 4 3 ) 一( 24 5 ) 化为 容易看出，如果假设下式成、，那么卜述方程组闩动满足 这是另一个线性偏微分方程。 将式( 2 4 6 ) 和式( 2 5 0 ) 写存起 1w u = m 1w t + w 。= 0 0 ( 2 4 6 ) ( 2 4 7 ) ( 24 8 ) ( 2 4 9 ) ( 2 5 0 ) f 2 5 1 1 从式( 2 3 8 ) 和式( 2 4 1 ) ，可以得到( 2 + 1 ) 维的p o t e n t i a lk a d o m s t e v p e t v i a s h v i l i 方程 的线性变换 心彤) = 2 罴l i l 吣m ) + a ， ( 2 - 5 2 ) 这罩w 满足( 2 5 1 ) 特别地，如果式( 25 1 ) 的解取作 w ( x ，y ，) = 1 十e x p ( c z + c 2 yc 3 t ) 这里c 是任意常数，那么从( 2 5 2 ) 在a = 0 的情况下就能导出疗程( 2 3 7 ) 的扭结孤 子 “( z ，) = = c t a l l l l ；( c z + c 2 9 c 3 t ) 一1 2 一 一 【|“、 | | ； 删 虬 “ 阱磋堡俨江 第三章 f 一展开法 众所周知，包括j a c o b i 椭圆函数和w e i e r s t r a s s 椭圆函数住内的各种椭圆函数跟 非线性微分方程有着密切的联系1 3 6 ，3 7 】- 许多非线性演化方程有着椭圆函数解 2 6 ，2 7 ，3 6 ，a r 因此一些作者使用了j 趟- j a c o b i 椭圆函数来表达1 e 线性偏微分方程 的精确解【2 6 】_ 人们将这一方法推广，包括了更多的椭圆函数，得到了更多的解，将 这些方法总结提高就有了f 一展开法。 第( 3 1 ) 节，首先介绍j a c o b i 椭圆函数；第( 3 2 ) 节，介绍f 一展， ：法的基本步骤。 在( 3 3 ) 节，给出了f 一展开法的个推j “和它在非线性方程上的个应用。第( 3 4 ) 节，给出了f 一展开法的另一个推广和它在非线性微分方程上的一个应用。 3 1j a c o b i 椭圆函数 j a c o b i 椭圆函数定义为第类椭圆积分的反演。因此，如果写出 f ( 曲，m ) 其叶 m 【o ，1 ，州么我们可以定义f 列一些函数 s i l ( ，0 = s i n q ；，c n ( ，m ) = c o s 乖，d n ( f ，m ) u - _ - j _ - l j _ _ _ u _ _ _ _ 一 v 1 r n 2s i n 2 击 为记号简单起见，我们省略掉出现在函数s n ( ，m ) 、c n ( ，7 n ) 和d n ( ( m ) 的m ，将这 些函数表示成s n ( 、c n 和d n f 对m = 0 我们有 s n f = s i n f ，c n = c o s ，d n = 1 1 3 ( 3 1 ) 志 广 3 1j a c 0 日l 椭网两数 对b = 1 我们自 s n = t a n h ，c n f = d n f = e x p ( + 三e x p ( 一- ) ( 3 2 ) 其它的一些j a c o b i 椭圆函数定义如i - c d = 面o n ，哦= i 1 ，d c f = 芸 n c = 壶n a = 蕊1 、= 篓 s a e = 蒜，c = 鬟，馘= 篆 考虑下列普通微分方程 f “= p f 4 + q f 2 十月( 3 3 ) 这卫p q ，凡是一些参数、f = f ( ) 、”表示未给出( p ，q ，r ) 的不同值，从方程 ( 3 3 ) 可以得到不同的j a c o b i 椭圆函数解f ( ) ( 参看表1 ) p q f 7 h , 2 一f 1 + 产1 1 s n c d m 2 2 m 2 11 一，n = c n ( 1 2 一m 2 z 2l d n l一( 1 + m 2 )m 2 n s ，d c 4 lm y2 m 2 1 一川2 n c 7 r 一一12 一m 2一l n d ( 1 一t t l 22 一，r 产l s c l2 一r n 21 一r i i , ；g c s 4 12 m 2 一lm 2 f 】一d g , od s 一7 ( 1 一m 2 ) 2 m 2 1ls d 在表1 中，m 【0 ，1 】是j a c o b i 椭圆函数的模【3 6 3 7 】此外这些j a c o b i 椭圆函数有 1 4 第三耄f 腱扑“、 以下关系式。 s n a ( + o i l 2 f = 1 ， d n 2 + 7 ，产8 n 2 = 1 ， 1 1 8 2 = 1 + c s 2 ， i i s 2 = m 2 + d s 2 ， s c 2 f + 1 = n c 2 f ， m 2 s d 2 十l = n d 2 ， m 2 c n 2 = 1 + ( m 2 1 ) r i d 2 f ， m 2 c n 2 + ( 1 一m 2 ) = d n 2 ， d c 2 f 十l = m 2 + ( 1 一m 2 ) n 0 2 f ( 1 2 1 ) s d 2 + 1 = c d 2 ， ( 1 一m 2 ) s c 2 f 十1 = d c 2 f ， m 2 1 + d s 2 f = c s 2 f ( 34 ) ( 3 5 ) f 3 6 ) f 3 7 1 f 3 8 ) ( 3 9 ) ( 3 1 0 ) ( 3 1 1 ) ( 3 1 2 ) ( 3 1 3 ) ( 3 1 4 ) ( 3 1 5 ) 2 p 一3 + q ，： ( 6 p f 2 2 2 4 p 、辈2 垆0 q p f 3 + ( q 2 + 1 2 p n ) 只 ( 3 1 6 ) 2 卢5 +3 + ( 2 +只 。1 ”j 在使用f 一展开法解非线性偏微分方程时式( 31 6 ) 是非常有用的。 3 2 f 一展开法的基本步骤 假定关于u ( 。t ) 的非线性仰微分方程为 g ( “，“，“。、 o f ，z z m i z 。，。，) = 0( 3 1 7 ) 用于求解方程( 31 7 ) 的f 一展开法分以卜5 个步骤 步骤1 寻找方程( 3 1 6 ) 的如下形式的行波解 “( o ，t ) = n ( ) 、f = q o + a t 1 5 一 ( 3 1 8 ) 出 f r f 导r，【 易容 磅 式从 3 3 推广的f - 展开法 其中o ，a 是需要确定的常数。 将( 3 1 8 ) 代入方程( 31 7 ) 中，得到关于“( f ) 的普通偏微分方程 g ( u ，“，) = 0( 3 1 9 ) 步骤2 假设“( ) 具有以下形式 “( f ) = a o + a i f ( 舛 ( 3 2 0 ) = 1 这里o ，n 一，a 。是需要确定的常数、而f ( ) 满足( 3 3 ) 式( 3 2 0 ) 中的t t 可以通 过方程( 31 9 ) 的最高阶导数项和最高阶非线性项之间的齐次平衡确定。 步骤3 利用m a t h e n m t i c a ，将式( 3 2 0 ) 代入式31 9 ) 巾，并考虑到式( 3 3 ) 和式 ( 31 6 ) ，导出关于f ( f ) 1 ( 2 = 0 ，1 ，2 ，) 的一个多项式。令多项式每一项前面的系数 为零就得到关于n o 、a - 、和a 。的代数方程组。 步骤4 在m a t h e m a t i c a 的帮助下，解这个代数方程组，就可以将a 0 、a 1 、和 用( 尸，q ，冗) 和。表示将这些结果代入f 一展开式( 32 0 ) ，那么我们就得到了方程 ( 3 ，1 7 ) 的一般形式的行波解。 步骤5 将( p 1 q ，咒) 的值和从表l 中选出的相心的j a c o b i 椭网函数f ( f ) 的 具体彤式代入由步骤4 得m 的一般形式的行波解中，我们就导m 了由j a c o b i 椭 圆函数表示的非线性微分方程的精确解。当m l 刚，s n f 、c n 和a n t 分别趋于 t a n h 、s e c h ( 和s e c h ( 因此上面的解就退化成各种孤子解当m 一0 时，s n f 、c n 和d 1 1 分别趋于s i n f 、c o s 和1 因此方稃( 31 7 ) 的三角函数解也就得到了。 3 3 推广的f 一展开法i 按照上节所述，我们只能得到这种形式的解 钍= n 十b c n ( f ) + c c n ( f ) 2 + 而如卜- 形式的解 t 。= + b c n ( ) + c c n 嬉) d n ( ) 十一，( 32 1 ) 是j i 可能得到的。 为了得到像( 3 2 1 ) 式那样的解，必须对上一节的f 一展开法进行推广。 r 面就来介绍推广f 一展开法。 一1 6 第三章f - 展开