（应用数学专业论文）魔鬼阶梯的hausdorff测度与维数.pdf

硕士学位论文 m a s t e r st h e s i s 摘要 在分形几何中，h a u s d o r f r 测度与维数是基本概念，而h a u s d o r 行测度与维数的 计算是个困难的问题。本文研究了一种特殊的集合一魔鬼阶梯，给出了其 h a u s d o 卅测度与h a u s d o r f r 维数，并在此基础上将所得的结论进行了一定的推广。 关键词：魔鬼阶梯；h a u s d o r f r 测度：h a u s d o m 维数 硕士学位论文 m a s t e r st h e s i s a b s t r a c t i i l 仔a c t a lg e o m e 缸y h a u s d o r f rm e a s u r ea 1 1 dh a u s d o r f rd i m e i l s i o na r cb a s i c a l c o n c 印t s ，w h i c ha r ed i 衔c u l tt oc a l c u l a t e h 1t h j sp a p w es t u d yas p e c i a ls e t d e v i ls t 印s 锄do 彘ri t sh a u s d o r 行m e a s u r ea i l dh a u s d o r f rd i m e l l s i o n ，a 1 1 dt h e nw eg e n e r a l i z et h e r e s u l tt om o r eg e n e r a ls e t s k e y w o r d s ：d e v i ls t a i r ；h a u s d o r f f m e a s u r e ； h a u s d o r f rd i m e l l s i i l 硕士学位论文 m a s t e r st h e s i s 华中师范大学学位论文原创性声明和使用授权说明 原创性声明 本人郑重声明：所呈交的学位论文，是本人在导师指导下，独立进行研究工作 所取得的研究成果。除文中已经标明引用的内容外，本论文不包含任何其他个人或 集体已经发表或撰写过的研究成果。对本文的研究做出贡献的个人和集体，均已在 文中以明确方式标明。本声明的法律结果由本人承担。 作者始柳 日期：诫年歹月2 ，旧 学位论文版权使用授权书 本学位论文作者完全了解学校有关保留、使用学位论文的规定，即：学校有权 保留并向国家有关部门或机构送交论文的复印件和电子版，允许论文被查阅和借 阅。本人授权华中师范大学可以将本学位论文的全部或部分内容编入有关数据库进 行检索，可以采用影印、缩印或扫描等复制手段保存和汇编本学位论文。同时授权 中国科学技术信息研究所将本学位论文收录到中国学位论文全文数据库，并通 过网络向社会公众提供信息服务。 储张椰 日期：明啄年r 月。1 ，日 孙叛渺 日期：年厂月儿日 本人已经认真阅读“c a l i s 高校学位论文全文数据库发布章程”，同意将本人的 学位论文提交“c a l i s 高校学位论文全文数据库”中全文发布，并可按“章程 中的 规定享受相关权益。园童诠塞握童卮进卮；旦圭生；旦二生；咝生筮查! 作榔：加 日期：1 许，月1 1 ，日 撕虢嘭 日期部年厂月以切 硕士学位论文 m a s t e r st h e s i s 第一章引言 目前，分形几何学已应用于众多领域，许多传统的科学难题，由于分形的引入 而取得显著的进展，这是由于它不仅在理论上，而且在实际上都具有重要价值由 于经典几何学研究的常常是规则的几何图形，而自然界中出现的很多诸如海岸线、 起伏不平的山脉、变幻无常的浮云、纵横交错的血管等等“不规则”的几何图形体， 都难能以用经典几何中的直线、光滑曲线、光滑曲面来描述1 9 7 3 年，b b m a i l d e l b r o t 在法兰西学院讲课时，首次提出了分形和分形几何的设想，他想用“分形 这一词 来描述自然晃中传统欧几里德几何所不能描述的一大类复杂无规则的几何对象，他 所创立的分形几何提供了研究这类不规则几何对象的思想、方法和技巧由于不规 则现象在自然界是普遍存在的，因此分形几何建立以后，很快就引起了许多学科的 关注，同时也促进了很多学科及其在应用方面的发展分形具有广阔的应用前景 现已广泛应用于振动力学、流体力学、计算机学、分子生物学、生理学、生物形态 学、材料科学、地球科学、地理科学、经济学、语言学、社会学等学科从根本上 讲分形观念的引入不是一个描述手法上的改变，而是反映了自然界中某些规律性的 东西，因此分形几何还被用于海岸线的描绘及海图制作、地震预报、图形编码、信 号处理等领域，并在这些领域内取得了令人注目的成绩作为人类探索复杂事物的 新方法，分形对于一切涉及组织结构和形态发生的领域，均有实际应用意义，并在 地质堪探、石油勘探、地震预测、城市建设、癌症研究、股价预测、经济分析等方 面取得了不少突破性的进展。尤其要提到的是，分形几何给艺术创作增添了新的活 力，利用分形几何，计算机可绘制出扑朔迷离、变幻莫测的分形图形，分形图案不 仅直接用于绘画，还可用电影特技、动画制作等方面 分形几何的主要研究对象是分形集，简单地说分形几何就是研究无限复杂但具 有一定意义下自相似图形或结构的几何学数学家研究分形，是力图以数学方法、 模拟自然界存在的及科学研究中出现的那些看似无规律的各种现象经典的几何方 法和计算方法已不适合用来研究分形，分形几何的主要工具是它的许多形式的维数 由于在测量集合时，其测量结果与所采用的尺度有关，人们用整数维来刻画传统几 何中的对象，而分形集合由于自身的复杂性，很多对象都难以用整数维来很好的量 度1 9 1 0 年，德国数学家f h a u s d o r f r 开始了奇异集合性质与量的研究，提出分数维 概念1 9 2 8 年g b o u l i g a i l d 将m i n k o w sl 【i 容度应用于非整数维，由此将螺线作很好 的分类，1 9 3 2 年l s p o n t r t y a 酉n 等引入盒维数1 9 8 2 年b b m a l l d e l b r o t 在他的新著 硕士学位论文 m a s t e r st h e s i s 自然界的分形几何【l 】中将分形定义为局部以某种方式与整体相似的集，重新讨 论盒维数，它比h a u s d o m 维数容易计算，但是稠密可列集盒维数与集所在空间维 数相等为弥补这一缺陷，c c o t 引入填充维数。同时，各种分形维数计算方法和 实验方法的建立、改进和完善，使之理论简便，可操作性强，成为喁喁分形的科学 家们普遍关注的问题维数给出了一个集充满空间程度的描述，它是在用很小比例 下观测一个集时，这个集的不规则性的极好量度，一个维数包含相应集合的几何性 质的许多信息在被使用的众多“分形维数 中，以c 眦曲e o d o r y 构造为基础的 h a u s d o m 定义是最古老的也可能是最重要的一种h a u s d o m 维数具有对任何集都有 定义的优点，由于它是建立在相对比较容易处理的测度概念的基础上，因此在数学 上也是较方便的，但在很多情形下用计算的方法很难计算或估计它的值然而，熟 悉h a u s d o r f f 测度和维数对理解分形的数学机理是非常必要的 在本文中，首先介绍了h a u s d o r ：盯测度与维数的基本概念与基本性质，接着， 研究了一种特殊的集合魔鬼阶梯，由于魔鬼阶梯曲线在非线性动力学和混沌理 论中常常用到( 文【2 1 指出h a r a 等人在对长枪乌贼的巨大轴突进行数值仿真中发 现，在均匀空间的巨轴突上，神经膜的响应特性是由混沌特性的一个不完整的魔鬼 阶梯构成的文【3 】通过构建一个映射函数，发现在波周期和外部光强的关系中存在 魔鬼阶梯文【4 1 指出b v p 系统作为一个生物在物理领域中有重要意义的动力系 统，有着丰富的非线性现象，如周期分岔，h o p f 分岔，魔鬼阶梯和混沌等文吲结 合理论力学中的一个运动学例子，介绍了混沌动力学中与圆周映射相关的若干概 念，如环面，稠密性，魔鬼阶梯) 这些都说明研究魔鬼阶梯的特性是必要的本 文通过一定的计算给出了魔鬼阶梯的h a u s d o m 测度与h a u s d o m 维数最后，受到 文睁8 】的启示，在此基础上作了不同形式的推广，得出了相应的一些结果 2 硕士学位论文 m a s t e r st h e s i s 第二章h a u s d o r f f 测度与维数 2 1h a u s d o r f f 测度与维数的定义【9 - l l 】 如果u 为n 维欧几里得空间尺”中任何非空子集，u 的直径定义为 u l = s u p 卜一y 卜r ，y u ) ，即u 内任何两点距离的最大值如果 为可数( 或有限) 个直径不超过万的集构成的覆盖f 的集类，即fc u ，且对每一i 都有o o ，定义 联( f ) = i i l f l u i ： 为f 的一个万- 覆盖) 于是旷) 是万的减函数，当万一。时，( ，) 有极限。记 日5 ( ，) 2 烛联( f ) 我们称日5 ( f ) 为f 的s 维h a u s d o r l j f 测度。 s 存在临界值，当墨 s 时，日5 ( f ) = o ，这一临界值s 就称为f 的h a u s d o r f r 维数，即d i l i l f = i n ：日s ) = o = s u p p ：h s ( f ) = o o 若s = d i m 日f ，o 0 ，口 o ，使得 吐( 厂( x ) ，厂( y ) ) c ( 吐( 石，y ) ) 口，x ，y ， 则称厂满足口阶赫尔德( d 胁肋) 条件，口= 1 ，则厂称为李卜希兹映射如果存在 c 1 o ，c 2 o ，使得 c j ( 吐( z ，y ) ) 畋( 厂( x ) ，( y ) ) c 1 ( 吐( 石，y ) ) ，x ，少f 则厂称为双李卜希兹映射 容易看到，若厂满足口阶赫尔德条件，则厂为连续映射。特别，若厂为双李卜 希兹映射，则厂为单射，从而厂1 存在 4 设，c 五，厂：f 寸置满足口阶赫尔德条件，则对任意s o 有 日口( 厂( f ) ) c 口日5 ( ，) 特别地，如果厂为李卜希兹映射则有 日( 厂( f ) ) c 5 日5 ( ，) ； 如果厂为双李卜希兹映射则有 日5 ( 厂( ，) ) = c j h 5 ( f ) 4 硕士学位论文 m a s t e r st he s i s 5 设，c 五，厂：，专五是保距映射， 即l 厂g ) 一厂】= 卜一y i 则有 日5 ( ( f ) ) = 日5 ( ，) 特别地，豪斯道夫测度是平移不变，而且是旋转不变的 2 3h a u s d o r f f 维数的性质 h a u s d o r f r 维数满足下面的性质： 1 开集若，cr ”为开集，则d i m ，= 刀 2 光滑集若，为r ”中光滑( 即连续可微) 聊维流形( 即聊维曲面) ，则 d i m 日，= 聊。特别地，光滑曲线维数为1 ，光滑曲面维数为2 3 单调性若ec f ，d i m 日e d i m f 4 可数稳定性若互，e ，为一( 可数) 集序列，则 d i m 【_ 巧j - 恶陋日e 扛l 1 _ o 5 可数集若，是可数的，则d i m 何f = 0 6 设，c x ，若日( ，) 0 ，则d i m 日，s 。特别 地，若0 日5 伊) ，则d i i n f = s 7 设fc 五，厂：墨_ 置为口阶赫尔德映射，则 d i m 月厂( ，) 土d i m f 口 特别地：若fc 五，厂：五专置为李卜希兹映射，则d i m 日厂( ，) d i m h ， 若厂为双李卜希兹映射，则d i m 厂( ，) = d i m f 硕士学位论文 m a s t e r st he s i s 3 1 魔鬼阶梯的构造 如图( 1 ) ： 1 3 | a 岛 1 2 l 4 a 第三章魔鬼阶梯 a o 三三! 三三墨1 993 39 9 b b 1 乓j a12 o一一l 33 b 设扇是单位正方形【o ，1 】 o ，1 】的对角线a b ，其中a ( o ，o ) ，b ( 1 ，1 ) ，将它变成 三段，即a c ，c 。，d b ，其中c 专，三) ，。( 詈，争，得巨。把同样的过程按同样的比例 ( 各段在水平方向上的投影为1 ：1 ：1 ) 应用到的巨每个斜线段而构造出色， 它包含3 个长度相等的水平直线段和4 个长度相等的斜线段。依次类推，于是疋 是把e 一。的每个斜线段中间的三分之一用水平直线段取代，两端点再与原斜线段 6 硕士学位论文 m a s t e r st h e s i s 端点相连而得到的。当玎专时，折线序列趋于极限曲线e 为一阶梯形状，故称 e 为魔鬼阶梯。其等价描述如下： 设变换 石睁 蚓 _ ! o1 ，、 2 涧+ 沁) + 2 则 磊= ( x ，x ) ：x o ，1 】 巨= 石( 磊) u 五( 岛) u 正( 民) 垦= z ( 巨) u 五( 最) u 石( 巨) 疋= 石( e 一。) u 石( e 一。) u 五( e 一。) e = l i m e 石 一 3 y _ 一 。2 l 、 3 1 - 2 2 3 1 2 3 2 魔鬼阶梯的h a u s d o r f f 测度与维数 定理1 s _ d i m e = 1 ，h 5 ( e ) _ 2 x1 一j - 一 33 1 2 x2 一上一 33 v1 二一j - 2 2 证明：h a u s d o m 测度的定义知，日1 但) 即为曲线e 的长度。而由e 的构造知， 每变换一次，水平直线段被保留，而斜线段被一条新的水平直线段和两条长度相等 的斜线段取代， 变换的次数水平直线段个数及长度斜线段个数及长度 l ，1 3 7 1 3 o ，。一 = l、j， x y ，一 以 硕士学位论文 m a s t e r st h e s i s 2 ， 1 二，石 j 4 ，三 3 j 4 跨面 8 ，阿 故在第n 次变换中就产生了2 ”1 个新的长度为；的水平直线段，和2 ”个长度为 厮的斜线段， 故第刀次变换所后得折线e 总长为 1 e n g t h c e ，= 喜2 卜1 ；+ 2 “阿= 三喜( 詈) ”+ = em击 而从 2之e日 即亦 = + 三ni一3 1 2 为长总的线曲 得限极取 硕士学位论文 m a s t e r st h e s i s 第四章推广的魔鬼阶梯的h a n s d o r f f 测度与维数 4 1 推广1 若巨中的水平直线段和两条斜线段，在水平方向上的投影的长度均是任意长， 不妨设为口，6 ，c ，均大于o ，且口+ 6 + c = 1 ，两条斜线段在竖直方向上的投影的长 度仍是圭，如图( 2 ) ，则 l 2 当o 口，c 圭时，s _ d i m e = 1 ，日( e ) _ 2 oaa + ba + b + 萨l 一一一一一一一一 a a aa a ca c aa c cc a a c a cc c ac c c 注：此图为各斜线段在水平方向上的投 影的长度 这是因为：不妨取c ( 口，三) ，。+ 6 ，三) ，其中。 口，c 圭，口+ 6 + c = 1 ，即 a c ，c d ，d b 在水平方向上的投影比例为a ：b ：c ，得巨，再将历的两条斜线段分成三份 ( 在水平方向上按同样的投影比例a ：b ：c ) ，水平直线段被保留，而斜线段被一条新 的水平直线段和两条斜线段取代变换第一次时，产生1 条新的水平直线段，长为b ， 9 硕士学位论文 m a s t e r st he s i s 两条斜线段，长度分别为，( 口) 2 + ( 争2 ，( c ) 2 + ( 手) 2 ；变换第二次时，产生2 条 新的水平直线段，长度分别为a b ，b c ，总长为a b + b c - b ( a + c ) ，产生4 条斜线段，长 度分别为阿，盯，盯，防；变换 第三次时，产生4 条新的水平直线段，长分别为a a b ， a b c ，c a b ， c c b ，总长为 a a b + a b c + c a b + c c b = 6 似+ c ) 2 ，产生8 条斜线段， 长度分别为防， 跨面跨面跨面。跨面 防，眄，盼卿 1 ，b 2 ，a b ，c b 4 ，缸b ，a b c ，c a b ，c c b l o 2 踊陌 气蹄西。跨丽 跨丽j 跨i 毽。踊f 西。 f 苓f 西 f 西f 苓 f 苓。两 依次类推，变换第n 次时，产生2 条新的水平直线段，长度分别为妇”1 ， 6 伽一1 盹c ，6 。口c 一， 6 c ”1 ，第n 次所产生的新的水平直线段总长为 厶。= 施川+ 6 ( ，l 1 ) 口心c + 6 ，口c 川一+ 6 一1 = 6 ( 口+ c ) 川，另外还产生了2 ”条斜线 段，斜线段在水平方向上的投影长度分别为口”，口”1 c ( n 个) ，口c ”( c 个) c “， 即为似+ c ) n 展开式里的各项， 从而斜线段长度分别为为眄， ，。丽c 。t 个，：，、：； 研( c 个，盯， 故斜线段总长为 厶。= 止砉) 2 + ( 口7 + 刀；古) 2 + ( 以铲1 + + 磷( 专) 2 + ( _ ) 2 + 一 眄( 总共2 “项) ，取x = m a x 口，c ) ，由于 l ：z 再= 再+ n 跨+ + c ：再+ 再 小厣丽+ 厣丽 ( 共2 ”个) 当o 2 x 1 时， 嫩1 + ( 2 ”x ”) 2 = 1 ，故由两边夹法则知熙厶。= 1 h 一7 而所有水平直线段总长为： 熙o + c ) + 6 ( 口卅2 + ”坝口卅”1 + 5 善6 ( 口+ c ) 2 而焉。1 一一l 厶 故所得阶梯曲线e 总长为1 + 1 = 2 硕士学位论文 m a s t e r st h e s l s 即日1 ( e ) _ 2 ，从而d i i i l e = 1 4 2 推广2 若把磊即单位正方形【o ，1 】 o ，1 的对角线a b 平均分成2 尼+ 1 份，把第2 ，4 ，6 2 k 段用水平直线段来代替( 纵坐标分别为击，击，去) ， 把第1 ，3 ， 5 ，2 露+ 1 段用斜线段来代替，各段端点依次相连，得一折线即巨按同样的比例， 把同样的过程应用到的巨每个斜线段而构造出易，依次类推，于是e 是把e 一。的 每个斜线段平均分成2 七+ 1 份，把中间的第2 ，4 ，6 2 k 段用水平直线段来代替，把 第1 ，3 ，5 ，2 后+ 1 段用斜线段来代替，水平直线段两端点再与相邻斜线段端点相 连而得到的。当，l 专时，折线序列趋于极限曲线e 仍为一阶梯形状则 s = d i m e = 1 ，日5 陋) = 2 如图( 3 ) ： 这是因为：由e 的构造知，每变换一次，七个水平直线段被保留，而后+ 1 个斜 线段的每一段被七条新的水平直线段和七+ 1 条斜线段取代， 变换的次数水平直线段个数及长度斜线段个数及长度 1 2 硕士学位论文 m a s t e r st h e s i s 2 七，j 【一 2 尼+ 1 ，孟斋 撇“) 2 t 赤 m ，愿万雨 故在第n 次变换中就产生了七( 后+ 1 ) ”1 个新的长度为西可的水平直线段， 和c 尼+ - ，”个长度为止云i ；两的斜线段，故第甩次变换所后得折线e 总长为 蛔g 州e 户如删h 南m 川“届两 取极限得曲线e 的总长为南莲+ 1 。2 2 七+ 1 即日1 ( e ) _ 2 ，从而d 曲日e = 1 4 3 推广3 若巨中的水平直线段和两条斜线段，在水平方向上的投影的长度均是任意长， 不妨设为口，6 ，c ，均大于o ，且口+ 6 + c = 1 ，两条斜线段在竖直方向上的投影的长 度分别是d p ，且d + p = 1 ，则 ， 2 ， 、，、， 1，i + + 七 七 ；一i， 嘉m似呸七 。汹 上m d + e = l d 硕士学位论文 m a s t e r s 丁h e s l s 当o x 1 时， 日1 ( e ) = 2 ， d i m 日e = 1 当x = 1 时，2 日1 ( e ) 1 + 互， d i m 日e = 1 其中工：n a x 拦，三 口p 如图( 2 ) ： 巨 ac oaa + ba + b + c = l 一一一一一一一一 a 勰a a ca c a a c cc a a c a cc c a c c c ( 2 ) 注：此图为各斜线段在水平方向上的投 影的长度 这是因为：不妨取c ( 口，d ) ，d ( 口+ 6 ，d ) ，即a c ，c d ，d b 在水平方向上的投影比例为a ：b ：c ， 两条斜线段在竖直方向上的投影比例为d ：p ，得巨。再将巨的两条斜线段分成三份( 在水平 方向上按同样的投影比例a ：b ：c ) ，水平直线段被保留，而斜线段被一条新的水平直线段和两条 斜线段取代变换第一次时，产生l 条新的水平直线段，长为b ，两条斜线段，长度分别为， 0 ) 2 + ( d ) 2 ，( c ) 2 + ( p ) 2 ；变换第二次时，产生2 条新的水平直线段，长度分别为a b ，b c ，总 长为a b + b c = b ( 小) ，产生4 条斜线段，长度分别为 0 2 ) 2 + ( d 2 ) 2 ，( 如) 2 + ( 口c ) 2 ， ( 耐) 2 + ( c 口) 2 ，( p 2 ) 2 + ( c 2 ) 2 ；变换第三次时，产生4 条新的水平直线段，长分别为柏b ， a b c ，c a b ， c c b ，总长为a a _ b + a b c + c a h c b = 6 ( 口+ c ) 2 ，产生8 条斜线段，长度分别为 、i i ；i ! j ：丽、j i ；i i i i j i ：j j ? 诵。、j i ；l i i j i j j i j j 丽、u i j ? l ；! j j j i j j j 丽， 1 4 硕士擘位论文 m a s t e r st h e s i s 如开丽，厄丽丽，妊丽丽，厄丽，即 变换的次数 l 2 水平直线段个数及长度斜线段个数及长度 1 ，b 2 ，a b c b气。品丽。丽丽 4 ，a a b ，a b c ，c a b ，c c b8 ，舨矛f 研，板矛万1 ：虿， 如两丽如爵i 两 如爵i 雨瓣面i 蕊 依次类推，变换第n 次时，产生2 ”1 条新的水平直线段，长度分别为施p 1 ， 6 0 1 ) 口护2 c ，6 c 乞口c ”1 。，6 c ”1 ，第n 次所产生的新的水平直线段总长为 厶。= 施”1 + 6 ( 以一1 ) 口”2 c + 6 c ：l 口c ”卜+ 6 c ”1 = 6 0 + c ) ”1 ，另外还产生了2 “条斜线 段，斜线段在水平方向上的投影长度分别为口”，口卜1 c ( n 个) ，口c ”( c 个) c ”， 即为 + c ) “展开式里的各项，在竖直方向投影长度分别为d 4 ，d ”1 p ( n 个) ， d 矿_ i ( c 个) 矿，即为( d + p ) “展开式里的各项，从而斜线段长度分别为 舨孑予研，版矛乏矿i 而( n 个) ，舨孑歹了f i 研( c 个) ， ；孑了研，故所有水平直线段总长为： 溉驴6 ( 口托) 州甜c ) 2 + + 地+ c ) 卜1 + 2 善6 ( m ) 2 瓦焉2 1 一一i 厶 而第n 次变换后斜线段总长为 厶。= 瓜丽+ 刀瓶丐丽+ + c 瓶万再研+ 取x ：1 1 1 觚 号，旦) ，由于 1 = ( d + p ) ”= d ”+ 玎d ”- 1 + + c ：d p ”一+ 口” 甜府+ m 柑厢+ 叱”陌 ( d ”+ 珂d 4 1 + + c d p ”一+ p 4 ) 1 + ( x ”) 2 = l + ( 工”) 2 当o x 1 时，l i m 1 + ( ，) 2 = 1 ，故由两边夹法则知1 i m 乞= 1 。 月+ 月 故所得阶梯曲线f 总长为1 + 1 = 2 即日1 ( e ) _ 2 ，从而d i m 日e = 1 当x ：1 时，l i m j 丽：2 ，则1 l i m 厶。 乏，故所得阶梯曲线总长l 满足：2 三 1 + 乏即2 l ，则必有导 e + d = 1 = 口+ 6 + cj d 口+ 6 口) 此时1 i m ( 旦) 一：o ，1 i m ( 与”= o 。，斜线段总长有待进一步研究 4 4 推广4 若把磊即单位正方形【o ，1 】【o ，l 】的对角线a b 任意分成2 七十1 份，把第2 ，4 ，6 2 k 段用水平直线段来代替，把第l ，3 ，5 ，2 豇+ 1 段用斜线段来代替，各段端点 依次相连，得一折线即置，各段在水平方向上的投影的长度不妨依次设为 q ，口2 口：m ，均大于0 ，且口l + 口：+ + 口：m = 1 ，各斜线段在竖直方向上的投影的 长度分别是6 l ，6 2 也+ l ，均大于o ，且6 l + 2 j 2 + + 瓯+ 。= l 。按同样的比例，把同样 的过程应用到的置每个斜线段而构造出易，依次类推，于是e 是把e 一。的每个斜 1 6 硕士学位论文 m a s t e r st h e s l s 线段平均分成2 七+ l 份，把中间的第2 ，4 ，6 2 k 段用水平直线段来代替，把第l ，3 ， 5 ，2 尼+ l 段用斜线段来代替，水平直线段两端点再与相邻斜线段端点相连而得 到的。当刀一o o 时，折线序列趋于极限曲线e 仍为一阶梯形状。则 当0 y 1 时， 日1 ( e ) _ 2 ， d i m e = 1 当y = 1 时，2 h 1 ( e ) 1 + 2 ，d i m he = 1 其中y a x c 等等，- ，等， 如图( 3 ) ： 6 七+ 。 6 2 6 l q口2口2 “l ( 3 ) 这是因为：由e 的构造知，每变换一次，七个水平直线段被保留，而尼+ 1 个斜 线段的每一段被七条新的水平直线段和后+ 1 条斜线段取代，故水平直线段在各次变 换中新产生的条数及长度分别为： 第一次：七条，总长为 口2 + 口4 + + 口2 t 第二次：七( 尼+ 1 ) 条，总长为 1 7 硕士学位论文 m a s t e r st h e s i s 口l ( 口2 + 口4 + 。口2 t ) + 口3 ( 口2 + a 4 + 口2 t ) + + 口2 t “( 口2 + 口4 + 口2 i ) = ( q + 口3 + + 口2 i “) ( 口2 + 口4 + 口2 t ) 七 = 口2 “l ( 口2 + 口4 + 口2 t ) 第三次：后( 七+ 1 ) 2 条，总长为 口1 2 ( 口2 + 口4 + 口2 i ) + 口l 口3 ( 口2 + 以+ 口2 t ) + + q 口2 t + 1 ( 口2 + + 。口2 t ) + + 口2 f + 1 q ( 口2 + 口4 + 口2 1 ) + + 口2 f + l 口3 ( 口2 + 口4 + 刀2 t ) + + n 2 “l 口2 i + l ( 口2 + 口4 + 口2 i ) + + 口2 t + l 口l ( 乜2 + 口4 + 口2 t ) + + 口2 t + l 口2 i + l ( 口2 + 口4 + 锡i ) = 芝二口2 “l ( 口2 + 口4 + 口2 i ) ( q + 口3 + + 口2 i + 1 ) = ( 口2 + 口4 + 口2 t ) ( 口l + 口3 + + 口2 i + 1 ) 2 依次类推 第n 次：七( 七+ 1 ) ”1 条，总长为 厶。= ( 口2 + 吼+ 刀2 ) ( q + 口3 + + 口2 “1 ) ”1 故所有水平直线总长为 厶= ( 口2 + 口4 + 以2 t ) ( q + 口3 + + 口2 纠) ”1 娟：+ 吼+ ”) 巧鬲南 = ( ”口4 + 棚：j 百南 = l 而斜线段在各次变换中被取代，新产生的条数及长度分别为： 从而 硕士学位论文 m a s t e r st h e s l s 第一次：后+ 1 条，总长为 第二次：( 后+ 1 ) 2 条，总长为 + + + + + + + f = 0 = o 第三次：( 露+ 1 ) 3 条，总长为 + + + + + + + + 矗= o 岛睾。毛= o + + + 依次类推 第n 次：( 七十1 ) “条，总长为 + + 毛= o t = o ，= o 。 七七七 1 = ( 6 l + 吃+ + 以) 4 = ( + ，+ ”气+ 。) 而= o 屯= o= o 圭壹圭( + 。气小一也+ 。) 圻研 = o 如= o= o a x c 等，等，静 易知 当o y 1 时，由两边夹法则知l i m 乞= 1 。故所得阶梯曲线f 总长为 1 + 1 = 2 即日1 ( e ) _ 2 ，从而d i m e = 1 当y ：1 时，则1 l i m 厶。 互，故所得阶梯曲线f 总长l 满足：2 三 1 + 乏 即2 日1 ( e ) 1 时，类似于推广4 3 的情况，斜线段总长有待进一步研究 2 0 、， “ 玩 + +魄 。仰。印。忡 = 斗乞 v l