（基础数学专业论文）一类广义rlw方程的行波解分支研究.pdf

摘要 一类广义r l w 方程的行波解分支研究 筛娶 随蔫菲线性科学的发展，诲多现实中静物瑗。仡拳耱生命科学模 型都可以转化为非线性方程( 譬如菲线性常微分方程、偏微分方稷和 差分方程等) 因此，求解非线憔方程的有限行波解成为非线性科学 家瓣一个重要研究谍遂。鬻蔻，求惩器线性方程静方法主要有反散射 法、d a r b o u x 变换法、h i r o t a 双线性法、t a n h 法等。但是这些方法未能 从参数空间上考虑方程解的全局相国 歪剿长波方程( 躲客i ：瞩亨瑷 手1 9 6 6 年囊p e r e g r i n e 提出。癌予该方 程能模拟著名的k d v 方程的所有应用。因此研究该方程具有广泛的理 论意义和实践意义 本颞论文剩熙动力系统分支思想研究了个广义的正则长波 方程( p l w 方程) ，证明了该方程在不同的参数条件下存在光滑和非光 潜耱行渡解灏立滚，援子和反魏子渡淤及举霹数多周籀波髂) ，著鬟获 得了这魑解的存在性与参数的依赖关系( 即分支) 。同时，给出了计算 光滑行波解的公式除此以外，对各类行波解进行了数值模拟，从理论 努褥和数篷摸镶两方覆对一类广义熬歪慰长波方程熬全郝解熬情凝 作了探讨，给出各类形式的解此外，对照此论文中的有关定性结果， 指出了篇参考文献中的两个疏漏之处 关键词：r l w 方程，分支理论，孤立波，周期波，j 毂波，反扭波，尖波 a 嚣s 豫a c 罩 b i f u r c a t i o no ft r a v e l i n gw a v es o l u t i o n si na g e n e r a l i z e dr l we q u a t i o n i nt h ev i e wo f n o n l i n e a rs c i e n c e ，al o to f p r a c t i c a lp h y s i c s , c h e m i s t r y , a n dl i f es c i e n c e sm o d e l sc a nb ec h a n g e di n t on o n l i n e a re q u a t i o m ( s u c ha s n o n l i n e a ro d e , p d ea n dd i f f e r e n c ee q u a t i o n ) 。i tb e c o m e s 雒i m p o r t a n t t o p i cf o rn o n l i n e a rs c i e n t i s t st os t u d yt h ef i n i t et r a v e l l i n gw a v es o l u t i o n s o f an o n l i n e a re q u a t i o n t of i n de x a c tt r a v e l l i n gw a v es o l u t i o n sf o rag i v e n n o n l i n e a rs y s t e m , al o to f m e t h o d sh a v eb e e nd e v e l o p e ds u c ha st h ei n v e r s e s c a t t e r i n gm e t h o d , d a r b o u xt r a n s f o r m a t i o nm e t h o d , h i r o t ab i l i n e a rm e t h o d , t a n h m e t h o d a n d s o o n 。b u t t h e s e m e t h o d s o a l l ) t d e t e r m i n e t h e b i f u r c a t i o m o f t h es o l u t i o n s i n1 9 6 6 ，p e r e g r i n ep o s e dt h er e g u l a r i z e dl o n gw a v ee q u a t i o n ( r l w e q u a t i o ni ns h o r t ) 。t 撼se q u a t i o ni sa na l t e r n a t i v em o d e tt ot h em o l ef a m i l - j a rk o r t e w e g - d e c r i e s ( k d v ) e q u a t i o n s t u d y i n gt h i se q u a t i o ni si m p o p r a n tn o to n l yi nt h e o r yb u ta l s oi np r a c t i c e b yu s i n gt h em e t h o do f p l a n a rd y n a m i c a ls y s t e m st oan o n l i n e a rv a r i - a n to ft h er e g u l a r i z e dl o n g - w a v ee q u a t i o n 删e q u a t i o ni ns h o r t ) ，t h e e x i s t e n c eo fs m o o t ha n dn o n - s m o o t hs o l i t a r yw a v e ( s oc a l l e dp e o k o na n d v a l l e y o n ) a n di n f i n i t em a n yp e r i o d i cw a v es o l u t i o n si ss h o w n u n d e rd i f - f e r e n tr e g i o mo fp a r a m e t r i cs p a c e s ，v a r i o u ss u f f i c i e n tc o n d i t i o n st o 渺 a n t e et h ee x i s t e n c eo f a b o v es o l u t i o n sa r eg i v e 盘鼹l ef o r m u l a st oc o m p u t e t h et r a v e l l i n gw a v e sa r ea l s oe d u c e d i nt h em e a n t i m e 。a no ft h ep o s s i b l e s o l u t i o n sa r eo b s e r v e df r o mt h eq u a l i t a t i v ea n a l y s i sa n dn u m e r i c a ls i m u - l a t i o n s o m er e s u l t si no n eo ft h er e f e r e n c e sa r ei n c o r r e c tb a s e do nt h e q u a l i t a t i v ea n a l y s i so f t h i sd i s s e r t a t i o n 一一 k e yw o r d s ： r l w e q u a t i o n , b i f u r c a t i o nt h e o r y , s o l i t a r yw a v e , 斑n ka n d a n t i - k i n kw a v e , p e r i o d i cw a v e , c u s pw a v e l 珏一 学位论文独创性声明 本人声明所呈交的学位论文是我个人在导师指导下进行的研究工作及取得 的研究成果。论文中除了特别加以标注和致谢的地方外，不包含其他人或其他机 构已经发表或撰写过的研究成果。其他同志对本研究的启发和所做的贡献均已在 论文中作了明确的声明并表示了谢意。 研究生签名：漶一t 通 学位论文使用授权声明 日期：护6 车l 。刖翊 本人完全了解浙江师范大学有关保留、使用学位论文的规定，即：学校有权 保留送交论文的复印件和电子文档，允许论文被查阅和借阅，可以采用影印、缩 印或扫描等手段保存、汇编学位论文。同意浙江师范大学可以用不同方式在不同 媒体上发表、传播论文的全部或部分内容。保密的学位论文在解密后遵守此协议。 研究生签名 棰一 导师签名：日期：猾& 年1 。舟1 j 通 薄考眨 一、缝艳 一、绪论 ( - 、行波瓣理论戆纂本阚题及r 州寅糕 波动现象怒一个广泛麴科学壤究课题，玄越一转踅要的甥理现象，l 弼糖对予 绽耱帮应矮数学豢露言，遮又楚一顼具蠢撬浚能戆磷究。浚静数学灌毒幺礤究形琢 偬骰鐾渡懿邀动蕊簿，瓠肇确豹方式描述不嬲璐式豹浚翡蕊韵性爱以及缓j 墩阉戆 凝巯由于许多物理，化学以及生物现象呈现出震动现象以殿以有限速臌传播的 蠛霭誓瑟形魏 l 积夸皤鎏一妨m 毋 熬簿滚熬委好鬟袭瑷这嚣令魏霭邑囡褥辑究 菠壤众多耪囊、仡学和生猕串羧学模燮静j 线往偏徽势方撵鲍露渡勰静秽在镁 成了；# 线性科学巾的一个搬黧隳的问趱从物理学角度毳杼波解往往撒逑的燕 健撩过程，瑟骞袋渡波羲鳞、魏立渡、髑期波等) 更粪有现实黪物壤意义 燕立渡 挈为一蛰黪臻类黧懿镕致蓄瓷囊荚嚣秘学家罗素0 ，s r u s 1 ) 予1 8 3 4 攀 税英黧爱丁荣列裕拉新番鑫拳撼弼中蕊察巅巍逶嚣率，稔偶然发瑗一个操持箕 原有形状和不变遴度，而光滑、轮廓分明、孤立的水波时，他感到十分像舒，称 老楚“移动熬蕊渡”f l 2 l 。孤立波的存在是一糖自熬溪象。势基胃疆久淹趣产垒， 1 9 6 5 每，篌爹瑟豹n 名西哟鞠醚。靶髑瑟避遗诗雾撬实验发凌。蘸令孤滚辙攘嚣 能保耨波形和瀵度不变地进行传播，这一性质使人们想起质点粒予与波粒麓象饿 譬鞠鬓瑗象，逯将这种渡定爻篾冁粒子透露掰谣静援渡，怒撵 线挂演偬方程鹣 赫域簿渡解。所攒“局域”，撵l # 线性演纯方壤躲船褒空阗赡走穷运矬楚警o 或者 蘩个稳定常数瓣情形。嚣甑鼹诞鼹一罄菲绞槛演徒方程存在孤波解+ 藤了著塞 媳姻帆7 方程辨，比较重要的还衡非线性薛定簿方程( n l s 方程) 、正弦一戈登 方程( s i n e - c - o r d o n 方程) 等燕于孤渡的研究吸引了大爨的数学家和物壤学家 懿注蠢。影袋了 # 线经莽攀蘸个重要分支。 迄今鸯如许多专蕊和文献【讲究了非线往方藕中的摊波解、箍渡 解或爱缀波解( a n t i - k i n k ) 、羯鬻波解簿，嚣量发纛了诲多方法矮予求解 商辍褥波，如庋散色法，d a r b o u x 变换法，琢渊线牲法，代数几何法和t a n h 法等 燕蹩途垄方法燹法瓣下甏酝窍瓣题幸簪窭露蔫：各粪簿渡熊秽在懿辩参数瓣傣羧 穗，器类符波躲的动力学攫状、光滑躺到非光滑鼹转变鹃数学解释以藏慰所谓 的c o m p a c t o n 解和p e a k o n ( 鲅v 蝴o n ) 解的动力学解释等利用平衡动力黎统的分 支理论霹虢滏嚣撮簿熬磷究， 一，缮论 r l w ( r 掣h r i z c dl o n g - w a v e ) 方程( 瑟燕粼戆长渡方程：魄+ + 渊锄一 阮删= 0 ) i 由p e r e g r i n e 10 】于1 9 6 6 年第一次提出，该系统的波的运动与k d v 方 程：盹+ + 僦一 妇一o 有褶两弱逼近弊 并鱼能穰好姥模叛k d v 方 程的所有应用l 。因此研究该系统具有广泛的理论意义和实践意义，e l - d 锄a 礴人f 2 1 利掰a d o m i a n 分离法( a d m 方法) 求得r 1 w 方程的数值解。美国数学 家w a z v c s z a m 。磺究了一令广义的r l w 方纛【1 3 l ：锄+ g 魄一女泸) 聋一( 铲) 积一毽 n = l ，2 ，3( 1 ) 他用两种方法，1 l 】s i n e - c o s i n e 方法和t a n h 方法得到了该系统带有 特辣形式翡紧帮雒紧解毽蓬纯韵蠡孽工作嚣疆是醚裁了勰的形式。并童辩解鹣全 局参数平面上的情形未加以讨论，因此是不宪全的 ( = ) 、利用动力系统分支理论研究广义r l w 方程行波解的基本思想 对于广义r l w 方程 魄+ 鳓b k ( u - ) 。一6 ( t ，) 删= 0( 1 1 ) 这里拜 l ，犯n ，为7 求该方程的杼波解，令娃= 媳) 一多墨一度；，势星对方程 积分一次可得 一c + o 一( 妒) 一礼( 竹一1 ) b 。妒一2 ( ) 2 一n 6 。妒一1 ，= g( 1 2 ) 其中g 为积分常数对于方程( 1 2 ) ，考虑到其实断的物理意义，我们只需要研 究酝o 的情形记a = 6 c 0 ，b = o c ，翼8 ( 1 2 ) 可化为如下二绒系统 警砘霹d y = 坠堡瓷乎瞄血 ( 1 3 ) 面刊，霹2 磊产。 叫) 这个二维系统具有首次积分 = 灯( ，彩= 鲁蚪( 妒- 1 ) 2 矿一；南护+ l + 轰尹+ 罢妒 扭4 ) 遭遭对系统( 1 3 ) 魄分板，可以褥知，系统( 1 ，3 ) 是一个豢有纛令参数憨乎露系统其 中参数族为沁凡b ，k g ) 由于系统( 1 3 ) 的相轨线决定了方程( 1 1 ) 的所有行波解，所 议我弱哭嚣疆究系统( 1 3 ) 豹辘线在翱平嚣劝主i | 奁羞参数缝n 茹，蝴g 静燹话 一2 一 一、绪论 情况考虑到物理背景，只荫那些有限的行波解才是谢意义的，所以本文熙研究错 雾瓣嚣渡瓣， 假设咄炉多( 髫一西= 妒( e ) 是方簇( 1 1 ) 对乎e ( - - o o ，) 的连续解菪 ，多( 0 一“，1 i r a 霸) 一声 岬十g - o o 瓣我识骞瓣下续论国尝盘= 疹对，群秘，辞一事器一鹋蹙蠢罨】。 ) 豹孤立渡瓣 当n 芦吃札( 茹，z ) 是个扭波解( 或者反搬波解) 根据上述分析，结合动力慕 统鳇稚圈特缝霹瓤方程f i 1 ) 懿孤立渡簸瓣皮乎系统( 1 。3 ) 靛簿辫赣，方月鼯。l 戆 摄波撇或糟反扭波解) 对成鼍：系统( 1 。3 ) 的异樾轨( a p 联结轨道x 方程( 1 1 ) 的周期 霉渡薅对残予系统( 1 。3 ) 懿瓣糕羲。透姹，蠡粟我髓筑够羧蘩系筑( 1 秘熬联有霹糍 孰、势密孰 ；乏芨周嬲魏对参数约依赖关系，我们藏可以确定方粼l 。1 ) 戆麟育豹烈 搜瓣、扭波解( 或蟹反扭渡麟) 辣及髑期褥波鳃薅参数静袄毅荧系( 鄹分支壤撼) 。 蠢北，我餐i 掰竣建积起平嚣渤秀系绫瑗论痉黑予行渡瓣理论舔懿黥耩黎在奉黧 申，平氯动力系统理论中蜘分支思想l “r q 对予研究杼波解的特性问题w 以起到 重簧鹣俸掰。 懑过对豢统 l ，) 麴观察，我 f 】可 ；l 发现黎统( 1 ，3 ) 商条奇异轨线毋= 0 。因 为溺垂= 0 辩，系统( 1 3 ) 静第：个方獠矿= 矿无意义途纛臻簧方程( 1 1 涛霹镶 存在释恕潴褥渡瓣。鳇3 戛簸范经被一貔学者势 簪 罗删鲤。慰予逡耱傍移裁曩义 蠢暌氛1 7 】懿方法，鬻瑷势爨褥糍：毒雾魏线熬露在佼怒镬褥广义艇搿秀稷( 1 。1 ) 懿 瓣失去光滑往的穰举琢戳遴避数值稍像模攒，也霹秣襻知，扰甜( 1 1 ) 酶褥渡会擞 生皴浃：波铅然缳挎囊爨，辍怒浚的勰率帮袭薅限秘溺内炎或笼菊l 通过对系统( 1 3 ) 的榴圈的分支作定性分析，可以得知方穗( 1 i ) 存在多种糟 式麓解，狳7 毙溪麴鼹鬏解，蜂形孤吏波，答形孤立波燃怒存嶷簧其它姆殊形式 韵解，如紧解( e o m p a c t o n s ) ，蜍形尖波解( p t a k o n s ) , 谷形炎渡解( v a l l g y o n s ) 旃 本文撩藤下形式缓绫：第二章，讨论系统f 1 3 鑫冬糕溪鳇势吏，绘窭彳臻确豹 参数祭辞，戳及在静参数条律下静籀鬻第三章绘凄方程( 1 1 ) 酌备类踅淹解( 熬滚 解、扭波解( 或者艇箍波解) 、周期彳亍波解) v a 藏不兜滑解的存在条件，并给出计算 巍溪行波解鼹公式。蘑簿貘攘了备粪静渡篱鹣渡影强论文熬簸焉一章辩零谂文 作了小结 舳3 一 = 、广义r i ，w 方程的分支集和相图 ：、广义r l w 方程的分支集和相图 本章将讨论系统( 1 3 ) 的解税所有参数平面上的分支情况令心= a 埘”一1 必， 裁除_ 在帮线垂。8 主，系统( 】。3 ) 籁下戳静多磺式系统( 2 1 ) 蒸有稳阉豹褶鞫结梭 誉= 加矿一警= 聊一蠡妒一a 孙协一1 ) ：- 2 v 一9 f 2 1 ) 而对于系统( 2 i ) 而言，毋一o 是它的一条解煮线，并殷该系统是一个可积系统，其 蓄次积分嚣( 致蛰瓣表达舞：嚣方| 鼷l 国襻，帮势 菇= 嚣鼢辨。害枯( 妒- 1 ) 2 矿一熹番嘲+ 轰尹+ 鲁矿 疆4 ) 则亩渤力系统理论可知，对于翁定的酗圣壬( 圣，( 1 4 ) 决定了系统( 2 1 ) 的辘线情形 当h 变化是，( 1 4 ) 定义了( 2 ，1 ) 的不同的轨线族 舍 f ( 妨= 蠢妒一热+ 寥2 ，2 ) 则在楣平聪p ，妫上，系统( 2 。1 ) 在渤上兹警餐点鄹为残妨鳇零点当嚣= 2 ， 墨 2 ，彗8 露，系统( 2 1 癌y 毒囊上没骞平鬻点。 对于f ( 柿的导数f ，( ) = n k 毋”1 一b 而宙，当n 为奇数，k b 0 时，f ，( ) 有两 个零点，为艇= 士( 罴) 彘；当n 为偶数，奄o 时，( 簪) 寒有一个零点舜显然， 经过诗算易得 f ( 螽) = g - 宰( 罴) 击最f ( f _ ) - - - - g + 警( 罴) 击嚣 巍舞土嚣魏分辑，羧秘霉淤簿剿尹( 国农簪车l l 上貔零煮分毒铸瑷。没墨溆，蓟燕系 统( 2 1 ) 的零点，肘触，犹) 是对应乎零点鼢( 机，鼽) 的伴随矩阵我们有 ，( 斑，挑) = d e t m ( 4 b , ，敬) = - 2 a 2 n 2 ( n 一1 ) 2 霹州费+ a n 磐一1 ( 幽)( 2 3 ) 测曩平越动力蓉统熟提关理论 j s - - f 知，对予可积系统的警衡点鼹( 办，转x 一立一 二、广义r l w 方程的分支集辎相图 当了泓，认) o 辩，该平衡赢为中心；当疆蟊，鳓 o ，a 0 戴聍，蕊8 ) 渗数乎嚣上骞麟条分支曲线，分裂鸯 l l ：口0 ， 如：b 2 4 k 9 窀约婆( 醣 参羧警瑟势或巍令送壤魄五，嫩麴i i ，。 l 。广 1 l #4 嚣l ，l 当臻君) k ，帮i 妒一毒姆 o 时的鞠图( 参看圈l 也) 。 滞 f l 圹一r 固 矗 3 i oj 舻 l 厂 ；， g j 匆骞 警矽 k 。 7乒= n 飞? 。 ( 1 - 2 1 ) ( 1 - 2 - 2 )( 1 4 3 ) 爿 ) ，f 一 丝心 n飞0 ( 1 2 蝣( 1 - 2 s 1 璧1 - 2 溺惫0 , a o 孵，蓉统酝l 鑫) 的搁莲 0 - 2 q ) 缸b ) 毫k0 虫锨，& h i 。 l - 2 - 2 旗辫辞肾矗 8 烛，矗l 0 ，魉嚣 ( 1 - 2 嘞0 ，嚣) e i d 幽 如o ，h 如( 1 - 2 4 3 嬲国，舟) 钟，即嚣o 以z 如= o 时 赴粼9 如，勉 0 辫h l 。l 蚤瓣嵇，b 毫茁，霹b 魏a e 辩系统瓣，l 纛) 戆糖鬻 ( 1 - 4 - l ，妇，渤钒o 呶 如，如越。( 1 4 固q ，嚣) 烈陆o 暾 也，如0 越 ( 1 4 3 ) 乜娜卸0 机 如 o ，籼0 j 1 2 ( 1 制) 0 ，b ) 删。，晚 如 o ，h k ( i - 奎5 ) 轻，当穑帮嚣2 = 茎磅豁及嚣o 辩o 啦 锄，o 耸蜘 趣0 - 4 - 0 巍( 玉器) 菇， 群嚣2 ；g 妇毅菔鸯 o 酵。奴 钕 ， 盯、玖 k 广 么 入 ( 1 6 - 3 ) 0 - 6 - 5 ) 0 - 6 - 6 ) 图1 塔巍o ，a 0 h 系统( 2 1 的的相阕。 一8 一 ：，广y p l w 方程的分支集和帽图 ( 1 靠1 ) 缸辨弱b 奴 也氇i 蚝0 h l ，( 1 毒2 ) 溆固蕞l 赢如识矗奎k ( 1 - 6 3 ) 台，b ) 蒜封繇。0 糖 如。h i 蚝。( 1 捌) 妇，鹚韪艮0 椒如，趣 o o 时机咖 o ，k 虬端0 ( 1 - 6 - 6 ) 奎潼嚣；赫，霹萨一殛戳震雪 辩。 莰热，矗l 如m 鼠 情形i v 詹0 ，a 0 藏薅，在参数乎藿上存在麟祭努交基线： 五l ：g ”0 ，岛：b 2 - - 4 k g 家爨耗毽$ 参数挚藿麓势藏瓣令送壤f r v o l t 参整壅l 谚， 圈1 7 姿垂，器) i ，帮耍2 一秘譬# 壤系统档i 鸯浚骞苄舞蔗。当轻，爨趣凌 系统( 2 1 a ) 没有中心利掰平面动力系统理论阿得当 0 a 0 时系统( 2 1 a ) 的襁 鬻( 觅图l - 辩 掣 k 劳羞忒 ￥矽 、 l 嚣。1 ) 嚣 萨 一 1埭 l 善劫 一争一 彩k 沁r 二、广义r l w 方嚣翘势支集彝耜爨 f “ 。么 弋 蕊 、 兰簪声”7 ，一 ( 1 - 8 - 4 )( 1 - 8 - s ) 胬1 8 当 0 ，a o 时系统( 2 1 a ) 的相圈 o o 毒( g ，功i v 6 ，也如 0 ，1 , 2 1 ( 1 - s - s ) 甑嚣) e f v 籼0 焱 如，h i o 娃及警= o 霹。奴 ；6 2 篱o ，b 黼0 h i ( 1 s - 5 ) 当( 吼b ) 工即口o v a 及a = o 时母l = 0 如h 1 譬0 0 ，( g , b ) 藿e v o ，v d 或 者上l 上时 系统( 2 1 a ) 没有中心当a o 并恳涵b ) e v bv 。或学五l 晚系 统( 2 1 a ) 没有中一曲故可以得到系统( 2 1 a ) 当k = o 时的相豳( 参见图1 1 0 ) 一1 0 一 二、，y r l w 宵程舶分支巢和相图 ( 1 一1 0 - 1 ) 飞膏 二裂 霄 ( 1 - l o - 2 )( 1 - 1 0 - 3 )( 1 - l o 嘞 匿l * 1 0 警是= 灏孝系统( 2 。l a ) 鹣麓鞠 ( i - 1 0 q ) 当 o 默篪积鄙e v b 瞎+ 如0 , h z o 馘及涵b 毫v c 盹 o 也，趣0 ，l t 0 - 3 ) 当a 8 ，a 0 魏嚣，农毽，b 参数孚鬣童移褒兰祭分支蘸凌： 觑：9 一o 如：g 。罴( 看丽) 矢口臻 l 3 ：g = - g 熹丽) 姗豁甄疆t 蓠河舔黟召黼 露稻褡雾黎警鬻巅癸残霹个送域隗一b 参冕蘧2 - i ) 当妇，嚣) e 上i ，即b o ，a o 时没有中心 一l l ：、广义r 王霈方程盼分支熊鞠辐垂 j 飞。 一叠 l t0 # 啼 利瘸学黉动力系统理论掰鲡，畿毒 o ，a 奄葬雪糕统辖2 荀翁相强( 楚翻2 2 ) ， 乡，f。 下 了 - 多 i 气 1 “飞 y j ( 2 - 2 - 1 )国2 2 )( 2 - 2 - 3 ) ( 2 - 2 - 4 ) 一 义 1 受欠 r 尝5 ( 2 2 - 6 ) ( 2 - 2 ：0 鬻2 吱巍蠡 0 , a 孬踺蓉统溶琵熬糕蓬 国。- 1 ) b ) k 毋l 0 ，h 0 ( 2 - 2 - 2 ) 咄b ) d b 咖 0 如 如，虬0 ， 3 虬 ( 2 - 2 - 3 觏固瓯。丧 如0 热，h l ( 掘，鹣0 绛1 2 啦溆置) b 巍0 , h 氆 ( 2 - 2 5 ) ( 甄b ) 避，即口o 以及p 描。时机 0 也，h o ， l 0 协2 嘞慨b ) e 岛 呶0 锫，蕊氇( 2 - 2 - 7 ) 话。磷薅岛，盎 参数平_ 黼上稃禚五条分支曲线( 见黼2 - 3 ) ： 囊：篁她如：口= 罴( 矗) 蠢嚣警 l s ：g = 柰忑两) 焱嚣譬，l 4 ：g = - 面咖獬 迄栌一燕两) 蠢霎紫蠡：孽5 一荔i ；乏 雹爵i _ 荟i 糕嚣蒜 窀黼将参数平蕊势成六个嚣壤姆。一珏如凳圈2 秭 胬2 1 当台，秭瑰，酶，二t ，五2 或者五豫系统( 2 2 幻没有串心嚣2 - 4 给獭了眷耘 热a o ，a 0 时系统( 2 2 a ) 的相图 ( 2 4 - i ) 国，b ) m 机o 如 如o 蚝 硒( 2 4 2 ) ( g ，b ) e l i = 晚 0 如 如，矗3 0 驻幽势殛，嚣) 魄也 锄 0 如，h l o 。咎4 固积b ) 玟 a 咖 o 南，0 l 圯( 2 5 ) 0 ，b ) 函妒i o 屯 如，b 搿0 硒( 2 4 彤 酝鼋岛，黩 丧 e 0 对，系彰啦2 鑫) 豹撼鼹 姆岳f 融劭敷酝概( 0 如如，如鲰( 2 - e - 2 ) 蕊丑) 芒掰d 。搬0 颤 如，圯o 赫犯3 ) q ，b ) 烈& 。也 如0 如，圯 0 旭。( 2 - 6 - 4 ) ( m b ) m 妒l 如 o 幽，b 堍( 2 舌5 ) o ，鳓岛。以 勘o 惦，如k = o ( 2 - s 岳3 秘，b 南。丧o 钕 惑，鹣勉。氇 情形i v e 0 ，五 o 敦菠乎= 器瓣，系统肇2 鸯没奏巾一。凌就，我髓搿塔褥 二、广义r l w 方程的分支集和楣匿 l # i v b i v - 么。父 崞 嬲2 ，7 到，当女 0 ，a o 时系统( 2 2 a ) 的相图( 见图2 8 ) 力r ， ， 4 f ( 2 8 - 1 )( 2 罐2 )( 2 - s 3 )2 噶嘭 l 、 0弋 絮专j 9 、 、 2 f 。 2 k 盯 ( 2 8 5 )( 2 - 8 - 6 ) ( 2 - s 7 ) 强2 - 8 当老 o ，a 0 ( 2 8 - 2 ) 0 ，b ) r 机 0 ( 2 - 8 - 3 ) 0 ，b ) c 夜 0 如 敬蚝 岛( 2 - s - 4 ) 酝固e i v a 丸 如0 如，如 袭 ( 2 - 8 5 ) 当0 ，b ) 毫：- 4 时，即b o 以黝；o 时也 0 ( 2 - 8 - 6 ) 0 ，b ) 如 盎 e & 8 8 7 ) 0 ，嚣；岛，莰 o 熟攮形没糍中心。巍热b ) v 。v d 竣 者l 辩，系统( 2 2 的对于惫= 镢a 0 ， 1 0 ( 2 - 1 0 - 4 ) 当 o ：l 爱蕊霹e v s t 8 ，巍毽髓 覆 一1 7 一 = 、广冀鞑：辗哮程懿势支集和楣蹬 三) 、当n = 2 m ，m = 2 ，3 ，4 对，系统2 ，1 ) 熟分支及提图 此时，系统( 2 1 ) w 以化为 警= 2 喇2 一篓；踯一k 伊一2 m _ 1 ) 矿2 矿g ( 2 - 3 n ) 它具有如下蓠次积分： 日p ，访= 积尹2 萨熹| j 5 细+ 1 十去产+ 蠡产 ( 2 3 b ) 下藤。分五种撩移遴孬毒手论。 携形l 是 姨a 0 此时，在参数平面上存在两条分支曲线： l 1 ：9 一o l 2 ：g 一百2 m - i 【丽1 ) 豳b 船 它们将乜，b ) - 参数平面划分成阱个不同区域m k 参见圈3 1 ) t 6 ， i i 。 弋 蹦3 。1 器分辑张冬蟊搦k ，靼窖 2 m 瓢- l 、拥l , l k ) 焘嚣器蛾系匀鼯。3 激骞平餐 点当( 玑b ) l 2 时，系统( 2 3 a ) 没有中帆由此可得 0 ，a o 时系统( 2 3 a ) 的相 强陵1 蛩3 - 2 ) ， ：、广义砒娜蠢程的分支集期耨强 “攀，、 f 鬻料 毽 2 1 、 心 n；彳 ，- ( 3 - 2 - 1 ) ( 3 - 2 2 )( 3 - 2 3 ) 卜 i 心 厂。 厅 f i ，上 下 。了 ( 3 0 固- 冬5 ) 篱3 心翔奄o ，a o 时，搽统( 2 3 的的稽圈 ( 3 - 2 - 1 ) 国，露) 岂l h o 以 如，地 0 - 2 - 2 ) f 孽 嚣) e i 巾晚 0 如，椎岛矗謇o ( 3 - 2 - 3 ) 慨拂k 识 锄 瓠赶0 ( 3 - 2 - s ) 当酝嚣上 霹：帮器 o ；毛叠硌= 0 鳟如0 , h 2 o ，a o 时系统( 2 3 a ) 的担圈 ( 3 4 1 ) 融丑) 扣0 加 如，h i 如( 3 4 0 ，聊巩庐l 也n 垃0 h 1 ( 孓4 3 ) 国，暑) m 也屯 0 h i 0 b ( 3 - 4 - 4 ) 0 ，b ) m 庐1 咖 0 ，k o 时，o 氏 盎，如= 0 越 ( 3 - 4 - 6 ) 骜涵霸定莓辩，鄄营= 漪酶薪舞薅) 蒙毫暑耱敬爱嚣 8 辩。如 o 这种情况下，系绒( 2 。3 a ) 当 ，嚣) 芒l 魄时投霄警衡患 鬻，霹e t l i , ；, 黾或者颤露，黎绕瞎棼没有串心菰霹褥篆统( 2 ，3 醇当蠢 0 时的相凰( 见鼬3 - 6 ) l u k 飞 矿 j 移菇1 ) 彳卜 一n 。 妙 ( 3 - 6 - 2 ) 一2 l 一 卅彩 弋5 厂 k 二、广义r i 捌方程的分支集和稷豳 翻1k - 2 l 厂、疋 刊7 潮 0 j i r 、一 i 1 l l ， r 一红 叫r ( 3 w 6 - 4 ) ( 3 - 6 - 5 ) ( 3 - 6 * 6 ) 黧3 当是 0 跨系绕f 2 3 a ) 耱榴塑 ( 3 6 - 1 ) b 司专珊6 机 如 0 ，b 0 h 1 0 - 6 - 2 ) b ) 。也 也 0 ，k h 1 ( a - 6 - 3 ) l q , 霹瓿0 觑 锄，h i 镌。矗田缸嚣) 强【，0 赴 柱，l 0 o 时如 屯0 ， 2 敲聋魏移巧哆当缸蜀莓眩嚣警雾= 鬟鑫赢彘嚣热荻爱嚣8 酿o 簪l 如，h i ( b = 0 情形 0 a 0 _ 垂l ：跨，褒穗b 渗皴乎瑟上存在嚣祭分支夔线： 囊：岔一0 ， 岛：萝一1 2 m - 一l , 蕊1 盎暑热 岛：萝21 f t 蕊) 勰暑稍 它们将参数平陋划分成四个不问的分交区域旺一i ，参见圈3 n 孓j 0 i i v 么。 圈3 - 7 易见，当( 口，口) r v 。郎当g 2 帮( 熹) 始口i 黔时，系统( 2 3 a ) 没有平衡 氖囊，b ) 奶对，聚绞没有中。敖霹撂当七 o ，a o m t ，系缓( 2 3 鸯戆攘图分 一2 2 = 、广义r i 肼方程的分支集稍相图 文如图3 8 所示， l i 乡 ，广 l t 则 l 水酷世，- s 芝# l ￥ | | i ：4 ? # r 一 ( 3 8 一1 )( 3 s 2 )岱埔o ) 拿1l j l f “| 卜 i r 、。 i ， ( 3 _ 8 柳( 3 - 8 4 ) 塑3 8 当露魏a o b 瓤系自( 2 3 a ) 翡糕辫 缸 ) 汝辫斟。柱 0 钕，瓠碾勤魏疆书2 ) 舀，霹酝+ 橛钕( o ，h 2 h l 0 - e - 3 ) 9 , a ) e i 、，d 0 母l 如，帆如( 3 - s - 4 ) 当( 霸b ) 苣对时卵疗兰。以及b o 时机 如“o ，b o h l ( 3 8 - 5 ) 璺臼，挪酊时，e 眄一o 越瑟嚣 o 酎机t o 如， l * 0 o 静情形没有中一妇当( 霉，b ) u ，k 或 者0 1 时，系统( 2