（工程力学专业论文）杆系结构基于可靠性的拓扑优化研究.pdf

人连理f 人学硕十学何论文 摘要 结构拓扑优化是较高层次上的结构优化设计，能更大程度的节约材料，目前是结构 优化领域的研究热点。但由于分析计算的复杂性，结构拓扑优化的发展还不完善。结构 在服役期间，不可避免地要承受地震，风激等随机荷载的作用，在设计时必须考虑结构 的可靠性，而可靠性的计算和拓扑优化均是耗时巨大的问题，目前同时考虑结构的动力 可靠性和拓扑优化设计的研究工作还不多见。 本文研究了桁架和刚架结构的拓扑优化问题，首先考虑静荷载作用下桁架结构，推 导了基于全局性应力约束的可靠性的计算公式，发展出一种求解基于可靠性的桁架结构 拓扑优化算法。在此基础上，通过理论分析和对桁架结构和刚架结构的拓扑优化结果的 比较，找出刚架和桁架结构拓扑优化结果的相似性，由此将复杂的刚架结构拓扑优化问 题简化为桁架结构的拓扑优化问题，减少了刚架结构拓扑优化的计算量。本文还提出一 种在非平稳随机激励作用下基于可靠性的结构动力拓扑优化方法，用虚拟激励法和精细 时程积分法结合求解非平稳随机激励作用下的结构动力响应，用一次二阶矩方法进行可 靠性分析，用序列二次规划方法进行优化设计，数例表明，本文所提出的方法有较高的 计算效率和精度。 本文的工作得到国家藿点基础研究发展规划( 9 7 3 ) 项目( g j l 9 9 9 0 3 2 8 0 5 ) 的资助。 关键词：拓扑优化；可靠性；虚拟激励法；精细时程积分 型塑鍪! 型：墨笙丝蔓! 旦堂垡堕堑! f ：垡垡堡塞 t h et o p o l o g y0 p t i m i z a t i o no fs t r u c t u r eo fb a rs y s t e mb a s e do n r e l i a b i l i t y a b s tr a c t t h ed i m c u l t yo f s 协l c t u r a l t o p o i o g yo p t i m i z a t i o nc a n n o tb ec o m p a r e dw i t l lt h ed i 街c u l t y o fs 缸c 衄r a is i z eo rs h a p eo p t i m i z “o n r e s e a i - c h p r o g r e s s e ss i o w l y s i n c et o p o i o g y o p t i m i z a t i o nb r i n g ss i g n m c a i l tm a t e r i a ls a v i n g ，m 。r ec o n c e mh a sb e e np a i db ye n 百n e e r sa n d s c i e n t i s t si nt 王l i sd i r e c t i o n 1 1 1t h er e a l l o a d i n g1 1 i s t o l yo fs t n l c t u r e s ，a l lt h ef o r c e sa r ed y n 蹦i c l o a d si ti sn e c e s s a r yt oc o n c i u c tt h er e s e a r c hw o r ko ft o p o l o g yo p t i m i z a t i o no nt h er e l i a b i 王i t y o fs t r u c t u r e s t h e r ei sf e wr e s e a r c hc o n c e m s 1 ed v n a 】1 “c r e s p o n s ea n dr e i i a b i l i t vo f s t m c t u r e si nt h et o p o i o g yo p t i m i z a t i o na tt h es a m et i m e t h i sp a p e rs t u d i e st h et o p o l o g yo p t i m i z a t i o no f b a r s y s t e m ，a 矗e rc o m p 耐n gm eo p t i m a l r e s u l t so ff r a m ea n d 打u s ss t r u c t u r e s ，t 1 1 es i m n a r i r yi sp l e s e n t e d t b e r e f o r e ，w ec a no b t a i nt h e t o p o l o g yo p t i m a lr e s u l t so ff r a m es t l u c t u r e sf l o mt h et o p o i o g y o p t i m a lr e s u l t so ft r u s s s m j c t u r e s t h ec o m p u t i n gt i m ei ss a v e d w ea l s op r e s e n tam e t h o df o rt h es t m c t u r a lt o p o l o g yo p t i m i z a t i o nu n d e fd y n a m i cl o a d s b a s e do nr c l i a b i i i t ya 1 1 dh a v e g o tg o o d r e s u i t sa sf o rt 1 1 e e 撒c i e n c y ，t h eq u a d r a t i c p r o 铲a m m i n gi su s e da st h eo p t i m i z a t i o nt 0 0 1 t h ep s e u d oe x c i t a 亡i o nm e t h o d sa n dp r e c i s e t i m ei n t e g r a t i o na 1 9 0 r i t a r eu s e dt og e tt h ed y n a m i cr e s p o n s e ，w h i c hi n s u r et h ec o m p u t i n g p r e c i s i o n af i r s to r d e rr e l i a b i l i t ym e t h o di sa l s oa d o p t e di nt h i sp a p e rt oo b t a i nt h er e l i a b i i i t y t h er e s e a r c h 矾r o r ki ss u p p o r t e db yt h es p e c i a lf u n d sf o rm a j o rs t a t eb a s i cr e s e a r c h p r o j e c t ( g j l 9 9 9 0 3 2 8 0 5 ) o f c h i n a k e yw o r d s ：t o p o l o g yo p t i m i z a t i o n ；r e l i a b i i i t y ；p s e u d oe x c i t a t i o nm e t h o d s ；p r e c i s e t i m ei n t e g r a t i o n 独创性说明 作者郑重声明：本硕士学位论文是我个人在导师指导下进行的研究工 作及取得研究成果。尽我所知，除了文中特别加以标注和致谢的地方外， 论文中不包含其他人已经发表或撰写的研究成果，也不包含为获得大连理 工大学或者其他单位的学位或证书所使用过的材料。与我一同工作的同志 对本研究所做的贡献均已在论文中做了明确的说明并表示了谢意。 作者签名：查妞邀日期： 塑：垒五：兰7 大连理r 大学硕士研究生学位论文 大连理工大学学位论文版权使用授权书 本学位论文作者及指导教师完全了解“大连理工大学硕士、博士学位论文版权使用 规定”，同意大连理工大学保留并向国家有关部门或机构送交学位论文的复印件和电子 版，允许论文被查阅和借阅。本人授权大连理工大学可以将本学位论文的全部或部分内 容编入有关数据库进行检索，也可采用影印、缩印或扫描等复制手段保存和汇编学位论 文。 作者签名 导师签名 刽固燃 土扯灶 吐年丛月盟同 大连理工大学硕士学位论文 1 绪论 1 1 研究背景及意义 结构优化设计作为一种基于计算机的快速自动设计过程，可以在满足规范等约束条 件下得到优化的设计方案。它的实际应用相当广泛，涉及到建筑设计、航空航天、交通 运输、国防等重要领域，因此受到政府部门、科研机构和产业部门的高度重视。结构的 优化级别可分为截面优化，形状优化，拓扑优化和布局优化；从问题的复杂程度看已经 从简单的桁架设计发展到梁、板、壳等多种复杂元素的结构设计；从设计变量可分为连 续性及离散性；约束则由最初的应力、位移约束拓展到结构的稳定性和动力特性等。随 着对工程设计概念例如可靠性、模糊等不确定性的因素的认识，相应的优化模型如基于 可靠性概念的优化设计、结构模糊优化等也已提出。 拓扑优化除了考虑元件尺寸外，还要考虑元件的连通性。由于它的难度很大，寻找 广泛适应于工程实际的拓扑优化算法仍然是我们面临的重大挑战。但是，拓扑优化所能 带来的更大的经济效益确实不容忽视的，它受到越来越多的专家学者的关注，也因此成 为结构优化领域的研究热点。上世纪术m a x w e l l 口j 首次提出了拓扑优化思想，至今的 一个多世纪以来，其发展仍不很成熟。19 0 4 年m i c h e l l 例基于m a x w e l l 理论建立了达到 体积最小的桁架变形准则，满足这一变形准则的桁架，其体积一定最小，称之为m i c h e u 结构，如图1 1 所示。该理论适用范围较窄，只对于单工况和特殊的应变约束适合。1 9 6 4 年，d o m 提出了基结构理论 4 ，但由于当时结构设计理论和方法的局限，在此之后的二 十年间有关研究进展缓慢。1 9 8 8 年，b e n d s o e 和k i k u c h i 发表的基于均匀化理论的连续 体结构拓丰卜优化方法，开创了连续体结构优化设计的新局面口l ，此后对连续体结构拓扑 优化研究的人日益增多，取得了一系列的研究成果。 麓一黜黟 1 ) d e s i g ns p a c e2 ) d e s g nt 叩0 1 。g y 3 ) a 1 1 a l y t i c a ls o l u t i o n 幽1 1m l c h e l 桁架 f i 9 1j m i c h e i l t 川s s 刘婉秋：杆系结构基于可靠性的拓扑优化研究 地震所带来的危害越来越受人类社会的重视。在结构设计中考虑地震载荷也是必要 的。在与自然灾害不断进行斗争的同时，人类的科技文明也不断地获得进步。特别是近 半个多世纪以来，人们对地震的破坏激励已有了同益深入的认识，并基于这种科学的认 识而制定了相应的设计规范，使结构抗震设计水平得到了有效提高。涉及动力问题的结 构拓扑优化问题的研究目前还相对较少，但对许多结构必须进行动力学方面的设计。 1 9 6 5 年，n i o r d s o n 6 对于震动梁的拓扑优化研究文章是该领域比较认同的第一篇文献。 目前大部分的工作仅涉及到了桁架，或刚架结构的以频率为约束的拓扑优化。与寻求最 大刚度的静力优化相比，动力相关问题的研究还很不充分。 纵观现代工程的发展历程，系统的失效无处不在【”。工程结构在相当长的使用期内， 需要安全可靠地承受设各、人群、车辆等使用荷载，经受风、雪、冰、雨、日照或波浪、 水流、土压力、地震等环境的作用。它们安全可靠与否，不但影响工农业生产，而且还 常常关系到人身安危。1 9 4 0 年，他科马海峡桥( t a c o m a n a r r o w s ) 的设计代表了当时的 最高水平，出乎所有设计师的预料，落成还不到四个月，大桥就在风中坍塌。1 9 4 3 年， 第一个焊接油船斯充内塔第号( s c h e n e c t a d y ) 由于焊接结构失效而在水面平静的码头一 分为二。1 9 8 6 年，人类历史上最严重的核泄漏事故在切尔诺贝利( c h e r n o b y l ) 发生，爆 炸几乎毁掉了附近的一切。设计人员的过渡自信导致设计失误及安全系统的不足都是致 使这次灾难的原因。结构可靠性同样与我们的闩常生活息息相关，像洗衣机，电视机， 汽车等产品都涉及到可靠性问题。结构的设计应使所设计的结构在设计基准期内，经济 合理地满足下列要求：( 1 ) 能承受正常施工和正常使用期间可能出现的各种作用( 包括荷 载及外加变形或约束变形) ；f 2 ) 在正常使用时具有良好的工作性能；( 3 ) 在正常维修和 养护下，具有足够的耐久性；( 4 ) 在偶然事件( 如地震、爆炸、龙卷风等) 发生时及发生后， 能够保持必要的整体稳定性。结构的安全性和司+ 靠性是有区别的如上述要求的第( 1 ) 、 ( 4 ) 项，关系到人身财产安全，属于结构的安全性，第( 2 ) 项关系到结构的适用性，第( 3 ) 项关 系到结构的耐久性。安全性、适用性和耐久性三者总称为结构的可靠性。用来度量安全 性的指标称为安全度，度量可靠性的指标称为可靠度。可靠度比安全度的含义更为广泛。 但是，安全度是可靠度中最重要的内容，它直接关系到人身安全和经济效益等问题，是可 靠性研究的重点俐。 在结构的拓扑优化中考虑可靠性及动力载荷，即是生产发展的需要，也是结构优化 领域的一大挑战，目前该方面的工作还不多见。本论文对考虑可靠性的结构动力拓扑优 化进行了探索，给出了有效的解决办法。 大连理li 人学硕1 i 一学位论文 1 2 国内外研究现状 1 2 1 各种拓扑优化方法简介 结构拓扑优化可分为连续体和框架结构两类。例如，基结构法就是针对框架结构的 方法；均匀化方法，密度函数法等是针对于连续体结构的方法。不过他们之间的差别也 并不是绝对的，有的连续体结构的拓扑优化结果还会被近似成框架结构。下面简要介绍 以下几种拓扑优化方法。 ( 1 ) 基结构法 d o m 提出将节点、支撑点和载荷作用点用杆件连接形成基结构。在此基结构下， 建立截面优化模型，截面的下限定义为零，利用数学规划法求解，对于截面优化为零的 杆件进行机构分析，决定是否删除。结构所允许的所有拓扑形式都可以由基结构删除某 个或某些单元而成 9 ，1 0 】。该方法把拓扑优化降到尺寸优化级别，使拓扑优化简单易行。 但是它存在一个最大的缺点就是奇异最优解问题。对于该问题程耿东就优化模型的可行 域和约束等作了深入的研究，已搞清楚了问题产生的原因。他提出是应力函数的不连续 性导致了奇异最优解，并给出了结构优化的e 一放松算法和延拓算法，对该问题给出了 有效的解决途径j “。 圈1 2 基结构 f i g ，1 2g i o u n ds 1 1 u c t u r e ( 2 ) 均匀化方法( h o m o g e n i z a t i o nb a s e do p t 妇i z a t i o n ) 最初是由b e n d s o e 和k i k u c h i 于1 9 8 8 年提出的。在此之后，该方法就成为连续体拓 扑优化最常用的方法。在基于均匀化的拓扑优化中，全部由多孔介质构成的设计域被假 定为由无限多的微孔构成。对于二维和三维的板结构，每个单元的孔的形状被假定为矩 形：对于三维的实体结构，孔的形状被假设为长方体。优化问题的设计变量就是矩形孔 的长宽高，如果孔扩大直至充满了整个单元，陔单元就不需材料了；若孔缩小为零，则 刘婉秋：杆系结构基t 可靠性的拓扑优化研究 单元就变成了真正的实体，材料充满全部单元。均匀化法需要计算每个单元的材料常数 还需要很多设计变量来描述孔的大小和方向。 一鲡 no f t w od j m e n s i o n s 吲 划1 3 均匀化法 f i g 1 3h o m o g e n j z a t o nb a s e d0 p t i m i z a t i o “ ( 3 ) 密度函数近似法( p o w e r l a wa p p r o a c h ) 由于均匀化方法的上述局限性，密度函数法 ”l 。电被提出作为连续体拓扑优化较常 用的方法。它以材料密度为设计变量，它将各单元捌料看成是各项同性实体，各单元的材 料常数是恒定的，这也是它与均匀化方法的区别所在。在优化单元材料密度过程中，将 每步得到的材料密度进行标准化，再令标准化值趋近为o 或1 ，已决定单元的去留【1 4 】。 由于它将中间密度用罚函数将其标准化，因此得到的结果只是最优解的近似，而且实际 材料的属性也不会随着密度的变化而成指数变化【” 。 ( 4 ) 进化算法( e v o l u t i o n a r ys t r u c t u r a io p t i m i z a t i o nm e t h o d e s o ) 该方法的特点是利用梯度方向寻找最优解，逐渐的删除无效单元( x i ea n ds t e v e n 1 9 9 7 ) 【l6 j 。单元的有效性是以单元应力及灵敏度为评价标准的。该方法简单易行，而且 计算量相对较小叮1 8 】。由于应用该方法时需要敏度计算，因此对于不同目标的问题，需 要不同的公式推导。另外q u e r i n 【旧】基于浚方法还提出了双向进化算法( b i d i r e c t i o n e s o b e s o ) 。该方法加入了有效单元恢复功能。 ( 5 ) 水平集函数法( l e v e ls e tm e t l o d ) 水平集方法是由s e 吐1 i a n 2 0 于1 9 8 8 年提出的，并和w i e g m a n n 剐首次将其引入到拓 扑优化中的。它的基本思想是用一个水平集函数来描述结构的初始设计域。该函数值大 于零的部分代表结构的实体区域：小于零的部分代表孔洞区域；等于零的部分代表结构 的边界。拓扑优化函数的改变也就表示了拓扑结构的改变。该方法是对结构更直接的近 似。通过对水平集函数进行节点插值，同时在有限元计算中利用平均化技术获得单元刚 度值。这样就使所提出的算法自然地蕴含了种非局部效应，从而避免了连续体拓扑优 化广泛存在的棋盘格式等数值不稳定性现象的出现。m i c h e a ly uw a n g 和郭旭等都在将 水平集方法应用到拓扑优化领域中作了丌拓性的工作【2 t 3 】。 人连理i ? 人学硕一i “学f 妞论文 除了上述方法外，还有作者将拓扑优化问题按照整数规划问题求解。b e c k e r s 【2 4 】成 功的利用对偶方法解决了大尺度柔度最小化问题。还有很多人利用遗传算法等随机类算 法解决该问题。但庞大的计算量仍是用此类算法所面临的最大问题【2 5 。2 9 】。 1 22 结构动力优化问题的研究现状 结构的动力优化问题是指以结构的动力特性( 如固有频率及振型等) 或动力响应( 确 定性及不确定性载荷作用) 为约束或目标的结构优化问题1 3 饥。自从s c h m i t 【3 1 】首次将有 限元方法引入结构优化以来，这方面的工作主要集中于静力问题。目前，静力优化已经 发展的相对成熟，对于动荷载作用下结构的优化问题，由于动位移约束函数不易求得及 求动位移和动应力极值时动力重分析工作量很大，因此包含动应力，动位移约束的优化 问题研究的还很少。但在实际工程中，结构的载荷多数为静力状态，因此在优化中考虑 动力因素是必要的【3 2 ，”】。 关于动力优化问题的工作之侧的差别主要集中在结构类型、动力响应的求法以及所 用的优化方法等三个方面。由于动力优化问题还未发展成熟，因此结构类型主要集中在 刚架，桁架结构，板等理论模型上，例如文献阢4 ”。e d w a r da l y a n a k 4 2 】等研究了超空化 鱼雷( s u p e r c a v i t a t i n gt o r p e d o ) 的锥体，前后盖的尺寸优化，在动力及稳定性分析上用 g e n e s i s 软件完成。由于该问题的复杂性，拓扑和形状优化还没完成，而鱼雷的加强肋 的数量和位置对其承载能力的影响也很大，因此作者采用敬有限个构型，对每个构型进 行尺寸优化，在将这些最优解比较选耿最好的。j p d i a s ”3 j 等利用遗传算法进行基于火 车防撞性的优化问题，他的动力优化采用一维刚性的简化模型。对于动力优化工作所用 的优化方法，因为还没有针对与该问题固定类算法，这里就不单独列出介绍。 目前结构动力优化的研究及应用大部分集中在以结构动力特性为约束或目标的结 构优化问题上，对动响应量约束问题研究的相对较少，而且大多数动力优化问题都是以 动载荷作用下的固有频率为约束或目标函数的。关于动力响应虽然可以由结构的瞬态分 析求得，但对于优化问题来讲，每步都要进行精确分析是不太现实的，一般人们都会采 用近似的分析方法来处理该问题，下面介绍两种处理方法。( 1 ) 拟静力法 由于静载荷的尺寸优化问题发展已经很成熟，因此对于动载荷问题人们也趋向于利 用求静力响应的方法实现。在实际应用中是将动载荷乘上一些动力因子作为等效静力施 加的f 3 2 】。应用拟静力法后，对于动载荷问题就可以直接应用静载荷问题的优化方法求解， 使该问题变得简化。但这种方法也存在着问题。包括动力因子大多是经验选取的，精度 不能保证。还有动力问题它的响应是双向的，而静力问题是单向的。石连拴等【10 j 利用拟 刘婉秋：扦系结构基r 可带性的拓扑优化研究 静力法将结构惯性力极值作为静载荷施加到结构上求得结构的动位移幅值，也取得满 意的结果。w s c h o i 【4 4 1 等引入考虑所有时间削隔的拟静力法解决结构的动力优化问题。 ( 2 ) 近似函数法 m i u r a 和s c l l l n 舻7 】在优化中对固有频率约束做了二阶泰勒展开近似。w 0 0 3 8 用一次 函数近似了空间框架结构的多个固有频率，使之变成线性约束函数进行求解。c a 曲e l d 3 9 】 提出瑞雷商近似，提高了频率约束函数的近似精度。e s a l 萄e 曲e h 【4 0 在此基础上将位移， 应力，频率等结构响应函数取为一阶近似函数，这样减少了重分析次数，利用优化准则 法求解了动力优化问题。后来，他又提出了瑞雷商的两点近似法，对原问题进行了改进 。 精细积分法【4 7 是钟万勰提出的一种高精度时程积分方法。该方法的积分步长完全不 受结构自振特性的制约，只要在所选时间步长内外载是线性变化的，则无论该步长为多 大，该积分格式总产生达到计算机精度的结构响应。即使外载随时间变化有一定程度的 非线性，该方法比传统方法往往有更高的精度和效率。 随机振动作为一门新兴的技术学科已获得，“泛的重视和巨大的发展，是许多工程领 域重要的分析和设计手段。由于非线性随机响应的复杂性使得工程应用局限于线性时不 变结构的随机振动计算 4 ”。线性随机振动的基本理论构架已建立，但由于计算的复杂性 使得其难以在实际工程中应用。林家浩等系统的发展出了对大型结构随机振动高效的精 确计算方法一虚拟激励法，实现了用最基本的结构动力学方法来处理一般的平稳和非平 稳随机响应分析问题，缩短了理论成果与工程间的距离 4 6 ”，也使考虑随机振动的优化 变得可行。目前也出现了基于虚拟激励法的结构优化方面的文章4 9 1 。 1 2 3 基于可靠性的结构优化问题的研究现状 传统的结构优化都是建立在确定性分析的基础上的，在一定的载荷形式及约束下， 我们可以获得结构响应的详细信息。但是，外载的变动和材料属性的变化等都会令实际 结构的响应与计算不符【50 1 。因此在结构优化中考虑可靠性也是目前优化领域的热点。考 虑可靠性的结构分析是非常费时的，他需要几十甚至上百次的确定性结构分析。因此对 于优化问题来讲，完整的可靠性分析是不现实的。近年来，优化工作者都在致力于寻找 高效的可靠性分析近似方法。早在1 9 7 1 年，r o s e l l b l u e t h 就曾发表过基于可靠性的结构 优化的文章 s l 】，提出了避免求解体系可靠度的近似方法。r a c k w i t z 【5 2 j 回顾了r 0 s e n b l u e t h 和h a s o f e r 的关于可靠性分析的思想，并提出了将其用于结构优化的方法。 结构失效概率的近似方法除蒙特卡罗法外，大致可以分为基于梯度的近似和基于模 拟的近似两类。对于前一类方法，我们需计算极限状态方程在相关点的导数，由此得到 火连理i 人学硕十学何沦文 其近似的极限状态方程。该类方法的代表是一次和二次可靠度分析方法( f o 枷和 s o r m ) 【5 3 。其中，一次二阶矩法工程实用性较强、发展较完善 5 4 ，55 1 。应用这类方法的 关键是需要明确的知道极限状态方程，但在实际的有限元计算中有时我们很难得到确定 的表达式，因此模拟类近似方法在此必不可少。最常用的模拟工具是响应面法，它用一 系列一次和二次多项式的组合函数来模拟极限状态方程，样本点的选取多选用蒙特卡罗 法 5 6 】。h u n a d o 口7 j 等利用人工神经网络对极限状态方程进行模拟，作者指出，由于神经 网络靠对基本变量的映射来模拟，而响应面法是用多项式模拟，因此对于不规则的极限 状态方程，人工神经网络要模拟得更精确一些。 b e n 。h a i m 5 8 】等提出即使是对概率分伽的小的偏离都会令优化结果的误差很大，而以 结构的非概率可靠性作为优化准则能补救这一不足。利用非概率可靠性进行优化的方法 是以极限载荷或临界激励为结构的设计基，这些设计基就构成了凸安全设计域，这个设 计域的容量越大就说明结构越可靠。l o m b a r d i 【” 提出了针对基于非概率模型的优化的方 法二步优化，并与传统的嵌套优化进行了比较，显示出了节约计算存储的优点。程远胜 等【6 0 也提出了一个基于非概率可靠性优化模型，指出当关于所有不确定性载荷的信息严 重缺乏时，设计者宜采用最小值最大化法则进行结构非概率可靠性的优化设计。再没有 别的学科会像地震工程一样包含如此多的不确定性，时间和空间上的高度不确定性致使 我们很难用确定性方法对其进行分析。对于在抗震分析中考虑可靠性早已取得共识，但 由于分析和计算的困难使其在工程实际中仍未能广泛应用。1 9 4 0 年，美国学者s o 王己i c e 【6 1 首次研究了结构动力反应与某一固定界限交叉的问题，给出了规定时间内交叉次数及其 期望值的数学表达式，这一成果为首次超越的动力可靠度理论建立了基础。李鸿晶等1 6 2 j 提出利用虚拟激励法进行结构分析，对桁架结构考虑了基于可靠性的优化做了尝试。 k i u r e 窟 l i a n 【6 3 ；对关于抗震分析的可靠度的有关工作进行了总结，从地震的不确定分析到 可靠度求解方法都给出了介绍。c h a u d h u r i f 6 4 j 利用基于可靠性的地震响应进行敏度分析， 从而对结构进行优化。 1 3 本文的研究工作 本论文对框架结构的拓扑优化问题进行了研究，分别讨论了静力及在地震力作用下 基于可靠性的拓扑优化。在研究桁架结构和刚架结构的拓扑优化时，通过数值实验及公 式推导，给出了桁架和刚架最优拓扑之削的关系，更大程度上提高了结构的承载能力。 f 1 ) 基于可靠性的框架结构拓扑优化 刘婉秋：杆系结构基于可靠性的拓扑优化研究 利用遗传算法实现了承受静荷载的桁架结构基于可靠性的拓扑优化，应用基结构法 和应力全局化方法使拓扑优化得到简化。章末给出了算例，并与已有文献的结果进行了 比较，显示出了算法的可行性与效率。 ( 2 ) 桁架与刚架结构拓扑优化比较 对比了桁架和刚架结构的拓扑优化结果，在理论和数值上分析了两者的相似处和区 别。提出在进行刚架结构拓扑时，可以先按照桁架结构进行，然后再以得到的桁架最优 拓扑结构为基础进一步做冈架结构的拓扑优化，从而大大简化计算量。 ( 3 ) 基于可靠性的结构动力拓扑优化 应用虚拟激励法结合精细积分求解结构的非平稳随机响应，极大的简化了计算并保 证了结果的精度。再以二次规划作为优化工具，能较高效率的得到最优解。 大连理：r 大学硕_ ：学位论文 2 桁架结构的拓扑优化 本章讨论了在静荷载作用下考虑可靠性的桁架结构拓扑优化。由于这里只进行理论 分析，加之静力分析所耗时间并不是很长，因此此处没有用梯度类算法，只利用遗传算 法来进行拓扑优化。在本论文中均采用基结构法进行拓扑优化，基结构法简单易行，但 容易产生奇异解。因此，我们引用应力全局化处理，有效的避免了这一现象的发生 3 0 】。 2 1 引言 框架结构的优化级别可分为尺寸优化、形状优化、拓扑优化和布局优化。尺寸优化 是在给定了拓扑结构和结构形状下只进行杆件截面的优化【9 】。7 0 年代以来，人们相继将 数学规划法和最优性准则法结合起来，取得了很好的效果，尺寸优化的工作发展的相对 来说很成熟。拓扑优化是在给定的节点位置下，寻求杆件的最佳配置和杆件的最优截面。 由于拓扑优化涉及到杆件的空间配置问题，因此相对于尺寸优化要复杂的多。拓扑优化 的基结构法将拓扑优化降级到尺寸优化级别进行求解，能通过比较少的计算量得到较高 的计算效率。程耿东幢 给出了极限应力的概念，它定义为当桁架某根杆件的截面积 趋于零而其他杆件的截面积保持不变时该秆件应力的极限值。由于杆件的极限应力通常 为非零有限值，而截面积为零的杆件应力为极限应力，虽然数学上恢复了应力函数的连 续性，但与截面积为零的杆件应力约束并不存在或应力约束自动满足的事实是矛盾的。 正是这矛盾，使得采用基结构方法求解离散结构拓扑优化问题时可能出现奇异最优 解。彭细荣【3 。】提出了一种将局部性应力约束转化为全局性约束的途径，基于第四强度理 论，将单元m i s e s 应力约束条件转化为结构总应变能约束条件，对奇异解现象有明显的 改善。 遗传算法的突出优点是步骤简单，不需要灵敏度信息，适于求解非凸优化问题，荠 可以得到全局最优解。它为灵敏度分析困难的一螳结构优化问题提供了一个新的求解途 径。但是，用传统的遗传算法求解结构优化设计耗时巨大，探索如何有效地将这种算法 用于具有高度计算复杂性的结构安定设计具有重要的理论意义和实用价值。本文应用李 纯莲，王希诚等 7 5 提出的基于信息熵的多种群遗传算法，使算法更加有效。 2 2 优化问题的数学模型 本文是考虑结构应力可靠性和位移可靠性约束下，最小化结构的总重量。其数学模 型为 刘婉秋：杆系结构基丁可靠性的拓扑优化研究 m i n w ( a ) = p ，a ， s 上分9 r 曲谤占，啦o ( 2 1 ) ( i = 1 ，2 ，q ) p i p 1 o b 谛j s ，o j o a 0f i = 1 ，2 ，n ) 式中目标函数w ( a ) 为结构的总重量：设计变量a ，为第f 号杆的横截面积；n ，f ，分 别为第f 号杆的比重和杆长：爿和占，均为随机变量，分别为第，个自由度的允许位移和 位移；s j 和墨亦为随机变量，分别为第f 杆的许用应力和工作应力；砖和礤分别为第， 个位移和第i 个应力设计给定的可靠度；n 为杆件个数：q 为位移约束个数。 2 3 基于信息熵的遗传算法简介 2 3 1 传统遗传算法 传统遗传算法包括以下四个主要操作： ( 1 ) 确定表示方案： ( 2 ) 确定适应值度量； ( 3 ) 确定控制算法的参数和变量： ( 4 ) 确定指定结果的方法和停止运行的准则。 这些准备步骤完成后，就可以执行遗传计算。遗传算法的主要步骤如下： ( 1 ) 随机产生一个由确定长度的特征串组成的初始群体； ( 2 ) 对群体迭代地执行下面的步和步，直到满足停止准则； 计算群体中每个个体的适应值； 应用复制、杂交和变异算子产生下一代群体。 ( 3 ) 把在任一代中出现的最好的个体串指定为遗传算法的执行结果。这个结果可以 表示问题的一个解( 或近似解) 。 基本的遗传算法框图由图2 1 ( 见下页) 给出。关于基本的遗传算法有许多种描述 形式，它们之间有较小的差异，这里给出的算法框图仅是其中的一种形式。例如，变异 经常视为与复制或杂交一起连续发生的操作，故一个给定个体可以在一代内进行复制和 杂交，或进行杂交和变异。另外，复制算子的执行次数应是一个明确的数，而不是按概 率决定。 大连理一1 ：大学硕士学位论文 图2 1 基本遗传算法框幽 f 唔2 11 1 1 eb a s i cg e n e t i ca l g o r i t h m 23 2 基于信息熵的多种群遗传算法 该算法通过在遗传设计中定义一个新的概率而引入信息熵概念，从而构造出一个信 息熵优化模型，该模型不必完全求解，即可容易求出作为概率的拉格朗同乘子，从而得 刘婉秋：杆系结构基于可靠性的拓扑优化研究 出空间收缩因子，控制各种群中解空刚的收缩。较之传统算法，该方法收敛快，精度较 高。 首先建立m 个具有相同搜索空间的初始群体，其均由设计变量尺寸约束所限定。矾 个群体各自独立遗传进化几代后，由于遗传演化具有一定的随机性，珊个群体在每代进 化中的结果不尽相同，但它们将反映占有助于判断最优解的信息。随着逐代演化的进行， 设计将逐步逼近最优解，也就是蜕，最优解在设计空问中的位! 葺! 由初始的模糊不定而渐 趋明朗，对设计的搜索空间也将逐渐减小，并最后接近于零( 或给定精度) 使设计趋于 不动点而得到最优解。 优化过程与信息论中的通讯过程有相似之处。在此简要介绍一下信息论的有关知 识。信息论量度信息的基本出发点是将获得的信息视为消除不确定性的东西。考虑一 个随机事件a ，它有j 个可能的结局，叭a ，一叭每一个结局出现的概率分别是 p 1 ，p 2 ，p ，且满足以下条件： osp ，s l ，( f _ 1 ，2 ，f )( 2 2 ) ， p f ：j ( 2 3 ) 忙1 当进行与这些事件有关的多次实验时，其出现与否具有一定的不确定性。为了量 度这种不确定性，引入信息熵或称s h a n n o n 熵 ， f 2 ( p l ，p 2 ，p f ) ：一5 舌p p f 2 4 式中s 是一个大于零的恒量，当爿，以纳特( n a t ) 为单位时，j = 1 。显然日，o 。 在实验中，如果某p 。= 1 ，其余均为零，则，= o ，因为这时可对实验结果作出精确判 断，不存在任何不确定性；反之，若对实验结果一一无所知，则所有的p ，都相等，h ，取 极大值，表明实验结果有最大的不确定性。信息熵是动态的，在通讯系统中，经通信 收到消息后，由于信息的获得消除了某种不确定性，熵要改变。通讯过程的信息熵只 会减少不能增加，即信息熵不增原理。从信息熵角度看，通讯过程就是向系统引入负 熵的过程。由此，本文在演化设计中引入信息熵，并用以控制遗传迭代中搜索空间的 变化。 设初始搜索空间为d ( 0 ) ，各种群搜索空间收缩因子为尼，= l ，2 ，m 为种群编号， 当m 个群体各自进行k 代演化后，搜索空削的变化为 大连理：( 大学硕士奇。位沦文 d ( 尺+ l ，2 斤d ( ，) ( 2 5 ) 显然，最好群体的搜索空间缩小得最多。在缩小了的空间上继续进行遗传迭代，直 至收敛。 遗传算法是一种随机搜索类优化方法，随机中蕴藏着目的性，是一个熵减过程， 用信息熵控制搜索会使遗传中蕴藏着的进化目的性得到强化。 为了确定空间收缩因子，构造如下信息熵优化模型： 响一歪i9 f ( 。) n t m = 一篷l 卢h 1 ( p ，) ( 2 6 ) “歪lp j 乩p ，5 1 式中，p ，；1 ，2 ，m ，为最优解落在第v ，个种群的概率，( x ) 为原问题的目标 函数。当最优解落在第个种群时，p ，z 1 ，p i = o ，海，这时，茎，p f ( x + ) = f ( x 4 ) 。信 息熵何衡量优化过程中最优解的这种不确定性，丌始时，对优化的结果一无所知， p ，= l m ，= l ，2 ，m ，取最大值。随着优化的进行，最优解的不确定性将减少，p ， 以及h 都将随之变化，当得到最优解时，不确定性减为零，即m i l l ：o 。综上，显然 问题( 2 6 ) 的最优解x 也是原问题的最优解。 式( 2 6 ) 是一个多目标优化问题，求解更为困难。引入这一模型并不是要完全求 解它，我们仅需求解其中的空间收缩因子为r ，这是一个非常容易的问题，而且可以 得到显式解。用多目标优化的功效系数法将式( 2 6 ) 化为一个单目标优化问题： (mm j “m ：1 一。毒t 9 f 。一“毒9 ，“9 ( 。) 卜舌p “叩 0 l 】 其中a 与l 一口是权系数。式( 2 7 ) 的l a g r a n g i a n 增广函数为： 。，。，2 一1 一“至，9 。一“丢，9 ，1 “p ， ( 2 8 ) f = 1 。 ，= 1 。 。 十t ( p ，一i ) ，口( 0 ， ) 陪l 。 刘婉秋：杆系结构基_ 二可靠性的拓扑优化研究 式中卢是l a g r a n g i a n 乘子。容易得到 p ，= 丽l ( 2 9 ) 歪f 。p ( 。) 】 ，= f 其中；r = 旦土。 概率p ，表明当前演化设计趋近最优解的程度，空间收缩因子便可以据此定为 凡，= 1 一尸， ( 2 1 0 ) 算法的具体步骤如下： ( 1 ) 给定初始整体搜索空间为d ( o ) = 【堕( o ) ，d ( 0 ) 】，产生个初始种群。 ( 2 ) 同时进行m 个种群的搜索：计算个体的适应值函数，接着执行复制、杂交和变 异过程。计算各个种群产生最优解的概率p ，p ，：毒翌盟，其中乃( 。) 是各个 e x p ( 圳 2 1 种群的最大适应值。 ( 3 ) 则各种群的搜索空间收缩为：( 1 一p ，) d ，( 足) 修改变量下限堕( 世+ 1 ) = m a x i z ，( 彪) 一l 2d ( ) ( 1 一p 川，虬( o ) ) 修改变量上限d ，z ( k + 1 ) = m i n f 爿，( 足) + 1 ，2 d ( k ) ( 1 一p ，) 】，d ，( o ) ) z 。( k ) 为第k 个迭代步时，第，种群中最好个体的第f 个变量的值，= 1 ，2 ，m 是 种群数，f _ 1 ，2 ，月是变量数。 ( 4 ) 在收缩了的空间d ( k + 1 ) 上产生m 个初始种群，然后同时在聊个种群上进行搜 索：计算个体的适应值函数，并进行选择、杂交、变异操作。 ( 5 ) k = 世+ l 重复( 2 ) 一( 4 ) 步，直到满足下面条件时停止： d ( k ) 玉5 是给定的小数。此时将各种群众最好的个体取出排序，最好的一个就是最优解。 2 4 应力约束的全局化处理。 全局性约束条件，如位移约束、频率约束或柔顺度约束等，通常约束数目远远地少 于应力约束的数目，因而敏度分析的计算量也少，建立优化模型不受约束数目的困扰。 大连理1 _ = 火学硕十学位论文 这启发我们：如果能把局部性应力约束转化为全局性应力约束，则可以克服应力局部性 所带来的困难。 对于某点的m i s s 应力： 盯，= ( 盯l 一盯! ) 2 + ( 仃! 一盯3 ) ! + ( d 3 一仃1 ) 2 2 ( 2 1 1 ) 单元的畸变比能为： “；= ( 1 + ，) ( 2 盯? ) ( 6 e ) ( 2 1 2 ) 按照第四强度理论，应力约束可改写为： “；( 1 + 厂) ( 2 孑二) ( 6 e ) ( 2 1 3 ) 由于单元应变能大于等于单元畸变能： 窖，r o ? ( 2 1 4 ) 所以可以用偏于安全的 8 ， o 兰( 1 + y ) ( 2 万2 ) ( 6 e ) ( 2 1 5 ) 代替，这里有对于应力约束盯。孑的近似替换。 对所有单元的求和： 8 ，( 1 + ，) ( 2 歹2 ) k 。( 6 e ) ( 2 1 6 ) 其中： 乌：；u 趣，u ， ( 2 1 7 ) 对于整体结构： 擎2 抄时i p ) 1 8 ) ( 2 1 6 ) 式即可看作全局性应力约束不等式。式( 2 1 5 ) 满足，则式( 2 1 6 ) 必定 满足；然而式( 2 1 6 ) 满足，式( 2 1 5 ) 却不一定满足。虽然这种求和方式的应力约束 条件不能保证应力在每一点都满足约束，但它是一种全局性的满足，这种全局性特点减 刘婉秋：杆系结构基于可靠性的拓扑优化研究 少了约束数目，而且能够在结构拓扑优化中得到最佳传力路径，应力约束的精确满足可 以在低层次优化( 形状与截面优化) 中来实现。 此外，应力的全局化会将需删除杆件的应力模糊化，使其不会因为应力较大雨不能 删除，从而避免了奇异解。对于可靠性分析，只需将全局应力可靠性作为系统可靠性， 从而避免了分析系统可靠性带来的困难。由于该方法从应变能角度出发，还省去了机构 分析这一步工作。 2 5 可靠度的求解 25 1 可靠度约束的显式表达。” 可靠度约束为设计变量的隐式复合函数，且以概率形式给出，这使得常规的优化方 法不宜直接应用。在此作如下简化处理： 将可靠度约束统一表示为： p 一p r o b r s o ( 2 1 9 ) 式中：p + 为给定可靠度：r ，s 均为随机变量，分别表示结构的许用应力和工作 应力或是许用位移或工作位移。利用结构可靠性中的一次二阶矩方法，上式可改写为： 8 一8s o 卢+ = 中“( p + ) = ( 声f n 一n ) ( 盯；+ 盯；) 一心 ( 2 2 0 ) 中( ) ：1 历r e 扪出 ( 2 2 1 ) 式中：口，+ 分别为计算可靠性指标和给定的可靠性指标：0 - 1 ( ) 袭示标准正态 分布函数的反函数；而，盯则分