（基础数学专业论文）四维变分资料同化的降维方法及在海洋资料同化中的应用.pdf

摘要 资料同化( d a t aa s s i m i l a t i o n ) 是一种分析技术，它提供了一种将观测数据与 数值模型有机结合起来的强有力的手段，能够获取更多需要的信息随着海洋观 测、海洋数值计算和海洋数值预报业务的不断发展，它具有广阔的应用前景本文 首先对数据同化的概念、发展及其基本原理进行了介绍，着重讨论了变分法，包括 三维变分以及四维变分等这些目前在海洋中广泛应用的资料同化方法 在各种同化方法中，四维变分( f o u rd i m e n s i o n a lv a r i a t i o n a ld a t aa s s i m i l a - t i o n ，简称4 d v a r ) 是最先进最有力的工具之一然而使用四维变分方法的最大 障碍就是控制空间的维数非常巨大为此，本文提出一个新的基于p o d ( p r o p e r o r t h o g o n a ld e c o m p o s i t i o n ) 降维方法的四维变分资料同化方法这种方法可以大 大减少控制变量的维数，降低动力系统的规模，显著减少计算时间和对内存的要 求具体方案是：首先设计一些数值试验来检测p o d 降维方法用于模拟大尺度的 海洋模式的性能，产生了理想的结果接着设计一些孪生同化试验来检测p o d 四 维变分资料同化方法以及自适应p o d 四维变分资料同化方法的效果，并对这些 试验的结果加以分析与比较结果表明：基于p o d 方法的这种降维的资料同化方 法能够用极小的计算代价得到和传统四维变分相似精度的结果，说明这种新的降 维同化方法具有良好的性能 探讨这种降维方法在大尺度的热带海洋模式中的一系列理想试验证实了这种 方法用在简单的热带太平洋模式中的四维同化系统是成功的，达到了预期效果 关键词：p o dg a l e r k i n 投影降维模式四维变分资料同化 a b s t r a c t d a t aa s s i m i l a t i o ni sa na n a l y s i st e c h n i q u ew h i c hp r o v i d e sap o w e r f u lt o o lw i t h w h i c hl i n ko b s e r v a t i o n sa n dn u m e r i c a lm o d e l st oo b t a i nm o r eu s e f u li n f o r m a t i o n a tp r e s e n tt h i sm e t h o db e c o m i n gam o r ep r o m i s i n ga p p r o a c hw i t ht h er a p i da d - v a n c e si no c e a no b s e r v i n gs y s t e m s 】o c e a nn u m e r i c a ls i m u l a t i o n sa n do p e r a t i o n a l a p p l i c a t i o n s f i r s to fa l l ，t h ec o n c e p t ，p r o g r e s sa n db a s i cp r i n c i p l eo fd a t aa s s i m i l a t i o ni sr e v i e w e di nt h i sp a p e ra n dm o r ea t t e n t i o ni sp a i do nv a r i a t i o n a lm e t h o d s ( t h r e ed i m e n s i o n a lv a r i a t i o n a la n df o u rd i m e n s i o n a lv a r i a t i o n a l ) w h i c ha r e w i d e l yu s e di no c e a n o g r a p h yn o w a d a y s f o u rd i m e n s i o n a lv a r i a t i o n a ld a t aa s s i m i l a t i o n ( 4 d v a r ) i sap o w e r f u lt 0 0 1 h o w e v e r ，am 司o rh u r d l ei nu s eo f4 d - v a r i st h eh u g ed i m e n s i o no ft h ec o n t r o l s p a c e t h e r e f o r ean e ws c h e m eb a s e do np o d ( p r o p e ro r t h o g o n a ld e c o m p o s i t i o n li sp r o p o s e dt o4 d v a rt oe x p l o r et h ef e a s i b i l i t yo fs i g n i f i c a n tr e d u c t i o nt h e d i m e n s i o no fc o n t r o lv a r i a b l ea n dt h es i z eo fd y n a m i c a ls y s t e m i nt h i sp a p e r ，s o m e n u m e r i c a le x p e r i m e n t sa r ed e s i g n e dt ot e s tt h ep e r f o r m a n c eo fp o dt e c h n i q u ei n s i m u l a t i n gl a r g e s c a l et r o p i c a lp a c i f i cm o d e l t h e ni d e n t i c a lt w i nd a t aa s s i m i l a - t i o ne x p e r i m e n t st oe x a m i n et h ep e r f o r m a n c e so fp o d4 d v a ra n da d a p t i v ep o d 4 d v a ra r ep r e s e n t e db yc o m p a r i n gt h e mw i t hs t a n d a r d4 d v a r r e s u l t ss h o w t h a tt h ec o m p u t a t i o n a lc o s to fp o d4 d v a ra n da d a p t i v ep o d4 d v a ri sm u c h c h e a p e rt h a nt h a to ft h ef u l l4 d - v a rh o w e v e rt h ep r e c i s i o ni ss i m i l a r ，t h i sa c c o u n t sf o rt h eg o o dp e r f o r m a n c eo ft h er e d u c e do r d e rm e t h o d a sa ni n i t i a le f f o r tt od r a m a t i c a l l yr e d u c ec o m p u t a t i o n a lc o s to f4 d v a r a s e r i e so fa s s i m i l a t i o ne x p e r i m e n t si nt h i ss t u d ya x es h o w ns u c c e s s f u l l y k e y w o r d s ：p o d ，g a l e r k i np r o j e c t i o n ，r e d u c e do r d e rm o d e l ，4 d v a r ，d a t a a s s j m j 】a t i o n 2 首都师范大学学位论文原创性声明 本人郑重声明：所呈交的学位论文，是本人在导师的指导下，独立进行研究 工作所取得的成果。除文中已经注明引用的内容外，本论文不含任何其他个人或 集体已经发表或撰写过的作品成果。对本文的研究做出重要贡献的个人和集体， 均已在文中以明确方式标明。本人完全意识到本声明的法律结果由本人承担。 学位论文作者签名：曹艳华 同期：2 0 0 6 年4 月1 2r 首都师范大学学位论文授权使用声明 本人完全了解首都师范大学有关保留、使用学位论文的规定，学校有权保留 学位论文并向国家主管部门或其指定机构送交论文的电子版和纸质版。有权将学 位论文用于非赢利目的的少量复制并允许论文进入学校图书馆被查阅。有权将学 位论文的内容编入有关数掘库进行检索。有权将学位论文的标题和摘要汇编出 版。保密的学位论文在解密后适用本规定。 学位论文作者签名：曹艳华 年 日期：2 0 0 6 年4 月1 2 同 第一章绪论 1 1 海洋观测系统的大发展 人们在研究大气、海洋中的有关自然现象的物理机制过程中，观测资料的充 分及合理利用无疑起着至关重要的作用对于海洋的观测主要有船舶观测、卫星遥 感观测、海岸水文站观测和浮标观测但是长久以来物理海洋研究一直受到观测资 料不足的限制 直到上世纪9 0 年代海洋剖面浮标的研制成功和1 9 9 8 年国际上提出并且在1 9 9 9 年开始实施的a r g o ( a r r a yf o rr e a l - t i m eg e o s t r o p h i co c e a n o g r a p h y ) 计划，这 一状况得到了很大的改善到目前为止，a r g o 计划每年可提供多达1 0 万个剖 面( 0 2 0 0 0 米水深内) 的海水温度和盐度资料( a r g od a t am a n a g e m e n tg r o u p 2 0 0 3 ) 作为对比，在1 9 9 0 年到1 9 9 8 年间，世界海洋环流实验( w o c e ) 对全球海洋 进行了一次全面调查，总共才收集了近1 0 0 年来所测量过的2 0 0 0 0 条温度、盐度剖 面除了a r g o 计划外，已经正式开始实施的高分辨率海面温度计划( g o d a eh i g h r e s o l u t i o ns e as u r f a c et e m p e r a t u r ep i l o tp r o j e c t ，简称g h r s s t p p ) 将针对业务 化海洋学和气候研究和预测提供全球覆盖的高时空分辨率的海面温度观测资料除 了上述两个新的海洋观测系统计划外，j a s o n 1 卫星高度计观测( j a s o n - 1m i s s i o n ) 也在2 0 0 1 年1 2 月发射了卫星这是上世纪9 0 年代成功实旖的t o p e x p o s e i d o n 卫星高度计观测计划的继续这个观测系统可以提供几乎全球覆盖的海面高度观 测资料这些新的和较新的海洋观测系统联合构成了前所未有的全球海洋观测网 络，已经在理论上达到了进行海洋实时预报和气候预测对观测的要求在这样巨大 的资料面前，对于仅习惯于分析几个断面、航次温盐资料的物理海洋学家可以说 是一个噩梦如何在这样巨量的数据中来提取有效的信息成为非常重要的问题，并 且，由于观测资料本身也包容一定的误差，这使得单靠观测是不能准确地描述海 洋的真实状态的而资料同化就是解决上述问题的一种手段另外由于数值预报模 式只是一种近似，并不能精确反映大气、海洋的复杂运动，也存在预报不确定性的 1 2 第一章绪论 特点；在将预报方程离散时，会根据实际拥有的资料做进一步的简化，产生离散误 差，从这个角度来说，资料同化技术也是必要的 1 2 海洋资料同化的重要意义 海洋资料同化技术是分析上述海洋观测系统资料的重要手段，其不但可以为 海洋预报提供初边值，还可以为海洋科学研究提供高质量的、时空分布均匀的再 分析资料集，并且给观测定位以及对计划的观测系统进行客观的评价利用资料同 化可以最大限度地提取观测数据中所包含的有效信息，提高和改进分析与预报系 统的性能为了实现这一目的，利用先进、有效的同化方法对这些海量的资料进行 分析，获取多变量、高时空分辨率的准确信息是目前面临的最主要挑战这一挑战 主要体现在这个矛盾上：海量的数据处理需要大量的计算资源，因此考虑简单的处 理技术会容易实现但是，简单的处理技术( 如传统的单变量反演方法等) 在提取 动力学上协调的多变量信息上有原理上的缺陷而目前海洋观测系统的目的之一就 是提供互补的多变量观测资料比如上面提到的几个海洋观测系统就具有很强的互 补性t 高精度的卫星高度计可以每隔1 0 天对全球海平面高度进行一次测量，但它 迫切需要现场数据库来解译和补充真实的海面分布状况而a r g o 和g h r s s t 资料则可以做到这一点因此探索一个有效并且能够同时进行多变量分析的同化 方法是解决此矛盾的一个更好的选择 1 3 资料同化方法简介 资料同化是一种分析技术，其概念是由早期气象学中的分析技术发展而来 的( 丑纪范1 9 9 5 ；b o u t t i e ra n dc o u r t i e r1 9 9 9 ) 资料同化到现在仍没有一个统 一的概念，“资料同化”在英语上称为。d a t aa s s i m i l a t i o n ”，字面意思就是从已知 的资料中提取需要的信息其基本含义是t 利用物理上的约束和时间连续性的约 束。将各种时空上不规则的零散分布的观测融合到基于物理规律的模式中去 资料同化经过了很多发展阶段；最早的资料同化方法是比较机械简单的插值 j 3 资料同化方法简余 3 方法，比如多项式插值、线性插值、逐步订正法等这些方法都没有充分利用资料 和模式结果的误差信息，同时也缺乏理论基础直到1 9 6 3 年g a n d i n 提出了最优 插值法，资料同化方法才有了基于统计估计理论的基础目前的资料同化方法根据 其理论可以分为两类：一类是基于统计估计理论的，如最优插值、卡尔曼滤波、卡 尔曼光滑、集合卡尔曼滤波等另一类是基于变分方法的，如三维变分、强约束四 维变分和弱约束四维变分等一般变分方法的思想是：在给定的约束条件下，使分 析场与观测场的差值的平方和达到最小对于简单的约束关系，如地转风、热成风 等物理条件，数学上求解遇到的问题较少，而对于复杂的约束关系，求解其控制方 程相当困难因此在传统变分方法的基础上，发展出了一种以数值预报作为约束条 件的变分方法，就是所谓的伴随模式法伴随模式法利用了最优控制工具以上这 些同化方法在数值计算量、最优性和业务化资料同化系统中的适用性是不同的越 来越多的研究表明：卡尔曼滤波和变分法是最优的资料同化方法 最优插值( o p t i m u mi n t e r p o l a t i o n ，d e r b e ra n dr o s a t i1 9 8 9 ；b e h r i n g e re ta l 1 9 9 8 ；c a r t o ne ta l2 0 0 0 ) 主要假设背景场的误差协方差矩阵是定常的，对于每个模 式变量，只有在其附近的少数观测才能决定分析的增量在一定的假设下，最优插 值是使分析值在极小方差意义上是真值的最优估计算法在误差是g a u s s 型分布 的情况下最优插值等同于极大似然估计这种方法对于数值天气预报中某一固定时 刻的物理量的客观分析较为实用，实现起来比较容易且计算量小当能够适当的选 取观测点时，最优插值可以节省计算的成本g a n d i n ( 1 9 6 5 ) 是最早将这种方法引 入气象的，从上个世纪7 0 年代到8 0 年代，这种方法在数值预报业务中得到了广泛 的应用，许多业务化的部门采用这一方法，但是目前在e c m w f 已经为3 d v a r 所替代由于最优插值不是全局分析，其解是局地最优的，因此在将各个不同小区 域分析综合时，各个解之间会产生不连续，并且最优插值不能使用复杂观测算子 的观测( 包括非线性算子) 。不能同化非常规资料，无法确保大尺度和小尺度分析 之间的一致性，其权重系数是独立于发展方程的时间变化的最优插值不是一种真 正的四维同化方法目前的改进方法之一是引入背景场的本身的信息，这样可以有 效地改进最优插值的基本假设 4 第一章绪论 三维变分方法( t h r e ed i m e n s i o n a lv a r i a t i o n a l ，简称3 d - v a r ) 其实是最优插 值方法的一般化，可以用来处理观测矩阵是非线性的情况，其计算量要比最优插值 大，可以在三维空间中进行全局分析目前国际上主要数值预报中心都已经采用三 维变分方法来进行资料同化三维变分方法最大困难在于必须为模式变量定义一 个符合实际的、正定的背景场的误差协方差矩阵，这也暗含地决定了观测在分析中 的权重其优点是可以把一些额外的项加到目标泛函里来实施一些外部的弱约束， 如平衡约束等虽然3 d v a r 的概念简单，但是其缺点是无法用后面时刻的资料 来订正前面的结果，雨且同化的解在时间上是不连续的 对于具有时间分布的观测来说，四维变分方法( f o u rd i m e n s i o n a lv a r i a t i o n a l ， 简称4 d v a r ) 是三维变分方法的简单推广，只是它需要积分伴随模式强约束4 d v a r ( t a l a g r a n da n dc o u r t i e r1 9 8 7 ) 是目前少数先进业务化的单位使用的最先进 的方法，例如欧洲中期天气预报中心就于1 9 9 6 年底最先采用了这个方法( c o u r t i e r e ta l1 9 9 4 ) ，其结果要比3 d v a r 方法的好但是这一方法的工作量要比3 d v a r 方法的大很多弱约束4 d v a r ( b e n n e t ta n dt h o r n b u r n1 9 9 2 ；c o u r t i e r1 9 9 7 ) 方 法是针对强约束4 d v a r 方法的模式无误差的假设而提出来的，它考虑了模式误 差 多项式插值、逐步订正法、最优插值、三维变分同化都属于客观分析的范畴 客观分析是空间上的分析，是把不规则的测站上观测到的资料内插到规则的格点 上，它的任务除了空间内插外，还需要使分析场保持一定的内在一致性，例如满足 流体静力平衡和准地转平衡此外，一个完善的客观分析法也必须具有纠错的能 力初始化是模式和初值的协调，而四维变分同化则是利用在空间和一定的时间窗 口内的观测资料，结合数值模式和先验信息，在一定的泛函意义上最优确定初值、 边值和模式参数等控制变量的过程初始化的目的在于控制惯性重力波的振幅，减 少噪声波动数值模式中高频重力波的激发由于两方面的原因，其一是质量场和速 度场的不平衡，其二是模式和初值的不协调如果直接把客观分析场当成初始场使 用，常常会激发出虚假的惯性重力波，从而极大地降低预报准确性因此，在进行 数值积分前，必须先调整初始时刻的质量场和风场，使它们接近于平衡状态，这就 1 4 变分同化方法以及应用中的困难 5 是初始化问题 到了2 0 世纪8 0 年代，一些学者把偏微分方程的最优控制理论引入气象和海 洋资料同化领域，发展了基于伴随方法的变分资料同化方法，这种方法是基于目标 泛函极小化的方法，主要是利用伴随模式得到目标泛函对于控制变量的梯度，或 简单称为变分的方法另一方面，最优插值向时间维的自然推广，基于序列极小方 差估计的方法，可以称为滤波的方法 卡尔曼滤波( k a l m a nf i l t e r ) 假设背景场的误差协方差矩阵是非定常的，利用 协方差矩阵预报方程来计算，其基本原理是先进的但是在实际应用中却因为计算 量和存储量太大( 因为需要存储h e s s i a n 矩阵，而这类矩阵的元素总量即使在一个 简单的海洋模式中也可以达到1 0 ”以上) ，所以在可预见的将来还无法应用到像最 优插值方法现在应用到的那种规模的数值模式和观测系统 卡尔曼光滑是卡尔曼滤波的一种完善，它可以利用后一时刻的资料来改进前 一时刻的估计，其计算量比卡尔曼滤波更大 集合卡尔曼滤波( e n s e m b l ek a l m a nf i l t e r ，e v e n s e n1 9 9 4 ) 是针对卡尔曼滤波 中的协方差矩阵预报模式中有时出现的计算不稳定等问题而提出来的，其主要思 想是抛弃协方差矩阵预报模式，直接利用m o n t e - c a r o l 方法来对此模式积分，从 而得到背景场的误差协方差矩阵这个方法的存储量比卡尔曼滤波小很多，但是其 计算量却增加了，较适用于比较复杂的非线性模式 还有其他的同化方法如自适应滤波方法、自适应变分方法等 1 4 变分同化方法以及应用中的困难 国内近些年开始研究资料变分同化，主要是对气象模式的初值的同化，海洋 方面近年来也开始进行了研究，但是在理论上，在模式上都刚剐起步，“十五”科技 攻关项目中关键技术与内容中大气和海洋4 d - v a r 同化技术的研究为：大气资料 四维变分同化技术的研究，卫星观测资料的质量控制与同化技术的研究，雷达及其 它观测资料质景控制与同化技术的研究，海洋资料的质量控制与同化系统的研究 6第一章绪论 这些研究目前尚在起步阶段由于资料变分同化技术是多学科渗透的- - r q 技术，集 数学，计算机科学、气象学、卫星和雷达探测学等学科为一体，研究工作相对来说 还处于落后状态 l o r e n c ( 1 9 9 0 ) 曾把四维同化问题描述为利用一切有效信息，去确定出大气状 态在给定时刻的取值罗乔林( 1 9 9 7 ) 认为，四维同化问题在数学上实质上是一个 回归问题，即由已知各测站的观测值( 集) ，在有一定物理和气象意义的假定下，依 据一定的选优准则，去确定出整个回归面的情况，构造出这个曲面并指出不同的 假定和选优准则，会导致不同的回归曲面，从而也导致不同的四维变分同化方法 当前应用基于最优控制理论的伴随方法的变分同化是四维变分同化的主流发展方 向下面着重介绍一下3 d v a r 和4 d v a r 的过程 记某一海洋、大气等的控制方程为 警叫圳毗巩 ( 1 ) x ( t = 0 ，z ) = u ( z ) ， 其中z 为空间参数，f ( t ，z ) 为外强迫( 比如海洋系统中的风场、热通量、淡水通量 等) 1 4 1三维变分同化方法( 3 d v a r ) 这里的变分方法是一种泛指，即将目标泛函定义为模式的解和观测资料的距 离的某种范数，一般还有其它一些约束项控制参数一般是初值，也可以是模式参 数、边界值、外强追等在弱约束的情况下还可以包括模式误差典型的目标泛函 可以写为j = 厶+ 以+ g c ，其中厶是观测和模式解的距离的范数， 是控制参数 与其背景值的距离范数，以是对控制参数的先验约束泛函，或称为t i k h o n o v 正则 项( n a v o n1 9 9 7 ) ，一般是光滑性约束，尤其是控制参数依赖时间和空间时，这一项 是重要的上面目标泛函中三项的相对权重是很重要的，衡量过去、现在和未来的 不同类型的观测、模式解以及先验信息的重要性，决定着最优解的数值稳定性与 准确性 1 4 变分同化方法以及应用中的困难 7 变分同化方法的基本原理是通过修正模式的输入量( 以下简称控制变量) ，使 在同化时段内的模式输出量( 或者它们的某些函数) 与相应的观测之间距离最小 定义一个目标泛函表征这一距离，于是同化方法便构成了一个在约束条件下( 控制 方程) 的泛函极小化问题通过与原模式( 线性化后) 对应的伴随模式作向前积分， 可计算出目标泛函对于控制变量的梯度，然后运用某种极小化算法( 例如伴随梯度 法、拟牛顿法) 使其达到极小值点 上述问题可一般性地表述为下面的数学问题设3 d v a r 的目标泛函具有下 列形式 其梯度为 j ( x ) = 以( z ) + j o ( x ) = ( z z 6 ) 丁b 一1 ( z 一如) + ( y 一日k ) ) t r 一1 ( 弘一日! z ) ) ， v j ( x ) = v j b ( z ) + v j o ( 。)， = 2 b 一1 ( 。一x b ) 一2 h 丁r 1 ( 可一日( z j ) ， 其中z 为控制变量，x b 为背景场，y 为观测向量( 包括各种常规和非常规资料) ，b 为背景误差协方差矩阵，r 为观测误差协方差矩阵，h 为线性( 或非线性) 观预j 算 子，将控制变量z 投影到具有观测y 的点上( 详细见c o u r t i e re ta l1 9 9 4 ) 传统的求解此问题的方法是把表达式( 1 ) 的数值模式( 差分或者有限元数值模 式) 作为约束，以u ( 。) ，f ( t ，z ) 的离散场作为输入来求解( 离散的) z ( t ，z ) ，从而计算 目标泛函，然后计算目标泛函的梯度，并用基于梯度的最优化迭代算法求最小解， 后面的章节将对其使用步骤作详细的论述由于表达式( 1 ) 的差分或者有限元数 值模式在实际应用中，尤其在高分辨率应用中维数很大，求解此三维变分问题的 计算量和储存量都是巨大的，因此在实际应用，尤其是海洋业务化应用中受到很 大限制 1 4 2 四维变分同化方法( 4 d v a r ) 海洋模式的四维变分资料同化主要是在2 0 世纪8 0 年代发展起来的，这主要 8 第一章绪论 归功于两方面的推动力量，第一，逐步完善的数值模式，现在已经能够比较真实地 模拟海洋物理过程；第二，全球业务运行的卫星对海洋表面要素的观测的发展发 展到今天在许多方面取得了成功许多海洋伴随模式较多采用动力学简单的准地 转( q g ) 模式或约化重力模式，基于完全原始方程( p e ) 的海洋环流模式( o g c m ) 的变分资料同化研究在国际上已经开始，并取得了一些成功资料同化是未来全球 海洋预报系统的重要组成部分大量的全球海洋数值模拟计划都包含资料同化，如 欧洲联合会a g o r a 计划、同化卫星和测站观测，并对同化系统进行比较主要是 基于统计方法或变分最优插值，模式选用的是各种分辨率的真实的全球原始方程 模式许多研究单位对更复杂的全球资料同化方案进行检验( 如g s f c d a o ) 四维变分方法是三维变分方法的推广，所不同的是观测具有时间分布。其目 标泛函具有下列形式 j ( x ) = j b ( 。) + j o ( z ) = 扛一x b ) r b 一1 扛一z 6 ) + ( 玑一珏陋i ) t 巧1 ( 玑 1 = 0 其梯度为 v j ( x ) = v 以( z ) + v j o ( z ) ：2 口一- o 一乩) 一2 壹砰耳- 一既， 5 i = o 其中下标i 表示任意给定的时刻，分布于时间段 0 ，t n ，茹为控制向量，为背 景场，b 和风分别为背景误差协方差矩阵和观测误差协方差矩阵，甄为观测算 子，y l 和x ；分别为i 时刻的观测和状态预报向量状态预报向量x i 满足模式控制 方程 v i ，x i = m o _ + ( z ) ， 其中m o + 为从起始时刻0 预报到i 时刻的模式预报算子因此四维变分同化是一 个非线性约束的最优化问题，一般情况下非常难以求解但是好在如果基于下面的 两个假设问题将大大简化： 】。4 变分同化方法以及应用中的困难 9 向前预报模式可以表成中间预报模式的积通常这是一个数值预报模式，以z 作为初值条件记z o = 茁，则m o 为单位恒等算子记坛为从i 一1 时刻到i 时刻的预报算子，则有矗= 尬口“并且有循环 x i = 瞄施一1 。必l o o 切线性假设可以假设目标泛函为二次型的，另外观测算子甄线性化，模式 预报算子舰线性化，即 y i 一甄m o _ ( z ) y i 一凰m o _ i ( x b ) 一h i m o _ i ( x x b ) 其中m 为切线性模式，即算子m 的微分切线性假设不仅依赖于模式，也依 赖于同化系统的一般特性，主要是四维变分同化的时间间隔的长度 上述两个假设大大简化了极小化问题，使之成为一个无约束二次型的最优化 问题，数值求解相对容易的多目标泛函的第一项以并不比三维变分同化复杂， 仅需讨论第二项厶厶要求预报模式从分析时刻积分到观测时刻i ，其梯度v 厶 项的计算非常复杂，通常要积分由模式m 导出的相应的伴随模式，即切线性模式 1 4 3四维变分同化方法在应用中的困难 在各种资料同化方法中，4 d v a r 是提取具有多变量时空变化的大气、海洋、 陆面过程的最先进、最有力的工具之一目前这已经得到了许多大气、海洋数值预 报中心的认可然而，对于真实的大气数值模式、海洋数值模式和陆面过程模式来 说，使用4 d v a r 最大的障碍就是控制空间的维数，它一般等于模式状态变量的 维数，在大气和海洋应用中比较典型的量级是1 0 7 一1 0 8 这极大限制了这一先进 方法在实际预报中的应用目前在实际应用中，有三个方法，即增量方法( c o u r t i e r e ta l1 9 9 4 ) 、c h e c k p o i n t ( g r i e w a n k2 0 0 0 ) 法以及并行计算法( p a r a l l e l i z a t i o n ) 可 以从某种程度上减低四维变分问题求解的难度和对存储、计算量的要求但是这些 方法仅能够减少相当于把维数降低一到两个数量级的存储量和计算量因此寻找 能够大幅度减少问题维数的办法是当前资料同化研究领域的热点问题( h o t e i ta n d p h a m2 0 0 3 ) 1 0 4 d v a r 的工作流程如下 第一章绪论 时闻 图1 14 d v a r 的流程示意图 由于四维变分同化问题需要很大的内存，即使使用最大型的计算机，这一特 点也限制了四维变分方法在高分辨率模式的应用，r e s t r e p oe ta l ( 1 9 9 8 ) 等提出 的c h e c kp o i n t i n g 方法用来对求解四维变分同化问题所需的计算量和内存量进行 折中，并且证明了存储需求和计算量之间的折中可以被优化，使得这两者至多以 对数增加( g r i e w a n k1 9 9 2 ) 但这一方法没有减少问题的维数 m p i 的并行计算已经应用在许多业务预报部门( 如欧洲中期天气预报中心，美 国环境预报中心) 的四维变分同化中这一方法是从计算机应用的角度来考虑四维 变分同化的实际操作 1 5 本文要解决的问题和方法( p o d ) 为了减小四维变分同化的计算代价，我们可以设想在一个维数比原来的空间 小得多的子空间中实行目标泛函的最小化这样的方法能大幅度降低控制空闻的 5 本文要解决的问题和方法( p o d ) 维数，又没有极大地损害最终问题求解的质量，可以很大地减小4 d v a r 所需的 内存和c p u 时间为了实现这个想法。我们可以选择把控制变量投影到一组特征 向量基上，这组向量必须能捕获原来系统的大部分能量和变量变率的主要方向，这 些特征向量可以包括奇异特征向量分解( s v d ) ，经验正交函数( e o f ) ，l y a p u n o v 或b r e d 向量( c a ie ta l2 0 0 3 ) 到现在为止，气象和海洋资料同化研究中的降维方法的大部分研究成果都集 中在k a l m a n 滤波、扩展k a l m a n 滤波同化研究上比如a n d e r s o n ( 2 0 0 1 ) ，p h a m e ta l ( 1 9 9 8 ) ，c a n ee ta l ( t 9 9 6 ) ，e v e a s e na n dl e e u w e n ( 2 0 0 0 ) ；f a r r e l la n di o & n n o u ( 2 0 0 1 ) ，f a k u m o r ia n dm a l a n o t t er i z z o l i ( 1 9 9 5 ) ；h o a n ge ta l ( 1 9 9 7 ) ；v e r l a a na n d h e e m i n k ( 1 9 9 7 ) ，h o t e i ta n dp h a m ( 2 0 0 3 ) 等特别是c a n ee ta l ( 1 9 9 6 ) 提出的 降维方法，在这种方法中，状态空间是通过用e o f 分析投影到由一个小的基函 数集合所扩展的线性子空间中来降维的。这种滤波称作降维的扩展的k a l m a n 滤 波( r e d u c e do r d e re x t e n d e dk a l m a nf i l t e r i n g ) 四维变分方法中的降维方法目前也有一些初步的成果b l a y oe ta l ( 1 9 9 8 ) ，d u r - b i a n o ( 2 0 0 1 ) 提出一个四维变分同题降低维数的方法他们的方法是采用一个低维 空间，而这个空间是以从模式轨线取样中计算出的经验正交函数为基的 本论文将尝试采用一种新的，还没有在大气、海洋、陆面过程资料同化中被 应用的降维方法，以求相比目前的三个改进方法极大地减少四维变分问题的维数 维数预计减少三到五个量级这一新的降维方法称为p o d ( p r o p e ro r t h o g o n a l d e c o m p o s i t i o n ) 方法，是近年来在偏微分方程控制计算领域提出并且迅速得到应 用的一种被证明是有效的方法我们将针对海洋资料同化的一些特殊性，对此方 法提出和尝试一些新的改进这些改进的地方有许多是完全可以供其它地球观测 系统的资料分析来共享的因为所提出的方法在没有很大地损害最终解的质量的同 时，能够大幅度地降低控制空间的维数，并且还大大减小了内存和c p u 时间的消 耗，这将使高分辨率海洋模式在资料同化系统中的使用和以很高的计算效率进行 四维变分资料同化成为可能，这对海洋数值预测以及短期气候预测的业务化实施 有重要意义 1 2 p o d 四维变分方法的流程图如下 第一章绪论 图1 2p o d4 d v a r 的流程示意图 本论文的主要内容是，首先引进p o d 方法，将其应用在一个简单的热带太 平洋模式中，检验p o d 这种方法用于模拟大尺度的海洋系统的性能以及抓住问 题本质的能力；然后建立一个可以应用在海洋观测资料分析的一个高效方法( 即基 于p o d 降维方法的四维变分同化技术) ，对此方法进行详细的数值试验来验证，比 较这个基于p o d 降维的四维变分方法与不降维的四维变分方法在精度、计算量 和存储量的差异 鉴于上述分析，本文在第二章给出p o d 方法模拟的原理，第三章给出p o d 方法在海洋动力学模拟中的研究，第四章给出四维变分同化中的伴随分析以及基 于p o d 的四维变分资料同化方法，第五章为基于p o d 方法的四维变分同化在热 带太平洋的试验，第六章对全文进行了总结 第二章p o d 降维方法简介及原理 本征正交分解方法( p r o p e ro r t h o g o n a ld e c o m p o s i t i o n ，简称p o d ) 的数学基 础是完备、自伴算子的谱理论，其本质是一种线性分解本章首先对p o d 降维方 法已有的研究成果作一回顾，并就其降维原理进行探索，建立p o d 降维方法的统 一框架，简便易行，适用于连续模式和离散模式 2 1p o d 方法简介 p o d 方法是模拟由偏微分方程控制的物理过程的一种高效降维方法这是一 种功能强大、效果显著的数据分析方法，其目标是把多维的物理过程进行低维的 近似描述( 即用最佳级数展开) ，进而大大减小用于重现物理过程时所需存储的数 据量它提供了一种描绘物理过程的有效方法，该物理过程可以写成一个只与时间 相关的函数和一个只与空间相关的函数的展开式序列，且它们在均方意义上是最 优的，在展开式中只需要少量的项数就可较准确地描述该物理过程下面介绍近年 来提出的这种方法及其在流体控制领域中最新的进展 p o d 方法最早是由k a r h u n e n 【1 9 4 6 ) 和l o e v e ( 1 9 4 5 ) 分别提出来的。6 0 多年 来，这种方法得到了广泛深入的研究，并成功的应用于各领域中，其中最重要的应 用之一是应用在流体空间的有序运动，如柱面流动等；p o d 方法也应用于湍流及 其拟序结构、信号分析以及模式识别；也有许多学者将这种方法应用于最优控制 问题，如用来研究b u r g e r s 方程。g i n z b u r g - l a n d a u 方程以及b d n a r d 对流及其它 流体控制问题。近年来，p o d 方法更多地应用于逆问题此外，这种方法也可应用 于工业，如超声速喷射模式、食物热处理以及动力风压对建筑物影响的研究等对 于p o d 方法的应用及发展在这里就不再展开详述 与上述成果相比，p o d 方法应用于地球流体力学的研究( 如海洋、大气等的大 尺度系统) 就逊色多了利用调和函数的e o f 或者p o d 作为基函数，对一个高维 的时空分布流形降维的研究最早在大气科学的应用可能是s c h u b e r t ( 1 9 8 5 ，1 9 8 6 ) 】3 1 4 第二章p o d 降维方法简介及原理 随后s e l t e n ( 1 9 9 3 ，1 9 9 7 a ，1 9 9 7 b ) ，k w a s n i o k ( 1 9 9 6 ) 也尝试了这一方法通常，这些高 维的动力系统相当复杂，其离散的数值模式由于维数巨大( 典型量级为1 0 7 1 0 s ) ， 使得求解非常困难 2 2p o d 降维方法的原理 在使用p o d 方法时，需要注意的是怎样充分而又适当的选取样本( s i r o v i c h 1 9 8 7 a ，b ，c ；b e r k o o ze ta l1 9 9 3 ) 下面分别就连续情况和离散情况来描述p o d 降维 方法模拟的原理 2 2 1 连续情况 对一个复杂、高维系统的解的时空分布y ( t ，z ) ，设 1 ，扩) 表示在时间 段 o ，z k 内适当选取的扎个时刻的空间分布( 简称样本或s n a p s h o t s ，参照s i r o y i c h 1 9 8 7a , b ，。；b e r k o o ze ta l1 9 9 3 ) ，即 y 4 = 矿( z ) = y ( t i ，z ) ，( t i ，x ) 0 ，丁k q 定义这组样本的平均为 酬= i 1 y 4 ( z ) ， 扎。 这里 1 ，圹) 可以由此系统的一个数值模式的积分得到p o d 技术就是从预 先得到的观测集合中提取一个具有最大均方投影的连贯结构的集合的方法换句话 说，求一个函数垂，即所谓的p o d 基函数，最能代表这组样本 - ( z ) ，旷( z ) ) ， 使得 ( 西，垂) = jj 垂lj 2 = 1 时下式取得最大值 ， n i 垂) 1 2 ， ( 1 ) 其中( 。，。) 和”| 分别表示区域q 上的l 2 内积和l 2 范数函数西选择为具有下 5 2 2p o d 降维方法的原理 1 5 其中系数a i ( t ) 是待定的，使得由表达式( 2 ) 给出的函数圣确保表达式( 1 ) 取得最 大值为此，定义 耳( 叫) ：= = 1 扩( z ) 矿( 一) n _ 和 r o ( z ) ：= k ( z ，z ) 圣( z 7 ) d z 7 ， j n 其中r ：l 2 ( q ) - + l 2 ( q ) 经过简单的运算得到 进一步，有 ( r 圣，圣) ( r o ，皿) 这样，r 是三2 ( q ) 上的对称非负算子因此，使得表达式( 1 ) 取最大值的问题相当 于求下面特征值问题的最大特征值 r o = a 垂，1 】西1 1 = 1 ，( 3 ) 即 厂k ( 。，z ，) 圣( 一) d z ，：a 垂，f l 吐 l l ：1 ( 4 ) j n 扛 n 。叫 l i 圣 类数函j 銎殊特的式形列 删峭 啦 如 吼 乙 矿。、 叫 瞅 叩r 帅 蚀0面厂矗厂厶 缀巍取和 磅心 l 雪垂vl lr圣 = 霍 垂 圣 l i 可 黟 。错汹 l n l n 1 6第二章p o d 降维方法简介及原理 ( 事实上，设( 冗垂，垂) 的最大值为a ，即( 冗垂，西) = a 甘( r 币，圣) = a ( 西，圣) 甘( 3 ) ) 将表达式( 2 ) 和k 的定义带入表达式( 4 ) 得 喜 喜( ：上以川以出伽咖沁) = 喜概洲破 即 z ；i 。t z 。i ，( 元。f 。：i ( z ) “( z 7 ) d z 7 ) a k - a a i 】w 。( z ) = 。 也即 若n ( ；从以胡一概，i - - - - 1 , 2 ， - , n 写成特征值问题的矩阵形式： c v = a v 其中 a m = 。1fy i ( z ) y k ( z ) d z