（计算数学专业论文）asymptotic+stability+analysis+of+numerical+s+for+functional+partial+differential+equations.pdf

m a s t e rd i s s e r t a t i o n 摘要 偏泛函微分方程在生物学、化学和物理学等许多领域具有广泛的应用，它以时 间和空问来描述并展现不同的时空模式。自7 0 年代以来，从动力系统和算子半群的 观点对偏泛函微分方程进行了系统性的研究，并取得了许多重要的成果。 众所周知，大多数的泛函微分方程并不能通过解析方法来求解，因此必须借助 于数值方法进行求解。虽然求解微分方程的数值方法在有限区间上是收敛的，然而 未必具有与微分方程相同的渐近性质。 本论文主要研究两类具有时间滞量的偏泛函微分方程的有限差分格式的数值 稳定性。首先，我们研究求解第一类偏泛函微分方程的一阶向前差分格式和向 后差分格式的数值稳定性，并给出了零解为渐近稳定的充要条件。其次，我们研 究g r a n k - n i c o l s o n 求解第一类偏泛函微分方程的数值稳定性，并给出了零解渐近稳定 的充要条件最后，我们研究求解第二类偏泛函微分方程的一阶向前差分格式和向后 差分格式的数值稳定性，并给出了零解为渐近稳定性的充分条件。 数值实验的结果证明了我们以上理论分析是正确的。 关键词：偏泛函微分方程，渐近稳定性，有限差分方法。 第i 页 a b s t r a c t p a r t i a lf u n c t i o n a ld i f f e r e n t i a le q u a t i o n sa r i s ef r o mm a n yb i o l o g i c a l ，c h e m i c a l ，a n dp h y s i c a ls y s t e m sw h i c ha r ec h a r a c t e r i z e db yb o t hs p a t i a la n dt e m p o r a lv a r i a b l e sa n de x h i b i tv a t - i o u ss p a t i o - t e m p o r a lp a t t e r n s t h es y s t e m a t i cs t u d yo fs u c he q u a t i o n sf r o mt h ed y n a m i c a l s y s t e m sa n ds e m i g r o u p sp o i n to f v i e wb e g a ni nt h e7 0 s ，a n dc o n s i d e r a b l ea d v a n c eh a v e b e e n a c h i e v e ds i n c et h e m h o w e v e r , p a r t i a lf u n c t i o n a ld i f f e r e n t i a le q u a t i o n sc a nn o tb es o l v e db y a n a l y t i ct e c h n i q u e s ，s oi t i sg e n e r a l l yn e c e s s a r yt or e s o r tt on u m e r i c a lm e t h o d s i ti sw e l l k n o w nt h a tan u m e r i c a lm e t h o dw h i c hi sc o n v e r g e n ti naf i n i t ei n t e r v a ld o e s n o tn e c e s s a r i l yy i e l dt h es a m ea s y m p t o t i cb e h a v i o ra st h eu n d e r l y i n gp a r t i a lf u n c t i o n a ld i f - f e r e n t i a le q u a t i o n i nt h i st h e s i s ，w ec o n c e n t r a t eo nt h en u m e r i c a ls t a b i l i t yo ff i n i t ed i f f e r e n c em e t h o d so f t w oc l a s s e so f p a r t i a lf u n c t i o n a le q u a t i o n s w ef i r s ts t u d yt h en u m e r i c a ls t a b i l i t yp r o p e r t yo f f i r s to r d e rf o r w a r da n db a c k w a r dd i f f e r e n c em e t h o d sw h e na p p l i e dt ot h ef i r s tc l a s so f p a r t i a l f u n c t i o n a ld i f f e r e n t i a le q u a t i o na n dp r o v i d es o m es u f f i c i e n ta n dn e c e s s a r yc o n d i t i o n ss u c h t h a ts u c hn u m e r i c a ls c h e m e sa r ea s y m p t o t i c a l l ys t a b l ew i m r e s p e c tt ot h et r i v i a ls o l u t i o n w e t h e ni n v e s t i g a t et h en u m e r i c a ls t a b i l i 哆p r o p e r t yo f g r a n k - n i c o l s o nd i f f e r e n c em e t h o dw h e n a p p l i e d t o t h e f i r s t c l a s s o f p a r t i a l f u n c t i o n a l d i f f e r e n t i a l e q u a t i o n a n d p r e s e n ts o m es u f f i c i e n t a n dn e c e s s a r yc o n d i t i o n sf o ra s y m p t o t i cs t a b i l i t y f i n a l l y , w ed i s c u s st h en u m e r i c a ls t a b i l i t y p r o p e r t yo ft h ef i r s to r d e rf o r w a r da n db a c k w a r dd i f f e r e n c em e t h o d sw h e na p p l i e dt ot h e s e c o n dc l a s so f p a r t i a lf u n c t i o n a ld i f f e r e n t i a le q u a t i o na n d p r o v i d es o m es u f f i c i e n tc o n d i t i o n s s u c ht h a tt h en u m e r i c a ls c h e m e sa l ea s y m p t o t i c a l l ys t a b l e s o m en u m e r i c a ls i m u l a t i o n sa r eg i v e nt od e m o n s t r a t e0 1 1 1 t h e o r e t i c a la n a l y s i sf o ra s - y m p t o t i c a ls t a b i l i t yo f t h et r i v i a ls o l u t i o n k e yw o r d s ： f u n c t i o n a lp a r t i a ld i f f e r e n t i a le q u a t i o n ，a s y m p t o t i cs t a b i l i t y , f i n i t ed i f f e r e n c e m e t h o d 论文独创性声明 本论文是我个人在导师指导下进行的研究工作及取得的研究成果。论文中除了 特别加以标注和致谢的地方外，不包含其他人或机构已经发表或撰写过的研究成 果。其他同志对本研究的启发和所做的贡献均已在论文中做了明确的声明并表示了 谢意。 作者签名：五垄县日期：缉量：堑 m a s t e rd i s s e r t a t i o n 论文使用授权声明 本人完全了解上海师范大学有关保留、使用学位论文的规定，即：学校有权保 留送交论文的复印件，允许论文被查阅和借阅；学校可以公布论文的全部或部分内 容，可以采用影印、缩印或其他复制手段保存论文。 ( 保密的论文在解密后应遵守此规定) 作者签名： 日期： 第i v 页 m t e rd i s s e r t a t i o n c h a p t e r1 i n t r o d u c t i o n m a n yp r o b l e m si na p p l i e ds c i e n c e , p h y s i c s ，a n de n g i n e e r i n ga r em o d e e dm a t h e m a t i c a l l yw i t h p a r t i a ld i f f e r e n t i a le q u a t i o n s ( p d e ) t h e r ei s a l le x t e n s i v el i t e r a t u r eo nt h et h e o r ya n dn u m e r i c a l s o l u t i o no fp a r a b o l i ce q u a t i o n t h ei n c l u s i o no fad e l a yi nt h ec l a s s i c a lp r o b l e m so fm a t h e m a t i c a l p h y s i c sl e a d st op a r t i a ld i f f e r e n t i a le q u a t i o n sw i t hd e l a yo n l yi nt i m et c o n s i d e rt h eg e n e r a l i z e d d i f f u s i o ne q u a t i o n t h ee x i s t e n c ea n du n i q u e n e s st h e o r yf o rp r o b l e m so ft h i st y p eh a sb e e nd i s c u s s e db yt r a v i sa n d w e b b 2 2 ，f o re x a m p l e ，i nt h ec a s et h a tfi sal i n e a ro rn o n l i n e a rs c a l a r - v a l u e df u n c t i o n i f ，；0 。 t h ef o l l o w i n go n e - d i m e n s i o n a ld i f f e r e n t i a le q u a t i o n f 岳u ( z ，t ) = k 嘉 ( z ，t ) ，t 0 ，0 s z s 丌 u ( o ，t ) = ( ，t ) = 0 ， 0 ， ( 1 2 ) i “扛，0 ) = 圣( z ) ，0 。s 丌 c a nb ea s e dt od e s c r i b et h et e r r l p e r a t o r ei na l li n s u l a t e dr o dw i t he n d sh e l da tc o n s t a n tt e m p e r a t u r e a n dt h ei n i t i a lt e m p e r a t u r ed i s t r i b u t i o na l o n gt h er o db e i n g 垂( z ) i nm a n yc i r c u m s t a n c e s ，t h ea s y m p t o t i cs t a b i l i t yi so fi n t e r e s ti nt h ed i f f e r e n t i a le q u a t i o n s w e i n t r o d u c et h ef o l l o w i n gd e f i n i t i o n d e f i n i t i o n1 1 1t h et r i v i a ls o l u t i o nu ( z ，t ) ；0 矿p d e r j 2 ji sc a l l e da s y m p t o t i c a l l ys t a b l ei f a n d o n l yi f a n ys o l u t i o no f r j 2 jc o r r e s p o n d i n gt oa n y f u n c t i o n 圣( z ) w i t h 垂( o ) = 垂( 7 r ) = 0s a t i s f i e s 舰“( z ，t ) = 0 i ti ss t r a i g h t f o r w a r dt os h o wt h a t - , e m m a l 1 2t h e t r i v i a l s o l u t i o n o f p d e ( 1 ，2 i s a s y m p t o t i c a l l y s t a b & f o r k o t oo b t a i nn u m e r i c a ls o l u t i o no f ( 1 2 ) ，w eu s et h es i m p l e s tf o r w a r da n db a c k w a r dd i f f e r e n c e m e t h o d st on u m e r i c a l l ys o l v ep d e ( 1 2 ) l e ta t 0a n da x 0b et i m ea n ds p a t i a ls t e p s ， r e s p e c t i v e l y d e f i n em e s hp o i n t s t j = j a t ，j = 0 ，1 a n d = l a x ，i = 0 ，1 ， w h e r ei n t e g e rn = 丕，t h ef o r w a r dd i f f e r e n c es c h e m ei sd e f i n e da s fj = u j + 矿l j = 垡盐号罨# 鱼，i = 1 ，2 ，一1 ，j ：l ，2 ， 嵋= 峨= 0 ，j = l 2 ， ( 1 3 ) 【嵋= v ( x 1 ) ，i = 1 ，2 ，n 一1 ， 第i 页 仉 b g 马吼一嚣 m a s t e rd i s s e r t a t i o n f 警= 女生# + i2 蠢j + t j 一+ l ，i - 1 ，2 ，n l ，j ：1 ，2 ， 瑶= 喝= 0 ，j = 1 2 一， ( 1 4 ) l 田= 圣( ) ，i = 1 ，2 ，n 一1 i t i s p o s s i b l e t o c o m b i n e t h e d i f f e r e n c es c h e m e s o f f o r w a r d a n d b a c k w a r d i n t o a m o r e g e n e r a l f o r m u l a c o n t a i n i n gap a r a m e t e r0 t h i sf o r m u l ai s ： f ! 铲= k 0u#+l-2铲uj+lj + l + 女坐出磊血盐， - 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