（应用数学专业论文）亚苯基链关于拓扑指标的一些结果.pdf

中文摘要 摘要 人们对多环烃拓扑性质的研究有着悠久的历史，从而推动了对六角链和四角链 等图类的研究迄今为止，人们已经得到了很多结果，其中有关数学方面的研究主 要集中在覆盖问题、非同构计数问题、匹配计数、独立点集计数与相关的排序问题 等方面本文我们考虑了一类特殊的化学图。亚苯基链( p h e n y l e n ec h a i n s ) 全文分二章，第一章为引言，第二章着重讨论亚苯基链关于k - 匹配数和k - 独 立集数等参数的极值问题设p n 表示所有n 阶亚苯基链的集合对于任意亚苯 基链p 上k p 竹，分别用m k ( p n ) 和i k ( p n ) 表示p f k 的k - 匹配数和k 独 立集数在此章节我们证明了对于任意亚苯基链尸1 t p 和任意磨0 ，有 m 知( l n ) m k ( p n ) i n k ( 1 1 ) ，砍( 厶) i k ( p 1 1 ) 故( 三k ) ，对于所有七， 不等式左边等号成立仅当p 三k = 厶；对于所有七，不等式右边等号成立仅当 p 1 1 = 王k ，这里k 和上k 分别表示线性亚苯基链和螺旋亚苯基链最后我们还 进一步讨论了亚苯基链中极链的h o s o y a 指标和m e r r i f i e l d s i m m o n s 指标以及亚苯 基链的完全丌- 电子能量 关键词：亚苯基链；k 匹配数；k 独立集数 英文摘要 a b s t r a c t t h er e s e a r c ho ft o p o l o g i c a lp r o p e r t i e so fp o l y c y c l i ch y d r o c a r b o n sh a sal o n g h i s t o r y , t h e r e b yi th a sp r o m o t e dt h er e s e a r c ho ns o m ec h e m i c a lf 印1 1 8s u c ha sp o l y - o m i n oc h a i n s ，h e x a g o n a lc h a i n sa n ds oo n s of a r ，m a n yr e s u l t sh a v eb e e na c h i e v e d o nt h e m t h em a t h e m a t i c a lr e s e a r c ha b o u tt h e mm a i n l yf o c u s e so nt i l i n gp r o b l e m ， e n u m e r a t i o n s ，m a t c h i n g sc o u n t i n g ，i n d e p e n d e n ts e t sc o u n t i n ga n dr e s p e c t i v eo r d e r - i n gp r o b l e m ，e t c i nt h i sa r t i c l e ，w ew i l lc o n s i d e ra n o t h e rs p e c i a lc h e m i c a lg r a p h ： p h e n y l e n ec h a i n s t h ed i s s e r t a t i o ni n c l u d e st w oc h a p t e r s t h ef i s tc h a p t e ri si n t r o d u c t i o n i n t h es e c o n dc h a p t e r ，w ed i s c u s st h ee x t r e m a lp h e n y l e n ec h a i n so nk - m a t c h i n g sa n d k - i n d e p e n d e n ts e t s d e n o t eb yr t h es e to ft h ep h e n y l e n ec h a i n sw i t hnh e x a g o n s f o ra n yp 玩凡，l e tm k ( p h n ) a n di k ( p h , , ) b et h en u m b e ro fk - m a t c h i n g sa n dk - i n d e p e n d e n ts e t so fp 玩，r e s p e c t i v e l y i nt h i sc h a p t e r ，w es h o wt h a tf o ra n yp 凰 p na n da n yk 0 ，m k ( l n ) r n 知( p 日k ) i n k ( h , , ) a n di k ( l n ) i k ( p h n ) i k ( 日) ， w i t ht h el e f to fe q u a l i t i e sh o l d i n gf o ra l lko n l yi fp 风= l 竹，t h er i g h te q u a l i t i e s h o l d i n gf o ra l lko n l yi fp 玩= 风，w h e r el na n d 风a r et h el i n e a rc h a i na n d t h eh e l i c a lc h a i n ，r e s p e c t i v e l y f u t h e r m o r e ，w ea l s od i s c u s st h ee x t r e m a lp h e n y l e n e c h a i n sc o n c e r n i n gh o s o y ai n d e x ，m e r r i f i e l d - s i m m o n si n d e xa n dp h e n y l e n ec h a i n s w i t hr e s p e c tt ot o t a l7 r e l e c t r o ne n e r g y k e y w o r d s ：p h e n y l e n ec h a i n ；k - m a t c h i n g s ；k - i n d e p e n d e n ts e t s 厦门大学学位论文原创性声明 兹呈交的学位论文，是本人在导师指导下独立完成的研究 成果。本人在论文写作中参考的其他个人或集体的研究成果， 均在文中以明确方式标明。本人依法享有和承担由此论文而产 生的权利和责任。 声明人( 签名) ： 年月 日 厦门大学学位论文著作权使用声明 本人完全了解厦门大学有关保留、使用学位论文的规定。 厦门大学有权保留并向国家主管部门或其指定机构送交论文的 纸质版和电子版，有权将学位论文用于非赢利目的的少量复制 并允许论文进入学校图书馆被查阅，有权将学位论文的内容编 入有关数据库进行检索，有权将学位论文的标题和摘要汇编出 版。保密的学位论文在解密后适用本规定。 本学位论文属于 1 、保密() ，在年解密后适用本授权书。 2 、不保密( ) ( 请在以上相应括号内打”，) 作者签名：专射倦 作者签名：j 勿寸峒嗡 导师签名3 7 乞予易毛 日期： 日期： 年月 日 年月 日 引言 亚苯基链关于拓扑指标的一些结果 第一章引言 1 。细胞生长。问题与动物的发育很类似，从个特定的正多边形( 相当于个细 胞) 开始，在平面上一步步向外。生长。，每生长一步即在其外围添加一个相同的细 胞且至少有条边完全重合习惯地，借助动物( a n i m a l ) 来表述以此生成的图如 果细胞是个正方形，则称生成的动物为p o l y o m i n o e s ；如果细胞是个正六边形或 等边三角形，则分别称生成的动物为h e x a g o n a la n i m a l s 或t r i a n g u a la n i m a l s 1 】( 参 见图1 ) 其中动物分为两类t 若不含有“洞”的称为单连通的( s i m p l y c o n n e c t e d ) ； 否则称为多连通的( m u t t i p t y c o n n e c t e d ) 图1 中所有的动物都是单连通的，而图 2 是最小的多连通p o l y o m i n o e s 1 0 )( 6 ) 图1 s i m p l y - c o n n e c t e da n i m a l s l ) ( a ) p o l y o m i n o e s ( b ) t r i a n g u l a ra n i m a l s ( e ) h e x a g o n a la n i m a l s 图2 最小的多连通p o l y o m i n o e s 人们对p o l y o m i n o e s 的研究可追溯到2 0 世纪初，但它们是现代才被g o l o m b 和 g a r d n e r 在他的主编的s c i e n t i f i ca m e r i c a n 的。l a r g em a t h e m a t i c a lg 锄。专栏 中普及之后许多关于p o l y o m i n o e s 的文章和问题出现在杂志r e c r e a t i o n a lm a t h - e m a t i c s 上【1 1 1 2 0 世纪中叶以来，由于化学家对苯类碳氢化合物的关注，关于 h e x a g o n a ls 妒t e m 的研究得到了迅速的发展，可参考两本专著以及所引用的数百篇 文献【4 3 ，5 0 】在【2 m a i e r 曾说过“b e n z e n ea n da c y c l o b u t a d i e n c ea r ew o r l d sa p a r t ”， 而p h e n y l e n e s 是由苯环和环丁二烯交错构成的，这使得它不仅为检测各类芳香族化 合物结构特性提供了极好的机会，还具有潜在的实际用处，比如它可作为半导体， 光电发射体等等，从而引起许多化学家，数学家，物理学家等学者的极大兴趣 关于这些动物的基本组合数学问题是。给定n 个细胞，可产生多少种不同的动 物? 。在数学角度上称其为非同构计数问题( e n u m e r a t i o n ) 这也是现代化学中 最基本的问题，起源于人们对化学分子中同分异构体的研究这看似简单的问题， 让许多数学家和化学家在这一百多年以来都致力于解决此问题之中人们利用组合 计数，编辑算法等方法对上述问题给予了答案，但并没有完全地解决 下面我们将从图论角度来定义h e x a g o n a ls 妒t e m 和p h e n y l e n e s h e x a g o n a ls 妒t e m 是个有限简单2 一连通平面图，它满足； 1 每个内部面是个单位正六边形； 2 两个正六边形若相邻，则它们仅有一条边完全重合 p h e n y l e n e 8 是个简单2 一连通图，它满足。 1 由单位正六边形和单位正方形交错组成； 2 每个正方形位于两个正六边形之间，且正方形与其相邻的正六边形仅有一 条边完全重合； 3 任意两个正六边形不相邻 由于p h e n y l e n e s 和c a t a f u s e n e s 3 】( 没有内点的h e x a g o n a ls y s t e m ) 通过内对偶 图存在一种对应关系，因此人们通过对c a t a f u s e n e s 的计数结果来讨论p h e n y l e n e s 的计数问题没有内点的几何非平面h e x a g o n a ls y s t e m 则称为c a t a h e l i c e n e s 其中 若c a t a h e l i c e n e s 落在平面上至少有两条边交叠，但不会出现六边形交叠的称为s 妒 c a t a h e l i c e n e s ；若c a t a h e l i c e n e s 落在平面上至少有两个六边形交叠的则称为h a r d c a t a h e l i c e n e s 【4 】这里我们要说明下p h e n y l e n e s 与他们之间的关系： 1 给定个p h e n y l e n e 都存在一个与之对应的c a t a f u s e n e 。但对于每个c a t a - f 弘s e n e 并不一定都有p h e n y l e n e 与之对应； 2 每个s 啦c a t a h e l i c e n e 都有唯一的p h e n y l e n e 与之对应； 3 没有一个p h e n y l e n e 与h a r dc a t a h e l i c e n e 对应 因此，对于给定细胞n ，p h e n y l e n e s 的数目等于与之对应的c a t a f u s e n e s 的数 目加上s o f tc a t a h e l i c e n e s 的数目 p h ， 如 图3 含有五个六边形的p h e n y e l e n e ( p h 5 ) ，与其所对应的 c a t a f u s e n e ( b 5 ) 以及他们所对应的内对偶图 在【3 1 ，4 l 】中，s j c y v i n ，b n c y v i n 和j b r u n v o u 利用算法d a s t ( d u a l i s t a n g l e - r e s t r i c t e dd i r e c t i o n a li n f o r m a t i o n ) 【4 2 】给出了1 5 阶以内的c a t a f u s e n e s 以 及1 2 阶以内的s o f tc a t a h e l i c e n e s 的计数结果，由此也就给予了关于p h e n y l e n e s 计 数问题的答案( 参见表1 ) 表l 1 2 阶以内p h e n y l e n e s 的计数值 n2 3 4 56 7 891 0 1 11 2 p h e n y l e n e s 12 51 23 71 2 2 4 3 91 6 4 16 3 8 72 5 1 9 81 0 1 1 6 1 人们还利用p h e n y l e n e s 和c a t a f u s e n e s 之间的这特性建立了一些关于拓扑指 标的关系式，如a l g r a b i cs t r u c t u r ec o u n t i n g ，w i e n e r 数，r a n d i c 指标，s e c o n d o r d e rr a n d i c 指标，t h i r do r d e rp 沲n d i c 指标，p i 指标等等，详情可参见降1 4 】 在【1 9 2 3 】中，人们对匹配数的排序，特别是关于匹配数的极图已有许多相应的 研究结果对于图的许多其他不变量的排序或极值问题，如完全丌- 电子能量和对 立集数也都有所研究【2 3 - 2 9 】对于p h e n y l e n e s 的完全丌- 电子能量e ，要给出精 确数值是很困难的，于是从2 0 世纪7 0 年代初人们就开始着眼于寻找它的上下界 b j m c c l e l l a n d ，w e n g l a n d 和k r u e d e n b e r gln e 2 v f f - 而，其中顶 点数r t = 6 h ，边数m = 8 h 一2 ，h 为p h e n y l e n e s 中六边形的个数 j h k 。l e n ，v m o u t l t o n 和i g u t m a n 。e ( 警) + 而j 丽而 j h k 。l e n 和v m o u t l t 。n 。 e 2 ( 警) + 而j 而丽 基于前面的研究成果，在2 0 0 1 年i v a ng u t m a n 和2 e l j k ot o m o v i d 通过s i m p l e h i i c k e lm o l e c u l a ro r b i t a lm o d e l 1 5 ，1 6 】将它的上下界进行了改进，并给出了近似值 ( 参见表2 ) 【1 7 表21 5 阶以内p h e n y l e n e s 的完全丌电子能量的上下界以及近似值 n 下界上界近似值a 近似值b 32 5 0 12 5 1 l2 5 0 52 5 0 4 43 3 5 23 3 6 93 3 6 13 3 6 1 54 2 0 24 2 2 84 2 1 74 2 1 8 65 0 5 35 0 8 75 0 7 45 0 7 4 75 9 0 35 9 4 55 9 3 05 9 3 1 86 7 5 36 8 0 46 7 8 76 7 8 7 97 6 0 47 6 6 37 6 4 47 6 4 4 1 08 4 5 48 5 2 28 5 o o8 5 0 1 1 19 3 0 49 3 8 19 3 5 79 3 5 7 1 21 0 1 5 51 0 2 3 91 0 2 1 41 0 2 1 4 1 31 1 0 0 51 1 0 9 81 1 0 7 01 1 0 7 1 1 41 1 8 5 51 1 9 5 71 1 9 2 71 1 9 2 7 1 51 2 7 0 51 2 8 1 61 2 7 8 41 2 7 8 4 在【1 8 ，2 3 】中，作者确定了六角链和四角链关于k - 匹配数和k - 独立集数的极 链在【3 2 】中，l z h a n g 和f t i a n 确定了树状六角系统的h o s o y a 指标和m e r r i f i e l d - s i m m o n s 指标的下界在【2 9 ，3 0 】中，f z h a n g ，l w a n g 和z l i 确定了六角链关 于完全丌- 电子能量的极链在【3 5 】中，l x u 和x g u o 建立一算法很好地解决了 树状六角系统关于较大w i e n e r 数排序问题 本文我们将考虑一类特殊的化学图：亚苯基链( p h e n y l e n ec h a i n s ) 。其包含 有几何非平面h e l i e e n i c 3 9 结构前面我们已经定义p h e n y l e n e s ，个亚苯基链是 指一个具有以下两个性质的p h e n y l e n e s ( a ) 任意一个六边形至多与一个四边形 相邻；( b ) 每个顶点至多属于个六边形和一个四边形若一个亚苯基链中含有n 个六边形则称其为1 1 阶亚苯基链 由于亚苯基链跟六角链之间存在着十分紧密的关系，并且他们都可被归纳地构 造，即每一步都是粘贴一个新的细胞到前面的那个细胞不断地向外。生长。，于是 我们将考虑类似的问题一确定亚苯基链关于k - 匹配数和k - 独立集数的极链值 得注意的是本文中所得到的亚苯基链关于k 匹配数和k - 独立集数的极链与六角链 还是有所区别的。亚苯基链中的一个极链是h e l i c a l 链( 不具有几何平面性) 而不 是z i g z a g 链进一步地，在【5 i g u t m a n 讨论的基础上我们分别给出了l i n e a r 链 和h e l i c a l 链关于h o s o y a 指标和m e r r i f i e l d s i m m o n s 指标的表达式另外我们还举 例说明不能用比较它们特征多项式系数的习知方法来确定亚苯基链关于完全丌- 电 子能量的极链，因此就需要我们另寻新法 亚苯基链的一些结论 6 第二章亚苯基链的一些结论 在之前的文章【1 8 ，2 3 】，人们讨论了六角链和四角链关于k 匹配数和k 独 立集数的极值问题，并进一步得到六角链和四角链关于h o s o y a 指标和m e r r i f i e l d s i m m o n s 指标的极值问题本文我们将考虑另一种特殊的多环烃t 亚苯基链在最近 几年，亚苯基独有的物理性质以及作为潜在的导电材料引起了人们的广泛兴趣( 参 见睁1 0 】) 以下一些名词和记号参考了1 g u t m a n 文献集 4 - 5 ，1 0 】 2 1记号和预备知识 用p n 表示所有n 阶亚苯基链的集合 定义2 1 1设p 三k p n ，若p 三k 由三度顶点导出的子图是n 1 个孤立的 正方形，则称其为线性链，记为l 作；若p 日。由三度顶点导出的子图是路恳n 一2 粘 上一1 ) 个孤立的正方形，则称其为螺旋链，记为上k ( 如图4 ( a ) ，4 ( b ) ) 定义2 1 2 2 3 ，2 6 】 设g 是个简单图( 无环无重边) ，对于任意一个正整数k ， m k ( g ) 表示g 中的k - 匹配数，即g 中k - 边独立集数的个数特别地，我们定义t m o ( g ) = 1 ，m k ( g ) = 0 ( 七 0 ) 定义2 1 3 2 3 】设g 是个简单图( 无环无重边) ，对于任意一个正整数k ， i k ( g ) 表示g 中的k - 独立集数特别地，我们定义。硒( g ) = i ，i k ( g ) = 0 ( 后 0 ) 下面我们引进两个多项式的定义 定义2 1 4 2 3 ，3 2 图g 的压( 计数) 多项式，由h o s o y a 定义为 z ( g ) = m k ( g ) x 七， 知 其数值计算部分后来在【5 】定义为匹配多项式特别地，z ( g ) = z 0 ( 1 ) 即为图g 的h o s o y a 指标 定义2 1 5 2 3 ，3 2 图g 的y - 多项式定义为 y ( g ) = i k ( g ) x 七， 七 特别地，y ( g ) = y a ( 1 ) 即为图g 的m e r r i f i e l d - s i m m o n s 指标 亚苯基链的一些结论 7 定义2 1 6 2 3 】设x 的两个多项式i ( x ) = n k = o 扩，夕( z ) = 翟ob k x k ，如 果 ( 1 ) 对于每个0 k n ，有a k b k ，则称，( z ) 59 ( x ) ； ( 2 ) f ( x ) 59 ( z ) 且存在某个k 使得a k b k ，则称( x ) - 玩。( z ) ； ( i i ) 若p 风巩，则z e n , ( x ) lp 以一， ( i i ) ( p 风- t 竹) + ( p 风一) 卜( p 风一) + ( p 巩一) 且( p h 一) + ( p 玩一) - ( p 日k t k ) + ( p 月k t k ) ， ( i i i ) v h , , 一k 一 - 尸风一一且p 巩一一卜p 风一一 亚苯基链的一些结论 1 0 由引理2 3 1 ，我们有 引理2 3 2 对于线性链k 2 ) ，则 ( i ) l 竹一= 厶一t 卜l n 一= l n 一， ( i i ) ( l n t n ) + ( l n 一) = ( 厶。一) + ( k t ) 卜( l n 一) + ( l n 一) ， ( i i i ) l n k 一= l n 一一伽仃卜l n t ，l 一 引理2 3 3 对于螺旋链王k 3 ) ，则 ( i ) h n k 卜风一卜风一且巩一k - 凰一 巩一t n ， ( i i ) ( 风一t n ) + ( 风一) _ ( 风一) + ( 玩一) 卜( 风一) + ( 风一) ， ( i i i ) 巩一t 仆一t f l 卜玫一一伽ny - 巩一一 引理2 3 3 的证明可以直接从下面的断言1 ，2 得证 断言1 对于任意p 三k p n ( 佗3 ) ，如果p 三k 一1 一a n l 卜p 上k l k 一1 则 ( i ) 尸风一k - p 巩一卜p 风一且p 玩一k 卜p 巩一t 卜p 风一t k ， ) ( p 巩一如) + ( p 巩一) ( p 巩一) + ( p 风一) 卜( p 日竹一t 正n ) + ( p 风一) ， ( i i i ) e h n k 一卜p 玩一一 - p 凰一t k 一 证明： 由公式( 2 ) 和( 3 ) ，易得： ( p 巩一) 一( p 风一t 正，1 ) = z 3 ( p 玩一l 一一1 ) 一( p 月一1 6 n 一1 ) 】， ( p 凰一“) 一( p 风一w n ) = x 3 ( p h 住一l 一一1 ) 一( 尸风一1 一k 一1 ) ， ( p 风一k ) + ( p 风一) 一 ( p 玩一) + ( p 风一伽n ) 】 = 护 ( p 风一一一1 ) 一( p 风一l k 一1 ) ， ( p 风一厶一) 一( p 风一t i n w n ) = x 2 ( p 凰一l 一口，l 1 ) 一( p 风一1 6 ，l 1 ) 】 由归纳假设p 日k 一1 一n 竹一1 - p 月一1 一k l ，可得p 日一t k - p 1 1 一t 正n ， p 风一k 卜p 风一，( p 巩一k ) + ( p 风一t k ) - ( p 以一) + ( p 风一) ， 以及p 风一k 一 _ p 风一一，再由引理2 3 1 就可得证 断言2 对于任意的螺旋链z k ，有 1 1 1 一t l = 玩一u l 且风一k 卜日| n t k ( 佗2 ) 证明l显然日1 一t x = l 1 一t l = l l u l = 1 1 1 一仳1 亚苯基链的一些结论 1 1 对于n 2 ，由公式( 2 ) 可知 ( 风一k ) 一( 风一牡n ) = x 3 ( 巩一l t n 1 ) 一( 风一l 一一1 + 州( 风一1 一如一1 ) + z ( 风一1 一t t i 一1 一v n l 】 从而由归纳假设以及引理2 1 3 ( i ) ，可证得对于扎2 ，风一t n 卜i - 1 一一 为了用归纳法证明定理2 2 3 ，我们将证明以下包含更多内容的定理 定理2 3 1 对于任意亚苯基链p z k 只。3 ) ，则 ( i ) l n u n5p 巩一口5 玩一k ，其中a 厶，u n ，v n ， t o n ) ； ( i i ) ( 厶。一t ) + ( 厶一1 ) n ) 5 ( p 风一6 ) + ( p 风一6 ) 5 ( 凰一t n ) + ( 风一t k ) ， 其中曲 k u n ，叫n ； ( i i i ) l 竹一缸他一v n5p 玩一a b5 风一k t l f l ，其中0 6 t n 钍n ，u n n ，v n t l g n ) ； ( i v ) l n 冬p 玩! 风 而且( i ) - ( i v ) 左边等式成立仅当p 上k = l n 且 o ，6 ) = ，) ；( i ) 一( i v ) 右边 等式成立仅当p h = 1 t 且 a ，6 ，= k ，) 证明s 首先我们注意到若p 上乙= 厶，则由引理2 3 2 易知( i ) 一( i i i ) 左边等式 成立；若p h , = t t ，则由引理2 3 3 易知( i ) 一( i i i ) 右边等式成立因此当我们在证 明左边不等式时不妨假设p 王k 厶；类似地，当我们在证明右边不等式时不妨假 设p 巩风 下面用归纳法证明定理 ( 1 ) 首先考虑当佗= 3 的情况，此时p 3 = l 3 ，风) ( i ) 由引理2 3 3 0 ) 知，要证明如一u 3 t 3 一a ，其中a t 3 ，u 3 ，v 3 ，耽) ， 只需证明l 3 一坳一 凰l t 3 由公式( 2 ) 有 l 3 一u 3 = ( 1 + 4 z + 3 2 ) l 2 + + 2 x 2 ) ( 岛一u 2 ) + 0 + 2 x 2 + z 3 ) ( l 2 一y 2 ) + ( 护+ 护) ( 如一u 2 一耽) ， 风一u 3 = ( 1 + 4 x + 3 x 2 ) 飓+ + 2 x 2 ) ( 凰一t 2 ) + + 2 x 2 + x 3 ) ( h 2 一t 2 ) + ( 铲+ x 3 ) ( 9 2 一t 2 一地) ， = ( 1 + 4 x + 3 x 2 ) 岛- i - + 2 x 2 ) ( 岛一t 2 ) + p + 2 护+ 矿) ( 厶一u 2 ) + ( z 2 + x s ) ( l 2 一屯一地) 亚苯基链的一些结论 1 2 而由引理2 3 2 知l 2 一u 2 = l 2 一v 2 - k 岛一t 2 ，如一忱一v 2 - kl 2 一如一锄 从而可得l 3 一乱3 上毛一牡3 类似地，我们可证明厶一6 - k 风一t s ，其中a 如，u 3 ，v 3 ，姚 ( i i ) 由( i ) 知l 3 一铂- k 飓一u 3 ，l 3 一铅 日3 一地，从而可得( l s u 3 ) - i - ( l 3 一v 3 ) - k ( 飓一u 3 ) - i - ( 风一v 3 ) 而由引理2 3 3 ( i i ) 可得( 岛一u 3 ) + ( l 3 一u 3 ) - k ( 风一口) + ( 日| 3 一b ) ，其中口6 亡3 仳3 ，u s v s ，v 3 w 3 类似地，我们可证得( l s a ) + ( l s b ) - k ( 3 一t 3 ) + ( 凰一锄) ，其中 a b t 3 u 3 ，u 3 y 3 ，v 3 w 3 ( i i i ) 由引理2 3 3 ( i i i ) 知，要证明厶一u 3 一铅 日3 一口一b ，其中口6 t a u 3 ，u 3 t ) 3 ，v 3 w 3 ，只需证明三3 一t 3 一地- k 3 一u 3 一v 3 由公式( 3 ) 有 l 3 一u 3 一v a = ( 1 + 3 z + z 2 ) 三2 + + x 2 ) ( 己2 一u 2 ) + + x 2 ) ( l 2 一v 2 ) + z 2 ( l 2 一u 2 一忱) ， 3 一u 3 一v 3 = ( 1 + 3 z + z 2 ) 凰+ + 矿) ( 凰一如) + + x 2 ) ( 也一地) - i - x 2 ( 飓一t 2 一眈) ， = ( 1 + 3 z + z 2 ) l 2 + ( z + x 2 ) ( 己2 一t 2 ) + ( z + 矿) ( l 2 一抛) - i - x 2 ( 三2 一t 2 一坳) 而由引理2 3 2 知l 2 一吻= l 2 一现- k 如一t 2 ，如一u 2 一v 2 - kl 2 一t 2 一牡2 ，因 此可得l 3 一u 3 一v 3 - k 3 一蝴一 类似地，我们可证得l s 一6 一b 风一t s 一心3 ，其中a b t 3 u 3 ，让3 地，v 3 w 3 ( i v ) 现在我们来证明二3 _ 风由公式( 1 ) ，有 l 3 = ( 1 + 6 x + 9 护+ 2 x 3 ) l 2 + p + 4 护+ 3 护) ( 如一u 2 ) - i - ( l 2 一t j 2 ) + ( 护+ 3 2 3 + ) ( 如一u 2 一忱) ， h 3 = ( 1 + 6 x + 9 = a + 2 x 3 ) 飓+ ( x + 4 x 2 + 3 x 3 ) ( 凰一t 2 ) + ( 2 一地) + ( 妒+ 3 2 3 - i - x 4 ) ( h 2 一t 2 一坳) ， = ( 1 + 6 x + 9 矿+ 2 x 3 ) 如+ ( z + 4 x 2 + 3 x 3 ) ( l 2 一t 2 ) + ( l 2 一地) 】 + ( 护+ 3 x 3 + x 4 ) ( l 2 一如一t 2 ) 由引理2 3 2 知l 3 风 亚苯基链的一些结论 1 3 因此当佗= 3 时定理2 3 1 成立 ( 2 ) 假设定理2 3 1 对于所有含少于n ( 佗4 ) 个六边形的亚苯基链成立，设 p 风为含有1 1 4 ) 个六边形的亚苯基链 ( i ) 由引理2 3 1 ( i ) 知，要证明如果p h n l n ，有“一t i n p h n a ，其中 a k ，仳n ，w n ，只需证明二n 一 p h 一t t i ，和l n 一 p h n 一 由公式( 2 ) 有 厶。一= ( 1 + 缸+ 3 2 2 ) l n 一1 + + 2 x 2 ) ( l n l u n 1 ) + + 2 x 2 + z 3 ) ( l 舻1 一一1 ) + ( 护+ x s ) ( l 住一l 一一l 一一1 ) ， p 风一u n = ( 1 + 4 z + 3 x 2 ) p 风一1 + + 2 x 2 ) ( p 玩一l a n 1 ) + p + 2 x 2 + z 3 ) ( p 一l 一6 n 1 ) + ( x 2 + x 3 ) ( p h n l a n l 一6 n 一1 ) 由归纳假设知l n 一15 尸上k 一1 ，l n 一1 一u n 一15 尸三k 一1 一a n l ，l 加l 一一15 p 风一1 一k 一1 以及l n 一1 一一1 一v n 一11p 风一1 一一1 一k 一1 因为尸巩厶，即 p 三k 一1 l n 一1 。或者 一1 ，k 一1 ) t | t l 一1 ， o n 一1 ) ，从而可知上述四个不等式当中 至少有个是严格的因此，l n 一 p 风一同理可证l n 一 p 玩一 类似地，我们也可以证明如果p 风玩，有p h n 一口 i - 1 一k ，其中 口 t n ，t ) ( i i ) 由( i ) 可知如果p 风l n ，有厶一 p h , - a ，其中a k ，让n ，v n ，w n ， 且由引理2 3 2 ( i ) 有l n t t l = 厶一因此可得( l n 一) + ( l 竹一) ( 尸巩一a ) + ( p 风一6 ) ，其中a b t n u n ，t t l ，) 再证如果p h n 风，有( p h 一口) + ( p 风一6 ) ( 一k ) + ( 风一) ，其中 a b 亡n t t i ，? j n u j n 】- 由引理2 3 1 ( i i ) 知，只需去证( p 风一k ) + ( p 玩一) ( 日一t n ) + ( 月k z k ) 且( p 日一t k ) + ( p 日一t n n ) _ ( 月k k ) + ( 月k t k ) 由 亚苯基链的一些结论 1 4 公式( 2 ) 有 ( p 玩一如) + ( p 风一位住) = 2 ( 1 + 4 x + 3 x 2 ) p 凰一1 + ( 2 。+ 5 x 2 + x 3 ) ( p 风一1 一口t i 1 ) + ( 2 z + 4 2 2 + z 3 ) ( p 巩一l k 一1 ) + ( 2 护+ 3 x a ) ( p h 一l a n 一1 一k 一1 ) ， ( 玩一t n ) + ( t t 一心n ) = 2 ( 1 + 4 x + 3 x 2 ) 风一1 + ( 2 z + 5 x 2 + 矿) ( 凰一1 一t n 1 ) + ( 2 x + 4 轳+ 护) ( 玩一l t 五n 一1 ) + ( 2 x 2 + 3 x s ) ( p h = 一1 一如一1 一t ，l 1 ) 由归纳假设知p t t 一1 墨1 t 一1 。p 1 t 一1 一一15t t 一1 一k 一1 。( p 1 t 一1 一 一1 ) + ( p 风一1 6 n 1 ) 冬( 1 t 一l 一“一1 ) + ( 风一l 一一1 ) 以及p h n l 一一1 6 n 一15 三k 一1 一九一l 一一1 因为p 三k 1 t ，即p 三k 一1 上乙一1 ，或者 一1 ，k 一1 亡n 一1 ，一1 ) ，从而可知上述四个不等式当中至少有一个是严格的，通过一些简单 的运算可得( p t t 一t n ) + ( p t t 一) ( 巩一k ) + ( 风一) 同理可证( 尸巩一 钉n ) + ( p 1 t 一叫n ) ( 玩一t n ) + ( 巩一) ( i i i ) 要证如果尸日；k ，有三n 一一一 p z 乙一a b ，其中a b n t n ，) 由引理2 3 1 ( i i i ) 可知，只需去证l n 一一 p h n - - i t 竹一 由公式( 2 ) 有 厶。一一= ( 1 + 3 z + z 2 ) l n 一1 + + 妒) ( 厶一l u n - - 1 ) + 0 + z 2 ) ( l n 一1 一一1 ) + 铲( 三n l 一一l 一一1 ) ， p 风