猜想型试题含答案-.doc

猜想型试题例1（2005年常州）如图，已知为等边三角形，、分别在边、上，且也是等边三角形（1）除已知相等的边以外，请你猜想还有哪些相等线段，并证明你的猜想是正确的；（2）你所证明相等的线段，可以通过怎样的变化相互得到？写出变化过程分析：本题要求学生在掌握全等三角形的概念和性质的基础上，灵活运用三角形全等的判定及性质进行结论猜想。求解这类问题，不能随意乱猜，要结合题目给出的条件，根据图形直观的找出结论后再进行合理的推理论证。解：（1）图中还有相等的线段是：AE=BF=CD，AF=BD=CE， 事实上，ABC与DEF都是等边三角形， A=B=C=60，EDF=DEF=EFD=60,DE=EF=FD， 又CED+AEF=120，CDE+CED=120 AEF=CDE，同理，得CDE=BFD， AEFBFDCDE（AAS），所以AE=BF=CD，AF=BD=CE。 （2）线段AE、BF、CD它们绕ABC的内心按顺时针（或按逆时针）方向旋转120，可互相得到，线段AF、BD、CE它们绕ABC的内心按顺时针（或按逆时针）方向旋转120,可互相得到。 说明：1.本题考查的是在三角形全等的判定及应用及旋转变换，它立意考查学生的观察、分析问题的能力.2.因为几何直观是一种思维形式，它是人脑对客观事物及其关系的一种直接的识别或猜想的心理状态它不仅拓展了学生的思维空间，考查了学生的能力，更因为几何直观具有发现的功能这种思维既有形象思维的特点，又有抽象思维的特点，所以成为近几年中考试题的考点及热点问题。练习一1.（2005年北京丰台）已知：如图，四边形ABCD是菱形，E是BD延长线上一点，F是DB延长线上一点，且DE=BF。请你以F为一个端点，和图中已标明字母的某一点连成一条新的线段，猜想并证明它和图中已有的某一条线段相等（只须证明一组线段相等即可）。 （1）连结_； （2）猜想：_=_；（3）证明：2（2005年河北）如图1012（1），1012（2），四边形ABCD是正方形，M是AB延长线上一点。直角三角尺的一条直角边经过点D，且直角顶点E在AB边上滑动（点E不与点A，B重合），另一条直角边与CBM的平分线BF相交于点F。如图1012（1），当点E在AB边的中点位置时：通过测量DE，EF的长度，猜想DE与EF满足的数量关系是 ；连接点E与AD边的中点N，猜想NE与BF满足的数量关系是 ；请证明你的上述两猜想。如图1012（2），当点E在AB边上的任意位置时，请你在AD边上找到一点N，使得NE=BF，进而猜想此时DE与EF有怎样的数量关系。3（2005年河南）空投物资用的某种降落伞的轴截面如图所示，是等边三角形，、是以为直径的半圆的两个三等分点，、分别交于点、，试判断点、分别位于所在线段的什么位置？并证明你的结论（证明一种情况即可）4（2005年潍坊）如图，已知平行四边形及四边形外一直线，四个顶点到直线的距离分别为（1）观察图形，猜想得满足怎样的关系式？证明你的结论(2)现将向上平移，你得到的结论还一定成立吗？请分情况写出你的结论5.（2005年锦州）如图a，ABC和CEF是两个大小不等的等边三角形，且有一个公共顶点C，连接AF和BE. (1)线段AF和BE有怎样的大小关系?请证明你的结论； (2)将图a中的CEF绕点C旋转一定的角度，得到图b，(1)中的结论还成立吗?作出判断并说明理由； (3)若将图a中的ABC绕点C旋转一定的角度，请你画山一个变换后的图形c(草图即可)，(1)中的结论还成立吗?作出判断不必说明理由； (4)根据以上证明、说理、画图，归纳你的发现. 例题2（2005年福建三明市）已知二次函数(为常数，=)的图象与轴相交于A，B两点，且A，B两点间的距离为，例如，通过研究其中一个函数及图象(如图)，可得出表中第2行的相交数据。561231223 在表内的空格中填上正确的数；根据上述表内d与的值，猜想它们之间有什么关系？再举一个符合条件的二次函数，验证你的猜想；对于函数：(为常数，=)证明你的猜想。分析：用求根公式进行“两根差“的运算，也可以得到相应猜想的证明； 无论是先用的证明，还是先用的证明，只要两种证明都正确。解：第一行 ； 第三行 ，=9，； 猜想： 例如：中；由得， 证明。令，得，0 设的两根为， 则+， 说明：这是一道设计新颖的猜想题目，它不仅考查学生的分析，观察能力，而且还考查了一元二次方程与函数的关系。通过猜想，归纳结论，从而体现从特殊到一般的认识规律反映出从一般又回到特殊的思想的方法。练习二1、（河南课改）已知：在RtABC中，C900，A、B、C的对边分别为a、b、c，设ABC的面积为S，周长为l。填表：三边a、b、cabc3、4、525、12、1348、15、176如果abcm，观察上表猜想：_(用含有m的代数式表示)。证明中的结论。2、如图1，平面直角坐标系中有一张矩形纸片OABC，O为坐标原点，A点坐标为(10，0)，C点坐标为(0，6)。D是BC边上的动点(与点B、C不重合)，现将COD沿OD翻折，得到FOD；再在AB边上选取适当的点E，将BDE沿DE翻折，得到GDE，并使直线DG、DF重合。(1)如图2，若翻折后点F落在OA边上，求直线DE的函数关系式；(2)设D(0，6)，E(10，b)，求b关于a的函数关系式，并求b的最小值；(3)一般地，请你猜想直线DE与抛物线y=x2+6的公共点的个数，在图二的情形中通过计算验证你的猜想；如果直线DE与抛物线y=x2+6始终有公共点，请在图一中作出这样的公共点。3、（2003年大连）已知A1、A2、A3是抛物线上的三点，A1B1、A2B2、A3B3分别垂直于x轴，垂足为B1、B2、B3，直线A2B2交线段A1A3于点C。（1） 如图，若A1、A2、A3三点的横坐标依次为1、2、3，求线段CA2的长。（2）如图，若将抛物线改为抛物线，A1、A2、A3三点的横坐标为连续整数，其他条件不变，求线段CA2的长。A1A2A3B3B2B1OCxy（3）若将抛物线改为抛物线，A1、A2、A3三点的横坐标为连续整数，其他条件不变，请猜想线段CA2的长（用a、b、c表示，并直接写出答案）。4、（2005年临沂）ABC中，BC，AC，AB，若C=90，如图1，根据勾股定理，则，若ABC不是直角三角形，如图2和图3，请你类比勾股定理，试猜想与的关系，并证明你的结论。能力训练1（2005年青岛）在斜边AB的中点P处，将三角板绕点P旋转，三角板的两直角边分别交射线AC、CB于D、E两点。图，是旋转三角板得到的图形中的3种情况。 研究： （1）三角板绕点P旋转，观察线段PD和PE之间有什么数量关系？并结合图加以证明。 （3）若将三角板的直角顶点放在斜边AB上的M处，且AM：MB1：3，和前面一样操作，试问线段MD和ME之间有什么数量关系？并结合图加以证明。2（2005年苏州）(1)如图一，等边ABC中，D是AB边上的动点，以CD为一边，向上作等边EDC，连结AE。求证：AEBC；(2)如图二，将(1)中等边ABC的形状改成以BC为底边的等腰三角形，所作EDC改成相似于ABC。请问：是否仍有AEBC？证明你的结论。3. （2005年宜昌课改）如图，AB是O的直径,BD是O的弦，延长BD到点C,使DC=BD,连接AC交O与点F.（1）AB与AC的大小有什么关系?为什么?（2）按角的大小分类, 请你判断ABC属于哪一类三角形，并说明理由.4（2005年玉林）如图(1)，AB是O的直径，射线ATAB，点P是射线A T上的一个动点(P与A不重合)，PC与O相切于C，过C作CEAB于E，连结BC并延长BC交AT于点D，连结PB交CE于F (1)请你写出PA、PD之间的关系式，并说明理由； (2)请你找出图中有哪些三角形的面积被PB分成两等分，并加以证明； (3)设过A、C、D三点的圆的半径是R，当CF=R时，求APC的度数，并在图(2)中作出点P(要求尺规作图，不写作法，但要保留作图痕迹)5（2005年绍兴）E、F为ABCD的对角线DB上三等分点，连AE并延长交DC于P，连PF并延长交AB于Q，如图（1） 在备用图中，画出满足上述条件的图形，记为图，试用刻度尺在图、中量得AQ、BQ的长度，估计AQ、BQ间的关系，并填入下表长度单位：cmAQ长度BQ长度AQ、BQ间的关系图中图中 由上表可猜测AQ、BQ间的关系是_（2） 上述（1）中的猜测AQ、BQ间的关系成立吗？为什么？（3） 若将ABCD改为梯形（ABCD）其他条件不变，此时（1）中猜测AQ、BQ间的关系是否成立？（不必说明理由）6、（2005年黑龙江）已知矩形ABCD和点P，当点P在图1中的位置时，则有结论：SPBC=SPAC+SPCD理由：过点P作EF垂直BC，分别交AD、BC于E、F两点图l SPBC+SPAD=BCPF+ADPE=BC（PF+PE）=BCEF=S矩形ABCD又 SPAC+SPCD+SPAD=S矩形ABCD SPBC+SPAD= SPAC+SPCD+SPAD SPBC=SPAC+SPCD 请你参考上述信息，当点P分别在图2、图3中的位置时，SPBC、SPAC、SPCD又有怎样的.数量关系?请写出你对上述两种情况的猜想，并选择其中一种情况的猜想给予证明 答案：练习一1、（1）略（2）。猜想AF=AE （3）证法一：连结AF， 连结AC，交BD于O 四边形ABCD是菱形，于O，DO=BO 垂直平分EF 证法二：四边形ABCD是菱形， ， 在中 2解：DE=EF；NE=BF。证明：四边形ABCD是正方形，N，E分别为AD，AB的中点，DN=EBBF平分CBM，AN=AE，DNE=EBF=90+45=135NDE+DEA=90，BEF+DEA=90，NDE=BEFDNEEBF DE=EF，NE=BF在DA边上截取DN=EB（或截取AN=AE），连结NE，点N就使得NE=BF成立（图略） 此时，DE=EF3、4、（1） 证明：连结，且相交于点，为点到的距离，OO1为直角梯形的中位线 ，；同理：（2）不一定成立分别有以下情况：直线过点时，； 直线过点与点之间时，；直线过点时，；直线过点与点之间时，；直线过点时，；直线过点与点之间时，；直线过点时，；直线过点上方时， 5、(1)AF=BE. 证明：在AFC和BEC中，ABC和CEF是等边三角形，AC=BC，CF=CE，ACF=BCE=60.AFCBEC. AF=BE. (2)成立. 理由：在AFC和BEC中， ABC和CEF是等边三角形， AC=BC，CF=CE，ACB=FCE=60. ACB-FCB=FCE-FCB.即ACF=BCE. AFCBEC. AF=BE.(3)评价要求：此处图形不惟一，仅举几例，只要正确，即可得分. 如图，(1)中的结论仍成立.(4)根据以上证明、说明、画图，归纳如下：练习二1、填表：三边a、b、cabc3、4、525、12、13418、15、176证明：abcm，abmc，a22abb2m2c22mc。a2b2c2，2abm22mcm(m2c)2、（1）y=-x+12。 （2）当a=5时，b最小值= （3）猜想：直线DE与抛物线证明：由（1）可知，DE所在直线为y=-x+12。 代入抛物线，得 化简得x2-24x+144=0，所以=0。 所以直线DE与抛物线作法一：延长OF交DE于点H。作法二：在DB上取点M，使DM=CD，过M作MHBC，交DE于点H。3、解：（1）方法一：A1、A2、A3三点的横坐标依次为1、2、3，A1B1= ，A2B2，A3B31分设直线A1A3的解析式为ykxb。 解得直线A1A2的解析式为。CB222CA2=CB2A2B2=2。 方法二：A1、A2、A3三点的横坐标依次为1、2、3，A1B1= ，A2B2，A3B3 由已知可得A1B1 A3B3，CB2（A1B1A3B3）（）。CA2=CB2A2B2=2（1） 方法一：设A1、A2、A3三点的横坐标依次n1、n、n1。 则A1B1= ，A2B2=n2n1， A3B3=(n1)2（n1）1。设直线A1A3的解析式为ykxb解得直线A1A3的解析式为，CB2n（n1）n2n2nCA2= CB2A2B2=n2nn2n1。 方法二：设A1、A2、A3三点的横坐标依次n1、n、n1。 则A1B1= ，A2B2=n2n1，A3B3=(n1)2（n1）1。 由已知可得A1B1 A3B3，CB2（A1B1A3B3）= = CA2= CB2A2B2=n2nn2n1。（2） 当a0时，CA2a；当a0时，CA2a。4、解：若ABC是锐角三角形，则有a2+b2c2 若ABC是钝角三角形，C为钝角，则有a2+b20，x02ax0a2+b2c2 当ABC是钝角三角形时，证明：过点B作BDAC，交AC的延长线于点D。设CD为x，则有DB2=a2x2 根据勾股定理得 (bx)2a2x 2c2即 b22bxx2a2x 2c2a2b22bxc2 b0，x02bx0a2+b2c2能力训练1（1）连结PC （2）共有四种情况， 当点C与点E重合，即CE0时，PEPB 当CE1时，此时PEBE （3）MD：ME1：3 2NM3.（1）（方法1）连接DO. OD是ABC的中位线， DOCAODBC，ODBOOBDODB，OBDACB， ABAC（方法2）连接AD， AB是O的直径，AOBC，BDCD，ABAC（方法3）连接DO.OD是ABC的中位线，OD=AC，OB=OD=AB AB=AC 4