（电磁场与微波技术专业论文）时域有限元方法中吸收边界条件和快速求解技术的研究.pdf

硕 论 文时域有限儿方法中吸收边界条件和快速求解技术的研究 ab s t r a t t s i n c e c o m p u tati o na】 e l e c tr o m a g n 比c was p r o pose d asa n ew b r ancho f sc i en c e ， th e fr equ e n c y m e t h o ds h asal w a y s 比e n the d o m i n aj 从o ne. howev e r ， aspeo p l e s l u d y m o reand m o 祀 d e 印l yin the即p l i c at i o no f el e c tr o m a g n etic ， th e。 习 d i ti o nal point 触q u enc yo r naztow-b and 斤 equen c y m e th o dscan n otbeeno u ghfo r the d einand s o f 引 刀 d 黔 the n e e d o f sc i en eep r a c t i ce m ak e s the t i m e doinainm e th 侧 妇d e v el 叩. as the deve 1 0 p m e nio f th e com p u t e r tec俪 q ues ， peo pl em a 蛇 erthe abil ity o f a n a l 邓eandsol 吹 the t 而e -d 司 笼 n d el ectrom a gnetic侧thb r o ad b andint li ” e d 。 蒯 几so we can kno wthe p h y si cal quant ity and pheno m eno n deepl yand d 如 戈 t 】 y. inthis p al 把 r ， we m a 词y 劝 目 y the 月 n j ted einent t line d o m al n( f e t d 冲ethod. fi 成 we in t r od暇 th e f e t dmet h o d b a se d on the v e c td r waveeq uati 叽 助 d v a l i d a l e th e m etho d wi thtwore so nan ce cav i typ ro bl elns . 认 七 e nus 吨 the f e t dm e th o db as ed on di ffere nt i al eq切 at i o ns to th ep r o bl ern 雨th 。 声ndon ” 氏 we hav eto 城 app r o p n ate 比un d 娜 co n d i t i o nat阮 。 七 叮 。 时 i o no f th e dom a i n . th峨允 r e ， we 叩 p l y th e 讲到 免 c t l y m a t c h e dl 即ers( p ml s ) i n to t h ef e t dm e tho dinth e 如 sotrop i cm e di um . 丁 七 enum eric al re s u 1 ts o f so m e wav e gui d e and m i crostrip l in e p ro b l etns sb o wdi s ti nc t l y t ha t we c anab so rb th e o uter wav e e 到 淤 c t l v e l y b y c h o o s e th e a p p ro p ri 班 1 即 ers an d口 呻 . then we s t u d y to 讥m c ate th ep ml sl ayer sb ythe firs t ord er absothi ng bound a rycon di t i ons ( a b c s ) s o me n um e ri c ale x amp l e s sho wthe res ul tso f abs o r b ing the o u 枉 ，认 旧 v e t n ln c atio n勿 the fi rst 。 r d era b c s co m p ar e d幼th the r es u l tstn 川 c at i on by p e cw a 】 1 5 . inth e sam ep m l s s i t uat i o n ， p ml s b ack ed w ith fi r s t o r d era b cc an 代 吐 u ce at l e ast l o d bo f th erefl e c t i on e rr o rscom p ar e d 诫th th ep ml s b 即k e dwith p e cw al l . f u rt h e n n o r e ， we nee dtosol ve l axge sp ar sem 川 ri x atevery t 而e m at c h s t e p inthe f e t dm e th od. inthis p a per ， we a p p l y the m ul t i 加n ta l m e t h o dands s o rgm etho d s tosol v e the m a t ri xi n resonan ce c avity and m i c ros tri pl i n e p r o b l ems . the re s ul tss h o wc ie arly th atth e m u l t i fron ta 】 met h od can red u c eth e c o m p u ta t 1 o nal t i meconsum e d l ycom p ared to th es s 0 r ee c gme th o ds as the u 川 m o wn q uan t ity an d th e p r e c i s i o n d emands in creasmg . therefo r e w e n e e d s o m e m o 邝 comp u t e me n l o n e s k e 州o r d s : fi n it e e l e m e nt tlin e 一 d o m a i n ( f e t d ) ，p e r fe ct ly m at c h e d ia y e rs ( p m l s ) ，th efi rst o r d e r abso rb ing bounda ry con d it ions ( a b c s ) ， s s or 一 c gmeth o d ，mu l t i fr o n ta l me l h o d 声明 本学位论文是 我在导师的指导下取得的研究成果， 尽我所知， 在 本学位论文中， 除了 加以标注和致谢的 部分 外， 不包含其他人己经发 表或公布过的研究成果， 也不包含我为获得任何教育机构的学位或学 历而使用过的材料。 与我一同工作的同事对本学位论文做出的贡献均 己 在论文中作了明 确的说明。 研究生签名: 2 0 0 7年7月 2 日 学位论文使用授权声明 南京理工大学有权保存本学位论文的电 子和纸质文档， 可以借阅 或上网公布本学位论文的部分或全部内 容， 可以向有关部门或机构送 交并授权其保存、 借阅 或上网公布本学 位论文的部分或全部内容。 对 于保密论文，按保密的有关规定和程序处理。 研究生签名: 2 0 0 7年7 月 2 口 硕 梦 : 论文时域有限兀方法中 吸收边界条件和快速求解技术的研究 1绪论 l l研究背景及愈义 高性能计算技术由 硬件和软件两个部分组成。 在软件方面， 其核心是算法， 这是 计算机的灵魂. 对于一个给定的计算机系统而言， 其解决问 题的能力和工作效率是由 算法来决定的. 几十年来， 计算机理论学者和算法专 家一 直在致力于寻找针对一般问 题的实时高性能算法和针对大规模难解问题的快速算法。 在高性能计算技术发展的同时， 在电磁场与微波技术学科中， 以电磁场理论为基 础，以高性能计算技术为手段， 运用计算数学提供的各种方法， 诞生了一门解决复杂 电 磁场理论和工程问题的 应用科学 计算电 磁学( c o m p u tati o nal el ec trom agn etics )， 它是一门新兴的边缘交叉科学。 电磁场理论的早期发展和无线电通信、 雷达的发展是分不开的， 它主要应用在军 事领域。现在，电磁场理论的应用己经遍及地学、生命科学和医学、材料科学和信息 科学等几乎所有的技术科学领域。 计算电磁学的研究内容涉及面很广， 它渗透到电磁 学的各个领域， 与电 磁场工程、 电磁场理论互相联系、 互相依赖。 对电 磁场工程而言， 计算电磁学是要解决实际电磁场工程中越来越复杂的电 磁场问题的建模与仿真、 优化 设计等问题; 而电磁场工程也为之提供实验结果，以验证其计算结果的正确性。 对电 磁场理论而言，计算电磁学研究可以为其研究提供进行复杂的数值及解析运算的方 法、 手段和计算结果; 而电 磁场理论的研究也为计算电磁学研究提供了电 磁规律、 数 学方程， 进而验证其计算结果。目 前， 计算电磁学已 成为对复杂体系的电磁规律、电 磁性质进行研究的重要手段， 为电磁场理论研究开辟了 新的途径， 极大地推动了电磁 场工程的发展。 1 .2研究历史与现状 自 从计算电 磁学作为一门 学科问 世， 频域方法一直占 据着主导地位。 然而， 随着 人们在应用电磁学领域研究的深入，传统的点频法和窄频带方法己经不能满足需要. 科学实践的需求推动了时域数值技术的发展和成熟。以计算机硬件技术的发展为契 机， 人们逐步具有了 直接在时域对具有宽频带特性的瞬变电 磁场计算分析的能力。 从 而实现了 对物理量和物理现象更深刻、 更直观的理解。 与频域方法相比， 时域方法有其突出的 优点， 如: 时域方法的一次模拟可以 获得 宽带数据， 而频域方法需 要计算许多频率取样点， 再通过傅立叶逆变换得到有限带宽 的 时 域数据， 计 算量 一 般要大 得多: 时 域方法直接 给出 时 域结果， 能清晰地反映串电 硕 1 : 论文时域有限兀方法中吸收边界条件和快速求解技术的研究 磁波与目标随时间的相互作用。 计算电磁学中的时域方法主要包括有: 时域有限差分 法 ( f d ， )，时域有限元法(f e t d ) ， 传输线矩阵 法( t l m ) ，时域积分方程法 ( tdie) 和多 分辨率时 域技术( m 叹 t d ) 等. 有限元法的数学基础是形tz 变分原理和g al e d d n 方法，具有对复杂结构建模的自 由性。作为广泛应用的频域方法，近年也发展到时域，即利用上述原理和方法将 m axwen 方程转化为微分方程，再通过差分近似替代微分求解。最初，这种方法中能 求解m axwell 旋度方程中的一个，并且由于应用点匹配法，可能造成较大的误差，后 来发展为能够同时求解两个旋度方程， 并通过采用合适的差分方式提高了 运算结果的 精度。 本文所研究的是时域有限元法( f e t d ) 。 f e t d ( finiteel ernent ti m e dom a 山 ) 法从单 元基的构成角度。 可以分为节点基单元和矢量基单元。 由于用节点基单元表示矢量电 磁场时， 会遇到棱角和分界面难以处理以及出现伪解的情况， 故而， 矢量基单元应用 更广泛。 从网 格的构成角度， 分为非交错的单电 ( 磁) 场三变量模型和网格交错的电 场、 磁场六变量模型。 从计算机格式的角度， 可以分为需要求解逆矩阵的隐式格式和不需 求解逆矩阵的显式格式。 应用显式格式计算时， 矢量基单元只能采用点配法或参数集 总的方法， 精度较低。 而隐式格式的 优点是精度较高， 但在计算量方面， 该方法比频 域的有限元法大得多。 这种方法在计算中是否稳定， 取决于在场量更新过程中涉及到的矩阵运算。 玫e j f 探讨了 求解有限元的各种差分方程的稳定性，得出 利用混合差分可获得无条件稳定 的 迭 代 公 式 的 思 想13 。 drl y n c h 等 考 虑 将 运算中 涉及的 稀 疏矩 阵 进行 变形， 令 远离 对角 线 的 元素为 0， 达到 减少 计 算量的目 的 141 。 dk oh 发 展了 共形 技术， 并且和 包括 f d td法在内的 其它方法相结合， 充分发挥了 有限 元方法对复杂结构建模的能力15 。 k s k o 而， 班k等对fet d 法的 吸收 边界 条 件进行了 卓有成效的 研究 161 。 另 外可以 采用各 种加速手段力争减少求解问题所需的计算量和存储量，以提高计算精度和计算效率。 1 .3本文的主要内容和安排 本文首先介绍了时域有限元方法的基本理论，并研究了基于矢量波动方程的时 域有限 元方法的有效性， 其次研究了各向异性介质完全匹配层和基于一阶吸收边界 条件的各向异性介质完全匹配层在时域有限元方法中的应用， 同时将矩阵方程的快 速求解技术加入时域有限元方法中进行了 分析。 本文的主要安排如下: 第一章: 介绍本文的研究背景及意义，以及时域有限元方法的研究历史与现状。 第二章:介绍时域有限元方法的基本原理，并且通过对谐振腔的仿真分析验证 了基于矢量波动方程的时域有限元方法的有效性。 硕 下 论 文时域有限元方法中吸收边界条件和快速求解技术的研究 第三章:研究各向 异性介质完全匹 配层(p m l ) 在时域有限元方法中的应用，并 分别对微带平面电路和波导结构进行了 仿真分析。 第四 章: 研究一 阶吸收 边界条件与各向异 性介质完全匹配层的结合，并 分析其 在时 域有限 元方法中的良 好的吸收外向 波的性能. 第五章:研究矩阵方程中的快速求解技术在时域有限元方法中的应用。 最后总结和回顾了本文的工作，并对未来的工作作了部分展望。 硕 j 论 义时域有限元方法中吸收边界条件和快速求解技术的研究 2 时域有限元方法的基本理论 有限元的思想是 1943 年在 cou 里 a n t 的论文中明确提出的。有限元最重要的工作 来源于结构工程师。我国数学家冯康早在 1 9 6 5年就独立地提出井参与了 有限元法 的创始和奠基工作。 1 9 68 年左右。 数值分析科学认识了有限元法的基本原理并建立 了相 应的 数学基础121 。人们发现有限元 法师逼近论， 偏微分 方程， 变分与 泛函 分析 的巧 妙结合。 从数学上讲， 有限 元是rayl ei gh- 形 tz ( 泊 l e rk in法的推广。 拓 tz法并不 直接用 于微分方程， 而是用于对应的 变分形式， 同时还 假设 近似解就是给定的 试探 函 数 从 x) 的 组 合 2 玛 戈， 即 为 加 权 余 量 法 有 限 元 法 中 的 试 探 函 数 为 分 片 多 项 式 ， 这种分片多 项式在函 数逼近论中占 有重要地位，构成索伯罗 夫( 5 01 。 悦 r ) 空间， 索伯 罗夫空间 特性和嵌入定 理成为有限 元分 析的基 础。 时 域有限 元方法在求 解电 磁场问 题时， 主要有以 下几个步骤: 区域离散: 插值函 数的选择;方程组公式的建立;方程组的求解。 2.1区域剖分和插值函数的构造 设问题的解域为v，其边界为5。利用有限元法计算这类问题的第一步是将区 域v 剖分为 有限 个单元. 在计算三维问 题时较多地采用四面体 单元。 用四面体单 元对犷 进行剖分后， 5 将被三角形单元所代替。 用e 表示四面体单元 的编号，单元e 的顶点称为节点，分别用 1 ，2 ，3 ，4表示，如图 2 . 11 所示。设四 面体 单元的 总数为m，则。 二 1 ， 2 ， 二 ， 材 . 匕 图 2.1 . 1 四面体单元 硕 古 : 论 文时域有限元方法中吸收边界条件和快速求解技术的研究 若用线性插值函数，则任一四 面体单元e 内 的未知函数价 可近似表示为 尹 e ( x ， y ， 2 ) = 辉+ 几x + 对y + 店 2 ( 2 . 1 . 1 ) 其中群(i 二 1. 2. 3 ， 4)为 待定系数。四个节点上的未知函 数值可分别表示为 e = 1 ， 2 ， ， m，(21 . 2 ) 片芍可对 戊风戊对 +十+ 片式片片 鹰99店 十+十 对叮对对 戊群浑对 +十+ 片片片片 一一一一一一= 诃树可诃 其中对，丫和2 了 (i = 1 ， 2 ， 3 ， 4)为 单元。 中的节点 坐标。由以 上四 式可解出 二 箭 (“ 终 “ “ )， 口 ，3) 武对对对 诃对对对 或片j，;成 诃片片片 1一犷 -6 一一 辉 1式片2:! 树对劣 式式成 诃对片 几 = 恭赤(、 + “十 “+ “ 引 ， (2 1 4) = 箭 (c: 、 “十 、 十 “)， (2 1.5) 心武对 劣诃对 片树书 1片诃片 店= 共 of - 凡 = 箭 = 熹( 才 好 十 “ 十 诃 十 引， (2.l.6) oy 1对对武 1对对诃 1片片式 1片对歼 其中 ( 2 ， 1 。 7 ) 1对另或 1对片城 1城.片城 1对对片 1一6 - 犷 为 单 元。 的 体 积， 系 数可， 材， 才 和才 (i = 1 ， 2， 3 ， 4)由 节点 坐 标决 定 。 例 如 ， 当 时有 硕 1 : 论 文 时域有限元方法中吸收边界条件和快速求解技术的研究 ( 2 . 1 . 8 ) 成2: 片对对 - i 呵 或叮对 对对对 石对对 一- 可 (2 1 ， 9) 大片片 片对 l日尸1卜lles111-1.11.卜lllesi，l1f 才 = 一 对对 片对心 一一 才 其他系数可由下角标循环依次获得. 将拼(i = 1 ， 2 ， 3 ， 4 ) 带入式 ( 2 . 1 . 1 ) ， 可得 了(x ， y ， 小 艺丫(x ， y ，2 斌， (2. 1 . 1 0 ) 其中n，称为形函数: 二 (x， y， z) = 步 (a: + b，ly ， 。 + 。 ). ( 2 . 1 . 1 1 ) 可 以 证 明 ， 衅( x， y ， : ) 具 有如 下 性 质 : 丫( x ，y ， 2，)= 凡 = 1 ， 1 = j 0， 1 护j 1 ， j = 1 ， 2 ， 3 ， 4 ，( 2 . 1 . 1 2 ) 其 中氏 为 克 罗 内 克 (e 淦 。 n e c k e r) 占 函 数 : 氏= 1 ， 玄 = j 0 ， 1 护j ( 2 . 1 . 1 3 ) 若 观 察 点 位于 四 面体 单 元 。 中 与 第1 个 节 点 相 对的 三 角 形内 ， 则 鲜(x ，y ， 2) 为零 ， 使 得 单元之间的 连续性得到了保证。 式(2 . 1 ， 10 ) 表明， 鲜相当于单元。 内 的基函数， 所 以也被称为插值函数或基函数. 2. 2矢量基函数 在电 磁场有限元分析中， f e m的 单元 类型分为 结点 单元和矢量单元两类。 传统 的 有限 元方 法一 般使用基于结点的 基函数。 它主要有三个缺陷:首先， 可能会出现 非 物理解或 所谓伪解，该 解通常是由 于 未强 加散 度条件引起的:其次， 在材料界面 和导 体表面不易强加边界条件: 另外， 不能 模拟导体和材料的角、 边 缘和 尖点， 这 是由于这些相关结构的场的奇异性造成的.因此，必须寻找其他的方法来解决这些 硕 七 论 文时域有限元方法中吸收边界条件和快速求解技术的研究 问 题。 矢量 有限 元的出 现可以 很好的 解决上述问题。由 于这种方法使用矢量基或矢 量元， 即 把自 由 度赋 予棱边而不是 单元结点， 所以又 被称之为 棱边 元( ed geel eme nt ) 。 wh itney 最早描述过 这些类型的单元，但是它 在电 磁学中的 重要性直到八十年代才 被认识到。1 9 84 年 h an。 独立地导出了矩形棱边元，并用于介质加载波导的分析。 1 987 年b arton 和 c endes 将四面体棱边元用于三维磁场计算。 在三维问题中四面体 单元的矢量基函数如 下: 令l，= n， 1 = 1 ， 2 ， 3 ， 4 ， 其中从如 ，1气乙内，| ，山叫盯 222，l让 式 (2 . 1 . 1 1) 所示。定义认 、 i to ey矢量基函 数: 峨2 = 乌 v 几一 几 勺 乌 很 容 易 证明 喊 ， 具 有 如 下 性 质 : v 班: 二 0 ， vx 不: 二 z v 几x v 几 由式 (21 . 11 ) 和(2 . 1 . 1 2) 可以 看出，几 (i = 1 ， 2 ， 3 ， 4)为线性函数。乌的值从节点 变 化 到 节 点2 处 的0 ， 几的 值 从节 点2 处 的1 变 化 到 节 点1 处 的0 . 所以 ， 若用 气 表 示从节点 1 指向节点2的单位矢量，则有 。 二 = 一 青 ，。 叭 二 资 ， ( 2 . 2 . 4 ) 其中六 为棱边1 的长度。由 此可得 _。 _ 几+ 乓_ 1 ， rr ” 一 下石一 万 ( 2 .2 .5 ) 这 说 明峨 2 沿 棱 边1 有 一 个 不 变的 切向 分 量。 而 且 ， 由 于人 沿 棱 边4，5 ， 6 为零 ， 几 沿 棱 边2 ， 3 ， 6 为 零， 故巩 : 沿 这 五条 棱 边 都 没 有 切 向 分 量 . 又 由 于 石 在由 节点2 ， 3 ， 4 所 定 义 的 三角 形 平 面 上 为 零， 几 在由 节 点1 ， 3 ， 4 定 义 的 三 角 形 平 面上 为 零， 故峨 2 在 这 两 个 三 角 形 平 面 上 也 没 有 切 向 分量 。 可 见 ， 砚 : 的 切向 分 量 只出 现 在 棱 边 1 上以 及分别由节点1 ， 2 ， 4 和1 ， 2 ， 3 定 义的 两个三角形平面内。 这样，不 2 具 备 了 作为 与棱边1 相关的 棱边场的矢量基函 数所需的 特性。 定 义与 棱边 1 相关的矢 量 基函 数拭: 硕 卜 论 文 时域有限元方法中吸收边界条件和快速求解技术的研究 私一峨2 八 = ( 石 v 几一 几 v 石 )l， 一 般地， 可将与棱边1 (i = 1 ， 2 ， ， 6)相关的矢 量基函 数定义为， 戈= 嗽必= ( 人 v 气一 人 叭 又 其 中 式 为 棱 边厄 的 长 度 。 棱 边 1 与 节 点ij 和 屯 的 关系 列 于 表 ( 2. 2 . 1) 中 。 四面体 e 单元内电场e可以扩展写为 e = 艺从双 ( 2 .2 .6 ) ( 2 .2乃 ( 2 ， 2 ， 8 ) 其中，e，为 沿棱边1 的切向 场分量。 表2， 2，1 :四面体单元的棱边定义 棱边1 结点凡 结点几 l 2 3 4 5 6 l l l 2 4 3 2 3 4 3 2 4 z j基于麦克斯韦旋度方程的时 域有限元 法111，阴 一 191 考虑一个区域犷， 边界为5 ， 其内 部媒质的特性用 和p 表示 ( 二者均可能是空 间 位 置 的 函 数 )，且犷 的 内 部 存在 电 流 分 布j ( r)， 于 是 ，犷 内电 磁 场 满 足 麦克 斯 韦 旋度方程 v 、 ， = 一 产 擎 砚 v 、 厅 = 二 丝十 了 ( 2 . 31 ) 作 为 初 边 值问 题， 万 和万的 切向 分 量 或 其 间 的 阻 抗关 系 在5 上 对 时 间 t 全 。 必 须 是 确定 的. 为了 保证解得唯一性， 设 在t = 妇 时犷内的 初始场是已 知的。 这时， 方程 硕 1 : 论 文 时域有限元方法中吸收边界条件和快速求解技术的研究 (2 31 ) 的解是存在且唯一的， 可以 通过加权余量法 或伽辽 金建立时域有限 元的两种 基 本方程 。 若 选 犷 内 平 方 可 积 的 矢 量 函 数 f (， 。 州 v) )作 为 检 验 函 数 并 作 用 于 方 程 (2. ， ，)， 则有 隋 一 “ 卜 0 ， $+v 卜 。 ( 2 . 3 .2 ) .卜; ( 2 . 3 . 3 ) .卜.犷 若以 上两式对所有的， 成立，则称为方程(2.3. 1 ) 的 一种弱形式，若5 上的边界 条件为 瘫 x 云= 0 瘫 x vx 云= 0 o n sa ， o n 凡 其 中。 为5 上的 法向 矢 量， 又和 凡分 别 为5 的 一 部 分 ， 又 十 凡= 5 ， 则 通过 方 程 (2. 3 2) 和 ( 2 3 3 )可寻 求 试探 空 间e ( r ， ) 和h ( r ， ) ， e ( r ，t ) 。 从( c url， v ) x ( 0 ， t ) ， h ( r ， t ) 。 从( c url， v ) x ( 0 ， t ) ， 其中 、 ( url ，。 ) = 二 (curl，: ) = 。 ，v 。 。 ， (。 ) ，一 。在 、 上 ， u ，v x “ 。 : ( : ) ，n x u = 0 在 、 上 ， ( 2 . 3 .4 ) ( 2 . 3 . 5 ) ( 0 ， 劝为 时 间 取 值 范 围。 第 二 种 弱 形 式 是 通 过 对 方 程 (2. 4 .1) 中 的 两 式 分 别 作 用 检 验 函 数 ， (， 。 州 f )，) 和 可 作川c url， 吻获 得 的 ， 即 有 外 誓 一 “ 小 二 ” ， (2 . 3 . 6 ) 帅争 二 。 小 一 “ ( 2 .3 .乃 在 这 种 情 况 下 ， 允 许 的 探 空 间e ( r ， ) 和h ( 气 ) ， e ( r ， ， ) 。 从( curl ， 厂 ) x ( 0 ， t ) ， 硕 士论 文时域有限元方法中吸收边界条件和快速求解技术的研究 h ( r ， t ) 。 从( 二1 ， 犷 ) x ( 0 ， t ) ， 其中 h (c ，v ) 一 u u ，v u 。 ” (犷 丫 ，n x 。 = 0 在 5 上 ( 2 ， 3 8 ) 且 存 在自 然 边 界 条 件: 六 x 云 = 。 on sh 上 以节点 有限 元和点匹配法的简单 情况为 例构造时域有限 元方程。 与时域有限 差 分 法不同 的是， 在应用点配法的时 域有限 元法中， 电 场的三 个分量 设置 在同 一个节 点上， 磁场的三个分量设置在另一个节点上。 于是， 为了对 厂中的场进行数值近似， 应使用两 套互补的网 格， 每个电场 节点 和每个磁场节点交叉放置。 电 磁场可分别近 似地表示为 e (，t) = 全 二 ( ); (，) ， 二 ( ，) = 全 几 (， ) 气 (，) ， (2 .3 .。 其中 n 。 和从分 别为 电 场 和 磁 场网 络 中 的 节 点 数， a， ( r)戏( r)分 别 为 用于 对 网 格中的电磁场进行有限元近似的标量函数: 代 r)= 轰 赢点 ， 几 (r)= :， 赢点 为了完成加权余量法的处理过程，需定义检验函数。选择不同的检验函数，可 导致不同的显示或隐式算法， 点配法是导出显式算法的最直接的方法。 在该方法中， 选 取占 ( r-t) ( 1 = 1， 2 ， ， 从) 和( j 1 ，2，. ，nh) 分别 作 为 检验 函 数作 用 于 方 程(2.3 .2 ) 和 (23 . 3) ，并 将式(2.3 . 9) 代入，由 此 得到 (: )罕一 套 v 戏 ，1一 、 犷，一 了 气 ， = ，2，一 从 ( 2 ，3 ， 1 0 ) ; (: )罕 = 一 客 v 二 ()1，。 ; (，)， ， = ，2，一 、 (2. 3 . 1 1 ) 以上两式可写成更紧凑的矩阵形式，为此引入 云 = 匡 1(，) ，万 2 (，) ，二 云 、 (， ) r ， 万 一 万 1(，)，瓦 () ，二 刃 、 (，)lr ， 丁 (;) = 丁 .(，)，丁 2(，) ，二 j 、 () r ， 其中 硕 卜论 文时域育限兀方法中吸收边界条件和快速求解技术的研究 万 ，(，) = 凡 (， )，凡 (，) ，凡 (，) ， 万 ， ( ; ) = 【 帐( ， ) ， 凡 ( ) ， 凡 ( ) r ， 了 (，) (，) = 去 (， )，凡 (，)，人 (， ) r ， 1 = 1 ， 2，.二 从，j = 1 ， 2 ， :. 从 显 然 ， 万 和 丁 均 为3 从维 矢 量， 万为3 戈维 矢 量 。 从 而， 方 程 (2 :3 10 ) 和 (2.3 . 11 ) 等号右侧的第一项可分别表示为如下的形式: 一h 巩 气气凡 竺、机一、 二(，)、，二。一 ;，(;)。.。一 叽 士 ( 2 . 3 . 1 2 ) 。竺、巡、。 姚一击叭一即 竺 击 ( 2 . 3 . 1 3 ) -乙 现 ，.leseses，.j 凡凡凡 尸.lwe万.l ，.，leseseseseslllwees苦 奴一砂撇 拟一汰 拟一每 其中 竺伽叭一、 机 击 0 叭 击 拟一勿庆一击 庆一击0 竺 汰 。胜击丛砂 一 硕 1 论 文 时 域 有 限 元 方 法 中 吸 收 边 界 条 件 和 快 速 求 解 技 术 的研 究 上 角 标1 和j 分 别表 示 相 应的 矩阵 元 素 是 在以1 = 1 ， 2，. 二 从) 和几 (j= 1， 2 ， :. 从) 的 作 用 下 求出的 。 在此 基础上， 构造 两个 扩 展矩阵p 和q， 其 元素分 别为几= 代和 q ， = 几。 再引 入描 述电 磁 场 节点 媒 质电 磁 特 性的 对 角 矩 阵， 即 介电 场量 矩 阵5 ， 其 元 素 为 、 ， 一 : ( : ) 几 ， 和 磁 导 率 矩 阵 r ， 其 元 素 为 一 ; (r， ) 几 ， 其 中 几 为 3 、 3 阶 单 位 矩阵。利用以 上矢量和矩阵， 方程(l . 2 . 10 ) 和 (1 . 2 . 11 ) 可分别表示为 二 万 = 5 一 ip 万 一 5 一 又 dt 三万= 才一 ， q e( 2 . 3 . 1 4 ) 对时间变量可以采用差分近似，例如可对时间导数采用中心差分近似。当采用 时间步长夕时， 计算磁场的时刻相对于计算电场的时刻移动了一个半时间步， 从而 形成一种“ 蛙跳式 ” 的计算格式，这种显 式格式是有条件稳定的， 其数值稳定 条件可 表示为 乙r 三 2 坛( r ) ( 2 .3 . 1 5 ) 其 中 r = 5 一 pqt 一 ， ， 偏( 幻 为 矩 阵 r 的 最 大 特 征 值 。 这种节点有限元的最大缺点是将电场分量和磁场分量分别放置在同一节点上。 由于媒质的电磁性质在边界上急剧变化， 给设置边界条件造成困难，使得边界上的 节点需要特殊处理。为此，提出了几种改进方法，其中包括使用矢量有限元。 2. 4 基于矢量波动方程的时域有限元法13j， llo 卜 1121 基于 矢量 波动方 程的时 域有限 元方 法的 原理可 表述如下: 考虑一个区域q， 边 界为5 ，其内部媒质特性用 和产 表示 ( 二者均可能是空间位置的函数) ，且。的内 部存在电 流分布j(r)。于 是，。内的电 磁场满足麦克斯韦旋度方程 _二日厅 vx 七=一 产二 厂 戊 v 、 斤 二 。 竺十 了 (2. 4 . 1 ) 从 (2 4 . 1) 式出发，可 得到 v 、 生 v x 万 + 户 (2. 4. 2 ) .盯了 两一矿 即矢量波动方程。其边界条件可表示为: 元 x 云= o on 又 分 x v x 它 = o o n 又 ( 2 .4 3 ) 硕卜 论 文时域有限儿方法中吸收边界条件和快速求解技术的研究 用， 点乘式(24 : 2) 的矢量波动方程，并在q中 积分，就得到该方程的弱形式: 心: 终十 ;.二 、 生 ; 、 ， 玩= 一 斤 马。 名 又汾p)乙 及 (24. 4 ) 其中 ， 不 是 测 试函 数 。 为 了 使 测 试 函 数 和 加 权函 数 比 较 对 称， 我 们 可 将 ( 2 .4. 4) 式 变 形为 评 。 .: 邺+ 三 ( ; 、 、 w v 、 ， 、协= 一 诬 几 。 乱改 产、产 、了 吕 次 ( 2 . 4 . 5 ) 将 了 ( ;，t ) 分 离 变 量 万 ( 于 ， ) = 雨 才 ( 于 ) e ( ) ( 2 4 . 6 ) 其 电e(， ) 为 棱 边 的 电 场 值 ， 可 ， ( 刁 为 棱 边 的 矢 量 基 函 数 ， 采 用 gaie rki n 方 法 ， 并将(2 4.6) 式代入 (2 . 4. 5) 式可得到: j(e矛 ， 矶 冲 护 目 杯 - ， 气尸 十. 1 次 吕 k 工 ( v 、 平 ， ; 、 矛 ， 尸 、)扮 “ 一 = 一或 嚓升 以 ” ( 2 . 4 . 7 ) 得到矩阵方程为: ( 2 4. 8 ) 其中 【: ，令 一 ，。 一 r ， = 卫 。 牙 ， 鼠 冲 ， ，“】。 = 或 会 v 雨 少 雨 ，卜 ， 气 二 严 ，臀 如果存 在非均 匀媒 质的 边界条件， 它们的作用将出 现在k 里。 这 种方法在每一时间 步都要求解大型稀疏 矩阵， 这需 要较长的计算时raj， 耗费 大量计算资源。 目前 解决该问 题的办 法是寻找快速的求 解器， 用矩阵分 块技术和使 用正交基函数使矩阵正交化。 硕 卜 论文时域有限几方法中吸收边界条件和快速求解技术的研究 2.5差分方法 式 (2 4.8) 是一个二阶常微分矢 量方程，可以用 有限 差分法进行求 解.将待求解 的时间段(0 。 t ) 均匀地划分为尸 段， 其中每一段均用时间步长夕表示，。 为迭代时 间步数(n= 1 ， 2 ， 一 ， 尸 ， 采用以 下不同的 差分形 式，即 可得到性质不同的算法。 ( 1)前向差分 e的一阶导数的前向差分为 丝 改 e ， + 1 一 e . -， 山 (2.5， 1) 由此可得到其二阶导数的差分表示 d z e e ” + 2 一 z e . + 1 + e ， 丽 ” 一一 画至 将上式代入方程(2 一8) 可得到 ( 2 5 . 2 ) 共te 树 = 宾te一 阵 : + 、 1 : 卜 一 卜 ( 山) ( 夕) l ( 夕 ) j ( 2 5 . 3 ) 给定犷和初值eo 和ei ，就可以解出矛 ，从而解出矛 ，e 4 ，最终计算出所感 兴趣时间范围内的e。这种算法在数值上是不稳定的.所以很少用。 (2 ) 后向差分 e的一阶导数的后向差分为 丝 dt e ” 一 e卜1 左 (2. 5 . 4 ) 由 此导出其二阶导数的后向差分表示 d z ee 一 z e 刀 一 1 + e 卜 2 丽 “ 山 一兀而产一 ( 2 ， 5 . 5 ) 将上式 代入方程 (2 . 4 . 8) 可得到 1 共: 十 、 ) : 一宾 上 ( 山) j( )t e- 卫一 ten一 ， 一 俨 ( 山) ( 2 . 5 ， 6 ) 给定犷和初值eo和ei， 就可以 解出尸，从而解出尸，e.， 但在每一时间 步 的计算中都要求 解包含5 在内 的 矩阵 方程。 这种形式 称为隐式算法，其数值稳定 性 不依赖于夕的选择，即是无条 件稳定的。 寸 面!丁 论文时城有限兀方法中吸收边界条件和快速求解技术的研究 (3 ) 中心差分 中 心差分比 前向 差分和后向 差分具 有更高 一阶的精度。 e的一阶导数的中 心差 分 为 塑 dt e 川一 万 词 夕 (2.5 ， 刀 由 此导出其二阶导数的中心差分表示 d z e e . + 1 一 z e 月 + e 卜 1 面 了 “画少 将上式代入方程 (2 .4.助 可得到 ( 2 .58 ) 共te 肚 1 一 r宾: 十 : ! : 一 共te刁 一 ( 山) l ( 夕) j( 夕) ( 2 。 5 .9 ) 给定 砂和 初 值尸和ei， 就 可 按 步 进 法求 得 其 它 时 间 步 的尸( n = 2 ， 3 ， ) 。 但 与 方 程 (25. 6) 不同的是， 每一时间步要求 解的 矩阵 方程不包括5 。 这种形 式称为显示算 法. 与 方程(2 . 5 . 3) 不同的是，只要夕足够小， 方程(2 .5. gj 就是数值稳定的，即是有条件 稳定的。其数值稳定条件为 之三 p ( t 一 1“ ) (2. 5 . 1 0 ) 其 中 可 t 一 ，s)表 示 矩 阵 厂 15 的 谱 半 径 ， 也 就 是 矩 阵 t 一 ，5 的 最 大 特 征 值 。 ( 4 ) n e wm ark 法 1 1 2 除以上三种传统的差分形式， n e 诩n ar k 给出了另一种差分近似。 在这种方法中， e 及其一阶导数 在t + 夕时刻的 近似表示分 别为 二 +l= 二 。 争传 一刁 可 争 ， 阿 争 等二 争(l 一 灿 争 ， 争 ( 2 5 . 1 1 ) ( 2 5 . 1 2 ) 其 中 夕 和y 是 两 个 可 选 择的 参 数， 其 作 用 是 控 制 时 间 步 进 过 程的 精 度 和 稳定 性 ， 这 时， 方程 (2 从幻 变成 硕 迢 : 论 义 时域有限元方法中吸收边界条件和快速求解技术的研究 月 e ，.j s 睑咔 1 共: 十 ， 51 : 川 = 【 ( 山) t + 咭 + r 一 ， ” ， t 十 生 一 2 一 y + 刀 ) 5( 2 压 . 1 3 ) 1一呵酬 尸 +i ， 爬 + 了 一 2 川 犷 十 (喜 一 ; + 灼 犷 一 、/乙 应 用 较 多 的 是 令 ; = 喜 ， z 称为n e 铂 力 ar k- ee刀 法。 在这种情况下， 上式成为 厂 那 ) : 一 = r宾: 十 ; 一 2 ， 、5 ) 。 l ( 山r一 r ” “: 一 ( 2 5 . 1 4 ) 了五-，1+ r卜比r|l- ， + ( ， 一 2 刀 ) f ” + 盯 一 ， 当夕= 0 时 ， 上式与方程(25. 9) 完全一 致， 即n e win ar k 一声 法退化为中 心差分法。 说 明n e wlu ar k 一夕 法比中心差分法 具有更广泛的含义. 当p 0. 25时， 方程(2 . 5 ， 14 ) 表示的 时间步进过程是无条件稳定的，因 此是隐式 算法。 2. 数值分析 在本节中， 我们分析两个谐振腔实例来说明前面所介绍的基于矢量波动方程的 时域有限元方法的有效性。 实 例1 : 用fe， 方 法分 析 一 个 简 单 的z m 、 3 m 4 m 的 谐 振 腔 结 构 13 。 高 斯 脉 冲 源激励，未知量个数为8 0 04。图2. 6 . 1 表示观察点时域波 形的f f t 变换。 表 2. 6 . 1 给出了谐振腔的解析解和f e t d所得谐振频率的比较。 才 血卜 论文时域有限几方法中吸收边界条件和快速求解技术的研究 6 07 0 频率( mhz ) 1 0 0 图2 .6. 12 mx 3 m x 4 m的谐振腔在观察点时域 波形的f f . f 表 2 6 z mx 3 功x 4 m谐振腔的谐振频率 谐振频率( mhz ) 相对误差 ( %)解析值【 3 fe td 62 .562 . 1 21 2 6 0 . 61 9 0 . 1 3 9 8 9刀191 2 1 . 24 实 例2 : 谐 振 腔 的 结 构 如 图2 6. 2 所 示 州 1 。 谐 振 腔 中 间 部 分 填充 介 质， 二 16。 谐振腔尺寸为3 加 二、 1 000。、 引 刃 用 用 .为节 省计算量， 应用ina叨e t i c w a l l s 算谐振腔 的四 分之一结构， 未知量个数为1 10 92。 采用调制高 斯源激励，中 心频率0 一 4 g hz， 带宽。 . 4 g hz。图2. 6. 3 表示观察点 波形的 时域f 盯 变 换。 表2 6- 2 给出 了文献中的 六个谐振频率点的值和 f e t d所得到的谐振频率点的值，并作了比较。 硕卜 论 义时域有限兀方法中吸收边界条件和快速求解技术的研究 c _ _产 二 履 _ _且 。/ 了 卜 - .- -b. we - es - - - 一 争 图2 五2部分填充介质的 谐振腔. 之 ，1 5 q 哪叭 b = 2 5 公 . . ， 。1 7 5 沉 加 ， a 科0()m m ， b = 1 000 阴 m ， c = 3 00用 用) 一 卜leslles.! ，且0丹 : ，.n .64 00 0 . 2 2 0 02 5 03 0 03 5 040 04 5 0 频率m升 泛 5 oo 5 5 0 60 0 图2 .6. 3观察点 时域波形的f f t 变换 硕 1 论 文时域有限元方法中吸收边界条件和快速求解技术的研究 表 2. 6 2 部分填充介质的谐振腔的谐振频率 谐振频率( mh z) 相对误差 ( %