（计算机软件与理论专业论文）时滞神经网络的动力学研究.pdf

摘要 摘要 时滞神经网络广泛应用于信号处理、动态图像处理、人工智能和全局优化等 领域，但时滞神经网络在运行过程中有可能出现稳定、不稳定、振荡和混沌等动 力学行为，近年来时滞神经网络的动力学问题引起了学术界的广泛关注。特别是 时滞神经网络平衡点和周期解的全局稳定性( 包括绝对稳定性、渐近稳定性、鲁 棒稳定性、指数稳定性等) 、h o p f 分岔和混沌等问题得到了深入地研究，出现了 一系列重要的研究成果。 本文主要对时滞神经网络的平衡点的全局稳定性、h o p f 分岔以及混沌的控制 和同步等方面进行了研究，主要研究内容和取得的创新性成果如下： 1 、时滞细胞神经网络的全局鲁棒稳定性 通过构造新的l y a p u n o v - k r a s o v s k i i 泛函，利用线性矩阵不等式技术和孓过程， 得到了常时滞细胞神经网络的一个比现有文献保守性更小的全局鲁棒稳定性条 件。此外，还得到了变时滞细胞神经网络的全局鲁棒稳定性条件。 2 、时滞c o h e n g r o s s b e r g 神经网络的全局指数稳定性 分别针对具常时滞和具变时滞的c o h e n g r o s s b e r g 神经网络构造适当的 l y a p u n o v - k r a s o v s k i i 泛函，利用线性矩阵不等式技术，得到了相应的易于验证的全 局指数稳定性的充分条件，并根据这些条件分析了模型的指数收敛速度。 3 、混合时滞h 0 p 丘e l d 神经网络的n o p f 分岔 首先将具离散时滞的h o p f i e l d 神经网络推广到同时具离散时滞和分布式时滞 ( 即混合时滞) 的模型，通过分析其线性系统的超越特征方程得到模型发生h o p f 分岔的条件，然后应用中心流形定理和规范形理论分析了模型的h o p f 分岔方向以 及分岔周期解的稳定性和周期特性。 4 、时滞h o p f i e l d 神经网络的混沌控制 通过构造一个适当的完全延迟反馈控制器，将时滞h o p f i e l d 神经网络的混沌 轨道控制到平衡点，在计算反馈增益矩阵的同时能确定出反馈控制器时滞的上界。 对于参数未知的时滞h o p f i e l d 神经网络，设计了一种自适应控制模型，导出了自 适应控制系统渐近稳定的解析判别条件，能有效地将系统的混沌轨道引导到所期 望的目标轨道上。 5 、时滞h o p f i e l d 神经网络的混沌同步 摘要 从双向线性耦合控制的角度出发，根据l y a p u n o v k r a s o v s k i i 稳定性理论，基 于线性矩阵不等式技术，给出了时滞h o p f i e l d 神经网络混沌完全同步的充分条件 和控制器设计方法。针对时滞h o p f i e l d 神经网络系统参数未知的情况，将自适应 技术和系统辨识技术应用于该系统的混沌滞后同步，推导出系统参数未知时混沌 滞后同步的充分条件，得到了系统中未知参数的估计公式。 关键词：时滞神经网络，稳定性，h o p f 分岔，混沌，线性矩阵不等式 a b s t r a c t a b s t r a c t d e l a y e dn e u r a ln e t w o r k sa r ee x t e n s i v e l ya p p l i e di nt h o s ef i e l d ss u c ha ss i g n a l p r o c e s s i n g ，m o v i n gi m a g ep r o c e s s i n g ，a r t i f i c i a li n t e l l i g e n c e ，g l o b a lo p t i m i z i n g ，a n de t c w h i l et h ed y n a m i c a lc h a r a c t e r i s t i c so fd e l a y e dn e u r a ln e t w o r k si n c l u d es t a b l e ，u n s t a b l e ， o s c i l l a t o r ya n dc h a o t i cb e h a v i o r s ，t h ed y n a m i c a li s s u e so fd e l a y e dn e u r a ln e t w o r k sh a v e a h r a c t e dw o r l d w i d ea t t e n t i o n si nr e c e n ty e a r s r e c e n t l y , m a n yi n t e r e s t i n gr e s u l t so n g l o b a ls t a b i l i t y ( i n c l u d i n ga b s o l u t es t a b i l i t y , a s y m p t o t i cs t a b i l i t y , r o b u s ts t a b i l i t y , a n d e x p o n e n t i a ls t a b i l i t y , e t c ) c r i t e r i af o rt h ee q u i l i b r i u m so rp e r i o d i cs o l u t i o n s ，h o p f b i f u r c a t i o na n dc h a o so fd e l a y e dn e u r a ln e t w o r k sh a v eb e e no b t a i n e d t h i sd i s s e r t a t i o nm a i n l yf o c u s e so nt h eg l o b a ls t a b i l i t y , h o p fb i f u r c a t i o n ，c h a o s c o n t r o la n ds y n c h r o n i z a t i o no fd e l a y e dn e u r a ln e t w o r k s s p e c i f i c a l l y , t h em a i nc o n t e n t s a r ea sf o l l o w s ： 1 g l o b a lr o b u s ts t a b i l i t ya n a l y s i so fd d a y e dc e l l u l a rn e u r a ln e t w o r k s b yc o n s t r u c t i n gan o v e ll y a p u n o v - k r a s o v s k i if u n c t i o n a l ，a n db ya p p l y i n gt h e l i n e a rm a t r i xi n e q u a l i t yt e c h n i q u ea n ds - p r o c e d u r e ，al e s sc o n s e r v a t i v eg l o b a lr o b u s t s t a b i l i t yc r i t e r i o nf o rc e l l u l a rn e u r a ln e t w o r k sw i t hc o n s t a n td e l a y i sd e r i v e d i na d d i t i o n ， g l o b a lr o b u s ts t a b i l i t yc r i t e r i o nf o rc e l l u l a rn e u r a ln e t w o r k sw i t ht i m e - v a r y i n gd e l a y i s a l s oa c h i e v e d 2 g l o b a le x p o n e n t i a ls t a b i l i t ya n a l y s i so fd e l a y e dc o h e n - g r o s s b e r gn e u r a l n e t w o r k s b yc o n s t r u c t i n ga p p r o p r i a t el y a p u n o v - k r a s o v s k i if u n c t i o n a lf o rc o h e n - g r o s s b e r g n e u r a ln e t w o r k sw i t hc o n s td e l a ya n dt i m e - v a r y i n gd e l a yr e s p e c t i v e l y , b a s e do nt h e l i n e a rm a t r i xi n e q u a l i t yt e c h n i q u e ，s o m ee a s i l yv e r i f i e ds u f f i c i e n tc o n d i t i o n sf o rg l o b a l e x p o n e n t i a ls t a b i l i t ya r ee s t a b l i s h e d i na d d i t i o n ，t h ee x p o n e n t i a lc o n v e r g e n c ed e g r e e s o ft h em o d e l sa r ed i s c u s s e di nd e t a i l 3 h o p f b i f u r c a t i o na n a l y s i so f h o p f i e l dn e u r a ln e t w o r k sw i m m i x e dd e l a y s t h eh o p f i e l dn e u r a ln e t w o r k s 、析md i s c r 就ed e l a yi sg e n e r a l i z e dt oam o d e lw i t h b o t hd i s c r e t ea n dd i s t r i b u t e dd e l a y s i ti sf o u n dt h a tt h i ss y s t e mu n d e r g o e sas e q u e n c eo f h o p fb i f u r c a t i o n sb ya n a l y z i n gi t sa s s o c i a t e dt r a n s c e n d e n t a lc h a r a c t e r i s t i ce q u a t i o n b y i i i a b s t r a c t a p p l y i n gt h ec e n t e rm a n i f o l dt h e o r e ma n dt h en o r m a lf o r mt h e o r y , f o r m u l a ef o r d e t e r m i n i n gt h ed i r e c t i o no fh o p f b i f u r c a t i o na n dt h es t a b i l i t ya n dp e r i o do fb i f u r c a t i n g p e r i o d i cs o l u t i o n sa r ed e r i v e d 4 c h a o sc o n t r o lo f d e l a y e dh o p f i e l dn e u r a ln e t w o r k s a na p p r o p r i a t ef u l ld e l a y e df e e d b a c kc o n t r o l l e ri sp r o p o s e dt os t a b i l i z et h ec h a o t i c t r a j e c t o r yo fd e l a y e dh o p f i e l dn e u r a ln e t w o r kt oi t su n s t a b l ee q u i l i b r i u m ，t h ef e e d b a c k g a i nm a t r i xa n d a nu p p e rb o u n do ft h ec o n t r o l l e rt i m ed e l a ya r ed e t e r m i n e d s i m u l t a n e o u s l y f o rt h ed e l a y e dh o p f i e l dn e u r a ln e t w o r k sw i mu n c e r t a i np a r a m e t e r s a l l a d a p t i v ec o n t r o lm o d e li sp r o p o s e da n da s y m p t o t i cs t a b i l i t yc o n d i t i o ni na n a l y t i cf o r m o fs u c hm o d e li sp r e s e n t e d ，t h ec h a o t i ct r a j e c t o r yc a l lb eb r o u g h tt ot h et r a j e c t o r yo fa d e s i r e ds y s t e m 5 c h a o ss y n c h r o n i z a t i o no fd e l a y e dh o p f i e l dn e u r a ln e t w o r k s b a s e do nt h el y a p u n o vs t a b i l i t yt h e o r ya n dt h el i n e a rm a t r i xi n e q u a l i t yt e c h n i q u e ， as u f f i c i e n tc o n d i t i o nf o rc h a o sc o m p l e t es y n c h r o n i z a t i o no fb i d i r e c t i o n a lc o u p l e d d e l a y e dh o p f i e l dn e u r a ln e t w o r k si so b t a i n e da n dac o n t r o ls t r a t e g yi sp r o p o s e d b y a p p l y i n gt h ea d a p t i v et e c h n i q u ea n ds y s t e mi d e n t i f i c a t i o nt e c h n i q u et o c h a o sl a g s y n c h r o n i z a t i o ni s s u eo fd e l a y e dh o p f i e l dn e u r a ln e t w o r k sw i t hu n c e r t a i np a r a m e t e r s ，a s u f f i c i e n tc o n d i t i o nf o rc h a o sl a gs y n c h r o n i z a t i o ni s d e r i v e d ，a n dt h ep a r a m e t e r e s t i m a t i o nl a wi so b t a i n e d k e y w o r d s ：d e l a y e dn e u r a ln e t w o r k s ，s t a b i l i t y , h o p fb i f u r c a t i o n ，c h a o s ，l i n e a rm a t r i x i n e q u a l i t y i v 独创性声明 本人声明所呈交的学位论文是本人在导师指导下进行的研究工 作及取得的研究成果。据我所知，除了文中特别加以标注和致谢的地 方外，论文中不包含其他人已经发表或撰写过的研究成果，也不包含 为获得电子科技大学或其它教育机构的学位或证书而使用过的材料。 与我一同工作的同志对本研究所做的任何贡献均已在论文中作了明 确的说明并表示谢意。 签名：j 鼙l 日期：硝年厂月7 日 关于论文使用授权的说明 本学位论文作者完全了解电子科技大学有关保留、使用学位论文 的规定，有权保留并向国家有关部门或机构送交论文的复印件和磁 盘，允许论文被查阅和借阅。本人授权电子科技大学可以将学位论文 的全部或部分内容编入有关数据库进行检索，可以采用影印、缩印或 扫描等复制手段保存、汇编学位论文。 ( 保密的学位论文在解密后应遵守此规定) e tg q ：州年月彳日 第一章绪论 1 1 课题背景及意义 第一章绪论 人脑的构成是很复杂的，其智能功能是很奥妙的，是目前计算机所不能比拟 的。为了揭示人脑的奥秘，同时也为了提高目前人造机器的能力，研究人员对人 脑的工作机理进行了长期不懈的探索和模拟，逐渐发展起来了一门新兴的学科， 即人工神经网络，简称神经网络。神经网络就是通过对人脑的基本单元一神经元 的建模和联结，来探索和模拟人脑神经系统功能的模型，并研制一种具有学习、 联想、记忆和模式识别等信息处理功能的人工智能系统。神经网络是由简单的处 理单元所组成的大量并行分布的处理机，这种处理机具有存储和应用经验知识的 自然特性。神经网络也经常被称为神经计算机，但它与现代数字计算机的不同之 处主要表现在以下方面【l 】：( 1 ) 神经网络的信息存储与处理是合二为一的，即信息 的存储体现在神经元互连的分布上；传统计算机的存储与计算是独立的，因而在 存储与计算之间存在着瓶颈。( 2 ) 神经网络以大规模模拟计算为主；数字计算机 是以串性离散符号处理为主。( 3 ) 神经网络具有很强的鲁棒性和容错性，善于联 想、概括、类比和推广，任何局部的损伤不会影响整体结果。( 4 ) 神经网络具有 很强的自学习能力，能为新的输入产生合理的输出，可在学习过程之中不断完善 自己，具有创新特点。( 5 ) 神经网络是一大规模自适应非线性动力系统，具有集 体运算的能力，这与本质上是线性系统的现代数字计算机遇然不同。 神经网络是近年来的热点研究领域，涉及到电子科学与技术、信息与通信工 程、计算机科学与技术、电气工程、控制科学与技术等诸多学科，其应用领域主 要包括【2 】：( 1 ) 模式识别与图像处理：印刷体和手写体字符识别、语音识别、签字 识别、指纹和人脸识别、r n a 与d n a 序列分析、癌细胞识别、目标检测与识别、 心电图和脑电图分类、油气藏检测、加速器故障检测、电机故障检测、图像压缩 和复原等。( 2 ) 控制及优化：化工过程控制、机械手运动控制、运载体轨迹控制、 电弧炉控制等。( 3 ) 金融预测与管理：股票市场预测、有价证券管理、借贷风险 分析、信用卡欺骗检测等。( 4 ) 通信：自适应均衡、回声抵消、路由选择、a t m 网络中呼叫接纳识别及控制、导航、多媒体处理系统等。 从动力系统角度来看，神经网络是一个复杂的非线性动力系统，由大量的非 电子科技大学博士学位论文 线性元件通过广泛作用所构成的多级系统，正是由于系统各级层次上的非线性， 使其上一层次具有下一层次系统所没有的一些“突现性质”，从而使神经网络的 功能表现出极大的复杂性。一般来说，神经网络的动力学研究经常是紧跟着生物 神经网络的动力学研究而进行的。无论是生物神经网络还是神经网络，当对于它 们的动力学模型以及其中的非线性动力学问题研究获得新的进展时，这些神经网 络系统的性质、功能及应用也就有了强有力的理论支撑，也就能被广泛地应用。 由于生物系统中神经元之间的信息传输速度以及电路系统中放大器的开关速 度有限，因此在生物神经网络和神经网络中时滞是不可避免的。近年来，研究人 员将时滞引入到传统的神经网络模型，如h o p f i d d 神经网络【3 1 、细胞神经网络【4 弓】、 双向联想记忆神经网络睁7 】和c o h e n g l o s s b e r g 神经网络【8 】等模型，得到了相应的时 滞神经网络模型，并对它们的动力学属性进行了深入地研究。当前文献中的时滞 一般分为有限时滞和无穷时滞，或者同时具有有限时滞和无穷时滞，而有限时滞 又可分为常时滞和变时滞。具有时滞的系统一般都有无穷多个特征值，从而从另 一个侧面说明时滞系统是无穷维的，因此具有时滞的神经网络比不具有时滞的神 经网络有着更加丰富的动力学特性。目前，关于时滞神经网络动力学的理论研究 主要集中在以下几个方面【1 1 4 2 】： ( 1 ) 时滞对神经网络的稳定吸引域的影响； ( 2 ) 时滞神经网络的局部稳定性以及局部吸引域的研究； ( 3 ) 时滞神经网络的分岔和混沌研究； ( 4 ) 时滞神经网络的多稳定性研究； ( 5 ) 以及其它类型的时滞神经网络的研究，例如：模糊时滞神经网络、脉冲 时滞神经网络、随机时滞神经网络等。 本文主要涉及到时滞神经网络的全局鲁棒稳定性、全局指数稳定性、h o p f 分 岔以及混沌的控制和同步等问题。 1 2 时滞神经网络的稳定性概述 稳定性的概念，最早源于力学。一个刚体或一个力学系统具有某一平衡状态， 在有微小的干扰力作用下，这种平衡态或者几乎保持，或者受到破坏，这就是稳 定与不稳定的雏形。但是，人们普遍认为，稳定性的一般理论和方法的形成，是 开始于俄国数学力学家l y a p u n o v 的博士论文运动稳定性的一般问题。他将由 p e a n o 、b e n d i x s o n 和d a r b o u x 等人建立的微分方程解对初值和参数的连续依赖性 2 第一章绪论 这一概念，把时间自变量从有限区间上拓宽到无穷区间上，科学地给出了系统运 动的稳定和渐近稳定概念。并从类似系统总能量的物理概念中得到启发，提出了 后来被人们称为l y a p u n o v 函数的概念，将一般n 阶微分方程组中扰动解渐近性质 的讨论归结为讨论一个能量函数( l y a p u n o v 函数) 及其对系统的全导数的一些特 性的研究，避开了讨论1 1 阶微分方程组的解的困难，从而建立了稳定性理论研究 的框架。 近年来，随着各种时滞神经网络，如时滞h o p f i e l d 神经网络5 1 1 、时滞细胞 神经网络【5 2 - 5 6 1 、时滞双向联想记忆神经网络【5 7 石1 】和时滞c o h e n g r o s s b e r g 神经网络 6 2 - 6 7 】的相继提出，这些模型的各种稳定性也已得到了广泛地研究，如局部稳定性 4 9 , 6 8 - 7 0 1 、全局稳定性【5 5 , 5 7 , 5 9 , 6 0 】、绝对稳定性【7 1 7 4 1 和指数稳定性【3 5 3 6 , 4 7 , 6 2 】等。 鉴于许多用途各异的时滞神经网络模型在形式上与标准的时滞动力学系统有 一定差距，由于尚未出现关于时滞神经网络的统一模型，因此关于网络稳定性的 研究还没有统一的方法可循，一般都采用特殊的处理手段来对待。目前研究时滞 神经网络稳定性使用最广泛的是l y a p u n o v k r a s o v s k i i 泛函方法，它把稳定性问题 转化为某些适当地定义在系统轨迹上的泛函稳定性问题，并通过这些泛函得到相 应的稳定性条件。这些稳定性条件就其表述形式可分为：参数的代数不等式【7 7 9 】、 系数矩阵的范数不等式胁8 2 1 、矩阵不等式【8 3 8 4 】和线性矩阵不等式1 4 4 , 6 4 , 8 5 1 等。近年来， 随着解线性矩阵不等式的内点法的提出以及m a t l a b 软件中l m i 工具箱的推出， 线性矩阵不等式方法在稳定性理论中得到了大量的应用【8 6 1 。另一方面，根据是否 包含时滞参数，稳定性条件又可以分为两类：时滞相关的稳定性条件和时滞无关 的稳定性条件。其中，当时滞很小的时候，时滞相关的稳定性条件比时滞无关的 稳定性条件保守性更小。由于时滞神经网络稳定性问题的复杂性，人们很难针对 一大类系统得到一组完美的稳定性判据。因此，为了理论研究和实际应用的需要， 人们不断提出新的稳定性判断规则。 一个系统的稳定性，常常由于模型误差、外部扰动以及实现时出现的参数波 动等不可避免的不确定因素，受到严重地影响。因此，在系统的设计和应用时需 要考虑其鲁棒稳定性。如果一个系统的不确定因素仅仅来自参数的扰动或波动， 并且这种扰动或波动都是有界的，那么称这种系统为区间系统。另一方面，如果 参数的扰动或波动随时问变化，但满足范数有界，则称这种系统为范数有界系统。 近年来，时滞神经网络的全局鲁棒稳定性的结果已经有了不少报道【3 8 , 5 1 , 5 6 , 6 4 , 7 5 , 1 3 0 】。 用于最优化的神经网络应该只有一个平衡点，平衡点必须是全局稳定才能避免伪 平衡点和局部最小化的危险。同时为了使实时计算成为可能，希望神经网络能够 电子科技大学博士学位论文 尽可能快地收敛到平衡点，在大多数神经网络的应用中，指数收敛速度被用来决 定神经网络的计算速度。因此，越来越多的文献【3 5 , 3 6 , 6 2 , 7 8 , 8 1 , 8 7 , 8 8 1 开始研究时滞神经 网络的指数稳定性，并建立起估计指数收敛速度的方法。 1 3 时滞神经网络的h o p f岔概述 对于一些含参数的动力系统，当参数变化并经过某些临界值时，系统的定性 性态( 例如平衡状态或周期运动的数量、性质和稳定性等) 会发生突然变化，这 种变化称为分岔，对应参数的临界值称为分岔值。分岔是一类常见的重要非线性 现象并与其他非线性现象( 如混沌、突变、分形、拟序结构等) 密切相关，因此 分岔在非线性动力学中占有重要地位。在非线性时滞动力系统的分岔中，讨论得 最多的是h o p f 分岔，h o p f 分岔是由于平衡点稳定性的突然消失而产生周期解的现 象。 时滞动力系统的h o p 盼岔问题是时滞系统研究的主要问题之一，包括h o p f 分 岔条件、分岔的方向、分岔周期解的求解及其稳定性等。研究方法主要有【8 9 - 9 6 】： 1 、中心流形定理和规范形理论：该方法是一种经典方法，由于有着严密的数 学基础，一直受到数学家的青睐，方法不但可以得到分岔点邻域内解的分类动力 学拓扑性质，还可以得到近似周期解的解析形式。 2 、离散l y a p u n o v 泛函和不变流形理论：该方法是c h e r t 等人在研究时滞h o p f i e l d 神经网络时提出的，用以求h o p f 分岔产生的锁相周期解的极小不稳定性和不稳定 集。该方法基于经典的l y a p u n o v 泛函方法，通过结合稳定流形、不稳定流形理论， 拓展了经典l y a p u n o v 泛函的应用范围。 3 、弧长路径跟踪算法：该方法是数值计算技巧方面的，将弧长作为参数，利 用其连续性，并结合对周期运动的稳定性判定，可以有效地获取分岔图，确认通 向混沌的道路。该方法于1 9 9 9 年前已经被广泛应用于非线性动力学的研究，由 r a g h o t h a m a 等人将该方法改进后，推广到时滞动力学的研究中。 4 、特征函数方法：这种方法是u c a r 针对纯量时滞方程提出的，主要是利用系 统的势能，类似于求线性系统的传递函数那样，得到非线性时滞项的特征函数， 以便利用n y q u i s t 判据用以研究分岔周期解的存在性和特征，并预测其振幅和频率。 5 、多尺度方法和i h b 方法：这两种方法都是经典的方法，共同的优点在于无 需进行烦琐的中心流形约化。但是，多尺度方法应用的前提必须是弱非线性，而 且分岔参数的变化只能限制在分岔点的某个领域内；而i h b 方法需要解一组非线性 4 第一章绪论 代数方程，能否得到解强烈依赖于初始迭代值的选取，在实际应用中这样的选取 完全取决于研究者的经验。 6 、频域方法：这种方法应用反馈系统的理论，在状态空间中作拉普拉斯变换 后在复数域中进行分析，然后利用传递函数来表征原系统产生分岔的横截条件与 分岔周期解的稳定性条件，从而可应用频域中的h o p f 7 ) 岔定理来分析动力系统的 分岔性质。 g o p a l s a m y 和l e u n g 在文献 9 7 】提出了几个带离散时滞或分布式时滞的一元神 经网络模型，并讨论了这些模型的稳定性；他们在文献 6 8 1 中研究了无自连接且带 离散时滞的两个神经元系统的稳定性，同时证明- h o p f 分岔的存在性。l i a o 等人在 文献 9 8 】中讨论了带弱核的一元分布式时滞神经网络，并发现该模型不可能导致稳 定性转换；在文献 9 9 中讨论了带强核的一元分布式时滞神经网络，仿真实验发现 了当平均时滞变化时，该模型的动力学行为经历了从稳定到不稳定再到稳定的现 象；在文献 7 0 中，基于规范形式理论和中心流形定理，作者证明这个一元分布式 时滞神经网络周期解的稳定性，并确定 h o p f 6 - 手岔的方向。在文献 1 0 1 d p ，l i a o 等人在带弱核的二元分布式时滞神经网络系统中发现了模型从稳定到不稳定再到 稳定的动力学现象并证明了分岔周期解的稳定性；而在文献 1 0 2 和 1 0 3 中，他们 应用频域法分别讨论了带弱核和带强核的二元分布式时滞神经网络，并给出了 n o p f 分岔点的存在条件和计算方法。o l i e n n b e l a i r t l 0 4 考察了两个离散时滞h o p f i e l d 系统，取得了该系统关于平衡点稳定性的一些充分条件，并说明系统在某些参数 值会发生分岔。w e i 和r u a n o o s 】进一步分析了系统没有自连接的带有两个离散时滞 的情形，发现当两个时滞的总和通过一系列临界值时发生h o p f 4 - ) 岔，并确定了分 岔周期解的稳定性和分岔方向。文献 1 0 6 和 1 0 7 分别研究了带三个和四个不同离 散时滞的h o 面e l d 神经网络在一定的限制条件下的线性稳定性与h o p f 5 - ) 岔。 1 4 时滞神经网络的混沌控制和同步概述 1 4 1 时滞神经网络混沌概述 混沌是非线性动力系统所特有的一种运动形式，它广泛地存在于自然界，诸 如物理、化学、生物学、地质学，以及技术科学、社会科学等各种科学领域。混 沌理论揭示了自然界普遍存在的复杂性，反映了世界上无序和有序之间、确定性 与随机性之间的辩证统一关系。混沌的研究涉及数学、力学、物理学等自然科学 电子科技大学博士学位论文 与社会科学领域。混沌现象被称为与相对论、量子力学并列的2 0 世纪三大物理学 重要发现，随着时间的推移，混沌学在未来的科学研究中必将对人类生活产生深 远的影响。 2 0 世纪6 0 年代，美国气象学家l o r e n z f l 0 8 】在分析气象数据时，获得了混沌运动 的第一个例子，这就是著名的“蝴蝶吸引子”。1 9 7 1 年，法国数学物理学家r u e l l e 和荷兰学者在论湍流的本质一文中首次提出了“奇怪吸引子 的概念。1 9 7 5 年中国学者李天岩和美国数学家y o r k e 发表的论文周期3 意味着混沌，深刻揭 示了从有序到混沌的演变过程，使“混沌”一词为后来学者普遍接受。经过多年 的研究和发展，混沌科学与其它科学互相渗透，无论是在生物学、物理学、电子 学、信息科学，还是在天文学、经济学，混沌都有着广泛的应用，混沌在现在科 学中起着越来越重要的作用。混沌的潜在应用包括：大脑神经活动和心脏脉搏测 量分析、图像数据加密、保密通信、电力电网动态分析和保护、工程和民用电子 仪器噪声消减、电子振荡发生器设计、航天和航空发动机动态分析和保护，以及 医学和生物、信号处理和通信、控制系统和优化等越来越多的领域和方向。 研究表明，在一阶或二阶自治的连续动力学系统中，不可能产生混沌现象。 而在时滞神经网络系统中，由于时滞而具有的自抑制作用，使得系统具有丰富的 动力学行为，因此即使是一阶非线性时滞神经网络也可能产生混沌现象。l i a o 等人 【1 叫在研究一阶时滞神经网络的h o p 盼岔时，发现当分岔参数超过某个临界值时出 现混沌现象。l u 等人【1 1 0 】采用分段线性函数作为激活函数研究一阶时滞神经网络时 也发现了混沌现象。g i l l i 1 1 1 】发现了二阶时滞细胞神经网络有双蜗卷混沌现象。在 文献f 11 2 中，l u 研究t - - 阶时滞h o p f i e l d 神经网络 戈( f ) = 一戈o ) + 尽厂( x ( f ) ) + c f ( x ( t f ) ) + i ， ( 1 - 1 ) 其中，x ( t ) = ( 五( f ) ，恐( f ) ) r ，0 ( f ) ) = ( ( 五( 力) ，( ( f ) ) ) r 。当取时滞f = 1 ，激活函 数厂( ( f ”= t a n h ( x , ( t ) ) 1 3 f = l ，2 ) ，以及 么= 三? ，b = 三鼍j ，c = ：主：三 ，= 三 c ，- 2 ， 时，时滞h o p f i e l d 神经网络( 1 1 ) 出现混沌，其混沌吸引子如图1 - 1 所示。 6 第一章绪论 图1 - 1 时滞h o p f i e l d 神经网络模型( 1 - 1 ) 的混沌吸引子 1 4 2 混沌控制概述 由于混沌运动的不确定性，多数情况下人们希望避免混沌运动的发生，因此 混沌控制主要集中于消除和抑制混沌现象。从理论上说，通过对动力系统的参数 和结构的改变和控制，可以影响混沌发生的条件，从而实现混沌的控制。例如： 采用动力吸振器可以消除简谐激励下的d u i t i n g 振子的混沌运动；应用经典的随机 最优控制技术，可以抑制l o r e n z 系统中的混沌现象；当系统中同时存在着周期运 动和混沌运动时，可以采用迁移和输送控制实现周期运动和混沌运动之间的切换， 等等。然而这些控制方法都未能利用混沌系统的内在动力学特性，因此在实现中 往往要对原系统进行较大的修改或输入较大的控制能量。为解决这一问题，1 9 9 0 年，o t t 等人! 1 3 】提出了著名的o g y 方法，成为混沌控制的里程碑。此后，许多学 者对该策略进行了改进和推广，并用多种实验方法证实其有效性，掀起了混沌控 制的研究热潮。混沌控制被广泛应用于非线性时间序列预测、信息存储、语音和 图像压缩、信号检测和估值以及数据通信等领域。常见的几种混沌控制方法有： 1 、o g y 控制【1 1 3 】：该控制策略是通过在一些系统参数中加入小扰动，来稳定 嵌于混沌吸引子中的无数多不稳定轨道，不需要知道系统数学方程，并且能通过 微小的控制信号而获得明显的控制效果。o g y 控制方式是一种反馈控制策略，引 起了人们的普遍注意而且己经在非线性领域得到了广泛的应用。 2 、延迟反馈控制【1 1 4 0 1 。7 】：在o g y 控制策略的基础上，p y r a g a s 提出了一种延 迟反馈控制方法，直接把系统的输出信号取出一部分经过时间延迟后再反馈到混 7 电子科技大学博士学位论文 沌系统中去作为控制信号。该方法并不需要知道期望周期轨道的相关信息，而且 应用简单的模拟器件即可实现。通过对p y r a g a s 方法的改进，s o e o l a r 等人提出了 推广的延迟反馈控制方法，g u a n 等人提出了完全延迟反馈控制方法。 3 、自适应控制法【1 1 8 , 1 1 9 ：该方法通过目标响应与实际响应的差值来调节系统 某些参数，将系统的实际响应稳定到目标响应。控制方法的关键是构造自适应控 制系统的参考模型，一类是间接自适应控制器，它利用系统参数的联机在线计算 来调节控制规律；另一类是直接自适应控制器，可以直接调节控制过程，使系统 与模型的参考状态的误差最小。自适应控制方法的提出，为解决系统模型的未知 条件提供了有效的途径，解决了工业控制上的问题。 4 、神经网络控制【1 2 0 , 1 2 1 】：利用神经网络的联想记忆功能，建立基于混沌吸引 子的记忆单元，来表示网络所记忆的某一特定信息，通过样本集的训练，使样本 成为网络的稳定吸引子。混沌神经网络用于轨道的稳定控制中，是通过混沌系统 的输出参数反馈到输入端或与期望输出相比较，将其差作为神经网络的输入，通 过混沌系统的输出数据训练网络，并采用神经网络控制系统的混沌运动，最终使 其稳定。该方法具有良好的鲁棒性和容错性，是对具有高度不确定性的非线性系 统控制的有效手段。 5 、其他控制方法 1 2 2 也6 1 ：除上述方法外，随着科技的不断发展还有许多控制 方法不断涌现出来，如脉冲控制、模糊控制、滑模控制、状态观测器控制等方法。 这些方法都有各自的优缺点，因此针对不同的应用场合可以选择不同控制策略， 甚至综合使用它们。 目前，时滞神经网络的混沌控制研究方面的文献还不多见。其中，在文献 4 3 和 4 4 】中，z l l o ， 等人分别应用延迟反馈控制方法和自适应控制方法，实现了对一 阶时滞神经网络的混沌控制；“等人在文献1 4 5 应用脉冲控制方法，将二阶时滞 h o p f i e l d 神经网络的混沌轨道控制到平衡点。 1 4 3 混沌同步概述 混沌系统对初值的极其敏感性使得人们一度认为要实现混沌同步几乎是不可 能的。直到上个世纪九十年代初，p e c o r a 和c a r r o l l 1 2 7 , 1 2 8 1 提出了混沌的自同步方法， 首次利用驱动一响应方法实现了两个混沌系统的同步，这才打破了混沌运动模式 是危险和不可控的传统观念。混沌同步，从总体上说，属于混沌控制的范畴，并 且通过w u 等人【1 2 9 1 的工作已将同步与控制问题合并成一个问题，即混沌同步问题 第一章绪论 可以看成一类让被控系统混沌轨道按目标系统轨道运动的控制问题。传统的混沌 控制一般是将系统稳定在不稳定的周期轨道上，而混沌的同步则是实现两个系统 的混沌状态的完全重构。随着混沌同步的方法不断涌现，其应用领域也从物理学 迅速扩大到化学、生物学、力学、脑科学、电子学、信息科学、保密通信等领域。 典型的混沌同步方法有： 1 、驱动一响应同步 1 2 7 , 1 2 8 】：1 9 9 0 年，p e c o r a 和c a r r o l l 为了阐明实验上观察到 的混沌同步现象，对响应系统的稳定性及同步原理进行了理论分析，提出了实现 混沌系统的驱动一响应同步。其基本思想是把混沌系统( 驱动系统) 分解成两个 子系统：一个是稳定的子系统( l y a p u n o v 指数均为负值) ，另一个是不稳定的子系 统。对不稳定的子系统复制一个响应系统，当响应系统的条件l y a p u n o v 指数均为 负值时，驱动和响应系统就能实现同步。 2 、主动一被动同步 1 3 0 , 1 3 1 1 ：为了克服驱动一响应同步法在实际系统中受到特 定分解的限制，k o c a r e v 等人提出了主动一被动分解法。其思想是通过把耦合变量 或驱动变量引入复制系统，导出系统变量差的微分方程，得到总体系统的误差动 力系统，再利用线性化稳定性分析方法或l y a p u n o v 函数方法证明复制混沌系统与 原系统达到稳定同步。该方法的优点是可以不受限制地选择驱动信号的函数，因 此十分灵活且具有更大的普遍性和实用性，并将驱动一响应同步法作为特例包括 在内。 3 、互耦合同步f 1 3 2 , 1 3 3 】：这种方法将驱动一响应同步法中的驱动系统和响应系 统之间的单向耦合推广到互耦合，在总体系统中不区分驱动与响应关系，所以这 种同步方法适合于研究无法实现子系统分解的实际系统。其实质是把耦合系统稳 定到状态空间_ 中的一个低维流形，耦合系统之间的同步通过对两个系统之间的信 号差的控制来实现，因此互耦合同步的关键是耦合的强度选取。但是由于互耦合 的作用，使得总体系统具有非常复杂的动力学行为，到现在为止还没有一般的普 适性结论。 4 、自适应同步【1 3 4 1 ：j o h n 等人改进了自适应混沌控制的方法，将其用来控制 混沌系统的相空间轨迹与所期望的不稳定轨道达到同步。具体地说，自适应同步 方法就是利用自适应控制技术来自动调整系统的某些参数，使系统达到混沌同步 的目的。应用这一方法有两个前提条件：系统至少有一个或多个参数可以得到； 对于所期望的轨道，这些参数值是已知的。系统中受控参数的调整还取决于两个 因素：系统输出变量与所期望轨道的相应变量的差值以及受控参数值与所期望的 轨道相应的参数值之间的差值。 9 电子科技大学博士学位论文 5 、其他同步方法【1 3 5 彤7 】：进入2 1 世纪后，混沌同步研究呈现出新的趋势，新 的同步方法不断提出，除了对已有的同步方法进行改进外，主要是将先进控制理 论与技术引入混沌同步研究，如模糊控制、遗传算法、状态反馈等，取得了良好 的效果。 文献 1 3 8 研究了时滞细胞神经网络【1 1 1 】的混沌完全同步问题，基于驱动一响应 同步法，采用分散控制策略给出了完全同步的充分条件，并提供了一种简易的同 步控制器设计方法。在文献 1 3 9 中，应用驱动一响应同步方法和线性矩阵不等式 技术，研究了时滞细胞神经网络【1 1 1 】的混沌完全同步问题，给出了完全同步的充分 条件和同步控制器设计方法。针对一类具时滞的部分参数未知的l i a o 混沌神经元 系统【1 0 9 1 ，王占山等人【1 4 0 】研究了不同结构时滞l i a o