（应用数学专业论文）hardy空间上的加权复合算子.pdf

中文摘要 本文主要讨论了单位球上h a r d y 空间之间加权复合算子的本性模估计，即用 本性模这个工具来研究加权复合算子并给出了我们所研究算子的本性模的上界 或下界估计，并由此可以得到此算子紧的充分或必要条件。全文共分为四部分。 第一部分里，简要介绍了近些年在多复变中不同函数空间上研究复合算子、 加权复合算子以及乘子等常见问题的结果和方法，这一部分相当于一个前言。 第二部分，给出了本文所涉及到的一些重要的概念及其性质定理。 第三部分，是证明本文主要结果所需的一些主要引理及其证明。 ， 最后一部分，就是本文的预备引理以及主要结果和证明。 关键词：h a r d y 空间单位球加权复合算子本性模 t h et i t l eo ft h i sa r t i c l ei sw e i g h t e dc o m p o s i t i o no p e r a t o r so nt h eh a r d ys p a c e s t h a ti st os a y , b yu s i n gt h et o o lo ft h ee s s e n t i a ln o r m ，w eg e tt h eu p p e ro rl o w e r e s t i m a t e so ft h ew e i g h t e dc o m p o s i t i o no p e r a t o r sw h i c hw eh a v es t u d i e d i na d d i t i o n ， w eg e tas u f f i c i e n to rn e c e s s a r yc o n d i t i o nf o r t h ew e i g h t e dc o m p o s i t i o no p e r a t o rt ob e c o m p a c t t h ea r t i c l ei sd i v i d e di n t o 内u rp a r t s i nt h ef i r s tp a r t ，s o m er e s u l t sa n dm e t h o d sa b o u to p e r a t o rt h e o r yi nf u n c t i o n s p a c e s o fs e v e r a lc o m p l e xv a r i a b l e s ，s u c ha s c o m p o s i t i o no p e r a t o r s ，w e i g h t e d c o m p o s i t i o no p e r a t o r sa n dm u l t i p i i e r s ，a r ei n t r o d u c e db r i e f l y i tc a nb et a k e na sa p r e l i m i n a r y i nn e x tp a r t ，s o m ei m p o r t a n tc o n c e p t sa n dt h e o r e m sw h i c ha r er e l a t e dt ot h e a r t i c l ea r eg i v e n t h ef l a i r dp a r tc o n t a i n s 、s o m el e m m a sa n dt h e i rp r o o f sw h i c ha r en e c e s s a r yt ot h e p r o o f so f o u rm a i nt h e o r e m s t h el a s tp a r tc o n t a i n ss o m ep r e p a r a t o r yl e m m a s ，a n dp r o o f so ft h em a i n t h e o r e m si nt h ea r t i c l e k e yw o r d s ：h a r d ys p a c e s ，u n i tb a l l ，w e i g h t e dc o m p o s i t i o no p e r a t o r ，e s s e n t i a l n o n n 独创性声明 本人声明所呈交的学位论文是本人在导师指导下进行的研究工作和取得的 研究成果，除了文中特另0 加以标注和致谢之处外，论文中不包含其他人已经发表 或撰写过的研究成果，也不包含为获得墨鲞盘茔或其他教育机构的学位或证 书而使甩过的材料。与我一同工作的同志对本研究所做的任何贡献均已在论文中 作了明确的说明并表示了谢意。 学位论文作者签名：弓斗以签字日期：幻。6 年f 月牛日 学位论文版权使用授权书 本学位论文作者完全了解鑫鲞盘茎有关保留、使用学位论文的规定。 特授权鑫星盘堂可以将学位论文的全部或部分内容编入有关数据库进行检 索，并采用影印、缩印或扫描等复制手段保存、汇编以供查阅和借阅。同意学校 向国家有关部门或机构送交论文的复印件和磁盘。 ( 保密的学位论文在解密后适用本授权说明) 学位论文作者签名：蟊千d f 签字日期：7 “年j 月牛日 导师签名：闺 签字日期：加“年月日 第章臂量知l r 俺舟 第章背景知识简介 众所周知，多复变函数理论的研究是当代数学发展里的个崭新的领域由于空 间维数从维跳跃到高维，很多基本性质已不能保证，例如，复平面匕的任意域都是全 纯域，但当维数大于一时就不存在这个性质，在加上多复变函数中域的构成很复杂， 就连最简单的两类域一超球和多圆柱一也不是双全纯等价的( 事实上，多复变中域的 分类问题伲髟副剞碑挟：的难晒之一) ，都给多复变的研究带来了很大的困难在这些研 究中比较活跃的部分内容是关于多复变函数空间上复合算子理论的研究因为不同 蝎止函数空间的结构不同，所以研究不同域上的函数空间上的箅亍碍到的结果也二唇不 样的；再者，对同个域匕的函数又可以定义很多不同的函数空间，常见的例如， b e r g m a u 空间、h a r d y 空间、l i p s c h i t z 空间以及d i r i c h l e t 空间等，这些空间大多数是由 单复变中的相应情形推广而来的，但是这些空间上算子的性质不仅比单复变的情形复 杂，而且有些甚至有本质的不同由于算子的多样性和研究方法的不同，我们虽然 已经获得了丰富的成果，但这也仅仅是向科学的颠峰迈了一小步就研究内容而言， 我们可以探讨算子的有界性和紧性，以及谱的性质，此外还有乘子的性质等等就方 法而寓，可以用般凝函分析的力鞋涞研究复合算| 子的性顷，也可以结合复变函数的 特点来进行研究，比如说利用内函数、n e v a n l i n u a 计数函数以及角导数、本性模等来 刻画算子的性质 在各式各样的算子中，复合算子的研究无疑是比较重要的，也是硕果较多的，因 为它有其重要意义比如。它在解析动力系统理论中起到重要作用；d eb r a n g e s 关于 b i e b e r b a c h 猜想的证明就是依赖于解析函数空间上的复合算子；遍历变换有时可以看 为导致复合算子自7 0 年代以来，动力系统的研究更广泛的向各个应甩领域发展，在 经济数学、气象预报数值计算，统计力学等领域里，动力系统理论的应用已经崭露 头角在系统控制、天体力学、流体力学、振动理论、化学反应，生理过程、生态和 人口理论等许多方面的研究中，动力系统也展示了广泛的应用前景函数空间上的算 子理论之所以受到普遍的萤阮不仅因其丰富而深入的理论，而且特别是由于它的广 泛而有成效的应用随着现代数学物理问题研究的深入，不同域上的函数空间及其算 子不断出现，许多问题尚待进步研究加权复合算子作为复合算子的推广也得到广 泛的研充1 9 8 7 年s h a p i r o 给出了舻( d ) ( 其中d 为单位圆盘) 上复合算子紧的充要 条件，并用n e v n l i n n a 计数函数给出了口：( 研到点产( d ) 的复合算子的本性模公式 近年，m a c c l u e r 在定假设下得到了伊中单位球匕h a r d y 空间z p ( 玩) 到伊( 玩) ( 0 q p m ) 的复合算子的本性模估计在这篇文章中，我们得到了更广的加权复 合算子的本性模估计，并给出了c r 中单位球匕不同r b r d y 空间之间的加权复合算子 紧的些充分或必要条件 2 第= 章基本和文性质及主并结果 在本章中，首先简要介绍下本文所涉及到的些主要榻念、术语、性质和结论 鬟习谜概念和结论的更详细内容，贝参考二女j 欧( i l 】，【3 】，1 4 】、【5 】，m 、【8 】、 【1 2 1 、【1 4 1 、p t 、【1 9 】，【2 3 】) 下面我们依次介绍单位球晶与多圆柱、单位球e 的h a r d y 空间以及它的些基 本性贰加投= 毙合算子矸0 ，以及本性模i i t i i ， 1 单位球晶 在本文中，我们用c 表示复数域，俨表示复数域tn 维线性空间 矿； 伍，钿) ：乃a j = 1 ，醇 设：= ( z l ，) ，”= 如，饥) 是伊中的两点，定义它们的内积为 n = 巧巧 j = l z 的模定义为i z i ：再i 万了：( 妻j 1 2 ) 1 这样伊是个n 维的l 王i l b e r t 空间 c n 中单位球定义为： n 晶= 似，钿) 伊：i z j l 2 o ，j = 1 - 一，n ，则 伊中以a 为中，5 - , r 为半径的多圆柱定义为： p ( o ，r ) ； ( z l ，) ：f 句一呀i 吩，j = 1 ，帕 设n 为中俨的堍我们用日( o ) 表示n 上的全纯函数的全体 对有畸穆嘲a = ( a 1 ，) ，其中q 都是非负整数记 1 口l = 口1 + + ， a ! = 口11 ! ， 矿= 贯1 磅“ 其中z = ( 钆，) 同单位圆盘上的解析函数有t a y l o r 展开样，单位球e 的全纯 函数f 也洧幂级数展开式，( z ) = 。oc ( n ) 。4 ，此式又可写成，( z ) = 墨。兄( z ) ，这里 f ( z ) = i 。l f f i c ( n ) 扩是z l ，的s 次齐次多项式。下面是证明中涉及到的多复变 中r i 介基本定理 3 第二章基奉骺氩性质及主耍结果 c a u c h y 不等式( 见【1 p 9 ) 设n 是伊中的域，多圆柱p c a ，r ) c o ，若，h ( n ) ( 表 示n 上的所有全纯函数) ，记m = s u p i ( e ) i ：e o o p ( o o p 表示p 的特征边界) ，则 i ( d “烈口) ism 嘉 这里 c 肼= 锚篙掣l w e i e r s t r a s s 定理( 见 1 p 1 0 )设。是伊中的域， ) 是q 匕列全纯函数若它 在。上内闭致收敛于， 则，日( n ) ，而且 d a ) 也在n 上内闭致收敛于d 。， m o n t e 啶理( 见【1 p 1 2 ) 设。是伊中的域，n 上的全纯函数族f 是q 上的正规族 的充要条件是f 在n 匕局部致有界 2 复合算子郇与加投复合算子矸0 ， 设妒= ( 妒，) 是晶上的全纯自映射，妒为风上的全纯函数，我们以后的 讨论中都假定妒0 ，i i ( b 。) 上的复合算子与加权复合算子分别定义为； ( ，) ( z ) = ，( 妒( z ) ) 1 ，( ，) ( z ) = 妒( z ) ，妇( z ) ) 对任意的，日( 晶) ，2 如 3 h a r d y 空间 我们用日( 岛) 表黍隼啦球最上的全纯函魏菟对0 p o o ，h a r d y 空间舻( 巩) 定义为： h p ( b 。) = ，日( 玩) ：l i f i l ；, = s u p i ，) l 打( f ) o o o r lj o b 当p = 0 0 时，我们用日一( 风) 表示单位球匕所有有界全纯函数全体，它的元素的范数 定义为l i f lj 。；s u pi ，( z ) i 性质1 ( 见f 8 p i p a ) ：假定，日p ( ) ( o p o o ) ，则对于点e a 岛，径向极限 ，+ 传) 一l i m ，一- ，( 嘈) 几乎处处存在，且l l 川；= 厶巩l ，+ ( f ) l ，如( ) 性质2 ：如粕筝在0 p 使得o ：俨一日p 有界，则对任意0 p 0 ，使得 l i t z l l rsm i l x l l x ( 坛x ) 4 幂= 章基砗。文性质瑟主耍结果 紧鼾设x , y 是b a a a c h 空间设a ：x y 线性；称且是紧算子如果对任 意有界点列 ) cx ， 缸。中有收敛子列( 或者，对于x 中的任意有界集口， i 两在y 中是紧集) 4 本佐漠i i t i i 。 t 是两个赋范线性空间之间的任意有界线性算子，它的本性模定义为- l t i i 。，i n f i i t x ”：j r 是紧算子) 即算子t 到紧算子的距离 基席牲质：i i t i i 。= 0 营t 是漂崮 子 由此性质及本性模的估计可以得出紧的相应条件，这一点在本= 艾最后的推论中可 以看到本文均在假定存在0 1 ，0 q o o 的情形 l l h 0 ，p i i 。2 ( 脚m q ( 妒( e ) ) ) 1 。 特别的，当l p g h 寸 有，( 妒( e ) ) = 0 ，此时 i f 矶l 梁，厶若与曼牟咖“习 并证明了w ；，紧的充要条件是 。翠。厶矗亳宅i 咖一。，= 。 5 第三章几十引理及其证啊 说明：此后为方便。我们常把函数f 的径向极限取值广仍i 已为，这点请 读者注意区分此外我们常把日，( 晶) 简记为t i p 设0 p o o ，i p 是风上的全纯自映射，并且妒h q ( b n ) ，我们定义瓦上的测 度 ， 脚m g ( 刀) ：上叫聊n a 氏9 如j 妒。i 墨j il 口h 其中e 为砩中的可浏子第显然。为正的有限b o r e j 测度由关于。的假定及 性质2 ，我们就有 l i 矸“列| ；= o 凰f ( 妒，。妒) 叩打= 厶旷( ，。矿) p 曲 引理1 固定0 p + ，妒是晶上的全纯自映射，且妒舻，则有 i g 咖m p ：! i 妒i ，o 。妒) 由 厶g 咖一2 以b 挪o 。妒 其中g 是瓦上的任意可测正函数 证明：特殊的，如果g 是定义在百_ 上的简单可测函数，即口= ：，n t x 置，则有 厶。舢= 砉a 帆“黝一喜毗上叫聊。风9 曲 2 厶p ( 善州一( 剐慨弦 = i 妒i q o 妒) d 9 n o 且n 般情形，如果g 是豆。上的可测正函数，存在单增的正的简单函数序列 鲰 满足( z ) 一g ( z ) 黼z 瓦都成立因j 埔 厶细一一厶，咖一 另方面，i 妒i ，0 。o 纠是粤增序列使得 妒0 ) i ，( 9 m ( 妒如) ) 呻 妒( z ) i p 妇( 妒o ) ) 对所有z 磊成丑所以 厶。仉m ，= z 如( 。妒) 如一z 巩。妒) 出 第三章几十引理及其正明 结诧- 肚 引理2 设0 p 且f 俨，则 m ) 茎耘 对任z 风成立 证明：固定f 俨和z 晶对于任意的0 r 0 ，则 裟l 苗i 0 ，对任意的d 蜀，多圆柱 ，只= 忙，钿) 伊：吻一町f 赤，= ”一，n ) 含于g 由c a u c h y 不等式得 i 苗( 。) i 孚确s u p r i f ( 列等躲| ，( 硎 对。k 取e 确界就得到所证不等式 ， 引理4 固定0 j 1 ，且g = 仁既：1 一n 则 一l i r a s u pi f ( z ) 一，( r z ) l = 0 r + 1z e g 对h p ( b = ) 中的任意单位向量f 成苋 证明： 删s u p l f ( 矿，( r 列2 ：罂i 薹( ，( r 钆晰一 川 i f - i t 几十引理及萁砭啊 一y ( r z l ，r 钇，r ，+ l 。，) ) l s 裟耋 z 1 j 勺苗( 吻，- 1 , t z j , z j + i , , z n 川 ( 1 - r ) n 罂i 嵩i 定义g 1 = 乜风：h s l 一g ，则g c g l 并且d i , t ( a ，粥- ) = g 由引理3 ，我们有 裟i 若圳s 竽蒯s u p 。i ( 刮 如果p = o o s u pi f ( z ) 一( r z ) l 兰2 ( 1 - - r ) n 何l l y l l 。 对于0 p 1 ) 上的有界序歹! i ，并且 ) 弱趋于0 ，则对 s p ( s ) 到y 为赋范线睦空间) 上的任意紧算子k ，都有i j k ，m f l y 一0 证明：此引理直接由引理5 和k 的紧性得到 8 第四章主要定理及其证明 情形1h * 一俨即p = o 。，q = 2 我们先计算下空间n 2 c b ) 中元素的棋 x 于- 7 ：，z - 产c b ) 荆2 莓c ( a 驴2 莩c 陋) l l z 2 氚口a ” 。一 其中 翁e 是铲( 晶) 中的组正交基，且c ( = d 。，( o ) 口l ，故而 i l f l l = l e ( o , ) 1 2 妒旧 其中 i i z 旧= 踹 对于正整数m 定义从空间h 2 c b ) 到自身的算子t ( f o ) ；f o 口m = i - p 一 显然有j kj j = 1 设矸0 ，p ：h o o h q ，0 q ，很容易验证w , p ，p 有界的充要条件是妒h q 事实e ，如果矸0 ，有界，只要取检验函数，= 1 即有妒h q 反过来，显然有 i i w , ，p | i 1 1 , p 1 1 口 引理7 设，p ：h ”一日2 ，妒俨，则 i i w , ，”i i c2i 骢i | 冗m 。v | i 证明：方面 对任意m ，o 。为有限秩算子，从而为紧算子由假定w 0 ，有 界，所以o 。矸，是紧算子，从而 i i w , 口，i l 。= 1 1 ( 届。+ 0 。) 肌，l l 。= l i i 。i l 。“足。吼，l i 因此i i w , ，p i | 。5l i m i 一。j | 吼肌 另方面，设k ：日* 一日2 为任意紧算子由于i l j k i | = 1 ， w ；，p k l i i l 焉t ( i ，一g ) l l = i i w ；。，一凰l f | l h 0 ，p | j j 】r 。k l | 9 注意到k 是紧的。日m 中的单位球在映照k 下的像在铲中有紧的闭包由于i l j k “j l 而且耳在舻中逐点趋于0 ，所以耳在h 。中单位球上_ 玫趋于0 ，即当 m 一有x ”- - , 0 散而 w ；，p e l i r a s u p i i p , m w 9 ，9 m 命题得证 引理8 设吼，p ：日* 一抒2 ，妒舻，如果k 是固定的正龇g 是巩睢意 的非常值解析函数满足i l g l l 。51 ，则当m m 时，有i 仉i ，一( g “) l i 。- - * 0 证明：如果。是蒲足sk 的多重指标，则 i i z “l i ；= i 踹s ( ! ) ”s c ( 仲，) 由于矿( 0 击) 风。应用c 出y 估计，对于巩上任意的全纯函数，有 旦笔掣曼h 硎。m 艄 口! 一” 其申i i f l l 。肌击) 表示f 在多圆柱矿【o ，刍) 上的最燃 由于f 展成幂级数的系数为c ( 吐) = d 。f0 ，我们得到妒g ”。妒的系数的上界由 ( 2 n ) l a q l 妒矿。l p 忆矿( 。，击) 控制设c ，m 分另9 为和 go 纠在多圆柱d - “( o ，去) 上的 最大值，则s 0 ，定义& = a 巩：i 妒( 圳1 一e ) ，且令霹表示它在峨中的 补集，妒日2 定义算子k ：舻一日2 耳( ，) = 尸( x 毋妒( ，o 妒) ) 1 0 第西簟主要龟彀其证明 其中p 为工。到z r 2 上的正交投影( 这里我们把日2 中的函数等价为它的径向极限函 数) 则对任意的2 p o o ，k 为从h p 到h 2 的紧算- r - 证明：设( 知 为舻申单啦球里的序列由引理2 对于2 p ， ，m ) 为正 规瓷当p = o o 时亦然所以存在玩上的内闭致收敛子列，不妨i 殳它收敛到为 方便我们仍记l h ，亍现i 为 ) ，显然，h p 因此 l l k 一k i i i i i p i l 2 i i x 研妒( ，mo 妒) 一x 骘妒u 。计惦 s l x 研妒( 知。妒) 一x 研妒( ，o 妒) 1 2 d 矿 ，口e h = l 妒( ，mo l p ) 一妒( ，o d l 2 缸 j 等 由于 ，m ) 在研匕致有界且妒铲，故由l e a g u e 控制收敛定理，上面的表达式当 m c o 时趋于0 此即证明了k 的紧性 定理1 设肌，：日* 一铲满足妒铲，则 i i h 0 ，= ( 脚，p ，2 ( 妒( e ) ) ) 1 胆 害# 中e = 0 b ：i 矿化) l = 1 ， 证明：我们先考虑下罗m 占计设g 为巩上的非常值内函数，对正整数m ，令 h = g m ，则有 f l - 饰，p 0 ”) i l l = i 咖( h 。妒+ ) 1 2 出 j 8 b ，= l 矿严西脚。2 j 爿“ 2 l 1 2 d 脚m 2 脚m 2 ( 妒( 四) ) 其中最后个不等号是因为妒l = 1 在妒( e ) 匕依测度pn 乎处处成立，这是因为h 为内函数且脚。限制到蹰。上关于，是绝对连续的事实上，对0 b 的任意可测 子集e ，有 肛9 m 2 ( e ) = i 妒1 2 d ， j p _ 1 ( 目n a 艮 由关于的假定，如果口( e ) = 0 ，则一( 妒一1 ( 司n a 晶) = o ，从而脚，。2 ( 功= o 所以 i 凤- ，j l | i 吼 ，p 0 ”) 1 1 2 1 1 2i i 矸勺，p 0 ”) i 1 2 一i i q k w p ，p 0 “) 1 1 2 2 ( 脚m 2 ( 妒) ) ”一i i q k l l 。p ( 矿) 1 1 2 对所有m 成立 固定k 并令m o o ，应用引理8 我侧 i l 风佴0 。p | l 芝( 脚m 2 ( 妒( e ) ) ) 1 2 对任意k 成立现在令一0 0 ，由引理7 我们删想要的l l 矸0 ，的下界倍汁 下面我们看匕界估计 定义引理9 中的k ，从而k ：胃* 一日2 是紧的对任意满足吲i 。= 1 的口日* 我们有 f f 。p 一k ( 9 ) t 1 2 一f i 妒g o p p ( x e ：妒( ，o 妒) ) f 1 2 一i i p 仅晶妒( ，o ) 1 1 2 x 研妒( ，o 计1 1 2 = ( l 妒g o 妒1 2 曲) l j e t si i go 川。( 2 如) j ，日 i i go 纠i 。( 川2 纠j o 妒一1 【p j k ) ) n a k = i i go 纠k ( 脚，p ，2 ( 妒( 丑) ) ) ” 设io 并令k m 表示由( ，) = p ( x 妒( ，。妒) ) 定义的算子对于p - - - - o o 就有 f i 矸0 ，p i l 。| j h p 一。 r 赢j i ( ，邮，p ，2 ( 妒( 最m ) ) ) 1 2 对所有m 成立。令m o o ，命题得证 推论1 设w ；，：日”一日2 有界，则它紧的充要条件是i e i = 0 ，其中e = “ 鹕；：i 矿f = 1 ，这里f 引表示e 的正规化l e b 哪m 测度 证明：由定理1 我们知道矸0 ，紧，则有脚。2 ( 1 p ( 曰) ) = 0 ，也即口( 妒一- ( 妒( e ) ) n 8 b n ) = o ( 见 4 p 8 35 5 9 ) ，从而0 旧口( 妒一1 ( 妒( e ) ) n 镏；) = 0 另方面由定理1 的 证明过程知 ， i i h 0 ，p i | 。( m 2 打) i j 日 当e 一0 时，再由蚓= 0 ，就有h 0 ，紧 第四章主要窟匣受其证明 注1 在推论1 证明过程中取妒= 1 ，即有| l 啊，i i 。= i i c ，l l 。i e i ”而在定理1 中取定妒= 1 ，就有i i c ，l l 。( p - ，2 ) 1 2 = d p 一1 ( 妒( e ) ) ) 1 2 ，h 厕和一1 ( 妒( 目) d = i e i 推论2 设：h ”一舻存界，则 i i c p l l 。= 旧1 2 其中e 同上( 此即1 1 7 1 中的定理” 证明：在定理1 中取妒= 1 ，由注1 即得 情形2h o o h q ，q 2 即p = o o ，g 2 定理2 设，p ：日。一日口，且妒h e ，则 ， 去( 脚，p ，口( 妒( e ) ) ) 1 e i i w , ，p 。s2 ( 脚，p ，口( 妒( e ) ) ) 1 加 其中e = f a 日。：i 妒( ) i = 1 ) 证明：我们先估计e 界显然h 0 。对于固定的0 m ，存在0 1 ，口= o 。 定理3 设p ：俨一俨( p 1 ) ，则，p 有界当且仅当 一s u p 矿黪 1 ) 有界，则 溉。，船非。矿絮警耘剑矶s 。甥鼬。，暑脚矿卡笺筹b 证明：我们先劾基匕界借计对固定的0 r 1 ，很容易验证h 0 。是紧的 因此 i l w j p i l es | | ，p i ，r rj i 现在对任意的0 6 1 l i ，p i | i =s u pi i ( w ；，p w i w ) 1 1 一 f l l l p ，l = s u ps u pl 妒0 ) i l ，( 妒( z ) ) 一，( r 妒( z ) ) j i i i i ，掣1z e b si i 妒| i 。s u ps u p i ，( 妒( z ) ) 一，( 婶( z ) ) i j i f l l w = l 出，t ( p 扣) ，a 丑n ) j + s u p s u p l 妒( z ) l i ，( 妒( 2 ) ) 一，( r l p ( z ) ) 由弓l 理4 ，我们选定足够趋于1 的r ，使得右侧的第项小于任意给定的。我们用i 表 示第二顷i 则 i s u ps u p l 妒( z ) i ( i ，( 妒( z ) ) i + l ，( r 妒o ) ) 1 ) j 1 1 l l p = 1d t i t ( p ( ：) ，别) j 曼，唧姗。m s u p i j l l p = l 峨i 矿嵩裂齐i - 两+ 矿牖i r )l出t ( p ( ；) ，a b n ) j 1 一l 妒o jj ”- 一妒峥jj ， 纠酬吣s u p 琳。f 糍南 第四章主蔓自豇受其证鳙 先令r 一1 ，然后令j 一0 ，便得到要的e 界估计 现在看下界估计 设k 为从舻到h * 的艴对任意”巩，定义厶( ；) = 芒老骞南，显然 有l l 厶= 1 且当川一1 时，丸弱趋于0 ，因此当i l 一1 时，i i k 厶i l 一0 所以对任意0 j 1 矸0 ，p k i i2l i r a s u pi i ( i ，p k ) 九i l * l i 一1 2 l i m s u p i | w ；，p 厶1 1 0 0 h m s u p i i k 丘 | 一 m l _ ll 埘卜，1 = l i m s u ps u pl 妒( z ) i i 厶 如) ) i 岫i lz e b l i r a s u ps u p l 妒c z ) l l 厶( 妒( z ) ) f 当j 一0 时i 妒( z ) i 一1 ，故令 = 妒( ：) ，我们得到l i 矸0 ，p | i 。的下界佑计 推论5 设w 0 。，：舻一日”有界，则它紧的充要条件是 舢l i r a s u 删p 。；f 船南= 。 注2 ：如果m k 1 ，0 q 1 ，0 口 定理5 设吼，p ：日，一伊( 1 p 1 ，0 q o o 是紧的，则i e i = o 其中e 同上 注3 ：我们将看到当0 p q o o 且w 0 ，p ：h p 一日口有界，有脚m 口( 妒( e ) ) ；0 所以上面的估计是无效的，我们需要给出其它的估计： 设p 表示工。p ) 到h q ( b ) 映上s z e 9 6 投影，即 ， p 【，】( z ) = ( 1 一 ) 一”，( f ) 面 。 j a b “ 当q = 2 时，刚好为l 2 ( 一) 到z r 2 ( k ) 的正交投影，且当1 q o 。时p 为有界算子 ( 见 3 1 中的6 3 1 ) ，我们记它的范数为| ip l i 定理6 设1 q p q 使得俨_ 1 2 r ( 1 p o o ) 有界， 则 i i 吼，l i 。i i p i 肌，别铲 其中e = 代喝。：i 妒i = 1 ，f e f 表示e 的觑化l e b e s g u e 测度 证明：我们同样考虑k ：h p h q k ( f ) = p ( x 置：妒( ，o 妒) ) 这里p 为s z e 9 6 投影同引理9 的证明类似，l f 为h p 到h q 的紧算子从而有对任 意满足i ，= 1 的口俨，我们有 | 1 w ；，国) 一j f ( g ) 令e o ，命踟 = i i 妒g o 妒一p ( x e 妒( ，o 曲) i i g = l i p ( x 五妒( ，o p ) ) 5j i p ij j x 毋妒盯o = | | p ( l 妒g o 妒严西) j e 。 s i i p | i ( 。x 研陟g 。妒p d ，v o 如 。 i i p i w 0 ，( g ) 川最l 幂 s i i p i i 1 1 w , ，川i 最i 等 第四章主奠定理及其证明 掐仑7 条件如定理6 ，则有吼，：日，一日a 紧的宽彰酣牛是i e i = 0 证明直接由定理6 与推论4 得到 定义设卢1 p 为瓦上的有限正测度 ( 1 ) 如果 肌p 躺s h m ，则称p 为有界卢一c a r l e s o n 测度 o h 2 ，拒a 乳 c 2 ) 如果j 嗵s u p 出杀鲈= 0 ，则称p 为消灭卢一o a r l e s o n 测度 t t - 0 f a b 。 其中瓯化) = d 瓦：1 1 一 1 5 耐，0 h 2 引理1 0 c 见1 1 0 】推论2 ) 设，为瓦上的有限正测度，且0 p s 口 o o ，则下列条 件等价l ( i ) p 为有界的g c a r l e s o n 测度 ( 赶) 存在常数d o o 使得 _ i ，i 咖c l l f l l g j b n 对所有，h v ( b n ) 都成立 定理7 对固定的0 p s 口 0 0 ，妒为风上的全纯自映射，且妒h q ，则下列条 件等价i ( i ) 脚。为有界的：一c a r l e s o n 测度 ( i i ) 肌，p ：h v 一伊有界 ( i i i ) 恶厶芒器一小o o 证明：( i ) = 争由引理1 0 ，若脚，。为有界的：一c a r l e s o n 测度，则存在常数 0 使得 ll ( i 脚m a c l i l l ； 对所有，三p ( 晶) 都成立应用引理1 ，并取g = i i i q ，我们有 - l 卯m 口= 4 i f o l p r d o = i i h 0 ，p 川： j b 。j 8 8 5 因此，就有 l i w , ，p ( f ) l l gsc 1 1 q l i 川， 对所有，h v ( b n ) 都成立也即矸0 ，：h p 一日一有界 ( i i ) 号( i i i ) 1 8 撇。晶，令五舢) = 面p - w l 。p ，) ) ，而- ，则1 1 五1 1 p = 1 ( 俐) 辛( i ) 假定 c i i w , p i l 9 = s u pl i w , ，p ，： l i f l l ，, = l 。 m , 1 pi i w , ，, a i i ： z 岛 = s u p ( ，i 妒1 9 i 厶。妒r d z e b nj a 日n 2 般厶 咖m 。 = 恶厶芒三磐南小， m = 恶厶芒捣扣) o o 我懒脚m 。为有界的；一c a r l e s a n 测度首先令# = 0 ，则脚m a ( 瓦) s m 因此 脚m 口有限并且m 口( ) ) m s4 m h * q l p 对所有f a 巩和h ( ) 砖i 成立假定 h ( ) 赤并且对a 风，令如= ( 1 一) f ，则对任意t l ，瓯( f ) 因为 i - - i = 1 1 - i h + i h 一 i = i ( 1 一；) ( 1 一 ) + 互h 曼i ( 1 - 铷+ i h 竺 一 2 且1 一1 2 = ( 1 一i , e o d ( 1 + i 如i ) ( 1 一i 0 1 ) ，从而有 ( 1 一2 ) l 口p 、( 1 1 如1 ) 吲p c f j i i 和三r 2 h n e l ， 所以 m 厶若三絮并一”， 厶丽c 。d 脚m 一 2 塑篇趔 此即一为有界的；一c a r l e s o n 测度 推论8 如果0 p 口 0 0 且，p ：甘p 一日口有界，则 i 郇m 口( 妒( e ) ) = 0 翻：由于脚。限制在a 晶上关于口绝对谴绣用g 表示脚m 。限制在隅。 关于口的觑幽一m 女d 嘶m 导所以，我们有 删= f r m ，【雨1 两厶( ”加 = 溉错 h _ o 矿( j ( d ” l i r a 。洲咖“ =0 在阳i 上几乎处处成立其中倒数第= 介不等号用到了矿( s h c b ) ) 和胪等价无穷小( h 很小时) ( 见f 4 】p 6 7 】) 现在就有脚。i a 晶；0 ，推论：成也 定理8 假定1 p 口 o o 并且加权复合算子矸0 ，p ：王p h a 有界，则 艘，二。芒三警南一：) 证明：设k 为从俨到h q 的紧算子对任意的”既定义厶( z ) = 岳爿妫， 从而有i i 凡p = 1 并且当一1 时，有厶弱趋于0 ，因此当m 一1 时i i 耳丘一0 故而对任意的0 6 1 l w 十p 一耳i i2 l i 帅r a s u l p ( 吼，p 一置川口 之l i m s u p ij i ，p 厶一l i r a s u p i 凡 i 伽l + 1l l - - 1 = l i r a 。s u 。p f j , g b 严d 锗等南i 酢，山i 叶1 1 1 一l p l z j ”， 之 i m s u p _ 。巷妄警南以， 引理1 l ( 见【9 1 ) 假定0 p 口 o o 并且自啼蝴算子w 。，：伊一肿有界，则下 列条件等价。 脚m g 为消灭：一c o r e s o a 浏度 ( i i ) 吼，：舻一h q 为紧算子 定理9 假定1 r 0 ，当m r 时，有 l 厶芒1 - 捣咖。f 厶芒爿筹备扣， 厶南咖m 。 ，璺生些d 墨盟! 。h n q n 对任意的：慨都成立，故脚m - 为消灭一c a r i e s m 测庞 参考文献 【1 】1 史济怀，多复变函数论基础，高等教育出版社，1 9 9 6 【2 】周民强，实变函数论，北京大学出版社，2 0 0 1 f 3 】张恭庆，林源渠，泛函分析讲义，北京t 高等教育出版社，1 9 8 7 f 4 】w r u d i n , f u n c t i o nt h e o r yi nt h eu n i tb 8 l lo f 沪，s p t i n g e r - v e r l a g ，n e wy o r k ，1 9 8 0 【5 1c c c o w e n a n d b d m a c c l u e r ，c o m p o s i t i o n o p e r a t o r s o n s p a c e s o f a n a l y t i c f u n c t i o n s ，c r c p r e s s ，b o c ar a t o n ，f l ，1 9 9 5 1 6 】j o e l h s h a p i r o ，c o m p o e i t i o no p e r a t o r sa n dc l a s s i c a lf u n c t i o nt h e o r y , s p r i g e r - v e r l a g ，1 9 9 3 吲k h z h u ，o p e r a t o rt h e o r yi nf u n c t i o ns p a c e s ，m a r c e ld e k k e r n e wy o r k 1 9 9 0 【8 】k l z h u ，s p a c e so fh o l o m o r p i n cf u n c t i o n si nt h eu n i tb a l l ，s p r i n g e r2 0 0 4 【9 】h m x ua n dt s l i u ，w e i g h t e dc o m p o s i t o no p e r a t o e r sb e t w e e nh a r d ys p a c e so nt h eu n i t b a l l ，c h i n q u a r t j o f - m s t h ，2 0 0 4 ，1 9 ( 2 ) ：1 1 1 1 1 9 1 1 0 l l u oa n dj h s h i ，c o m p o s l t o no p e r a t o e r sb e t w e e nh a r d ys p a c e so nt h eu n i tb a l l ， a c t s m a t h s i n i c a ，2 0 0 1 ，4 4 ：2 0 9 2 1 6 【1 1 】m d c o n t r e r a s a n d a g h e r t m d e d i a z ，w e i g h t e d c o m p o s i t i o n o p e r a t o r s b e t w e e n d i f f e r e n t h a r d ys p a c e s ，i n t e g r e q u o p e r t h e o r y ，2 0 0 3 ，4 8 ：1 6 5 1 8 8 【1 2 】p l d 1 1 r e i l ，t h e o r yo f 舻s p a c e s ，a c a d e m i cp r e s s ，n e wy o r k ，1 9 7 0 【1 3 】b d m j t c c l u e r ，c o m p a c t c o m p n s i t o n o p e r a t o r s o n i i p ( b n ) ，m i c h i g a n m a t h j ，1 9 8 5 ，3 2 ：2 3 7 2 4 8 f 1 4 k h o t f m a n ，b a n s c hs p a c e