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e l i a m o lb a r 问题及其相关问题的研究 摘要 复杂系统在近年来成为理论和应用数学研究的热点之一。在自然界有大量的使用传统数 学方法难以分析的事物，对这类复杂结构进行建模，模拟和分析是数学发展的前沿课题之 在数理经济学的领域里有一个分支称为a g e n t b a s e dc o m p u t a t i o n a le c o n o m i c s ，简 r a c e ，它把经济系统看作不同的参与经济活动的个体之间的相互作用，从而用数值模拟的 方法来研究系统动态。e lf a r o lb a r 问题是这类系统的一个典型模型。对日f a r o lb a r 问题的 研究有利于加深对经济学中一些宏观和群体行为的认识。 在某种意义上，曰f a r o lb a r 可以作为无约束的自由市场经济的模型，它内部蕴涵的复 杂结构也是使用解析方法难以处理的。现在对它的研究主要集中在数值模拟上，想要求解其 严格解尚无普遍手段。本文主要使用了数值模拟的方法作为成熟可行的研究手段，分析了日 f a r o lb a r 问题中的一些数值特征本文在建立模型的具体环节上与过去的研究有所不同， 加入了反映现实中人的思维方式和市场中普遍存在的行为习惯的一些因素，以求在这些特定 意义上更精确地作为现实市场的模型。文中还探讨了e lf a r o lb a r 问题的一些变化形式，在 不同的角度观察了市场的某些显著的宏观特征。着重考察了市场稳定性和风险的概念，得到 了一些相关的结论，可以作为在市场行为中如何降低整体的风险和提高整体稳定性的参考。 关键词： e if a r o lb a r l u 司题 m i n o r i t yg a m en a s h 均衡市场模型 到f a r o lb a r 问题及其相关问题的研究 a b s t r a c t t h ec o m p l e xs y s t e mb e c a m et h et h e o r ya n do n eo fa p p l i e dm a t h e m a t i c s r e s e a r c hh o ts p o t si nt h er e c e n ty e a r s t h e r ea r ev a r i o u sr e s e a r c ho b j e c t i nt h en a t u r e ，t h a ta n a l y z i n gw i t ht r a d i t i o nm a t h e m a t i c sm e t h o di s d i 艏c u l t b u i l d i n gt h em o d e lt ot h i sc a t e g o r yo fc o m p l e xs t r u c t u r e ，a n dt h e s i m u l a t i o na n dt h ea n a l y s i so f t h em o d e li so n eo ft h ef r o n tt o p i c so f m a t h e m a t i c sd e v e l o p m e n t t h e r ei sab r a n c hi ne c o n o m i cd o m a i nt ob ec a l l e da g e n t - b a s e d c o m p u t a t i o n a le c o n o m i c s ，a c e ，i tr e g a r d st h ee c o n o m i c a ls y s t e ma st h e p a r t i c i p a t i o nb e t w e e nt h ei n d i v i d u a le c o n o m i ca g e n k t h u sc a ns t u d yt h e s y s t e m a t i cd y n a m i cw i t ht h en u m e r i c a ls i m u l a t i o nm e t h o d e 1f a r o lb a r p r o b l e mi sat y p i c a lm o d e lo ft h ec a t e g o r y r e s e a r c ho fe 1f a r o lb a r p r o b l e mw i l ld e e p e nu n d e r s t a n d i n gi ns o m em a c r o s c o p i ca n dg r o u p b e h a v i o ri ne c o n o m i c s i nas e n s e e 1f a r o lb a rc a nb et h en o n r e s t r a i n to p e nm a r k e tm o d e l ，i t c o n t a i n sv e r yc o m p l i c a t e ds t r u c t u r e ，a n di ti sd i f f i c u l tt oa n a l y z ei tw i t h t r a n d i t i o n a la n a l y t i c a lm e t h o d n o wt h er e a s e r c hm a i n l yf o c u s e so nt h e n u m e r i c a ls i m u l a t i o n ，t h e r ei ss t i l ln og e n e r a lm e t h o dt os o l v ei t se x a c t s o l u t i o n t h i sa r t i c l en i a i n l yu s e dt h en u m e r i c a ls i m u l a t i o nm e t h o d ， a n a l y z e ds o m es t a t i s t i c sc h a r a c t e r i s t i c so fe 1f a r o lb a rp r o b l e m 。i nt h e a r t i c l es o m ec h a n g ef o r m so fe 1f a r o lb a rp r o b l e mw a sd i s c u s s e d ，s e v e r a l r e m a r k a b l em a c r o s c o p i cc h a r a c t e r i s t i c si nt h em a r k e tw a so b s e r v e di n v a r i o u sa n g l e s i nt h ep a p e r ，w er e s e a r c h e dt h es t a b i l i t ya n dt h er i s ki n t h em a r k e t ，o b t a i n e ds o m er e l a t e dc o n c l u s i o n s ，t h a tw i l lb et h er e f e r e n c e o fh o wt or e d u c et h er i s ka n de n h a n c et h eo v e r a l ls t a b i l i t yi nt h em a r k e t b e h a v i o r k e yw o r d s ：e lf a r o lb a rp r o b l e mm i n o r i t yg a m en a s he q u i l i b r i u m m a r k e tm o d e l 鞯硕士学位论文答辩委员会成员名单 ) 冀j _ _ 年f 月7 日 姓名职称单位备注 i 移勉谚影耠摇藓巧t f 专编耘翘 主席 翔皆豁罹率妄、 节锰六鬈瓷秀辜 姿，俊飘数摇佬车，i l 车彘犬荔瓿泛季 学位论文独创性声明 本人所呈交的学位论文是我在导师的指导下进行的研究工作及 取得的研究成果据我所知，除文中已经注蜞引用的内容外，本论文 不包含其他个人已经发表或撰写过的研究成果对本文的研究做出重 要贡献的个人和集体，均已在文中作了明确说明并表示谢意 作者签名：萼牡 日期：3 竺竖4 学位论文授权使用声明 本人完全了解华东师范大学有关保留、使用学位论文的规定，学 校有权保留学位论文并向国家主管部门或其指定机构送交论文的电 子版和纸质版有权将学位论文用于非赢利目的的少量复制并允许论 文进入学校图书馆被查阅有权将学位论文的内容编入有关数据库进 行检索。有权将学位论文的标题和摘要汇编出版。保密的学位论文在 解密后适用本规定。 学位论文作者签名：鸯修询绣 导师签名： 日期： 鱼衅日期：卫畔 e 1 f a r o l b a r 问题及其相关问题的研究 1 1e 1f a r o lb a r 问题介绍 第一章背景介绍 1 9 9 4 年，b r i a na r t h u r 提出了著名的“e lf a r o lb a r 问题0 1 。这个问题是这样 的：假设在一座城市里有1 0 0 个居民和有一个叫做e lf a r o l 的酒吧。这个酒吧在每个星期四 都有爱尔兰音乐表演而每个人都必须独立决定是否愿意去酒吧听音乐当地居民都爱好爱 尔兰音乐，但是当酒吧人数超过6 0 的的时候，就会显得太过拥挤，到场的人则会认为自己 这次不应该来。为了避免过于拥挤的情况，每个人都需要采取某种策略来确定自己是否该 去按照博弈论里的n a s h 均衡理论，这个体系达到混合策略的n a s h 均衡时，应该是每个人 都按照固定概率6 0 来选择去，以4 0 的概率选择不去“。这是自由市场的一个简单模型。 为了描述自由市场，在古典经济学中的基本假设是“完全理性”的经济人假定u 。按照 假定，处于经济活动中的个体将依据完全的逻辑和理性来行为。而决定自身行为的方式也是 由完全精确的演绎法来确定的。在这样的限定下虽然可以得到关于平衡市场的诸多结论，但 是在现实生活中的多数问题并不符合这样的假设。而对现实中市场行为的描述要困难得多。 在现实中的个体具有有限的理性程度，而且并不能掌握有关市场的完美的信息。而且在很多 结构复杂的系统中，即使掌握了全部的信息也没有相应的处理能力加以处理。现实的人在考 虑复杂问题的时候有很多地方是基于主观观点，而并不是绝对的理性和完美信息。典型的例 子如象棋比赛，从博弈论的角度来说，先走棋者或后走棋者总存在一个最佳策略。但是事实 上想要得到这个策略需要的计算量远远超过了任何可能的计算规模“。 b r i a na r t h u r 指出“”，因为人的“有限理性”的原因，在e lf a r o lb a r 问题中为了 模拟现实中的市场行为，每个人应当依据过去一段时间的历史数据，再使用某些特定的方法 来预测“下一次”的结果如何，比如预计未来的结果是过去若干次的平均值等等，再根据这 个预测结果来做出决定。而这个问题具有经济学中称为“有限信息”的特点，是复杂经济体 系中一个典型的例子。 而在经济学中，我们怎样模拟和研究这种有限的理性? 根据现代的心理学观点，在复杂的或者难以定义的情况下，人会使用一些带显著特征的 和可以预见的推理方法。这些方法不是演绎的，而是归纳的。也就是说，人会倾向于使 用归纳推理，通过试验以及试验结果来归纳出所需的行为方式。归纳法虽然没有演绎法那样 e 1 f a r 0 1 b a r 问题及其相关问题的研究 的严密和精确性，但是这是人们在认识和适应复杂系统的时候所需的有效手段，而且也是符 合事实和经验的。从心理学的角度来说，人的心理反应有一定的规律可循，但是人的心理的 模式是极端复杂的，按照一般的想法，它应该依赖于形成的环境，形成的过程，而且因为人 的心理活动的主动性，它的形成还依赖于自身的活动而到现在我们还无法精确处理有限的 理性产生的行为模式。在这种情况下，使用归纳推理是相对合理的假定：预先设计多种不同 的模式，而人们则采取最可能的来使用。如果在应用中发现它并不合适，就使用一个新的模 式来替换它。这种模拟能够导致复杂的心理变化：在这种系统中，每一个人的思想和精神的 模型都在以现实情况中的试验效果来相互竞争，而每一个人的行为事实上可以看作广义的 。试错法”m 在e 1f a r o ! b a r 模型中，借用b r a i na r t h u r 的说法“1 ，这种“归纳推理”的系统由分 属于每个参与个体的大量的“推理元素”构成，这些“推理元素”往往是并不复杂的假设和 “思维模式”。而“思维模式”会被每个人所主动地修正，从而不断地适应他们所共同联合 创造的环境。这里存在一个反馈的循环，对环境的适应意味着在某种程度上改变自身，而环 境又是由这些模式组成的，所以改变自身又相当于改变环境由于这种反馈的存在，这个系 统成为一个典型的复杂系统，尽管基本的“推理元素”可能是十分简单的。 1 2a c b a c e 是经济学分支之一，全称“a g e n t b a s e dc o m p u t i t i o ne c o n o m i c s “”，也就 是对于被模拟为多分支系统的经济学的计算研究。它可以认为是演化经济学、计算科学和认 知科学的结合体”。人们的经验表明，典型的自由市场经济是非线性的复杂系统。它由大量 的独立运作的个体构成，每个个体是市场中的基本单位。每个个体的运作方式基于十分简单 的原则。这些个体之间存在彼此相似的和往往是局部的相互作用。根据a c e f l g 基本观点，正 是由于这些个体之间的相互作用才导致了市场整体的宏观行为。每一个个体都依据当前的环 境来作出自己的适应性行为，而环境本身就是由不同的个体组合而成的，所以自己的适应性 行为也就改变了环境，反过来又要影响自己的行为。最后形成的结果是一个锁链式的复杂动 力系统。各种因素在其中的反馈作用，形成只由简单的个体行为准则无法概括，甚至是难以 预料的整体性质。 这种宏观结构与微观结构的错综复杂的双向反馈与影响很长时间以来就被认识到了。但 是在很长一段时间里，经济学家和数学家都缺乏方法来解析地处理这种反复反馈的过程，并 2 e 1 f a l b a r 问题及其相关问题的研究 以较为完整地表现和研究其动力复杂性。 以宏观现象为基础的传统量化经济模型具有显著的特征，就是它的建构过程是“从上到 下”的模型建立的基础依赖于市场中的宏观特征，比如确定的决策条例，共同的知识假设 以及预设的市场均衡条件等。而个体之间相互作用的形式受到这些条件的制约在这种条件 的制约下，个体对环境的适应过程以及个体之间的相互作用的过程并不作为重点去研究总 体而言，在这些传统的模型中，独立的个体没有充分地表现出来自身在整体系统中应有的作 用。a c e 的模型是“从下到上”的，也就是说从最基本的每个个体的行为开始研究，丽它的 总和则是市场的整体行为通过复杂的个体行为来综合成整体现象需要强大的计算工具，通 过传统的被简化后的理论推演是很难分析的。 但是随着计算工具的发展，经济学家的研究方式也可以向这方面拓展s a n t af e 研究 所( s f i ) 使用s w a r m ”建立的a r t i f i c i a ls t o c km a r k e t ( a s m ) 模型研究了对股票市场的 模拟“”，而利用局类软件和计算工具，现在已经可以对一个复杂的市场体系进行相当详尽 的数值模拟，也可以去研究复杂系统模型中深入和广泛的复杂性。也就是说可以通过数值模 拟来研究自由市场中的现象，比如适应性的学习和策略的进化，大范围的协作行为和交易网 络的自发形成，以及个人行为及经济机构的运作方式的共同演化等等1 。a c e 的研究者一 般都依赖于数值计算的方法来研究，基本方式是设定一个试验条件，在此条件下来数值模拟 市场的发展过程。a c e 对很多问题都提出了自己的阐释观点，例如社会规范的形成“”。 有很多经济学的分支研究有关规范和社会制度的形成问题。古典经济学往往把社会规范 和制度看成外在的，静止和客观存在的，而现代经济学则关注于社会规范和社会制度是如何 形成和演化的。在有关制度的研究中，人们往往认为，唯一的先决条件是“市场”的建制， 而在市场体系中的其它规范全部是由后天演化得来。 在解释制度的本质和起源方面，存在两种不同的论点。约翰康芒斯在制度经济学 中提出过“制度是控制个体行动的集体行动”的论点“”，体现在当代的新古典经济学中， 例女l t h u r w i c z 的机制设计理论“”，b u c h a n a n 在著作同意的计算中的描述的宪政理论“ 等。这种观点将社会制度视为理性的经济行为人有意识的集体行动的表达。集体行动和“协 商心理”是制度的起源。 古典经济学的奠基者亚当- 斯密曾经提出过社会制度的演化生成论，相关理论系统的建 立大概可以追溯到卡尔门格尔在1 8 8 3 年的著作经济学和社会学问题n m ，后来发展成 为哈耶克的“自发社会秩序理论”“1 。对这一套理论体系来说，制度应当看怍大量的参与 5 e 1 f a z o l b a r 问题及其相关问题的研究 经济活动的个体分别追求自己利益的自然产物。制度是以个体的方式，而不是按集体的设计 或意愿演化的0 1 。 对a c e 来说，现有的研究方法主要是基于多分支计算( m u l t i - a g e n tc o m p u t e ) t 的， 对制度、社会规范和大范围协作的研究依据的主要是上述的后一种观点。对a c e 中的模型而 言，在市场外的信息上的交流和协同非常少也就是在模拟中很难看到“同意的计算”中提 到的协商过程。在模拟市场行为的时候，出现的表观秩序一般都是由不同的参与单位自发形 成的，而每个参与单位从实验条件上来说都是独立的，没有预设的合作条件和预设的集体代 表。而在很多模型中，在系统的层面上都可以看出来表观的秩序和规范。 在经济学里通常把社会规范的形成看成一个超博弈或者重复博弈。而在现实的经济模型 中往往出现这样的现象：每次的游戏中，参与者都无法找到一个简单的最优策略因为参与 者将要无限多次地重复进行同一个博弈过程，那么他们在这次采取的行动一定会影响到其他 的参与者对他们的预期，从而影响其他参与者未来的行动。于是策略的可能性将变得十分复 杂。虽然纳什均衡点可以看作整个策略空间的一个不动点，但是由于初始条件未必符合均衡 的条件，而且有不间断的利益驱动的作用，最终整个系统未必能够稳定在代表着完美理性的 纳什均衡点上。 更确切地说，在一个重复博弈里，每一个参与者都不会简单地从他可能使用的策略集合 中选择一个纯策略或者混合策略然后无限地使用下去。相反，他必须选择一个“行为的方 式”，在这个博弈的全部过程中确定他的行动。在a c e 中往往用“e n f o r c e dl e a r n i n g ”2 5 来模拟“学习经验”的过程。最简单的学习过程也就是“试错法”。事实上，由于人的思维 的主动性，还可能自发地产生很多超博弈的规则但在e lf a r o lb a r 问题中，由于所给的条 件十分简单，所以在对系统的行为毫无了解的时候，任何参与者都很难得到行之有效的行为 策略。暂时我们可以认为简单的“试错法”可以完全地表示形成经验的过程n w u “。 在经济学理论中被广泛认可的平衡态经济学事实上并没有得到实验数据的广泛支持。基 于价格服从b r o w n i a n 运动的有效市场模型来描述市场的时候，也有很多在市场中存在但用 模型不能解释的现象，比如套利的存在。分形市场假说认为市场中存在着某种非线性结构， 互相耦合的反馈形成了各种因素随时间长期相关而并非互相独立的结果。其中很多数值处理 都可以发现标度律的痕迹“”2 “。e lf a r o lb a r 问题正是一个互相耦合的信息反馈系统，影 响系统行为的因素极其复杂，其中包括了对每一个个体来说的随机因素和对历史数据以及当 前信息的反馈结果，还包括了对整体而言的j r 均化效果，以及从连续的预测值到离散的“选 4 e 1 f a a o l b a r 问题及其相关问题的研究 择”的离散化效果。各种反馈的耦合形成了一个复杂的信息交流系统。在其中也很有可能发 现某些不同于b r o w n i a n 运动的特征。我们还可以通过对数值结果进行的分析来确定e l f a r o lb a r 问题到底和现实的市场在多大的程度上是相似的。 本文是按照以下方式组织的：第二章介绍了e lf a r o lb a r 模型的数学描述和相关情况， 使用本文中给出的简化条件对原先的e 1f a r o lb a r 进行了简化，通过数值实验，得到一些有 关这个系统的数值结果。在第三章里，为了更好地反映现实的市场环境，对e lf a r o lb a r 问 题进行了推广。3 1 节里分析了存在逆向思维的人对系统状态的影响；3 2 节计算了当一部 分人把问题当作n a s h 均衡来处理时对系统的影响；3 3 节考虑了系统如果采用不同的反馈形 式的时候，也就是市场具有不同约束条件的时候系统的特征：3 4 节则在人际交流的模型里 推广了e lf a r o lb a r 问题，使其可以容纳人们之间的交流和信息传播。3 5 节则观察了当市 场的条件发生变化的时候，人们对它的适应情况。 5 e 1 f a a o l b a r 问题及其相关问题的研究 第二章对e if a r o lb a r 问题的研究 2 1e lf a r o lb a r 问题的a l t h u l 模型 在e lf a r o lb a r 问题中，每个人都会采取某种确定的原则来判断自己该不该去酒吧参加 音乐会。我们把这些原则成为“策略”策略有很多不同的表现形式，由于问题的复杂性， 详细地列出一切可能的策略函数再予以研究已经远远超过了可行的计算规模而人们的心理 状态往往具有某种模糊性，也就是说从人的直观来看，输入参数的微小差异往往对很长时间 以后的结果没有十分巨大的影响这也是混沌和奇异吸弓i 子的计算之所以与直觉有很大出入 的原因。基于这个现象，我们可以将策略的集合适当地“模糊化”来简化模型。而不同的模 糊化方式可能会产生不同的结果( 详细讨论见3 1 节) 。 按照h r t h u r t 初提出的问题，假设城市中每一个人都有若干历史数据作为经验，并把 它作为决定自己是否去参加音乐会的判断前提。比如：人们可能会估计下次去的人数可能等 于过去两次的平均值；或者估计这一次去的人数可能等于总人数减去上一次去的人数；或者 这一次去的人数与上一次去的人数基本相等如果我们把这些经验视为一种“策略”，那么 人们的经验总是在开始的时候随机地试验这些策略，然后从中挑出准确率比较高的。经过这 样的不断的试验和选取的反复过程，每次去的人数可以达到一种较为稳定的状态。如果人数 是一个奇数而座位数恰好是不超过人数二分之一的最大整数，这个问题又叫做m i n o r i t y g a m e 1 。亦即属于少数人的决定是成功的，m i n o r i t yg a m e 是一般的e lf a r o lb a r 问题 的一个简化形式，在数学上容易进行精确的表示“”1 。 在e lf a r o lb a r 问题，尤其是m i n o r i t yg a m e 中，如果大多数人都预计酒吧不会太拥 挤而全都参加的话，酒吧就会过度拥挤。反之亦然。事实上，如果一个策略越被广泛地使 用，那么它的成功的可能性就越低。如果得到同一个预测结果的人数超过座位数，可以保证 这个预测结果是失败的。所以显然人们采用的策略和形成的使用策略的习惯不可能相同。结 果去酒吧的人数以十分随机的形式在6 0 ( 如果是m i n o r i t yg a m e ，是5 0 ) 的点附近摆 动，而且不能归结成一种简单的行为模式。“。因为人们采取的策略不同，所以对每个人来 说结果会完全不同。但是从整体来看，得到的结果似乎十分相似，很难看出显著的结构。而 且当变化初始条件的时候，得到的整体结果也很相似。虽然每个人都在以一个对自己而言确 定的方式来处理问题，但是从表观上看似乎是在以某种随机的方式在决定去或不去“”。一 个被广泛引用的图( f i g 1 ) 说明了人数是如何以不规则的形式变化的”1 ： 6 e 1 f a r o l b 扑问题及其相关问题的研究 q g u r e1 b a ra t t e n d a n c ei nt h ef i r s t1 0 0w e e k s 2 2e lf a r o lb a r 问题的一种简化形式及其中的相关性 2 2 1 e 1f a t o lb a r 问题的一种简化形式及其数学表述 假设在e lf a r o lb a r 问题中的参与者集合为，= ( 1 ，) ，每个人在当前时刻f 作出的 是否去的决定为q ，( f ，) 。其中e ，= - 1 或1 。1 代表不去而1 代表去，那么在，时刻去的总 人数就有： $ u r t l = ( q ，。+ 1 ) z 。 我们来看b ，如何定义：设策略集是s ，在不引起歧义的情况下，s 也表示为策略的总 数。将酒吧的座位数，也就是人们认为是否该去的限度记为k 。历史数据向量是过去一段的 历史信息，人们将使用它来预测以后的情况：n = ( 只。，p ) = ( s u m 。，s u m ) 。首 先，一切策略都是一个由过去若干历史数据到一个布尔型常量的函数，为方便可以设为： d ，：瓦卜 一1 ，1 ) 。所有可能的策略数量极多，应当在2 ”的数量级上，每个策略包含的信息 量也非常大。在现实中，人们并不会依照这样的策略集来处理问题，而在只具备较少信息的 情况下习惯于以简单函数来作为预测模型，尤其是满足线性，或者连续和单调的函数。用这 样的函数来取代包含全部信息的策略集，在某种意义上是依照经验和人的心理习惯将策略集 “模糊化”了。为了描述这个因素，定义策略在时刻f 使用的策略皿为：仃，：b 卜 一i ，1 ) ， e l f a r o l b a r 问题及其相关问题的研究 d - f 卜黼， 而i = ( n i ，) 可以是随机生成的。其中令q ，= 一a s 云，称为对时刻f 的预测值事实 上每个策略都可以看作一个过去历史数据的线性组合。对于某个策略仃| 来说，假设过去第 t 天的历史数据是只( o 帆) 。本文 中提到策略集的使用历史数据的长度m 的时候均指这种情况。 一般地说，在t 时刻，被使用的策略疋的支付函数( p a yo f o 这样来定义： “( 吐) = 一u ( s u m ，一k ) 。仃；， 这里u “) 是x 的一个非减函数在原始问题中和很多模型里，u ( z ) = s i g n ( x ) 。随着模型里 的评判方法不同，也可以是其它函数，比如u ( x ) = x 等。对参与者i 没有使用的策略，一般 认为支付函数为0 。 另有一个参数是对所有可用策略的评价，这依赖于每个人的不同经历。评价是每个策略 的支付函数对历史求和，第j 人在，时刻对策略皿的评价是： ，( t ) = u j j ( 盯。) 。 o j 6 的时候，人数的概率密度就变成了比较精确的正态分布。图形 f i g 6 分别是人数的概率密度和在j 2 ，l o g ( y ) 的坐标下画出来的图形。如果人数分布x 符合正 态分布( 口，仃2 ) ，那么x 的概率密度，( x ) 会有： ，o ) ：士。一警，一 ， ，( b ) ：d 2 n 和( c ) ：盯2 n = 。在s = 6 时，则只出现( a ) 、( c ) 两种 情况，情况( b ) 不出现。事实上d 2 n = 恰好对应于n a s h 均衡u , i x 数分布等于二项分布时的 情况。而在本文的计算中，仅从函数的增减性上来看，并未出现情况( b ) 中出现的d 2 n 的最 小值，吻合了s = 6 时的结果。从函数值上看，随着m 的增大，一即使在其接近不变的 时候，也并不接近j ，而是仍然接近0 7 。这和策略集的情况有关，策略集中包含的信息越 多，或者说策略越多样，仃2 n 的期望越小( 参见3 1 节) 。而在本文使j r 的模型中，策略 1 4 e l f a , v o l b a rf q 题及其相关问题的研究 是以线性函数的形式来表现的，这样可能的策略的数目极大，所以我们的策略集无论选得多 大，在可行的计算规模内，都远远小于允许的全部策略的集合。而且又有共同条件 ：二；n ，= l 的限制，所以可能被人所使用的策略必然是所有可能策略集中的很小一个区域。 这样就导致o r 2 始终比较大。 1 0 0 _ ” 。一。 二 。! ji ( e j j 曼日- 一 叫i i e ij b i 1 0 ； ， ：一囊一 塞。：三。毫= ：j ，y 。 。 。 。 。5 甜、 如，“、一7 蔷 1 12 i j _ v o 1 l “一飘。并。“ 2 f i g 1 0 2 1 方差事实上意味着市场是否稳定如果方差变大，就会导致市场中出现概率相对较小的 事件更容易地出现，如果把这看成是一个买卖平衡的市场，买方和卖方显著不平衡的事件出 现的概率变大，也就是风险变大现在我们可以看到，在上述模型当中存在的风险要比 n a s h 均衡的情况大得多。如果延长对历史数据的掌握长度，方差会减小。但是因为策略集 本身的原因( 从现实意义上讲，与人们具有的普遍思维习惯的问题有关) ，使得方差仍然会 显著地大于n a s h 均衡时的情况。 2 3 r s 分析 a r t h u r 为了模拟人们在市场行为中的“有限理性”状态而提出了e lf a r o lb a r 问题， 而在具体的市场行为中，人们对未来的预测往往具有某些显著的特征：在一个整体起伏不大 的市场中，人们对未来的猜测往往和过去的情况相差不大。这意味着未来和过去是相关的。 为了体现这个相关性的具体情况，可采用r s 分析方法来研究随时间出现的人数序列只。 所谓r s 分析( r sa n a l y z e ) ，又称重标极差( r e s c a l e dr a n g e ) 分析”“，最初是由水 1 6 e 1 7 a e o l b a t 问题及其相关问题的研究 文专家h e h u r s t 为研究尼罗河水量随时间的变化而提出的数据分析方法，能够十分敏感地 检测到一个伪随机序列中存在的长期或短期相关性。m a n d e l b r o t 首次将它运用到金融市场 分析中，并且研究了被称为分数维布朗运动的一类随机过程“”“。 对一个时间参数取离散整数值的时间序列盖做r s 统计的方法有如下定义，其中r ( s ) 叫做r s 统计量： x ( t ，s ) = 【色一( 触 月( j ) = m m a e x 。x ( t ，s ) _ m m i 如nx ( t ，j ) ，1 s f e jl ，l s c s ，= 砉t 岳一c 喜色，r “2 ， r ( s ) = r ( j ) s ( 5 ) 设毒是一个随机过程。通过把毫随时间积分( 对离散序列是求和) 可以得到另一个随机过 程，即其部分和序列二岳。如果把盏看作一个一维的随机游动，那么部分和：= 。盖就是 从出发到s 时刻的位移。而x ( f ，s ) 是将部分和序列减掉其数学期望以后的结果，所以x ( f ，j ) 的期望为0 。这样r ( j ) 就成了一个“自适应的”( s e l f - a d j u s t e d ) 累计偏差的范围，这也就 是重标极差得名的原因。h u r s t 发现在很多情况下其有l i r a 尺( f ) f ”= c 的形式，其中和 c 为常数，而胃被称为h u r s t 指数。显然，如果专是一个白噪声，或者任何一个独立增量过 程，也就是岳是一个b r o w n i a n 运动，将有= 。进一步，f e i l e r 证明，对一个有 限方差的独立增量过程，有：硬埘鲁l - 手 h u r s t 发现在很多问题中，h 并不严格地等于 。m a n d e l b r o t 证明了如果h u r s t 定律 能够成立，那么必然有0 h 1 1 1 9 1 2 0 1 。根据他提出的“分维布朗运动”“，在 时，相关是正的，意味着专的重标饭差比 相同规模的白噪声的变化更快速，这表示系统具有某种持续性；而当h 毒时，相关是负 1 8 e l f a r 0 1 b a e 问题及其相关问题的研究 的，表示反持续性( a m i p e r s i s t e n c e ) ，意味着它比布朗运动扩散得更慢，所以它应比 白噪声以更高的频率来逆转自己。也就是说，增量鲁和皇之间存在某种负反馈关系“。“。 a 钍e n d e n c en u m b e rr e s u l t 宅6 0 0 z g4 0 0 9 9 6 x l0 49 9 8 x 1 0 41 o o x l 0 5 t i m e s f i g 1 1 从数值分析的结果我们可以看到，如果所有可选策略的系数都满足归一化原则，那么对 结果的r s 分析会得到一个比0 5 小的h u r s t 指数。而且h u r s t 指数和m 成减函数的关系。 图f i g 1 2 是当参数分别为n = 1 0 0 0 ，s = 1 0 0 ，墨= 1 0 的时候的r s 分析结果，m 的取值分别为 m = 3 ，= 6 ，m = 2 0 ，均为五次取样的平均值。其中h u r s t 指数分别为0 4 8 ，o 3 l 和0 1 7 。 r sa n a l y s i s 贯 o d e 己 葛 旦 i o g ( f i m e s ) f i g 1 2 1 7 幽( r 但i n d e x ) m r m 2 d l i n e a ra p p r o x i m a t i o n y = 0 3 1 0 4 x + 0 ，0 2 i o g ( r si n d e x l 。一。“+ 。f o rm - - 2 0 l i n e a ra p p r o x i m a t i o n 一y - - 0 1 7 9 4 x + o 6 2 8 1 i o g ( r si n d e x ) 一f o r m - - 3 l i n e a ra p p r o x i m a t i o n 一一y - - o 4 8 0 8 x - 0 6 5 5 4 e 1 f a c o l b a m 问题及其相关问题的研冤 这个结果可以定性地去理解，因为当系数满足归一化原则的时候，这个策略是一个线性 函数，在空间r ”上过原点，对沿着任何向量丽( 一mer ”) 的方向都满足单词性，因为这个单 词性的影响，策略体现出一些负反馈的性质( 详见3 1 节) ，也就是说如果历史数据普遍较 大，策略给出的决定的期望较小。反之亦然。虽然不同的策略会对历史数据倔大或者偏小有 不同的反应，但是从整个系统来讲，很难出现持续偏向一个方向的情况。这个振荡的趋势是 系统固有的，使得人数随时间的变化随时间的积分( 离散情况下即为累加) 可以看作一个均 值回归过程，一旦偏离均值，就会向均值附近回归这样可以保证它具有随时间稳定的平均 值图中曲线的大致斜率反映了h u r s t 指数而当随时间生成的序列进行乱序重排以后，概 率密度不变，但是再计算h u r s t 指数就有了巨大的变化，接近0 5 ，意味着随机顺序的重排 打破了原有的某些时序相关性。 如果将数据打乱顺序，使其重新排列成一个新的序列，再进行r s 分析得到的结果如图 f i g 1 3 这里的h u r s t 指数接近0 5 ，实际的数值结果为0 5 3 原因可以解释为因为伪随机 数发生器以及随机噪声等各种原因引起的偏差。 r a n d o ms e r i a l sr sa n a l y s i s 口 o _ j c m 口 c 一 ( ，) r r - - - - - p j si n d e xi nl o g 一p o l y n o m i a l ( x ) t i m e s i nl o g f i g 1 3 通过r s 分析可以看到人数随时间变化的序列是有显著的前后相关性的，说明了人们的 普遍心理可能导致市场随时问变化的某种规律性。或者说，对偏离均衡的市场现象的普遍反 应决定了市场随时间的走势。在现实中，买卖关系不平衡造成了市场价格的波动，而人们依 据心理经验对价格进行的预测在买卖关系上表示出来，往往导致对价格波动的影响。如果人 】8 e 1 f a r o l b a r 问题及其相关问题的研究 们的理性反应会使价格回归均价，就可以体现在经济学中的“价格向价值回归”这一结论。 在某些市场中，人们不会完全理性地按照“价值”来衡量价格，甚至对价格的波动产生某些 助推和放大作用。例如股票市场中投资者的信心与股票价格在一定范围内的涨跌有关，在一 定范围内，价格上涨会导致投资者对它的信心增强，反之亦然这就会造成价格波动在定 范围内的正反馈现象，在出现正反馈的时候，价格随时间变化的h u r s t 指数一般大于0 5 ， 但这种长期相关性的产生机制和这里的现象是一致的“”4 h u f s t 指数和f i r 成减函数关系， 反映了人们在预测来来时，对历史数据的使用长度越短，时序相关性相对会越弱，也就是说 市场整体的平均状态出现涨落现象的不可预测性越强，越难以依据过去的历史来进行预测， 更加类似于随机产生的波动。如果把它看做完全的随机波动，得到的就是平衡态经济学的某 些结果。这相当于完全不考虑长期相关性的“极限状态”的理论。 2 4 关于策略的使用频率 在策略集中，不同的策略会有不同的使用频率有一些策略会被惯常使用，而有一些则 可能几乎从来没有被用过。假设人们之间没有互相的协同影响，也就是每个人行